S6 CHUYÊN đề 9 CHỦ đề 6 dãy PHÂN số THEO QUY LUẬT

CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 9-PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 6: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Lý thuyết nêu dạng tập phần II PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tổng dãy phân số có dạng S= 1) Tính tổng : k a. a  k  1 1 + + + + a1.a2 a2.a3 a3.a4 an- 1.an Với a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = = an - an- = Phương pháp: Ta có: a- a 1 = 1= ; a1.a2 a1.a2 a1 a2 a- a 1 = 2= ; a2.a3 a2.a3 a2 a3 a - an- 1 1 = n = ; an- 1.an an- 1.an an- an Do đó: S= 1 1 1 1 1 + + + + = a1 a2 a2 a3 a3 a4 an- an a1 an TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ A Bài 1: Tính tổng: 1    1.2 2.3 2014.2015 Lời giải: Ta có: A 1 1 1 1 2014            1  1.2 2.3 2014.2015 2 2014 2015 2015 2015 A Vậy 2014 2015 Bài 2: Tính tổng B= 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 100.101 Lời giải: Ta có: B= 1 1 1 1 1 1 + + + + = - + - + - + + 1.2 2.3 3.4 100.101 2 3 100 101 1 100 = = 101 101 B Vậy 100 101 Bài 3: Tính tổng S= 1 + + + 9.10 10.11 2004.2005 Lời giải: Ta có: S= S Vậy 1 + + + 9.10 10.11 2004.2005 1 1 1 1 1996          10 10 11 2004 2005 2005 18045 S 1996 18045 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ S= 2) Tính tổng : 1 1 + + + + a1.a2 a2.a3 a3.a4 an- 1.an Với a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = = an - an- = k >1 thì: Phương pháp: Ta có: a- a k 1 = 1= ; a1.a2 a1.a2 a1 a2 a- a k 1 = 2= ; a2.a3 a2.a3 a2 a3 a - an- k 1 = n = ; an- 1.an an- 1.an an- an Do đó: S= ö æ1 ö 1æ 1 1 1 1ữ ữ ỗ ữ ữ + + + + = ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ ça1 an ø ça1 a2 a2 a3 a3 a4 kè an- an ø k è Bài 4: Tính tổng A= 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 Lời giải: Ta có: A= Vậy 2 2 1 1 1 1 1 100 + + + + = - + - + - + + = = 1.3 3.5 5.7 99.101 3 5 99 101 101 101 S 100 101 Bài 5: Tính tổng S 1 1      1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Lời giải: Ta có: S 1 1      1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 1 1      1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 1 2 2  S         1.3 3.5 5.7 7.9 97.99  S 1 1 1 1 1  S              1 3 5 7 97 99  1  S     99  98 S 99 49 S 99 Vậy S 49 99 Bài 6: Tính nhanh tổng sau : a) A= 32 32 32 32 32 + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 b) B= 4 4 + + + + 11.16 16.21 21.26 61.66 Lời giải: a) Ta có : TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 32 32 32 32 32 A= + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 A= + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 ỉ3 3 3 ÷ A = 3ỗ + + + + ữ ỗ ữ ỗ ữ 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 è ø æ 1 1 1 1 1ư ÷ A = 3ỗ - + - + + + ữ ỗ ữ ỗ ữ ố2 5 8 11 11 14 14 17ứ ổ 1ử ữ A = 3ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố2 17ứ 15 34 45 A= 34 A = Vậy 45 34 S b) Ta có : 4 4 + + + + 11.16 16.21 21.26 61.66 ỉ1 1 ữ B = 4ỗ + + + + ữ ỗ ữ ỗ ữ 61.66ứ ố11.16 16.21 21.26 ổ5 5 ữ ị 5B = 4ỗ + + + + ữ ỗ ữ ỗ ữ 61.66ứ ố11.16 16.21 21.26 B= ổ1 5B = 4ỗ ỗ ỗ ố11 ổ1 5B = 4ỗ ỗ ỗ ố11 Vy B 1 1 1 1÷ + + + + ÷ ÷ 16 16 11 21 26 61 66÷ ø 1ö 55 ữ ị 5B = ị B= = ÷ ÷ ÷ 66ø 11.66 66 33 33 Bài 7: Tính giá trị biểu thức : ỉ3 3 ữ A =ỗ + + + + ữ ỗ ữ ỗ 106.113ữ ố1.8 8.15 15.22 ứ ổ 25 25 25 ữ ỗ + + + ữ ỗ ỗ50.55 55.60 ữ 95.100ữ ố ứ Li giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Đặt B= 3 3 + + + + 1.8 8.15 15.22 106.113 Ta có : ỉ7 7 ÷ 7B = 3ỗ + + + + ữ ỗ ữ ỗ 106.113÷ è1.8 8.15 15.22 ø ỉ 1 1 1 1 ữ 7B = 3ỗ - + + + + ữ ỗ ữ ỗ ữ 106 113ø è1 8 15 15 22 ỉ 1 ữ 112 3.112 48 7B = 3ỗ = ị B= = ữ ỗ ữ ỗ ữ 113 7.113 113 è1 113ø Đặt C= 25 25 25 + + + 50.55 55.60 95.100 Ta có : 5 C= + + + 50.55 55.60 95.100 1 1 1 C= + + + 50 55 55 60 95 100 1 1 C= = 50 100 100 Þ C= 20 Khi Vậy A =B - C = A 48 847 = 113 20 2260 847 2260 Bài 8: Tính nhanh : A= 9 + + + + 9.19 19.29 29.39 1999.2009 Lời giải: A= 9 + + + + 9.19 19.29 29.39 1999.2009 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ ổ10 10 10 10 ữ 10A = 9ỗ + + + + ữ ỗ ỗ ữ 1999.2009ứ ố9.19 19.29 29.39 ỉ 1 1 1 1 ữ 10A = 9ỗ + + + + ữ ç ç ÷ 1999 2009÷ è9 19 19 29 29 39 ứ ổ 1 ữ 10A = 9ỗ ữ ỗ ữ ỗ9 2009ứ ữ ố 10A = Vậy A 2000 2000 200 = Þ A= 9.2009 2009 2009 200 2009 Bài 9: Thực phép tính : A = 1 1 - + - +15 - 17 1.2 2.3 3.4 7.8 8.9 Lời giải: Ta có : 1 1 - + - +15 - 17 1.2 2.3 3.4 7.8 8.9 15 17 A= + - + 1.2 2.3 3.4 7.8 8.9 æ æ ö æ ö æ ö æ 1ö 1ữ 1ữ 1ữ 1ử ỗ ỗ ç ç A =ç + ÷ + + + + + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ è1 2ø è2 3ø è3 4ø è7 8ø è8 9ø A = 1 1 1 1 1 A = + - - + + - + + - 2 3 8 1 A= A= Vậy A A 1 1 A= + + + + 1.300 2.301 3.302 101.400 Bài 10: Tính tỉ số B biết: B= 1 1 + + + + 1.102 2.103 3.104 299.400 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Lời giải: Ta có: 299 299 299 299 + + + + 1.300 2.301 3.302 101.400 ỉ ỉ ỉ ỉ1 1 ữ ỗ1 ữ ỗ1 ữ ữ ỗ 299A = ỗ + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ố ữ ữ ữ ỗ ỗ2 301ữ ỗ3 302ữ ỗ101 400ữ ÷ è1 300ø ø è ø è ø æ æ1 ö 1 1ö 1 ÷ ÷ ç 299A = ç + + + + + + + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ300 301 302 ÷ è ÷ 101ø 400÷ è1 ø 299A = 101 101 101 101 + + + + 1.102 2.103 3.104 299.400 ỉ ỉ ỉ ổ1 1 ữ ỗ1 ữ ỗ1 ữ ữ ỗ 101B = ỗ + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ç ÷ è ÷ è ÷ ÷ ç ç2 103ø ç3 104ø ç299 400÷ ÷ ÷ ÷ è1 102ø è ø ỉ ỉ1 1 1 1 ữ ữ ỗ 101B = ỗ + + + + + + + + ữ ữ ỗ ç ÷ è ç ç102 103 104 299ø 400÷ è1 ø 101B = ỉ 1 1ữ 101B = ỗ + + + ữ ỗ ỗ1 ÷ 101÷ è ø Khi 299A = 101B Þ Bài 11: Rút gọn : A= ỉ1 1 ữ ỗ + + + ữ ỗ ỗ300 301 ÷ 400÷ è ø A 101 = B 299 1 1 1 - 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 Lời giải: Ta có: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 100 A= 100 1 1 - 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 æ 1 1 1ử ỗ + + + + + ữ ữ ỗ ữ ỗ 3.2 2.1ữ ố100.99 99.98 98.97 ø ỉ 1 1 ữ A= - ỗ + + ++ + + ữ ç ç1.2 2.3 ÷ 100 è 97.98 98.99 99.100÷ ø æ 1 1 1 1 1 ữ A= - ỗ - + - + + + + ữ ỗ ỗ1 2 ÷ 100 è 97 98 98 99 99 100÷ ø ổ 1 ữ A= - ỗ ữ ç ÷ 100 ç è1 100÷ ø A= A= Vậy 1 - 49 - 1+ = 100 100 50 A 49 50  n  3 Dạng 2: Tổng dãy phân số có mẫu tích n số tự nhiên liên tiếp S= 1) Tính tổng sau: 1 + + + 1.2.3 2.3.4 n(n +1)(n + 2) Nhận xét đề bài: + Tử số hạng + Mẫu số hạng tích ba số tự nhiên liên tiếp + Số hạng tổng quát có dạng: n(n +1)(n + 2) Ta có: ù 1 (k + 2)- k 1é 1 ú = = = ê ú k (k +1)(k + 2) k (k +1)(k + 2) k (k +1)(k + 2) ê k ( k + 1) ( k + 1)( k + 2) ë û Do đó: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHN S 1 ổ1 1ữ = ỗ ữ ç ÷ 1.2.3 ç è1.2 2.3÷ ø 1 ổ1 1ữ = ỗ ữ ỗ ỗ2.3 3.4ữ ữ 2.3.4 è ø 1ỉ 1 ữ = ỗ ữ ỗ ữ n(n +1)(n + 2) 2ỗ ốn(n +1) (n +1)(n + 2)ữ ứ Cộng vế với vế đẳng thức ta được: 1ỉ1 1 1 ÷ Sn = ç + + + ÷ ç ÷ 2ç n(n +1) (n +1)(n + 2)÷ è1.2 2.3 2.3 3.4 ø 1ổ1 ữ ị Sn = ỗ ữ ỗ ữ ỗ1.2 (n+1)(n+ 2)ữ 2ố ứ Nhn xột kt quả: Nếu mẫu tích số tự nhiên liên tiếp tổng tích nghịch đảo (3- 1) với hiệu nghịch đảo tích hai thừa số có giá trị nhỏ nghịch đảo tích hai thừa số có giá trị lớn 1ỉ1 ữ Sn = ỗ ữ ỗ ỗ1.2 (n +1)(n + 2)÷ ÷ 2è ø Bài 1: Tính A 1    1.2.3 2.3.4 37.38.39 Lời giải: Ta có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Lời giải: a) Ta có: ỉ ưỉ ưỉ 1ư ỉ ữ ữ A =ỗ 1+ ữ ỗ 1+ ỗ 1+ ữ ỗ 1+ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç 1.3 2.4 3.5 2018.2020 è øè øè ø è ø A= A= 22 32 42 20192 1.3 2.4 3.5 2018.2019 ( 2.3.4 2019) ( 2.3.4 2019) ( 1.2.3 2.18) ( 3.4.5 2019) A = 2.2019 = 4038 Vậy A  4038 b) Ta có: ỉ 1ưỉ ỉ ữ 1ử ữ ỗ ỗ B =ỗ 1- ữ ữ ữ ữ ỗ ç ç ÷ç 6ø ÷è ÷ ç ç 100÷ ÷ ÷ è 5øè ø ỉ ỉ 5- 1ưỉ 6- 1ử 99- 1ửổ 100- 1ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ç B =ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç 99 ứố ữỗ ứ ữố ữỗ 100 ữ ữ ố øè ø 98 99 B = 99 100 B= = 100 25 Vậy B 25 Bài 6: Tính tích: 22 32 42 52 62 72 82 92 C= 15 24 35 48 63 80 a) 15 24 2499 D = 16 25 2500 b) Lời giải: a) Ta có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 22 32 42 52 62 72 82 92 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 9.9 C= = 15 24 35 48 63 80 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 6.8 7.9 8.10 ( 2.3.4.5.6.7.8.9) ( 2.3.4.5.6.7.8.9) 9.2 = = = ( 1.2.3.4.5.6.7.8) ( 3.4.5.6.7.8.9.10) 10 Vậy C b) Ta có: 15 24 2499 2.4 3.5 4.6 49.51 ( 2.3.4 49) ( 4.5.6 51) 2.51 17 D = = = = = 16 25 2500 3.3 4.4 5.5 50.50 ( 3.4.5 50) ( 3.4.5 50) 50.3 25 D 17 25 Vậy ưỉ ÷ ưỉ ỉ 1ỉ 1÷ ÷ ữ ỗ ỗ ỗ A = ỗ 1+ ữ + + + ÷ ÷ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ 2.4ữ ỗ 3.5ứ ç 2015.2017÷ ÷ ÷ ÷è ÷ 2ç è 1.3÷ øè øè ø Bài 7: Tính giá trị biểu thức: Lời giải: ưỉ ÷ ưỉ ÷ ỉ 1ổ 1ữ ữ A = ỗ 1+ ữ ç 1+ ÷ ç 1+ ÷ ç 1+ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç 2.4÷ ç 3.5ữ ỗ 2015.2017ữ 2ỗ ố 1.3ữ ứố ứố ứ ố ø ưỉ3.3÷ ưỉ4.4÷ ỉ 1ỉ 2.2÷ 2016.2016÷ A = ỗ ữ.ỗ ữ.ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ỗ ç ç2.4÷ ç3.5÷ ç2015.2017÷ 2ç è1.3÷ øè øè ø è ø é( 2.3.4 2016) ( 2.3.4 2016) ù ú A = ê ê ê( 1.2.3 2015) ( 3.4.5 2017) ú ú ë û 1ỉ 2016 ÷ A = ỗ ữ ỗ ữ 2ỗ ố 2017ø A= 2016 2017 A 2016 2017 Vậy TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Bài 8: So sánh: V = 1.3.5 39 U = 21.22.23 40 - 20 Lời giải: U = 1.3.5 39 1.3.5 37.39 1.3.5 37.39 = = 21.22.23 40 ( 21.23.25 39) ( 22.24.26 40) ( 21.23.25 39) 210 ( 11.12.13 20) = 1.3.5 37.39 1.3.5 37.39 = 10 ( 21.23.25 39) ( 11.13 19) ( 12.14 20) ( 11.13.55 39) 25.( 6.7.8.9.10) = 1.3.5 37.39 1.3.5 37.39 1.3.5 37.39 = 15 = 20 = 20 ( 7.9.11 39) ( 6.8.10) ( 7.9 39) 3.5 3.5.7 39 10 15 1 < 20 Þ U