Thực hành Toán cao cấp - Chương 2: Đạo hàm

Thực hành Toán cao cấp - Chương 2: Đạo hàm. Chương này cung cấp cho học viên những nội dung về: một số vấn đề xử lý với Python và Sympy; vẽ biểu đồ với gói matplotlib; đạo hàm; đạo hàm cấp cao và bài toán cực trị;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Bộ mơn Khoa học Dữ liệu THỰC HÀNH TỐN CAO CẤP TÀI LIỆU PHỤC VỤ SINH VIÊN NGÀNH KHOA HỌC DỮ LIỆU Nhóm biên soạn: TS Hồng Lê Minh – Khưu Minh Cảnh – Hoàng Thị Kiều Anh – Lê Thị Ngọc Huyên – … TP.HCM – Năm 2019 Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu MỤC LỤC CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM Một số vấn đề xử lý với Python Sympy 1.1 Giới thiệu hàm eval Python 1.2 Giới thiệu hàm subs Sympy Vẽ biểu đồ với gói matplotlib 2.1 Trục số mặt phẳng 2.1.1 Trục số: 2.1.2 Hệ tọa độ phẳng Cartesian: 2.2 Danh sách List Tuple 2.2.1 2.3 Duyệt phần tử danh sách List Tuple Vẽ đồ thị với Matplotlib 2.3.1 Tạo điểm đồ thị 10 2.3.2 Vẽ đồ thị số thơng tin khí hậu theo tháng thành phố Hồ Chí Minh 10 Đạo hàm 12 Đạo hàm cấp cao toán cực trị 14 BÀI TẬP CHƯƠNG 19 Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM Mục tiêu: - Cơ Python Sympy ứng dụng tính tốn: hàm eval, hàm subs; - Danh sách (list) vẽ đồ thị Python; - Tính tốn đạo hàm Nội dung chính: Một số vấn đề xử lý với Python Sympy Giới thiệu số vấn đề xử lý bổ sung với Python gói Sympy Các bổ trợ hỗ trợ cho tính tốn, đặc biệt tính tốn xử lý hình thức 1.1 Giới thiệu hàm eval Python Hàm eval Python có chức ước tính biểu thức số học cho chuỗi Như dạng bảng tính Excel, biểu thức tính tốn theo giá trị nhập Ví dụ: Thực hành 1: Sử dụng hàm eval >>> chuoitinhtoan = "a*b+c" >>> a = >>> b = >>> c = >>> eval(chuoitinhtoan) ………………………………… Sinh viên điền giá trị vào 1.2 Giới thiệu hàm subs Sympy Mạnh mẽ hàm eval() Python, hàm subs() Sympy vừa thay biến để tính tốn vừa có khả thực tính tốn hình thức Chúng ta xét thực hành minh họa hàm subs sau: Thực hành 2: Cơ sử dụng hàm subs >>> import sympy >>> x = Symbol('x') Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu >>> y = Symbol('y') >>> bieuthuc = x+y >>> thaytheso = bieuthuc.subs({x:10, y:5}) >>> thaytheso ………………………………………… sinh viên điền kết vào Rõ ràng đến đây, ta thấy hàm subs() tương tự hàm eval() tính tốn Và ưu điểm khác hàm subs() Sympy: >>> u = Symbol('u') >>> v = Symbol('v') >>> bieuthuc_theo_uv = bieuthuc.subs({x:u, y:v}) >>> bieuthuc_theo_uv ………………………………………… sinh viên điền kết vào Chúng ta thử nghiệm ví dụ khác: >>> thaythe_tinhtoan = bieuthuc.subs({x:2*u*v, y:u**2+v**2}) >>> thaythe_tinhtoan u**2 + 2*u*v + v**2 >>> thaythe_tinhtoan.factor() ………………………………………………………… Sinh viên điền kết Ví dụ khác: >>> import sympy >>> x = Symbol('x') >>> y = Symbol('y') >>> bieuthuc = x + y >>> bieuthuc2 = x**2 + y**2 Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu >>> u = Symbol('u') >>> v = Symbol('v') >>> a = Symbol('a') >>> from sympy import sin, cos Và câu lệnh tiếp theo: >>> bieuthuc_theo_uv = bieuthuc2.subs({x : a*sin(u), y : a*cos(u)}) >>> bieuthuc_theo_uv ……………………………………………….……… sinh viên điền kết >>> bieuthuc_theo_uv.simplify() ……………………………………………….……… sinh viên điền kết Vẽ biểu đồ với gói matplotlib 2.1 Trục số mặt phẳng Trong mục này, học cách thể liệu dạng số: cách vẽ đồ thị Python Chúng ta bắt đầu với trục số, mặt phẳng Cartesian Kế tiếp, học cách thức vẽ thư viện matplotlib cách tạo đồ thị Sau đó, học cách thể đồ thị từ liệu 2.1.1 Trục số: Xét trục số hình bên thể đoạn số nguyên từ -3 đến đánh dấu trục Giữa hai số ln có số xác định Như vậy, giá trị 1.1, 1.2, 1.3,… nằm vị trí trục số Trục số thể số thơng tin thuộc tính cách trực quan Ví dụ như: số bên phải số số dương số bên trái số âm Số bên phải lớn số bên trái Hai phía trục số kéo dài đến vơ cực điểm trục số tương ứng với giá trị thực 2.1.2 Hệ tọa độ phẳng Cartesian: Bây giờ, xét hai trục số vuông góc hình bên Hai trục số cắt điểm đường thẳng, điểm giao hai đường thẳng gọi điểm gốc (origin) Dạng hệ tọa độ Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu gọi hệ tọa độ phẳng Cartesian hệ x-y phẳng có hai trục gọi trục ngang gọi trục x trục đứng gọi trục y Chúng ta mơ tả điểm cặp số thay giá trị số Ví dụ: mơ tả điểm A hình số x y; viết dạng (x,y), gọi tọa độ điểm Gốc tọa độ chọn điểm O(0,0), nơi giao hai trục Theo đó, x khoảng cách từ điểm A đến điểm gốc dọc theo trục X; tương tự, y khoảng cách từ điểm A đến điểm gốc dọc theo trục Y Hệ tọa độ phẳng Cartesian cho phép trực quan hóa quan hệ hai tập số Lưu ý: Hệ tọa độ toán học ứng dụng tương tự với hệ tọa độ địa lý Hệ tọa độ địa lý thấy Google Map có trục Long (X) trục ngang (là vĩ tuyến, viết tắt Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu longitude, đài thiên văn Greenwich nước Anh) trục Lat (Y) trục đứng (là trục kinh tuyến, nghĩa latitude, đường xích đạo) Dưới minh họa vị trí theo hệ tọa độ địa lý đồ TP.HCM: - Tại Chợ Bến Thành: (lat, long) = (10.773473, 106.697988): giá trị long (vĩ độ) thấp nhất; Tại Cảng container: (lat, long) = (10.769426, 106.737899): lat (kinh độ) thấp nhất; long cao nhất; Tại SAIGON PEARL: (lat, long) = (10.789409, 106.719531): lat cao nhất; 2.2 Danh sách List Tuple Để vẽ đồ thị, phải làm việc với kiểu liệu danh sách list tuple Python Trong Python, có nhiều cách để lưu trữ nhóm giá trị Trong đó, list tuple hai dạng phổ biến để xử lý Sau tạo danh sách, thêm giá trị vào thay đổi thứ tự giá trị Ngược lại, giá trị tuple cố định khởi tạo, nghĩa không thay đổi Chúng ta sử dụng list để lưu trữ tọa độ x y điểm để vẽ Lưu ý: với tuple, đặc thù bổ sung nên kiểu liệu tuple hỗ trợ vẽ đồ thị có miền cố định Trước tiên, xem xét lại kiểu liệu list Một danh sách list chứa số tạo lệnh liệt kê số dấu ngoặc vuông số cách dấu phẩy (,) Ví dụ tạo danh sách list số: 10, 15, 20: Thực hành 3: Tạo danh sách >>> danhsach_so = [10, 15, 20] Danh sách vừa tạo có thứ tự gọi mục (index) Chỉ mục kiểu list số để tham chiếu đến giá trị mục thứ 1, 2,… Như vậy, tương ứng giá trị là: >>> danhsach_so[0] 10 >>> danhsach_so[1] 15 >>> danhsach_so[2] 20 Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu Lưu ý 1: Các danh sách chuỗi khai báo tương tự Các chuỗi thay số Ví dụ: >>> ds_chuoi = [‘truc x’ , ‘truc y’, ‘truc z’] Lưu ý 2: Danh sách rỗng danh sách chưa có phần tử Ví dụ: >>> ds_rong = [] Danh sách danh sách rỗng nói riêng thêm phần tử lệnh append Ví dụ: >>> ds_rong.append(1) Lưu ý 3: Việc tạo tuple tương tự việc tạo danh sách Chỉ khác liệu thay nằm dấu [ ] thay dấu ( ) Lưu ý 4: Cả hai kiểu liệu list tuple sử dụng mục âm Chỉ mục âm từ -1, -2, … tương ứng với giá trị cuối, kế cuối,… Lưu ý 5: tuple khơng có phương thức append nội dung tuple khơng thể thay thế, cập nhật 2.2.1 Duyệt phần tử danh sách List Tuple Chúng ta lặp khắp list tuple việc sử dụng lệnh lặp sau: Thực hành 4: Duyệt danh sách >>> ds = [1, 2, 3] >>> for so in ds: print(so) ………………………… sinh viên điền kết ………………………… ………………………… Chúng ta sử dụng hàm enumerate để duyệt >>> ds = [10, 11, 12] >>> for chiso, giatri in enumerate(ds): print(chiso, giatri) ………………………… sinh viên điền kết ………………………… ………………………… Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu 2.3 Vẽ đồ thị với Matplotlib Chúng ta sử dụng thư viện matplotlib để tạo đồ thị với Python Matplotlib gói thư viện Python bao gồm tập module liên quan đến tính vẽ đồ thị Matplotlib khơng phải thư viện chuẩn Python chưa có gói hệ thống Python phải cài đặt thêm Sau cài đặt, sử dụng thư viện trình IDLE tương tự Chúng ta tạo đồ thị với giá trị: (1,2), (6, 5) (8, 9) Để tạo đồ thị này, phải tạo hai dãy số tương ứng với dãy lưu trữ giá trị hệ tọa độ x dãy lưu trữ giá trị hệ tọa độ y: Thực hành 5: Vẽ đồ thị từ danh sách số (list) >>> x_numbers = [1, 6, 8] >>> y_numbers = [2, 5, 9] Để tạo đối tượng vẽ đồ thị, sử dụng phương thức/hàm plot() với tham số tập giá trị x tập giá trị y tương ứng lệnh sau: >>> from pylab import plot, show >>> plot(x_numbers, y_numbers) [] Cuối cùng, hiển thị đồ thị phương thức plot() kèm show() Đây chức gói pylab (một phần gói matplotlib) >>> show() Lưu ý rằng: thay điểm gốc O(0,0), trục x trục y điểm đồ thị (1 giá trị nhỏ trục x trục y từ giá trị nhập vào) Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu Lưu ý: số trình shell Python khơng tương tác đến đóng cửa sổ matplolib chứa đồ thị 2.3.1 Tạo điểm đồ thị Bên cạnh việc tạo đồ thị, tạo điểm phục vụ việc vẽ Để tạo điểm đồ thị, chọn marker (như: ‘o’, ‘x’, ‘*’, ‘+’) Thực hành 6: Vẽ đồ thị có marker >>> plot(x_numbers, y_numbers, marker = 'o') [] >>> show() Lưu ý 1: Nếu muốn vẽ điểm không cần vẽ đường nối câu lệnh khơng cần chữ ‘marker’, cụ thể: >>> plot(x_numbers, y_numbers, 'x') >>> show() Lưu ý 2: Không phải kí tự xem marker, như: ‘a’, ‘b’, ‘c’,… không chấp thuận marker Khi chọn kí tự khơng xem marker, lỗi phát sinh >>> plot(x_numbers, y_numbers, marker = 'c') ……………………………………………………… Yêu cầu sinh viên ghi nhận tên lỗi 2.3.2 Vẽ đồ thị số thơng tin khí hậu theo tháng thành phố Hồ Chí Minh Số liệu khí hậu (như nhiệt độ, lượng mưa, độ ẩm, số ngày nắng, ) theo tháng TP.HCM cập nhật lên trang Wikipedia Dưới liệu lấy từ thời điểm truy cập năm 2019: Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 10 Bộ mơn Khoa học Dữ liệu Trong với số liệu lượng mưa trung bình theo 12 tháng (theo mm), vẽ đồ thị sau: - Trục x trục tháng: năm có 12 tháng Trục y trục lượng mưa trung bình Thực hành 7: Vẽ đồ thị lượng mưa trung bình TP.HCM theo tháng >>> hcm_rain = [13.8, 4.1, 10.5, 50.4, 218.4, 311.7, 293.7, 269.8, 327.1, 266.7, 116.5, 48.3] >>> months = range(1, 13) >>> plot(months, hcm_rain, marker = 'o') [] >>> show() Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 11 Bộ môn Khoa học Dữ liệu Đạo hàm Đạo hàm hàm số vào biến = ( ) thể tỉ lệ thay đổi biến phụ thuộc, theo kí hiệu phụ thuộc Chúng ta tìm đạo hàm hàm ( ) việc tạo đối tượng lớp Derivative Xét hàm chuyển động tơ chuyển động theo phương trình + + (sinh viên xem mô tả Mục Chương 1): Thực hành 8: Tính đạo hàm với Derivative >>> from sympy import Symbol, Derivative >>> t = Symbol('t') >>> st = 5*t**2 + 2*t + >>> Derivative(st, t) ……………………………………… Sinh viên điền kết Với câu lệnh trên, vừa nhập đối tượng Derivative tạo đối tượng lớp Derivative Hai tham số truyền vào tạo đối tượng hàm st biểu tượng t, tương ứng với biến t Sau đó, sử dụng hàm dựng để đối tượng trả đối tượng thuộc lớp Derivative Đối tượng lúc chưa thực tính tốn Để tính tốn, sử dụng phương thức doit() để tìm giá trị đạo hàm >>> d = Derivative(st, t) >>> d.doit() ……………………………………… Sinh viên điền kết Biểu thức đạo hàm tính tốn 10 ∗ + Bây giờ, tính toán cụ thể giá trị đạo hàm vị trí = = phương thức thay subs() + Về thay = 1: >>> d.doit().subs({t:1}) ……………………………………… Thực hành Toán cao cấp - 2019 Sinh viên điền kết Trang 12 Bộ môn Khoa học Dữ liệu + Đối với việc thay biến thành biến khác biến phải khai báo trước Nếu không lỗi xảy ra, cụ thể lỗi tên (do chưa đặt biến) hệ thống khơng biết biến Ví dụ: >>> d.doit().subs({t:t1}) Traceback (most recent call last): File "", line 1, in d.doit().subs({t:t1}) NameError: name 't1' is not defined Do đó, phải khai báo trước biến: >>> t1 = Symbol('t1') >>> d.doit().subs({t:t1}) ……………………………………… Sinh viên điền kết Nếu biến có giá trị, thủ tục subs() tính tốn giá trị cụ thể, trường hợp thay = >>> t2 = 10 >>> d.doit().subs({t:t2}) ……………………………………… Xét hàm dạng , đó, ta có: ( =( Sinh viên điền kết ) = + + ′ Ví dụ: tính đạo hàm hàm số sau: + )×( + ) Thực hành 9: Tính đạo hàm hàm hợp >>> from sympy import Derivative, Symbol >>> x = Symbol('x') >>> f = (x**3+x**2+x)*(x**2+x) >>> Derivative(f, x).doit() Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 13 Bộ môn Khoa học Dữ liệu (2*x + 1)*(x**3 + x**2 + x) + (x**2 + x)*(3*x**2 + 2*x + 1) Rõ ràng hàm tích hai hàm độc lập với Tuy nhiên, lớp Derivative hỗ trợ xử lý hàm số phức tạp Thực hành 10: Tính đạo hàm với hàm lượng giác Chúng ta phải import thư viện sympy, sau đó, tính tốn lớp Derivative: a f(x)=sin(2x) >>> f = sympy.sin(2*x) >>> Derivative(f, x).doit() ……………………………………… b f(x) = sin(x)cos(x) >>> f = sympy.sin(x)*sympy.cos(x) >>> Derivative(f, x).doit() ……………………………………… Sinh viên điền kết Sinh viên điền kết Lưu ý: phải nhớ khai báo biến x trước khai báo: x = Symbol('x') Đạo hàm cấp cao toán cực trị Theo mặc định, việc tạo đối tượng đạo hàm cách sử dụng lớp Derivative để tính đạo hàm bậc Để tính tốn đạo hàm cấp cao cơn, đơn giản việc xác định cấp đạo hàm muốn tính vào tham số thứ tạo đối tượng Derivative Trong phần này, sử dụng đạo hàm thứ để tìm cực đại cực tiểu khoảng Giả sử, xét hàm − 30 + 50 định nghĩa miền xác định [−5, 5] Chúng ta dễ dàng vẽ đồ thị hàm số Từ đồ thị hàm số, thấy gồm giá trị cực tiểu điểm khoảng −2 ≤ ≤ Tương tự, có giá trị cực đai điểm ! thuộc khoảng ≤ ≤ Tuy nhiên, giá trị cực đại cực tiểu toàn miền xác định nằm hai điểm đặt tên " # tương ứng Do vậy, điểm ! xem cực tri địa phương, mà cụ thể cực tiểu địa phương (local minimum) cực đại địa phương (local maximum) Và điểm " # gọi cực đại toàn cục (global maximum) cực tiểu toàn cục (global minimum) Thuật ngữ cực trị (extramum, số nhiều extrama) đề cập đến điểm cực đại cực tiểu toàn cục địa phương Đặc điểm là: $ cực trị hàm ( ) đạo hàm bậc ( ) $ bị triệt tiêu (vanish, 0), nghĩa là: ( $ ) = Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 14 Bộ mơn Khoa học Dữ liệu Đồ thị hàm số vẽ Điều có nghĩa để tìm điểm cực trị, phải giải phương trình ( ) = Lưu ý: để giải phương trình, Sympy hỗ trợ lệnh solve(phương trình) Chúng ta thực lệnh sau: Thực hành 11: Tìm cực đại, cực tiểu hàm số >>> from sympy import Symbol, solve, Derivative >>> x = Symbol('x') >>> f = x**5-30*x**3+50*x >>> d1 = Derivative(f, x).doit() Với lệnh trên, tính đạo hàm bậc hàm Từ đó, giải phương trình = để tìm tập hợp điểm cực trị Các lệnh sau: >>> d1 = Derivative(f, x).doit() >>> cuctri = solve(d1) …………………… …………………………………………… Sinh viên viết nghiệm! …………………………………………………………………… Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 15 Bộ mơn Khoa học Dữ liệu Sau đó, lấy giá trị gán vào biến A, B, C, D tương ứng với nghiệm: >>> A = cuctri[0] # nghia la gia tri -sqrt(-sqrt(71) + 9) >>> A = cuctri[2] # nghia la gia tri -sqrt(sqrt(71) + 9) >>> B = cuctri[0] # nghia la gia tri -sqrt(-sqrt(71) + 9) >>> C = cuctri[1] # nghia la gia tri sqrt(-sqrt(71) + 9) >>> D = cuctri[3] # nghia la gia tri sqrt(sqrt(71) + 9) Khi này, tính tốn để xác định giá trị cực đại cực tiểu địa phương toàn cục Điều xử lý việc kiểm đạo hàm cấp (second derivative test) Chúng ta thực sau: >>> d2 = Derivative(d1, x, 2).doit() Và sau đó, tìm lại giá trị cực tiêu cực đại biểu thức thay (subs) tính tốn (sử dụng hàm evalf) sau: >>> d2.subs({x:B}).evalf() ………………………………………………… Sinh viên ghi kết Tương tự: >>> d2.subs({x:C}).evalf() ………………………………………………… Sinh viên ghi kết >>> d2.subs({x:A}).evalf() ………………………………………………… Sinh viên ghi kết >>> d2.subs({x:D}).evalf() ………………………………………………… Sinh viên ghi kết Giá trị cực đại có đạo hàm cấp âm Trong đó, giá trị cực tiểu có đạo hàm cấp dương Ngồi ra, phải tìm giá trị biên x_min = -5 x_max= để tìm giá trị cực trị toàn cục cục Chúng ta tính tốn sau: >>> x_min = -5 Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 16 Bộ mơn Khoa học Dữ liệu >>> x_max = >>> f.subs({x:A}).evalf() 705.959460380365 >>> f.subs({x:C}).evalf() 25.0846626340294 >>> f.subs({x:x_min}).evalf() 375.000000000000 >>> f.subs({x:x_max}).evalf() -375.000000000000 Tương tự với điểm cực tiểu B D, tính tốn giá trị: >>> f.subs({x:B}).evalf() ………………………………………… sinh viên điền vào >>> f.subs({x:D}).evalf() ………………………………………… sinh viên điền vào >>> f.subs({x:x_min}).evalf() ………………………………………… sinh viên điền vào >>> f.subs({x:x_max}).evalf() ………………………………………… sinh viên điền vào Từ giá trị trên, xác định giá trị nhỏ tương ứng với cực tiểu toàn cục điểm cực tiểu cục Phương pháp tìm giá trị cực trị, cụ thể tìm cực đại cực tiểu áp dụng hàm có đạo hàm cấp Với hàm % & , việc áp dụng phương pháp hiệu quả, chúng khơng có giá trị cực trị: >>> g = sympy.E ** x >>> g1 = Derivative(g, x) Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 17 Bộ mơn Khoa học Dữ liệu >>> g1 Derivative(exp(x), x) >>> solve(g1) [] Và điều có nghĩa giá trị lớn biên miền xác định! Lưu ý: để vẽ đồ thị hàm = − 30 + 50 , sử dụng lệnh sau: >>> import sympy >>> sympy.plot(f, (x, -5, 5)) Trong đó, tham số (x, -5, 5) giới hạn hàm số vẽ khoảng [-5, 5] Và kết đồ thị tạo thành bên dưới: / Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 18 Bộ mơn Khoa học Dữ liệu BÀI TẬP CHƯƠNG Những tập yêu cầu sinh viên nộp tuần học Bài tập 1: Vẽ biểu đồ số ngày mưa trung bình số nắng trung bình tháng theo số liệu khí hậu TP.HCM Bài tập 2: Chọn 10 hàm số sách/giáo trình Tốn Cao cấp để thực việc tính đạo hàm Python Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 19 ... Symbol('x') Đạo hàm cấp cao toán cực trị Theo mặc định, việc tạo đối tượng đạo hàm cách sử dụng lớp Derivative để tính đạo hàm bậc Để tính tốn đạo hàm cấp cao cơn, đơn giản việc xác định cấp đạo hàm. .. hậu theo tháng thành phố Hồ Chí Minh 10 Đạo hàm 12 Đạo hàm cấp cao toán cực trị 14 BÀI TẬP CHƯƠNG 19 Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn... show() Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 11 Bộ môn Khoa học Dữ liệu Đạo hàm Đạo hàm hàm số vào biến = ( ) thể tỉ lệ thay đổi biến phụ thuộc, theo kí hiệu phụ thuộc Chúng ta tìm đạo hàm hàm (