CHUN ĐỀ TÌM X Dạng 1: TÌM X THƠNG THƯỜNG Bài 1: Tìm x biết: x x 13 7 − − ÷= + x ÷ 5 10 b, 13 + = x − x − 3x − a, HD: a, x 3x 13 7 x 3x 13 7 x x x 13 − − ÷ = + x ÷ => − + = + x => − − = − 5 10 5 10 10 5 −4 −6 −6 −4 x= => x = : = 5 5 x= => Vậy 13 78 15 12 93 12 + = => + = => = => 93 = 12 x − x − 3x − 6x − 6x − 6x − 6x − 6x − b, Bài 2: Tìm x biết: x − −3 − x + = − b, a, HD: a, b, 7 − = − − 2÷ 3x 12 x x − + ( −9 ) − 3x − 2 x − −3 − x 18 + = − => = => x − 15 = − x => x = 18 => x = 6 7 7 23 61 − = − − ÷ => − = − + => + = + + => = 3x 12 x 3x x 3x x 3x 20 => 3x = 460 460 => x = 61 183 Bài 3: Tìm x biết: −2 + − ÷= x −1 − 2x a, HD: (Vô lý) b, 13 x + 15 x − 20 x = 16 17 17 17 5 −3 −3 + = => + = => = x − 10 − x x − ( x − 1) 10 ( x − 1) 10 a, => ( x − 1) = − 70 −35 −32 => x − = => x = 3 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 13 5 9 + 15 − 20 ÷x = 16 => −4.x = 16 => x = −4 17 17 17 b, => Bài 4: Tìm x biết: 720 : 41 − ( x − ) = 23.5 a, ( x + 11) − ( − x ) = 26 b, HD: 720 : [ 46 − x ] = 40 => 46 − x = 18 => x = 46 :18 = a, => b, => 23 23 => x = 18 x + 66 − 14 + x = 26 => 13 x = −26 => x = −2 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Bài 5: Tìm x biết: −4 x ( x − ) − x ( − x ) = −3 −7 ( x + ) − ( − x ) = b, a, HD: => −4 x + 20 x − 16 x + x = −3 => x = −3 => x = a, b, −7 x − 63 − 15 + x = => −4 x − 78 = => −4 x = 80 => x = −20 => Bài 6: Tìm x biết : HD: 33 3333 333333 33333333 − x + + + ÷ = 22 12 2020 303030 42424242 Ta có : => −3 33 33 33 33 − x + + + ÷ = 22 12 20 30 42 => 1 1 − x.33 + + + ÷ = 22 12 20 30 42 −7 1 1 − x.33 − ÷ = 22 => x.33 = 22 => x = −2 4 21 3 7 Bài 7: Tìm x biết: HD: −1 : 2015 x = 2016 2015 −1 −1 x= => x = : = −2016 2016.2015 2015 2015 2016.2015 ( x − 1) − ( x + ) − ( x + 3) = 16 Bài 8: Tìm x biết : 1 1 1 1 x x + ÷− x − x x − ÷− x + 2 10 2 Bài 9: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị 0: HD : 1 1 x x + ÷− x − = => 10 x − x − = => ( x − 1) ( x + 1) = 2 10 Quy đồng tử ta có : Làm tương tự với tử cịn lại Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Dạng 2: ĐƯA VỀ TÍCH BẰNG Bài 1: Tìm x biết: x −3 x −3 x −3 x −3 x +1 x + x + x + + = + + = + 13 14 15 16 65 63 61 59 a, b, HD: x−3 x−3 x−3 x−3 1 1 1 => + − − = => ( x − ) + − − ÷ = 13 14 15 16 13 14 15 16 a, 1 1 1 1 − >0 − >0 + − − >0 x = 13 15 14 16 13 14 15 16 => nên x + x + x + x + 66 x + 66 x + 66 x + 66 x+7 => + ÷+ + 1÷ = + ÷+ + 1÷ => + = + 65 63 61 59 65 63 61 59 b, 1 1 ( x + 66 ) + − − ÷ = => x = −61 + − − < 65 63 61 59 65 63 61 59 => Bài 2: Tìm x, biết: 29 − x 27 − x 25 − x 23 − x 21 − x x − 10 x − 14 x − x − 148 + + + + = −5 + + + =0 21 23 25 27 29 30 43 95 a, b, HD: 29 − x 27 − x 25 − x 23 − x 21 − x => + 1÷+ + 1÷+ + 1÷+ + 1÷+ + 1÷ = 21 23 25 27 29 a, 1 1 50 − x 50 − x 50 − x 50 − x 50 − x ( 50 − x ) + + + + ÷ = + + + + =0 21 23 25 27 29 21 23 25 27 29 => => x − 10 x − 14 x − x − 148 − ÷+ − ÷+ − 1÷+ + ÷= 30 43 95 b, => 1 1 x − 100 x − 100 x − 100 x − 100 + + + = ( x − 100 ) + + + ÷ = 30 43 95 30 43 95 => => Bài 3, Tìm x, biết: x − x − x − x − 100 x − 101 x − 102 x − x −1 x − x − + + = + + + = + 100 101 102 a, b, HD: x − x − x − x − 100 x − 101 x − 102 => − 1÷+ − 1÷+ − 1÷ = − 1÷+ − 1÷+ − 1÷ 100 101 102 a, Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com => => b, => => x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 + + = + + 100 101 102 x − 105 = => x = 105 x −9 x−9 x −9 x−9 x − x −1 x − x − − 1÷+ − 1÷ = − 1÷+ − 1÷ => + = + x − = => x = Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Bài 4, Tìm x, biết: x +1 x + x + x + x + x + x + 19 x + 17 x + x + + + = + + − = − 94 93 92 91 90 89 21 23 33 35 a, b, HD: x +1 x + x + x + x + x + + 1÷+ + ÷+ + 1÷ = + 1÷+ + ÷+ + 1÷ 94 93 94 91 90 89 a, => x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 + + = + + 94 93 92 91 90 89 => x + 95 = =< x = −95 => x + 19 x + 17 x + x + + 1÷− + 1÷ = + 1÷− + 1÷ 21 23 33 35 b, => x + 40 x + 40 x + 40 x + 40 => + = + 21 35 33 23 => x + 40 = => x = −20 Bài 5, Tìm x, biết: x −1 x − x − x − x − x − x +1 x + x + x + + + = + + + = + 59 58 57 56 55 54 15 14 13 12 a, b, HD: x −1 x − x − x − x − x − − ÷+ − 1÷+ − 1÷ = − ÷+ − ÷+ − 1÷ 59 58 57 56 55 54 a, => x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 => + + = + + 59 58 57 56 55 54 => b, x − 60 = => x = 60 x +1 x + x + x + => + ÷+ + 1÷ = + 1÷+ + 1÷ => x + 16 + x + 16 = x + 16 + x + 16 15 14 13 12 15 14 13 12 x + 16 = => x = −16 => Bài 6, Tìm x, biết: x − x − 15 x − 1990 x − 1980 x −1 x − x − x − + = + + = + 1990 1980 15 2015 2013 2011 2009 a, b, HD: x − x − 15 x − 1990 x − 1980 − 1÷+ − 1÷ = − 1÷+ − 1÷ 1990 1980 15 a, => Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com => x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 + = + 1990 1980 15 => x − 1995 = => x = 1995 b, x −1 x − x − x − => − ÷+ − 1÷ = − ÷+ − 1÷ 2015 2013 2011 2009 => x − 2016 x − 2016 x − 2016 x − 2016 + = + => x − 2016 = => x = 2016 2015 2013 2011 2009 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Bài 7, Tìm x, biết: x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 315 − x 313 − x 311 − x 309 − x + + = + + + + = −4 10 11 12 13 14 101 103 105 107 a, b, HD: 1 1 1 => ( x + 1) + + − − ÷ = => x + = => x = −1 10 11 12 13 14 a, 315 − x 313 − x 311 − x 309 − x => + ÷+ + ÷+ + ÷+ + 1÷ = 101 103 105 107 b, 416 − x 416 − x 416 − x 416 − x + + + = => 416 − x = => x = 416 101 103 105 107 => Bài 8: Tìm x, biết: x −1 x − x − x − 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x + = + + + + + = −5 2009 2008 2007 2006 41 43 45 47 49 a, b, HD: x −1 x − x − x − => − 1÷+ − 1÷ = − 1÷+ − 1÷ 2009 2008 2007 2006 a, x − 2010 x − 2010 x − 2010 x − 2010 => + = + 2009 2008 2007 2006 => x − 2010 = => x = 2010 b, 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x => + 1÷+ + 1÷+ + 1÷+ + 1÷+ + 1÷ = 41 43 45 47 49 => 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x + + + + = => 100 − x = => x = 100 41 43 45 47 49 Bài 9: Tìm x, biết: x + 14 x + 15 x + 16 x + 17 x − 90 x − 76 x − 58 x − 36 x − 15 + + + = −4 + + + + = 15 86 85 84 83 10 12 14 16 17 a, b, HD: x + 14 x + 15 x + 16 x + 17 => + 1÷+ + 1÷+ + 1÷+ + 1÷ = 86 85 84 83 a, x + 100 x + 100 x + 100 x + 100 => + + + = => x + 100 = => x = −100 86 85 84 83 b, => x − 90 x − 76 x − 58 x − 36 x − 15 − ÷+ − ÷+ − ÷+ − ÷+ − ÷= 10 12 14 16 17 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com => x − 100 x − 100 x − 100 x − 100 x − 100 + + + + = => x − 100 = => x = 100 10 12 14 16 17 Bài 10, Tìm x, biết: x −1 x − x − x − x +1 x +1 x +1 x +1 + − = + = + 2011 2010 2009 2008 11 12 13 14 a, b, HD: x −1 x − x − x − => − ÷+ − ÷− − ÷− − 1÷ = 2011 2010 2009 2008 a, x − 2012 x − 2012 x − 2012 x − 2012 + − − = => x − 2012 = => x = 2012 2011 2010 2009 2008 => 1 1 1 => ( x + 1) + − − ÷ = => x + = => x = −1 11 12 13 14 b, x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 + + = + 10 11 12 13 14 Bài 11, Tìm x, biết: HD: 1 1 1 => ( x + 1) + + − − ÷ = => x + = => x = −1 10 11 12 13 14 Bài 12, Tìm x, biết: x + + = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + 14 ) ( x + ) ( x + 14 ) a, HD: 1 1 x => − − − ÷+ ÷+ ÷= x + x + x + x + x + x + 14 ( x + ) ( x + 14 ) => 1 x 12 x − = => = x + x + 14 ( x + ) ( x + 14 ) ( x + ) ( x + 14 ) ( x + ) ( x + 14 ) => 12 = x x − 10 x − 14 x − x − 148 + + + =0 30 43 95 Bài 13: Tìm x thỏa mãn: HD: x − 10 x − 14 x − x − 148 − ÷+ − ÷+ − ÷+ + ÷= 30 43 95 Bài 14: Tìm x biết: x −1 x − x − x − + = + 2015 2013 2011 2009 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Bài 15: Tìm x biết: x + x + x + x + x + 349 + + + + =0 327 326 325 324 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 10 2n − 1M7 Bài 26: Tìm tất số nguyên dương n cho: HD : /7 n < => 2n − 1M Với n ≥ => n = 3k n = 3k + n = 3k + Với hoặc k 3k k n = 3k => − = − = ( + 1) − = A + − 1M7 Xét /7 n = 3k + => 23k +1 − = 2.8k − = ( A + 1) − = A + M Xét /7 n = 3k + => 23k + − = ( A + 1) = 27 A + M Xét k∈N Vậy n=3k với Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 57 Dạng 9: TÌM X, Y DỰA VÀO TÍNH CHẤT VỀ DẤU Bài 1: Tìm x biết: ( x − 1) ( x − ) > a, HD : b, 2x − < ( x − ) ( − 3x ) > c, ( x − 1) ( x − ) > a, Để ta có hai trường hợp : TH1 : x −1 > => x > x − > x −1 < => x < x − < TH2 : Vậy x>2 x x < => x < ( x − ) ( − 3x ) > 2 x − > 9 − x > ta có TH sau : 2 x − < 9 − x < TH2: TH1: Bài 2: Tìm x biết: 15 2x − >0 − 4÷ > 3x 3 a, b, HD: 2x 3 => > => x > = 4 a, 11 15 3 => − ÷ > = => > => x.11 < => x < 3x 33 3x b, Bài 3: Tìm x biết: ( x − 6) ( x + 5) ≤ ( x − ) ( x + 5) ≤ a, b, c, (2x-3) < HD: ( x − 6) ( x + 5) ≤ a, Để : x − ≥ x − ≤ x + ≤ x + ≥ TH1 : TH2 : ( x − 6) ( x + 5) ≤ b, Để: Thì: Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 58 TH1: x − ≥ x + ≤ => x − < => x < => x < Hoặc TH2: x − ≤ x + ≥ c, Bài 4: Tìm x biết: ( x − 5) ( x − 25) < ( x − ) ( − 3x ) > a, b, c, (x+5)(9+x2) a, Để: : 2 x − > 2 x − < 9 − x > 9 − x < TH1: 2 ( x − 5) ( x − 25) < b, Để: thì: x − > x2 − < x − 25 < x − 25 > TH1: Hoặc ( x + 5) ( + x ) < x + > => x + < => x < −5 c, Để: , Vì Bài 5: Tìm x biết: ( x + ) ( x2 − 49 ) < ( x + ) ( x + 3) > ( x + 3) ( x − ) > a, b, c, HD: ( x + 3) ( x − ) > a, Để: thì: x + > x + < x − > x − < TH1: Hoặc: 2 ( x + ) ( x − 49 ) < => ( x + ) ( x + ) ( x − ) < b, Để x + > => ( x + ) ( x − ) < Vì x + > x + < x − < x − > TH1: TH2: ( x + ) ( x + 3) > x + > => x > −3 c, Để: Bài 6: Tìm số nguyên x thỏa mãn : ( x + ) ( x − 3) < ( x − 1) ( x − 5) < ( − 2x ) ( x + 2) > a, b, c, Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 59 ( 3x + 1) ( − x ) > Bài 7: Tìm số nguyên x thỏa mãn : x + − x + = 11 x > −3 Bài 8: Tìm x biết: , HD: x > −3 => x + − ( x + 3) = 11 => 3x = => x = Với ∈ Bài 9: Tìm n N biết: < 3n ≤ 234 8.16 ≥ 2n ≥ 415.915 < n.3n < 1816.216 a, b, c, HD: < 3n ≤ 234 < 243 = 35 => n ∈ { 2;3; 4} a, Ta có: 8.16 ≥ 2n ≥ => 27 ≥ 2n ≥ 22 => n ∈ { 2;3; 4;5;6;7} b, Ta có: 415.915 < 2n.3n < 1816.216 => 3615 < n < 3616 => 630 < n < 632 => n = 31 c, x+ >1 x+ Bài 10: Tìm x biết: ∈ Bài 11: Tìm n N biết: ≥ a, 32 < 2n < 128 b, 2.16 2n > HD: 25 < n < 2048 = 211 => n ∈ { 6;7;8;9;10} a, 2.16 ≥ 2n > => 25 ≥ 2n > 22 => n ∈ { 5; 4;3} b, Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 60 Dạng 10: TÌM X NGUYÊN THỎA MÃN CHIA HẾT Bài 1: Tìm số nguyên x thỏa mãn: a, 2n+1 16-3n b, 3n+1 11-2n HD: c, 3n+17 2n+3 d, 3n+111-2n 2n + 1M− 3n + 16 => 3(2n + 1) M− 3n + 16 => 6n + 3M− 3n + 16 a, 6n − 32 + 35M− 3n + 16 => 2(3n − 16) + 35M− (3n − 16) => 3n − 16 ∈ U (35) 3n + 1M− 2n + 11 => 2(3n + 1)M− (2n − 11) => 6n + M− (2n − 11) b, => 6n − 33 + 35M− (2b − 11) => 3(2n − 11) + 35M− (2n − 11) => 2n − 11 ∈ U (35) 2(3n + 17) M2n + => 6n + 34 M2n + => 6n + + 25M2n + c, => 3(2n + 3) + 25M2n + => 2n + ∈U (25) 2(3n + 1) M− (2n − 11) => 6n + 1M(2n − 11) => n − 33 + 34 M2 n − 11 d, => 3(2n − 11) + 34M2n − 11 => 2n − 11∈ U (34) Bài 2: Tìm số nguyên x thỏa mãn: a, x+4 x+1 b, 4x+3 x- c, x-15 x+2 d, 3x+16x+1 HD: Ta cần biến đổi số bị chia thành bội lần số chia sau sử dụng tính chất chia hết tổng để đưa ước số nguyên x + 4Mx + => x + + 3Mx + => 3Mx + => x + ∈ U ( 3) = { 1; −1;3; −3} a, b, c, x + 3Mx − => x − + 11Mx − => ( x − ) + 11Mx − => x − ∈ U ( 11) = { 1; −1;11; −11} x − 15Mx + => x + − 17 Mx + => 17 Mx + => x + ∈ U ( 17 ) = { 1; −1;17; −17} x + 16Mx + => x + + 13Mx + => ( x + 1) + 13Mx + => x + 1∈ U ( 13) = { 1; −1;13; −13} d, Bài 3: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, x+4 x b, 3n+7 n HD: Cách làm tượng tự c, 3n+2n-1 d, n+8n+3 x + 4Mx => 4Mx => x ∈ U ( ) = { 1; −1; 2; −2; 4; −4} a, b, c, 3n + 7Mn => 7Mn => n ∈ U ( ) = { 1; −1;7; −7} 3n + 2Mn − => 3n − + 5Mn − => ( n − 1) + 5Mn − => n − 1∈ U ( ) = { 1; −1;5; −5} n + 8Mn + => n + + 5Mn + => 5Mn + => n + ∈ U ( ) = { 1; −1; −5;5} d, Bài 4: Tìm số nguyên n thỏa mãn: a, n+6n-1 b, 4n-5 2n-1 HD: c, 3n+2n-1 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com d, 3n+24n-4 61 n + 6Mn − => n − + 7Mn − => n − 1∈ U ( ) = { 1; −1; 7; −7} a, b, c, 4n − 5M2n − => 4n − − 3M2n − => ( 2n − 1) − 3M2n − => 2n − ∈ U ( ) = { 1; −1;3; −3} 3n + 2Mn − => 3n − + 5Mn − => ( n − 1) + 5Mn − => n − 1∈ U ( ) = { 1; −1;5; −5} 3n + 24Mn − => 3n − 12 + 36Mn − => ( n − ) + 36Mn − => n − ∈ U ( 36 ) d, Bài 5: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 5n-1n+2 b, 3n n-1 HD: c, n+6n d, 4n+5n 5n − 1Mn + => 5n + 10 − 11Mn + => ( n + ) − 11Mn + => 11Mn + a, b, c, 3n Mn − => 3n − + 3Mn − => ( n − 1) + 3Mn − => 3Mn − n + 6Mn => 6Mn 4n + 5Mn => 5Mn => n ∈ U ( 5) d, Bài 6: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 38-3nn b, n+5n+1 HD: c, 3n+4n-1 d, 27-5nn 38 − 3n Mn => 38Mn => n ∈ U ( 38 ) a, b, c, n + 5Mn + => n + + 4Mn + => 4Mn + 3n + 4Mn − => 3n − + Mn − => ( n − 1) + 7Mn − 27 − 5n Mn => 27Mn => n ∈U ( 27 ) d, Bài 7: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 2n+3n-2 b, n+6n+2 HD: c, 18n+37 d, 2n+5n+1 2n + 3Mn − => 2n − + 7Mn − => ( n − ) + 7Mn − => 7Mn − a, b, c, n + 6Mn + => n + + 4Mn + => 4Mn + 18n + 3M7 => 14n + 4n + 3M7 => 4n + 3M => 4n + + ( −7 ) M => 4n − 4M7 => n − 1M7 => n = 7k + 2n + 5Mn + => 2n + + 3Mn + => ( n + 1) + 3Mn + => 3Mn + d, Bài 8: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 3n+7n b, 27-5nn HD: c, 2n+3n-2 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com d, 2n+3n-4 62 3n + 7Mn => 7Mn => n ∈ U ( ) a, b, c, 27 − 5n Mn => 27Mn => n ∈U ( 27 ) 2n + 3Mn − => 2n − + 7Mn − => ( n − ) + 7Mn − => 7Mn − 2n + 3Mn − => 2n − + 11Mn − => ( n − ) + 11Mn − => 11Mn − d, Bài 9: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 3n+2n-5 b, n2+4 n-3 HD: c, n2+1n-1 d, n2+5 n+1 3n + 2Mn − => 3n − 15 + 17Mn − => ( n − 5) + 17Mn − => 17Mn − a, n + 4Mn − => n − 3n + 3n + Mn − => 3n + 4Mn − => 3n − + 13Mn − => n − ∈ U ( 13 ) b, c, n + 1Mn − => n − n + n + 1Mn − => n + 1Mn − => n − + Mn − => Mn − n + 5Mn + => n + 5n − 5n + 5Mn + => −5n + 5Mn + => −5n − + 10Mn + d, Bài 10: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, n2+3n-1 b, n2+3n-13 n+3 HD : a, b, c, c, 2n2+n+42n+1 d, 3n2-n+13n-1 n + 3Mn − => n − n + n + 3Mn − => n + 3Mn − => n − + Mn − => Mn − n + 3n − 13Mn + => n ( n + 3) − 13Mn + => 13Mn + 2n + n + 4M2n + => n ( 2n + 1) + M2n + => 4M2n + 3n − n + 1M3n − => n ( 3n − 1) + 1M3n − => 1M3n − d, Bài 11: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, n2+2n+7 n+2 b, 2n+17-3n HD: 3(2n + 1) M− (3n − 7) => 6n + 3M3n − => n − 14 + 17 M3n − b, => 2(3n − 7) + 17 M3n − => 3n − ∈ U (17) Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 63 x= Bài 12: Cho HD : a−5 a x = 1− Ta có : ( a ≠ 0) , , Tìm a nguyên để x nhận giá trị nguyên a 5Ma => a ∈ U ( ) = { 1; −1;5; −5} để x nguyên =>a m − 1M2m + Bài 13: Tìm m nguyên để HD : m − 1M2m − => ( m − 1) M2m − => 2m − − 1M2m − 1M2m − 2m − ∈U ( 1) = { 1; −1} Ta có => => a−3 x= 2a ( a ≠ ) Bài 14: Cho , , Tìm a để x có giá trị nguyên HD : a − 3Ma => 3Ma => a ∈ { 1; −1;3; −3} a − 3M2a Để x có giá trị ngun => a số lẻ − 2x A= x+3 Bài 15: Tìm x ngun để A có giá trị ngun với HD : − x Mx + => x − 1Mx + => x + − Mx + => x + ∈ U ( ) Để A nguyên : 2a + 5a + 17 3a + − ∈Z a+3 a+3 a+3 Bài 16: Tìm số nguyên a để: HD : 2a + 5a + 17 3a 4a + 26 + − = a+3 a +3 a +3 a +3 Ta có : để có giá trị nguyên : 4a + 26Ma + => 4a + 12 + 14Ma + => a + ∈ U ( 14 ) n3 − n + n + 7Mn + Bài 17: Tìm n để HD : n3 − n + n + Mn + => n3 + n − ( n + 1) + 8Mn + Ta có : => n ( n + 1) − ( n + 1) + 8Mn + => n + 1∈ U ( ) Bài 18: Tìm x nguyên để HD : x + 3x − ∈Z x+2 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 64 x + 3x − ∈Z x+2 x + x − 1Mx + => x + x + x + − 3Mx + Để : => x ( x + ) + ( x + ) − 3Mx + => x + ∈ U ( 3) x + 1M2 x − Bài 19: Tìm số nguyên x thỏa mãn: HD : x + 1M2 x − => x − + 10M2 x − => x − + 10M2 x − ( Ta có : x − ∈ U ( 10 ) => Bài 20: Tìm số nguyên x thỏa mãn: HD : ) 2012 x + 5M 1006 x + 2012 x + 5M 1006 x + ( ) 2012 x + + 3M 1006 x + => 1006 x + + 3M 1006 x + Ta có : => 1006 x + 1∈ U ( 3) => 3x − P= ∈Z 3x + Bài 21: Tìm x để HD : 3x − P= ∈Z x − 2M3 x + => x + − 3M3 x + 3x + Ta có : để : => 3x + ∈ U ( 3) a2 + a + a +1 Bài 22: Tìm số nguyên a để số nguyên HD : a2 + a + a + a + 3Ma + => a ( a + 1) + 3Ma + => a + 1∈ U ( ) a +1 Để : có gí trị ngun : 3x ( x + y ) − ( x + y ) + K= x−2 Bài 23: Tìm cặp số nguyên (x; y) để biểu thức sau có giá trị nguyên: HD : 3x ( x + y ) − ( x + y ) + ( 3x − ) ( x + y ) + = ( x − ) ( x + y ) + K= x−2 x−2 x−2 Để : có giá trị ngun : 1Mx − => x − ∈ U ( 1) Phải có giá trị nguyên hay Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 65 y= 5x + x+3 Bài 24: Tìm giá trị nguyên x để y nhận giá trị nguyên: HD : x + 9Mx + => x + 15 − 6Mx + => ( x + ) − 6Mx + Để y có giá trị ngun : 6Mx + => x + ∈ U ( ) A= 5a − 3a 2a + 27 − + a+3 a+3 a+3 Bài 25: Tìm tất giá trị nguyên a để HD : 4a + 20 A= a+3 Ta có : , để A có giá trị ngun : 4a + 20Ma + => 4a + 12 + 8Ma + => ( a + ) + 8Ma + có giá trị nguyên => 8Ma + => a + ∈ U ( ) P= 3x − 3x + Bài 26: Tìm x để giá trị biểu thức: số nguyên x + 2x − M= x2 − Bài 27: Cho biểu thức: a, Với giá trị x biểu thức xác định b, Rút gọn M c, Tính giá trị M x=3 d, Tìm x M=4 e, Tìm x nguyên để M có giá trị nguyên x+2 M= x −1 Bài 28: Cho , Biết x số hữu tỉ âm M số nguyên, Tìm x Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 66 A= 12 x − 4x + Bài 29: Cho a, Tìm Giá trị thích hợp biến x A x2 + x = b, Tính giá trị A c, Tìm giá trị x để A=1 d, Tìm x ngun để A có giá trị ngun e, Tìm x để A ( x + ) ( y − 3) = => ( x + ) , ( y − 3) ∈ U ( 5) a, b, c, => ( x + 1) , ( y − 3) ∈U ( 3) => x, ( y − 3) ∈U ( 12 ) => ( x + 1) , y ∈U ( 3) d, Bài 31: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (x-2)(y+1)= - b, (2x-1)(2y+1)= -35 HD : c, (x-3)(y-3)=9 d, (x+3)(y+2)=1 c, (3x-2)(2y-3)=1 d, (x+1)(2y-1)=12 c, (x-1)(y+2)=7 d, 2x+xy-y=9 => ( x − ) , ( y + 1) ∈ U ( ) a, b, c, => ( x + 1) , ( y + 1) ∈ U ( 35 ) => ( x − 3) , ( y − 3) ∈ U ( ) => ( x + 3) , ( y + ) ∈ U ( 1) d, Bài 32: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (2x-5)(y-6)=17 b, (2x+1)(y-3)=10 HD : => ( x − 5) , ( y − ) ∈ U ( 17 ) a, b, c, => ( x + 1) , ( y − 3) ∈ U ( 10 ) => ( 3x − ) , ( y − 3) ∈U ( 1) => ( x + 1) , ( y − 1) ∈ U ( 12 ) d, Bài 33: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (x+6)=y(x-1) b, x-3=y(x+2) HD : => x + 6Mx − => x − + 7Mx − => x − ∈ U ( ) => x = => y = a, Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 67 => x − 3Mx + => x + − 5Mx + => x + ∈ U ( ) => x = => y = b, c, => ( x − 1) , ( y + ) ∈ U ( ) => x ( y + ) − y − + = => x ( y + ) − ( y + ) = => ( x − 1) ( y + ) = d, Bài 34: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, x2y+xy-x=4 b, xy - 3x= - 19 HD : c, 3x+4y-xy=16 d, xy-2x-2y=0 => xy ( x + 1) − x − = => xy ( x + 1) − ( x + 1) = => ( x + 1) ( xy − 1) = => ( x + 1) , ( xy − 1) ∈ U ( 3) a, b, c, => x ( y − 3) = −19 => x, ( y − 3) ∈ U ( 19 ) => − x ( y − 3) + y − 12 = => ( − x + ) ( y − 3) = => x ( y − ) − y + = => x ( y − ) − ( y − ) = => ( x − ) ( y − ) = d, Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 68 Bài 35: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, xy+2x+3y=-6 b, xy-3x=12 HD : d, y-x2y-xy=5 c, -3x-3y+xy=9 => x ( y + ) + y + = => x ( y + ) + ( y + ) = => ( x + 3) ( y + ) = a, b, c, => x ( y − 3) = 12 => x , ( y − 3) ∈U ( 12 ) => x ( y − 3) − y + = 18 => x ( y − 3) − ( y − 3) = 18 => ( x − 3) ( y − 3) = 18 => y ( − x − x ) = => y , ( − x − x ) ∈U ( 5) d, Bài 36: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, xy+3x-y=6 b, x-y+2xy=7 HD : c, x2+2y=xy d, x-y+2xy=6 => x ( y + 3) − y − = => x ( y + 3) − ( y + 3) = => ( y + 3) ( x − 1) = a, => x ( y − 1) − y = => x ( y − 1) − y + b, 15 y − 15 = => x ( y − 1) − ÷= 2 ( x − 1) ( y − 1) = 15 => => x − xy + y = => y ( − x ) + x − = => y ( − x ) + ( x − ) ( x + ) = c, => ( x − ) ( x + − y ) = => x ( y + 1) − y = => x ( y + 1) − y − 11 = => ( x − 1) ( y + 1) = 11 2 d, Bài 37: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, x+y+9=xy-7 b,(x+2)2(y-1)=-9 HD : c, 8xy-3(x-y)=85 d, (x+3)(y+2)=1 => xy − x − y = 16 => x ( y − 1) − y + = 17 => x ( y − 1) − ( y − 1) = 17 => ( x − 1) ( y − 1) = 17 a, ( x + ) , ( y − 1) ∈ U ( ) => ( y − 1) < b, ( x + 2) và => x ( y − 3) + y = 85 => x ( y − 3) + y − c, số phương 9 = 85 − 8 => ( x + ) , ( y + ) ∈ U ( 1) d, Bài 38: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (2x-5)(y-6)=17 b, (x-1)(x+y)=33 HD : c, (x+7)(x-9)=0 d, xy-3x=-19 => ( x − ) , ( y − ) ∈ U ( 17 ) a, Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 69 => ( x − 1) , ( x + y ) ∈ U ( 33) b, c, x + = => x − = => x ( y − 3) = −19 => x, ( y − 3) ∈ U ( 19 ) d, Bài 39: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, 3x+4y-xy=16 b, (x+3)(x2+1)=0 HD : c, x(x+1)=0 d, (x+5)(x2-4)=0 => − x ( y − 3) + y − 12 = => − x ( y − 3) + ( y − 3) = => ( − x ) ( y − 3) = a, x + = => x +1 = 0( l) b, c, x = => x +1 = x + = => x − = d, Bài 40: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: b, (x+1)(xy-1)=3 a, (x-2)(x+1)=0 HD : b, x − = => x +1 = => ( x + 1) , ( xy − 1) ∈ ( 3) a, Bài 41: Tìm số x,y cho: a, (2x+1)(y-3)=10 b, (3x-2)(2y-3)=1 HD : c, (x+1)(2y-1)=12 d,(x+6)=y(x-1) => ( x + 1) , ( y − 3) ∈ U ( 10 ) a, b, c, => ( x − ) , ( y − 3) ∈ ( 1) => ( x + 1) , ( y − 1) ∈ U ( 12 ) => x + 6Mx − => x − + Mx − => 7Mx − => x − ∈ U ( ) => x = => y = d, Bài 42: Tìm số x,y cho: a, x-3=y(x+2) b, xy=4(x+y) HD : => x − 3Mx + => x + − 5Mx + => 5Mx + => x + ∈ U ( ) => x = => y = a, Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 70 => xy = x + y => xy − x − y = => x ( y − ) − y + 16 = 16 => ( x − ) ( y − ) = 16 b, xy + x − y = Bài 43: Tìm tất cặp số nguyên x, y cho : P = − x − y + xy Bài 44: Cho hai số x,y hai số lớn nhỏ 1, xét dấu của: a+ b = c+ d ab + = c.d Bài 45: Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: HD: Từ a + b = c + d => a = c + d − b , thay vào ab + = c.d ( c + d − b) b + = c.d cb + db − cd + 1− b , Chứng minh c = d ta được: = b( c − b) − d ( c − b) + 1= ( b − d) ( c − b) = −1 ( b − d) ,( c − d) Vì a, b, c, d số nguyên nên TH1: b − d = −1 d = b + => => c = d c − b = c = b + số nguyên, ta có TH sau: TH2: b − d = d = b − => => c = d c − b = −1 c = b − Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 71 ... 33 33 333 333 33 333 333 − x? ?? + + + ÷ = 22 12 2020 30 3 030 42424242 Ta có : => ? ?3 33 33 33 33 − x + + + ÷ = 22 12 20 30 42 => 1 1 − x .33 + + + ÷ = 22 12 20 30 42 −7 1 1 − x .33 ... b, x2 + x = c, 34 .3n = 37 x= x − = − 3x 4 x = x − = 3x − => x = −4 => x = −2 ? ?x = ? ?x = => x ( x + 1) = => => ? ?x +1 = x = −1 => 3n = 37 : 34 = 33 => n = c, Bài 11: Tìm x. .. 16 −9 ? ?35 ? ?35 − 53 − = = => x + = => x = −2= 35 x + 35 9 31 = x 10 64 Bài 10: Tìm x biết: HD: ( 1.2 .3. 4.5 30 .31 ) 1.2 .3 31 1 => = x => 31 = 31 = 36 = x => x = ? ?36 2 .3. 4 32 2 ( 2.2 ) ( 2 .3) (