Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (02/2021), 215-226 Transport and Communications Science Journal VARIABLITITY IN FREQUENCIES OF VEHICLE VIBRATION ANLYSIS WITH MUILTIPLE RANDOM VARIABLES Nguyen Van Thuan1*, Ta Duy Hien2,3 Nha Trang University, No Nguyen Dinh Chieu Street, Khanh Hoa, Vietnam University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam Research and Application Center for Technology in Civil Engineering, University of Transport and Communications, Hanoi, Vietnam ARTICLE INFO TYPE: Research Article Received: 21/9/2020 Revised: 6/2/2021 Accepted: 8/2/2021 Published online: 15/2/2021 https://doi.org/10.47869/tcsj.72.2.7 * Corresponding author Email: thuannv@ntu.edu.vn; Tel: 0393007896 Abstract Vehicle dynamic analysis with random parameters has been a hot research topic for many years because of its important role in ride comport, vehicle safety, and overall vehicle performance This study deal with the response variability in the natural frequency of vehicle by non-statistic approach A four degree of freedom car vehicle model is used to study the vibration response of vehicles with uncertain parameters The governing equations for the natural frequency of vehicle are derived from Lagrange equations The randomness in mass density and stiffness of springs are assumed to be a Gaussian random variable Mass matrix and stiffness matrix can be perturbed with respect to the mean of the system random variables The variance of eigenvalue and mean of eigenvalue are obtained by zeroth-order and first-order of approximated perturbation equation The stochastic analysis of vehicle vibration is performed in conjunction with Monte Carlo simulation (MCS) in order to show the legitimacy of the perturbation solutions Numerical examples are given in detail Some results obtained by the non-statistic approach and those from the Monte Carlo simulation approach show a good agreement Keywords: non-statistic approach, vehicle vibration, natural frequencies, Monte Carlo simulation © 2021 University of Transport and Communications 215 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (02/2021), 215-226 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải PHÂN TÍCH ĐẶC TRƯNG NGẪU NHIÊN CỦA TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA Ô TÔ VỚI NHIỀU THAM SỐ NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thuần1*, Tạ Duy Hiển2,3 Trường Đại học Nha Trang, Số Nguyễn Đình Chiểu, Khánh Hịa, Việt Nam Trường Đại học Giao thơng vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam Trung tâm nghiên cứu ứng dụng Công nghệ xây dựng - Trường Đại học Giao thơng Vận tải THƠNG TIN BÀI BÁO CHUN MỤC: Cơng trình khoa học Ngày nhận bài: 21/9/2020 Ngày nhận sửa: 6/2/2021 Ngày chấp nhận đăng: 8/2/2021 Ngày xuất Online: 15/2/2021 https://doi.org/10.47869/tcsj.72.2.7 * Tác giả liên hệ Email: thuannv@ntu.edu.vn; Tel: 0393007896 Tóm tắt Phân tích động lực học tơ với thơng số ngẫu nhiên chủ đề ưa thích nhiều năm qua có vai trị quan trọng độ êm dịu, an tồn tơ tồn tính tơ Nghiên cứu này, phân tích đặc trưng ngẫu nhiên tần số dao động mơ hình tơ cách tiếp cận phi thống kê Phương trình dao động mơ hình ô tô có bốn bậc tự thiết lập cách sử dụng phương trình Lagrange Mơ hình bốn bậc tư sử dụng để nghiên cứu ứng xử dao động tự ô tô với nhiều biến ngẫu nhiên Giá trị trung bình phương sai tần số riêng thu lời giải xấp xỉ bậc khơng bậc phương trình dao động tự có chứa biến ngẫu nhiên ma trận khối lượng ma trận độ cứng hệ Phân tích ngẫu nhiên dao động sử dụng phương pháp mô Monte Carlo (MCS) để kiểm chứng kết phương pháp phi thống kê Những kết thu phương pháp phi thống kê mô Monte Carlo hồn tồn phù hợp Từ khóa: phương pháp phi thống kê, dao động ô tô, tần số riêng, mơ Monte Carlo © 2021 Trường Đại học Giao thông vận tải ĐẶT VẤN ĐỀ Khi ô tơ chuyển động có nhiều yếu tố gây dao động, điều làm tính an tồn êm dịu tơ An tồn êm dịu hai tiêu động lực học quan trọng, tách 216 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (02/2021), 215-226 rời định chủ yếu chất lượng hệ thống treo Tuy nhiên, q trình chế tạo hệ thống treo khơng thể trách khỏi lỗi liên quan đến vật liệu điều ảnh hưởng đến tính hệ thống Nghiên cứu thay đổi dao động ô tô việc giả thiết không chắn biến đầu vào nhằm dự đoán sai lệch tần số dao động riêng cần thiết Hiện chủ đề nghiên cứu nhận quan tâm nhiều tác giả nước Trước tiên phải kể đến nghiên cứu tiền định dao động riêng ô tô tác giả Trương Hoàng Tuấn, Galal Ali Hassaan Kuldeep K Jagtap [1-3] Nhóm tác giả cộng nghiên cứu tính tốn tần số dao động riêng tơ cho mơ hình 2D 3D Tiếp theo hướng nghiên cứu này, tác giả Nguyễn Hữu Hưng cộng [4], Đỗ Xuân Quý cộng [5] sử dụng phương pháp Rayleigh thực nghiệm xác định tần số dao động dầm Tất nghiên cứu thơng số tính tốn khối lương, độ cứng, khối lượng độ cứng hệ thống treo, lốp xe giả thiết không thay đổi trình tính tốn Hướng nghiên cứu nhiều tác giả quan tâm tốn xác suất tính tốn dao động tơ Tác giả Kiều Thế Đức cộng nghiên cứu dao động ngẫu nhiên hệ cấp ba kích động ngẫu nhiên trắng [6] Cũng theo hướng tác giả Nguyễn Tiến Khiêm nghiên cứu dao động hệ đàn nhớt kích động ngẫu nhiên [7] Những nghiên cứu công bố nhóm tác giả Nguyễn Văn Thuần Tạ Duy Hiển sử dụng phương pháp tích phân trọng số, phương pháp phi thống kê dựa phương pháp phần tử hữu hạn với giả thiết thông số vật liệu tính tốn ngẫu nhiên dao động kết cấu dầm biến không chắn [8-10] Các nghiên cứu đề cập đến yếu tố khơng chắn cho tốn dao động, nhiên đối tượng nghiên cứu chủ yếu đề cập lĩnh vực xây dựng dân dụng Gần nhà nghiên cứu bắt đầu quan tâm đến phân tích dao động ô tô với yếu tố không chắn vật liệu Tác giả Robson cộng nghiên cứu lý thuyết trường xác suất với biến ngẫu nhiên liên quan đến mặt đường [11] Nghiên cứu ngẫu nhiên dao động tơ với mơ hình phần tư có xét tới thơng số vật liệu ngẫu nhiên đề cập nghiên cứu Semiha Türkay Wei Gao [12, 13] Tác giả Gaurav cộng sử dụng phương pháp Chaos phân tích ngẫu nhiên dao động tơ với nhiều tham số vật liệu không chắn [14] Nghiên cứu ngẫu nhiên dao động tơ cho mơ hình hai bậc tự với tham số ngẫu nhiên liên quan đến mặt đường vật liệu hệ thống treo đề cập từ sớm nghiên cứu nhóm tác giả Dahlberg Narayanan [15, 16] Những cơng trình nghiên cứu cho thấy chủ đề ngẫu nhiên dao động ô tô nhà nghiên cứu nước quan tâm Mặc dù số lượng nghiên cứu chủ để ngẫu nhiên dao động tơ cịn hạn chế số lượng đặt biệt việc áp dụng phương pháp phi thông kế (non-statistic approach) với nhiều biến không chắn chưa quan tâm nhiều XÂY DỰNG CƠNG THỨC TÍNH TỐN ĐẶC TRƯNG NGẪU NHIÊN TẦN SỐ DAO ĐỘNG CỦA MƠ HÌNH Ơ TƠ 2.1 Phương trình dao động mơ hình tơ Thực tế tính tốn dao động tơ giả thiết nhiều loại mơ hình khác từ phần tư, phần hai đến mơ hình 3D Trong nghiên cứu nhóm tác giả tập trung nghiên cứu mơ hình dao động tơ với bốn bậc tự (hình 1) tham khảo tài liệu động lực học ô tô [17] 217 Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số (02/2021), 215-226 Hình Mơ hình dao động tơ [17] Trong báo nhóm tác giả phân tích dao động tự với nhiều tham số ngẫu nhiên đầu vào không xét đến cản nhớt, tính tốn dao động phần hai ô tô mặt phẳng, mô hình giả thiết với thơng số hệ tọa độ giới thiệu hình Trong đó, khối lượng ô tô (m), khối lượng bánh xe trước sau (m1, m2) Độ cứng hệ thống treo cầu trước sau (ks1, ks2), độ cứng bánh xe trước sau (ku1, ku2) x x a1 a2 m, Iy x2 C ks2 ks1 m2 y1 x1 m1 ku2 ku1 y1 Hình Mơ hình dao động tơ với trường hợp xét khơng có cản Từ mơ hình dao động tơ giả thiết, xây dựng biểu thức động hệ: K= V= mx + m1 x12 + m2 x22 + I y 2 ( ) ku1 ( x1 − y1 ) + ku ( x2 − y2 ) + k1 ( x − x1 − a1 ) + k1 ( x − x2 − a2 ) (1) (2) Sử dụng phương trình Lagrange ta tìm phương trình dao động: [M ] X + [K ] X = 218 (3) Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (02/2021), 215-226 Trong đó: x X = x1 x2 Ma trận khối lượng: m 0 I M = 0y 0 0 m1 0 0 m2 Ma trận độ cứng: ks1 + ks a k − a k K = s−2 k s1 s1 −ks a2 ks − a1ks1 −ks1 ks1a12 + ks a22 a1k s1 a1ks1 −a2 ks ks1 + ku1 −k s −a2 k s k s + ku Tấn số dao động ô tô không xét đến hệ số giảm chấn xác định cách giải phương trình đặc trưng để xác định trị riêng det ( K - M ) = (4) Giải phương trình ta thu tần số dao động riêng i = i Trong nghiên cứu này, phương trình (4) phương trình chứa biến ngẫu nhiên nên việc giải gặp nhiều khó khăn, phần trình bày cách giải phương trình 2.2 Tính tốn đặc trưng ngẫu nhiên tần số dao động riêng mơ hình tơ Thưc tế tham số đầu vào hệ có sai số định trình chế tạo sai lệch đo thơng số Khi có số liệu thống kê đủ lớn tính tốn hồi quy đưa quy luật ngẫu nhiên gần thông số đầu vào Nghiên cứu chưa có số liệu thơng kê độ cứng lo xo, khối lượng, mơ men qn tính giả thiết biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn biểu diễn sau: k s1 = k s1 (1 + r1 ) k s = k s (1 + r2 ) ku1 = ku1 (1 + r3 ) ku = ku (1 + r4 ) m = m0 (1 + r5 ) I y = I y (1 + r5 ) m1 = m1 (1 + r6 ) m2 = m2 (1 + r7 ) 219 (5) Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (02/2021), 215-226 Các giá trị trung bình ks1 , ks , ku1 , ku , m0 , I y , m1 , m2 Các biến ngẫu nhiên r1 , r2 , , r7 có dạng phân phối chuẩn với giá trị trung bình khơng có độ lệch chuẩn , , , Với dạng biểu diễn cơng thức (5) hệ số biên thiên biến ngẫu nhiên độ cứng lo xo, khối lượng, mơ men qn tính cơng thức (5) , , , Các ma trận đô cứng, ma trận khối lượng, trị riêng, véc tơ riêng hàm số biến ngẫu nhiên khai triển theo biến ngẫu nhiên sau: K ( r1 , r2 , r7 ) = K + K i ri + L i =1 M ( r1 , r1 , r7 ) = M + M i ri + L i =1 j i =1 ri j ( r1 , r1 , r7 ) = j + X j ( r1 , r1 , r7 ) = X j + (6) ri + L X j ri + L ri K0 , M , j , X j gia trị trung bình ma trận cứng, ma trận khối lượng, trị riêng, véc i =1 tơ riêng j X j , đạo hàm riêng bậc ma trận đô cứng, ma trận khối lượng, trị ri ri j X j , riêng, véc tơ riêng theo biến ngẫu nhiên Các đạo hàm riêng chưa biết giá trị ri ri Ki , M i , cần phải tính tốn Thế khai triển cơng thức (6) vào phương trình (4), đồng hóa theo biến ngẫu nhiên ta có: Phương trình bậc khơng: Phương trình bậc nhất: [ K0 − i M ] X i = [ K0 − j M ] X j = −[ Ki − j M ]X j0 ri ri Giải hệ thống hệ phương trình (7) (8) cho kết quả: (7) (8) i (9) = X iT K j − i M j X i rj Sử dụng dạng xấp xỉ tuyến tính cho tần số riêng, ta có cơng thức xác định phương sai 220 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (02/2021), 215-226 tần số riêng cho dạng riêng thứ i: i Var i ( r1 , r2 , r7 ) = Var i ( r1 , r2 , r7 ) = j =1 4i rj (10) j Với dạng xấp xỉ bậc giá trị trung bình tần số giá trị tần số toán tiền định với giá trị đầu vào biến ngẫu nhiên giá trị trung bình 2.3 Phương pháp mơ Monte Carlo phân tích ngẫu nhiên Để kiểm chứng kết tính tốn đặc trưng ngẫu nhiên tần số dao động cách tiếp cận phi thống kê mục 2.2 sử dụng phương pháp mô Monte Carlo [18] Các biến ngẫu nhiên mô 10.000 lần thông qua việc sử dụng phần mềm Matlab Mỗi lần mô biến ngẫu nhiên giải tính tần số dao động riêng, từ tính tốn thống kê đặc trưng ngẫu nhiên tần số dao động riêng giá trị trung bình, độ lệch chuẩn Sư biến đổi ngẫu nhiên đặc trưng tần số dao động đánh giá thông qua công thức hệ số biến thiên (COV) sau: Var COV = (11) đó, giá trị trung bình, = Var độ lệch chuẩn KẾT QUẢ TÍNH TỐN 3.1 Số liệu tính tốn Mơ hình dao động ô tô hình với với giá trị trung bình tham số đầu vào bảng 1, giá trị sử dụng bảng tham khảo tài liệu động lực học ô tô [17] Bảng Số liệu đầu vào tình tốn tần số dao động ô tô Thông số Giá trị Đơn vị m 420 kg m1 53 kg m2 76 kg a1 1.4 m a2 1.47 m Iy 550 Kgm2 ks1 10,000 N/m ks 13,000 N/m ku1 20,000 N/m ku2 20,000 N/m 221 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (02/2021), 215-226 3.2 Kết tính tốn Đầu tiên cần tính tốn dao động riêng ô tô với toán tiền định ứng với giá trị trung bình tham số đầu vào Giá trị tần số dao động riêng 1 , 2 , 3 , 4 xác định bảng Bảng Tần số dao động dạng dao động riêng Dạng dao động riêng Tần số dao động riêng (rad/s) 6,70 9,19 52,99 62,96 Các véc tơ riêng ứng với bốn dạng dao động riêng này: −0, 254 u = 1 0, 065 0, 039 −0, 01131 −0, 0128 u3 = 0, 0011 1, 000 0,332 1, 000 u = 2 −0, 052 0,113 −0, 0061 0, 0065 u4 = 1, 000 −0, 00052 Kết tính tốn tần số bảng dạng dao động riêng hoàn tồn với kết tính tốn tài liệu động lực học tơ [17] Với tốn động lực học ngẫu nhiên, nghiên cứu tính tốn độ lệch chuẩn, hệ số biên thiên tần số dao động riêng Các tham số đầu vào tính tốn giả định với trường hợp khác giá trị biến thiên tham số đầu vào, cụ thể hai ví dụ Ví dụ 1: Khảo sát đặc trưng ngẫu nhiên tần số dao động riêng với giá trị biến thiên tham số đầu vào giả sử hai trường hợp: TH1: = = = = = = = 0,1 TH2: = = = = = = = 0,15 (12) Khảo sát ứng xử hệ số biến thiên tần số dao động riêng với giá trị độ lệch chuẩn đầu vào ( = = = = = = = ) biểu diễn hình Các giá trị khảo sát giả định = 0,05; 0,1; 0,15 = 0, Kết khảo sát cho thấy hệ số biến thiên tần số dao động đạt từ 62% 70% giá trị độ lệch chuẩn đầu vào 222 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (02/2021), 215-226 PP MCS Hệ số biến thiên (COV) PP phi thống kê Dạng dao động riêng Hình Hệ số biến thiên độ lệch chuẩn Bảng trình bày kết tính tốn với trường hợp số liệu đầu vào hai trường hợp giả định (12) đồng thời hai phương pháp: phương pháp phi thống kê mô Monte Carlo cho bốn dạng dao động riêng Cụ thể trường hợp (TH1) nghiên cứu giả thiết độ lệch chuẩn đầu vào () tất biến ngấu nhiên đầu vào 0,1, giá trị 0,15 cho trường hợp (TH2) Nghiên cứu khảo sát giá trị trung bình, độ lệch chuẩn hệ số biến thiên bốn tần số dao động riêng Kết quả, sai số phương pháp phi thông kê mô Monte Carlo phân bố từ 0,1% đến 3,21% cho tất khảo sát Bảng Kết tính tốn sai số Dạng dao động riêng TH1 Giá trị trung bình Phương pháp Sai phi MCS số thống [%] kê 6,993 6,986 0,10 Độ lệch chuẩn Phương pháp Sai phi MCS số thống [%] kê 0,442 0,443 0,23 Hệ số biến thiên Phương MCS Sai pháp số phi [%] thống kê 0,062 0.064 0,32 TH2 6,993 6,986 0,10 0,663 0,695 0.30 0,094 0,095 0.40 TH1 9,194 9,236 0,46 0,577 0,582 0.87 0,063 0.063 0.40 TH2 9,194 9,313 1,29 0,886 0,899 1,48 0,096 0,097 0.17 TH1 52,988 52,037 1,79 3,628 3,528 2.76 0,068 0.068 0.97 TH2 52.988 52,839 0,28 5,042 5,070 0,56 0,095 0,096 0.83 TH1 62,969 63,258 0,46 4,345 4,291 1,24 0,069 0,068 1.69 TH2 62,969 63,814 1,34 6,518 6,393 1,92 0,103 0,100 3.21 223 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (02/2021), 215-226 Ví dụ 2: Khảo sát đặc trưng ngẫu nhiên tần số dao động riêng với giá trị biến thiên tham số đầu vào khối lượng độ cứng lò xo khác hai trường hợp: = = = = 0, 05 (TH1) = = = 0,15 (13) = = = = 0,15 (TH2) = = = 0, 05 Khảo sát thay đổi hệ số biến thiên thay đổi độ lệch chuẩn đầu vào biến khối lượng độ cứng thể hình Hai trường hợp độ lệch chuẩn ban đầu (13) biến khối lượng độ cứng khảo sát 0,05 0,15 Kết hình cho thấy sai số lớn hai phương pháp phi thống kê mô Monte Carlo trường hợp 4.9% trường hợp 3.7% Hệ số biến thiên trường họp tham số TH2 nhỏ hệ số biến thiên TH1 xu hướng ảnh hưởng hệ số biến thiên độ cứng đến tần số riêng lớn ảnh hưởng hệ số biên thiên khối lượng PP phi thống kê PP MCS PP phi thống kê PP MCS (TH2) Hệ số biến thiên (COV) Hệ số biến thiên (COV) (TH1) Dạng dao động riêng Dạng dao động riêng Hình Hệ số biến thiên thay đổi độ lệch chuẩn biến khối lượng độ cứng KẾT LUẬN Bài báo trình bày nghiên cứu tính tốn biến thiên tần số dao động ngẫu nhiên mơ hình dao động tơ phần hai xét đến tham số ngẫu nhiên hệ phương pháp tiếp cận phi thống kê Monte Carlo Qua phân tích cho thấy tham số ngẫu nhiên hệ ảnh hưởng nhiều đến hệ số biên thiên tần số dao động riêng Sai số hai phương pháp tính nhỏ bốn dao động khẳng định độ tin cậy phương pháp tính tốn phi thống kê Hệ số biến thiên tần số dao động riêng nhỏ (đạt 70%) hệ số biến thiên tham số đầu vào trường hợp tất tham số đầu vào có hệ số biên thiên Điều cho thấy xu hướng giảm thay đổi tần số so với tham số đầu vào Ngoài tính tốn cho thấy hệ số biến thiên độ cứng ảnh hưởng nhiều đến hệ số biến thiên 224 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (02/2021), 215-226 tần số dao động riêng so với hệ số biến thiên tham số khối lượng LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu tài trợ Quỹ Phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 107.01-2017.314 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T H Tuấn, T H Nhân, T Q Lâm, Phân tích dao động thân xe tải nhẹ mơ hình động lực học dao động 3D, Tạp chí Phát triển KH&CN, 18 (2015) [2] G A Hassaan, Car dynamics using quarter model and passive suspension, International Journal of Computer techniques, (2014) 93-100 [3] K J Kuldeep, R D Dhananjay, Simulation of quarter car model using Matlab, International journal of engineering research and general science, (2015) 242-249 [4] N H Hưng, Đ M Hùng, Xác định tham số dao động dầm phương pháp Rayleigh, Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, 70 (2019) 320-329 https://doi.org/10.25073/tcsj.70.4.19 [5] Đ X Quý, L X Bính, H V Tuấn, T T Hiền, V T Nga, Xác định miền tần số dao động tự dầm có liên kết dị hướng phương pháp thực nghiệm, Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, 71 (2020) 514-525 https://doi.org/10.25073/tcsj.71.5.5 [6] K T Đức, N Đ Anh, Dao động ngẫu nhiên hệ cấp ba kích động ngẫu nhiên ồn trắng, Tạp chí Cơ học, (1981) 6-11 https://doi.org/10.15625/0866-7136/10489 [7] N T Khiêm, Dao động dừng hệ đàn nhớt kích động ngẫu nhiên, Tạp chí Cơ học, (1981) 17-25 https://doi.org/10.15625/0866-7136/10486 [8] N V Thuan, H C Noh, Investigation into the effect of random material properties on the variability of natural frequency of functionally graded beam, KSCE Journal of Civil Engineering, 21 (2017) 1264-1272 https://doi.org/10.1007/s12205-016-0012-9 [9] N V Thuan, T D Hien, Stochastic perturbation-based finite element for free vibration of functionally graded beams with an uncertain elastic modulus, Mechanics of Composite Materials, 56 (2020) 1-12 https://doi.org/10.1007/s11029-020-09897-z [10] T D Hien, A static analysis of nonuniform column by stochastic finite element method using weighted integration approach, Transport and Communications Science Journal, 71 (2020) 359-367 https://doi.org/10.25073/tcsj.71.4.5 [11] J D Robson, C J Dodds, Stochastic road inputs and Vehicle response, Vehicle System Dynamics, (1976) 1-13 https://doi.org/10.1080/00423117508968403 [12] S Türkay, H.Akcay, A study random vibration characteristics of the quarter-car model, Journal of Sound and Vibration, 282 (2005) 111-124 https://doi.org/10.1016/j.jsv.2004.02.049 [13] W Gao, N Zhang, J Dai, A stochastic quarter-car model for dynamic analysis of vehicles with uncertain parameter, Vehicle System Dynamics, 46 (2008) 1159-1169 225 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (02/2021), 215-226 DOI: 10.1080/00423110701884575 [14] G Kewlani, J Crawford, K Iagnemma, A polynomial chaos approach to the analysis of vehicle dynamics under uncertainty, Vehicle System Dynamics, 50 (2012) 1-26 https://doi.org/10.1080/00423114.2011.639897 [15] T Dahlberg, Ride comfort and road holding of a 2-dof vehicle travelling on a randomly profiled road, Journal of Sound and Vibration, 58 (1978) 179-187 https://doi.org/10.1016/S0022460X(78)80073-X [16] S Narayanan, S Senthil, Stochastic optimal active control of a 2-dof quarter car model with nonlinear passive suspension elements, Journal of Sound and Vibration, 210 (1998) 495-506 https://doi.org/10.1006/jsvi.1997.1396 [17] R N Jazar, Vehicle dynamics: Theory and application, 2nd edition, Springer, New York, 2014 [18] J E Hurtado, A H Barbat, Monte Carlo techniques in computational stochastic mechanics, Archives of Computational Methods in Engineering, (1998) 3-30 https://doi.org/10.1007/BF02736747 226 ... biến ngẫu nhiên giải tính tần số dao động riêng, từ tính tốn thống kê đặc trưng ngẫu nhiên tần số dao động riêng giá trị trung bình, độ lệch chuẩn Sư biến đổi ngẫu nhiên đặc trưng tần số dao động. .. thơng vận tải, Tập 72, Số (02/2021), 215-226 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải PHÂN TÍCH ĐẶC TRƯNG NGẪU NHIÊN CỦA TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA Ô TÔ VỚI NHIỀU THAM SỐ NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thuần1*,... 4 xác định bảng Bảng Tần số dao động dạng dao động riêng Dạng dao động riêng Tần số dao động riêng (rad/s) 6,70 9,19 52,99 62,96 Các véc tơ riêng ứng với bốn dạng dao động riêng này: −0,