Trang 1 Bài 2 TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG • Chương 2 TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Góc giữa hai vectơ • Cho hai vectơ và khác vectơ a b 0 Từ điểm O bất kì, ta vẽ các vectơ và OA.
Bài TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG • Chương TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Góc hai vectơ • Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O bất kì, ta vẽ vectơ OA a OB b Khi AOB gọi góc hai vectơ a b , kí hiệu a, b • a, b 900 a b a b b a Định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ Tích vơ hướng hai vectơ a b số, kí hiệu a.b , xác định công thức a.b a b cos a, b Tính chất tích vô hướng : Với vectơ a, b, c số thực k, ta có: 1) a.b b.a (Tính chất giao hóan) ; 2) k a b k ab ; 3) a b c a.b a.c (Tính chất phân phối phép cộng) ; a b c a.b a.c (Tính chất phân phối phép trừ) ; 4) a.b a b 5) Bình phương vơ hướng: Bình phương vơ hướng vectơ bình phương độ dài vectơ : 2 2 a a • Các đẳng thức bình phương vơ hướng : 2 2 2 2 a b a 2ab b ; a b a 2ab b ; 2 a b (a b)(a b) B b 6) Cơng thức hình chiếu : O Cho OA a , OB b Tích vơ hướng hai vectơ a b tích vơ hướng a với OB ' b ' hình chiếu b lên a : a.b a.b ' hay OA.OB OA.OB ' • Chú ý: Cho đường tròn (O) điểm M Dựng cát tuyến MAB với (O), ta định nghĩa: Phương tích điểm M đường trịn (O), d kí hiệu PM / O số xác định biểu thức: A PM / O MA.MB d R d MO ; M B’ b' a A B O R T Nếu M nằm đường trịn (O) MT tiếp tuyến (O) PM / O MT MT Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Trang Trong mặt phẳng Oxy, cho a ( x; y ) b ( x '; y ') Khi : (1) a.b xx ' yy ' ; (2) a x y ; (3) cos (a, b) xx ' yy ' a 0, b 0 ; x y x '2 y '2 (4) Khoảng cách hai điểm M xM ; yM N xN ; y N : MN = MN ( xN xM ) ( yN yM ) ; (5) a b xx ' yy ' PHẦN CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TÍNH TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ, TÍNH GĨC GIỮA HAI VECTƠ a) Để tính tích vơ hướng hai vectơ, ta sử dụng: + Nếu có độ dài hai vectơ góc chúng, ta dùng định nghĩa a.b a b cos a, b + Nếu tích tổng, hiệu vectơ ta dùng tính chất tích vơ hướng + Nếu biết độ dài hai vectơ độ dài tổng hay hiệu chúng, ta bình phương tổng hay hiệu chúng + Nếu vectơ cố định vectơ thay đổi ta dùng định lý hình chiếu a.b b) Để tính góc hai vectơ, ta sử dụng cơng thức: cos a, b a.b A Bài tập tự luận Câu Cho tam giác ABC cạnh a , tâm O Hãy tính: a) AB AC b) AB.BC c) OB OC AB AC d) AB AC AB 3BC Câu Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O Hãy tính: a) AB.BC ; AB.BD; AB AD BD BC ; AB AC AD DA DB DC b) ON AB; NA AB với N điểm cạnh BC c) MA.MB MC.MD với M nằm đường trịn nội tiếp hình vng Câu Cho hình thang ABCD có đáy lớn BC 3a , đáy nhỏ AD a , đường cao AB 2a a) Tính AB.CD; BC.BD; AC.BD b) Gọi I trung điểm CD Hãy tính góc AI BD Câu Cho tam giác ABC cạnh a , đường cao AH Tính: a) AB AC ; BA AH b) CB CA 2CA AH Câu Trang 600 Tính: Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh , góc BAC Câu Câu Câu AB AC ; AB.OA; AC.BD; AB.OB Cho vectơ a, b có độ dài thỏa mãn điều kiện 2a 3b Tính cos a, b Cho vectơ a, b có độ dài góc tạo hai vectơ 600 Xác định cosin góc hai vec tơ u v với u a 2b, v a b Cho hai vectơ a b Cho biết a 6, b 3, a, b 45o Hãy tính tích vơ hướng a 2a b , 3a 4b 2a 3b Câu Cho a 3, b 2, a 3b Tính 2a b Câu 10 Trong mặt phẳng Oxy cho A 1;1 , B 2; , C 10; 2 a) Chứng minh ABC tam giác vuông b) Tính BA.BC suy cosB Câu 11 Cho hai vectơ đơn vị a, b thỏa mãn điều kiện 2a b Tính a.b; a b DẠNG TÍNH ĐỘ DÀI CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG Ta thường sử dụng: + Quy tắc biến đổi: BC BC AC AB + Công thức tọa độ: AB AB xB x A y B y A 2 A Bài tập tự luận 600 Cho điểm M thỏa MB MC Tính dộ Câu 12 Cho tam giác ABC có AB 2, AC 3, BAC dài AM Câu 13 Cho tam giác ABC có AB a 2, BC 5a, ABC 1350 Gọi điểm M thuộc AC cho MC a) Tính BA.BC AM b) Tìm x, y cho BM xBA yBC tính BM 1200 Câu 14 Cho tam giác ABC có AB 2, AC 3, BAC a) Tính AB AC độ dài trung tuyến AM b) Gọi AD phân giác góc A tam giác ABC Phân tích AD theo hai vectơ AB, AC Suy độ dài đoạn AD Câu 15 Cho tam giác ABC có AB 2a, BC a 7, AC 3a Gọi M trung điểm AB, N thuộc AC cho AN NC D thuộc MN cho 2DM DN a) Tìm x, y cho AD x AB y AC b) Tính AB AC độ dài đoạn AD theo a DẠNG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VƠ HƯỚNG Sử dụng định nghĩa a.b a b cos a, b Trang Sử dụng quy tắc chèn điểm, quy tắc công trừ vectơ số quy tắc trung điểm, trọng tâm, tính chất hình bình hành… Tính chất giao hốn phân phối tích vơ hướng Nếu đẳng thức chứa bình phương độ dài đoạn thẳng, ta ý chuyển vectơ nhờ đẳng thức AB AB A Bài tập tự luận Câu 16 Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh AC a , gọi O giao điểm AC BD a) Tính tích vơ hướng AD AC theo a b) Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh AB.OC OC OM Câu 17 Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a Gọi I trung điểm AD M điểm a) Tính IB.IC b) Chứng minh MA.MC MB.MD Câu 18 Cho H trung điểm AB M điểm tùy ý Chứng minh MA.MB HM HA2 Câu 19 Chứng minh với bốn điểm A, B, C , D ta có: AB.CD AC.DB AD.BC (hệ thức Ơ – le) Câu 20 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) AB AC AB AC BC 2 b) BC AB AC AB AC.cos A Câu 21 Cho tam giác ABC có I trung điểm BC Chứng minh: BC a) AB AC AI 2 b) AB AC BC.IH (Với H hình chiếu A xuống BC) 2 Câu 22 Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Chứng minh a) AB AC AM BC b) AM 2 AB AC BC Câu 23 Cho tam giác ABC , biết AB c, B C a, AC b Có trọng tâm G Chứng minh 2 a b c (hệ thức Lep – nit) Câu 24 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Chứng minh với điểm M, ta có MA2 MB MC GA2 GB GC 3MG GA2 GB GC Câu 25 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh với điểm M ta ln có: 1 MG MA2 MB MC AB BC CA2 Câu 26 Cho hai điểm M , N nằm đường trịn đường kính AB R Gọi I giao điểm hai đường thẳng AM BN Chứng minh: a) AM AI AB AI ; BN BI BA.BI b) AM AI BN BI R Câu 27 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O M điểm tùy ý Chứng minh: Trang a) MA.MC MB.MD b) MA MB.MD MA.MO Câu 28 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R a) Chứng minh MA2 MB MC R M thuộc (O) b) Chứng minh với điểm M : AM MB 3MC MO MA MB 3MC Câu 29 Cho tứ giác ABCD Gọi I , J theo thứ tự trung điểm AC , BD Chứng minh AB BC CD DA2 AC BD IJ Câu 30 Cho tam giác ABC , biết AB c, BC a, CA b , đường trung tuyến tương ứng AA ', BB ', CC ' Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh với M bất kì, ta có a b2 c2 MA.MA ' MB.MC 3MG Câu 31 Cho tam giác ABC , gọi H trực tâm, M trung điểm cạnh BC Chứng minh MH MA BC Câu 32 Cho tam giác ABC , có AD, BE , CF đường trung tuyến Chứng minh AB.CF BC AD CA.BE DẠNG CHỨNG MINH SỰ VNG GĨC CỦA HAI VECTƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG Điều kiện a b a.b Điều kiện AB CD AB.CD Lưu ý chọn gốc, chọn hệ sở để biểu diễn chứng minh vng góc A Bài tập tự luận Câu 33 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi M , N điểm cho 3BM BC , AN AC a) Tính AB AC ; BC AC b) Chứng minh AM vng góc với BN Câu 34 Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẻ bên tam giác ABC tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi M trung điểm đoạn BC Chứng minh AM vng góc với DE Câu 35 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi I , J trung điểm AH HC Chứng minh BI AJ Câu 36 Cho tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm đoạn BC , D hình chiếu vng góc H AC , M trung điểm đoạn HD Chứng minh AM vng góc với DB Câu 37 Cho tứ giác ABCD có E giao hai đường chéo AC BD Gọi I , J trung điểm BC , AD H , K trực tâm tam giác ABE , CDE a) Chứng minh HK BD AC.BD b) Chứng minh HK IJ Câu 38 Cho tứ giác ABC có hai đường chéo AC BD vng góc với cắt M Gọi P trung điểm cạnh AD Chứng minh MP vng góc với BC MA.MC MB.MD Câu 39 Cho hình chữ nhật ABCD , vẽ BH AC Gọi M , N trung điểm AH DC Chứng minh BM MN Trang Câu 40 Cho hình vng ABCD , điểm M thuộc đoạn thẳng AC cho AM AC Gọi N trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh DMN tam giác vng cân Câu 41 Cho tứ giác ABC D có hai đường chéo cắt O Gọi H , K trực tâm tam giác ABO CDO Gọi I , J trung điểm AD BC Chứng minh HK IJ Câu 42 Cho tam giác ABC cạnh 3a Lấy M , N , P cạnh BC , CA, AB cho BM a, CN 2a, AP x Tìm x để AM vng góc với PN Câu 43 Tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn O D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh OE CD DẠNG TẬP HỢP ĐIỂM Dạng 1: MA.MB k 1 (A, B hai điểm cố định) k : Tập hợp điểm M đường tròn đường kính AB k : Gọi I trung điểm AB AB 2 2 MI IA MI IA k MI IA k MI k AB AB 0k : Tập hợp điểm M đường trịn tâm I, bán kính Nếu k 4 AB k AB AB 0k : Tập hợp điểm M điểm I Nếu k 4 AB AB 0k : Tập hợp điểm M rỗng 4 Dạng 2: AM v k (A cố định, v có hướng, độ dài xác định) Nếu k k : Tập hợp điểm M đường thẳng qua A vng góc với giá v k : Gọi A ' M ' hình chiếu AM giá vectơ v ; ta có: A ' M '.v k (định lí k hình chiếu) A’ cố định M ' cố định (M’ nằm giá v định A ' M ' ) Tập hợp v điểm M đường thẳng vng góc với giá vectơ v M’ M A A v v M' A' k≠0 k=0 Dạng 3: MA2 MB k 3 (A, B cố định , số ) Gọi I điểm thỏa IA IB I điểm cố định 3 MI IA MI IB k MI IA IB MI IA2 IB k MI k IA2 IB MI Trang k IA2 IB Nếu k IA2 IB k IA2 IB Nếu Nếu k IA2 IB : Tập hợp điểm M đường tròn tâm I, bán kính k IA2 IB k IA2 IB k IA2 IB : Tập hợp điểm M điểm I k IA2 IB : Tập hợp điểm M rỗng Chú ý: Để giải toán thuộc loại trên, ta nên thu gọn biểu thức cho cách sử dụng công thức thu gọn vec tơ đây: Cho hai điểm A, B cố định , số thỏa tồn điểm I cho IA IB Nếu với điểm M tùy ý mặt phẳng ta có: MA MB MI Cho ba điểm A, B, C cố định , , số thỏa tồn điểm I cho IA IB IC Nếu với điểm M tùy ý mặt phẳng ta có: MA MB MC MI A tập tự luận Câu 44 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho AM AB AB AC Câu 45 Cho tam giác ABC , tìm tập hợp điểm M thỏa: a) MA.MB MA.MC b) MB MA MB MC c) MA 3MB MA MB 3MC d) MA.MB MA.MC MB.MC 3MB MC Câu 46 Cho tam giác ABC , tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện sau: MA.MB MA.MC Câu 47 Cho tam giác ABC , tìm tập hợp điểm M cho: MA MB MC AC AB AB Câu 48 Cho tam giác ABC cân A có AB AC a, BC 3a Tìm tập hợp điểm M cho MA2 3MB MC MB.MC Câu 49 Cho A, B, C , D bốn điểm cố định cho trước, tìm tập hợp điểm M cho: MA MB 3MC MA MD Câu 50 Cho đoạn AB a số k Tìm tập hợp điểm M cho MA2 MB k Câu 51 Cho tam giác ABC , tìm tập hợp điểm M cho a) MA MB MC ; b) MA MC MA MB MC Câu 52 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA.MB ; b) MA MC MB ; c) MA MB MA MB MC ; Trang d) MA.MB MA.MB Câu 53 Cho hai điểm A, B k số khơng đổi Tìm tập hợp điểm M thoả điều kiện: MA2 MB k Câu 54 Cho tam giác ABC Tìm tâp hợp điểm M cho MB MC MA MB 3MC Câu 55 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) MB MC MA2 b) MB MC MA2 Câu 56 Cho hai điểm A, B cố định số k cho trước Tìm tập hợp điểm M cho MA.MB k Câu 57 Cho tam giác ABC , tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MB.MC MB.MG AB (với G trọng tâm tam giác ABC) Câu 58 Trong mặt phẳng Oxy cho cho tam giác ABC có trọng tâm G a) Xác định vị trí điểm P thỏa PA PB PC b) Chứng minh C , G, P thẳng hàng c) Tìm tập hợp diểm M thỏa mãn MA MB MC CA CB Câu 59 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC M điểm thay đổi: a) Chứng minh BM CM AM AD AM không đổi b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn BM CM AM AD k (k số thực cho trước) Câu 60 Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn: a) AM BC BM CA 2CM AB k b) BM CM 2CM AM AM BM k (với k số cho trước) Câu 61 Cho tam giác ABC số a Tìm tập hợp điểm M cho 3MA2 MB MC a Câu 62 Cho tam giác ABC số k Tìm tập hợp điểm M cho MA2 3MB 5MC k DẠNG BÀI TOÁN TỌA ĐỘ Trong mặt phẳng Oxy, cho a ( x; y ) b ( x '; y ') Khi đó: (1) a.b xx ' yy ' ; (2) a x y ; (3) cos (a, b) xx ' yy ' x y x '2 y '2 a 0, b ; (4) Khoảng cách hai điểm M xM ; yM N xN ; y N : MN = MN ( xN xM ) ( yN yM ) ; (5) a b xx ' yy ' A Bài tập tự luận Câu 63 Cho ba điểm A 3; 1 , B 0;3 , C 3;3 a) Tìm đỉnh thứ tư hình bình hành ABCD b) Tìm AD AB , AD.BC Trang 1 Câu 64 Cho u i j v ki j Tìm k để a) u v b) u v Câu 65 Cho véc-tơ a 2;3 , b 4;1 a) Tìm số k m cho c k a mb vng góc với véc-tơ a b b) Tìm véc-tơ d biết a.d b.d 2 Câu 66 Tính góc hai véc-tơ a b trường hợp sau a) a 1; 2 , b 2; 6 b) a 3; , b 4;3 c) a 2;5 , b 3; 7 Câu 67 Cho u 4;1 v 1; a) Tìm m để a u m.v vng góc với trục hồnh b) Tìm n để b n.u v tạo với véc-tơ c i j góc 45 Câu 68 Cho điểm A 3; 1 , B 0;3 , C 3;3 a) Tính cạnh tam giác ABC b) Tính góc tam giác ABC Câu 69 Cho điểm A 1; 1 , B 3;1 , C 6;0 a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng b) Tính góc B diện tích tam giác ABC Câu 70 Cho điểm A 1;3 , B 4; a) Tìm tọa độ điểm D nằm trục Ox cách hai điểm A B b) Tính chu vi điện tích tam giác OAB Câu 71 Cho điểm A 4;6 , B 5;1 , C 1;3 Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Câu 72 Cho tam giác ABC có ba đỉnh A 3;0 , B 3;0 , C 2;6 Tìm tọa độ trọng tâm G trực tâm H tam giác Câu 73 Cho điểm A 1;3 B 4; a) Đường thẳng AB cắt trục Ox Oy M N Các điểm M N chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ? b) Phân giác góc AOB cắt AB E Tìm tọa độ điểm E Câu 74 Cho điểm A 1;1 , B 2; C 10; 2 a) Chứng minh tam giác ABC vuông A b) Tính tích vơ hướng BA BC tính cos B , cos C Câu 75 Cho hai điểm A 2; B 1;1 Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC tam giác vuông cân B Câu 76 Cho bốn điểm A 7; 3 , B 8; , C 1;5 , D 0; 2 Chứng minh tứ giác ABCD hình vng Trang Câu 77 Biết A 1; 1 B 3;0 hai đỉnh hình vng ABCD Tìm tọa độ đỉnh C D Câu 78 Cho tam giác ABC với A 2; , B 3;1 , C 3; 1 a) Tìm điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành b) Tìm chân A ' đường cao vẽ từ đỉnh A tam giác ABC DẠNG ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TÍCH ĐƯỜNG TRỊN Bài tốn Cho đường trịn O; R điểm M cố định Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A , B Chứng minh MA.MB MO R Chứng minh Vẽ đường kính BC đường trịn O; R Ta có MA hình MC lên đường thẳng MB Theo cơng thức hình chiếu, ta có MA.MB MC.MB MO OC MO OB MO OB MO OB MO OB MO R Từ tốn ta có định nghĩa sau: Định nghĩa Cho đường tròn O; R điểm M cố định Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A , B Khi MA.MB MO R đại lượng không đổi gọi phương tích điểm M đường trịn O; R , ký hiệu PM / O Lưu ý: Nếu M đường trịn, vẽ tiếp tuyến MT Khi PM / O MT MO R Tính chất Cho hai đường thẳng AB CD cắt M Điều kiện cần đủ để bốn điểm A , B , C , D nội tiếp đường trịn MA.MB MC.MD Tính chất Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng M điểm C đường thẳng C M Điều kiện cần đủ để tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C MA.MB MC A Bài tập tự luận Câu 79 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA , BB , CC cắt H Chứng minh HA.HA HB.HB HC.HC Câu 80 Cho đường tròn O; R điểm P cố định bên đường trịn Hai dây cung thay đổi AB CD qua điểm P vng góc với a) Chứng minh AB CD không đổi b) Chứng minh PA2 PB PC PD không phụ thuộc vị trí điểm P Câu Trang 10 PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cho a b hai vectơ hướng khác vectơ Mệnh đề sau đúng? A a.b a b B a.b C a.b 1 D a.b a b Câu Câu Câu Câu Câu Cho hai vectơ a b khác Xác định góc hai vectơ a b a.b a b A 180o B 0o A 30o B 45o C 90o D 45o Cho hai vectơ a b thỏa mãn a 3, b a.b 3 Xác định góc hai vectơ a b C 60o D 120o Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB AC a a2 a2 A AB AC 2a B AB AC C AB AC D AB AC 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 4i j b 3i j Tính tích vơ hướng a.b A a.b 30 B a.b C a.b 30 D a.b 43 Cho M , N , P, Q bốn điểm tùy ý Trong hệ thức sau, hệ thức sai? A MN NP PQ MN NP MN PQ B MP.MN MN MP C MN PQ PQ.MN D MN PQ MN PQ MN PQ Câu Cho hình vng ABCD cạnh a Đẳng thức sau đúng? 2 A AB AC a B AB AC a 2 C AB AC a Câu Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua C Đẳng thức sau đúng? A AE AB 2a B AE AB 3a C AE AB 5a D AE AB 5a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a 2;3 , b 4;1 c k a mb với k , m Biết vectơ c vng góc với vectơ a b Khẳng định sau đúng? Câu A 2k 2m D AB AC a 2 B 3k 2m C 2k 3m D 3k 2m Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u 3; v 8;6 Khẳng định sau đúng? A u v 1 B M 0; v phương 2 C u vng góc với v D u v Câu 11 Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn MA.BC là: A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn 3 Câu 12 Trong mp Oxy cho A 4;6 , B 1; , C 7; Khảng định sau sai 2 9 A AB 3; 2 , AC 3; B AB AC 2 13 C AB 13 D BC Câu 13 Cho vectơ a 1; 2 , b 2; 6 Khi góc chúng A 45o B 60o C 30o D 135o Trang 11 OM 2; 1 ON 3; 1 Câu 14 Cho , Tính góc OM , ON Câu 15 Trong mặt phẳng Oxy cho a 1;3 , b 2;1 Tích vô hướng vectơ a.b là: A 135o B A B 2 Câu 16 Cặp vectơ sau vng góc? A a 2; 1 b 3; C a 2; 3 b 6; C 135o D C D B a 3; 4 b 3; D a 7; 3 b 3; 7 Câu 17 Cho vec tơ a a1 ; a2 , b b1 ; b2 , tìm biểu thức sai: A a.b a1.b1 a2 b2 B a.b a b cos a, b C a.b a b a b D a.b a b a b Câu 18 Cho tam giác ABC cạnh a Hỏi mệnh đề sau sai? A AB AC BC BC B BC.CA 2 C AB BC AC 4 D BC AC BA ˆ 120o A ABC AB a Câu 19 Cho tam giác cân A , Tính BA.CA A a2 B a2 C a2 A 1; B 1;1 C 5; 1 Câu 20 Cho tam giác ABC có , , Tính cos A 1 A B C 5 D D a2 2 Câu 21 Cho hình vng ABCD tâm O Hỏi mệnh đề sau sai? A OA.OB B OA.OC OA AC C AB AC AB.CD D AB AC AC AD Câu 22 Trong mặt phẳng Oxy cho A 1; 1 , B 3;1 , C 6;0 Khảng định sau 135o A AB 4; 2 , AC 1;7 B B C AB 20 D BC Câu 23 Cho hình vng ABCD cạnh a Hỏi mệnh đề sau sai? A DA.CB a B AB.CD a C AB BC AC a D AB AD CB.CD Câu 24 Cho hình thang vng ABCD có đáy lớn AB 4a , đáy nhỏ CD 2a , đường cao AD 3a ; I trung điểm AD Khi IA IB ID : A Trang 12 9a B 9a C D 9a2 50o Hệ thức sau sai? Câu 25 Tam giác ABC vuông A có góc B A AB, BC 130o B BC , AC 40o C AB, CB 50o D AC , CB 120o Câu 26 Trong mặt phẳng O; i, j cho vectơ : a 3i j b 8i j Kết luận sau sai? A a.b B a b C a b D a.b ? Câu 27 Trong mặt phẳng Oxy cho A 1; , B 4;1 , C 5; Tính BAC B 45o C 90o D 120o Câu 28 Cho vectơ a 1; 3 , b 2;5 Tính tích vơ hướng a a 2b A 60o A 16 B 26 Câu 29 Cho hình vng ABCD , tính cos AB, CA A B D 16 C 36 C D Câu 30 Cho hai điểm A 3, , B 4,3 Tìm điểm M thuộc trục Ox có hồnh độ dương để tam giác MAB vng M A M 7; B M 5;0 C M 3;0 D M 9;0 Câu 31 Cho A 2; , B 1; 3 , C 5; 1 Tìm tọa độ điểm K cho AK 3BC 2CK A K 4;5 B K 4;5 C K 4; 5 D K 4; 5 Câu 32 Cho tam giác ABC vng cân A có BC a Tính CA.CB a A CA.CB a B CA.CB a C CA.CB Câu 33 Cho hình vng ABCD có cạnh a Tính AB AD B a A a2 C D CA.CB a D a2 Câu 34 Trong mặt phẳng Oxy , cho a 2; 1 b 3; Khẳng định sau sai? A Tích vơ hướng hai vectơ cho 10 B Độ lớn vectơ a C Độ lớn vectơ b D Góc hai vectơ 90o Câu 35 Cho M trung điểm AB , tìm biểu thức sai: A MA AB MA AB B MA.MB MA.MB C AM AB AM AB D MA.MB MA.MB Câu 36 Cho tam giác ABC cạnh a H trung điểm BC Tính AH CA 3a 3a B C a Câu 37 Biết , b a.b a b Câu sau 3a A A a B a C a 3a D b hướng b nằm hai dường thẳng hợp với góc 120o b ngược hướng Trang 13 D A, B, C sai Câu 38 Cho vectơ a b có a , b a , b 120o Tính a b A 21 B 61 C 21 D 61 C D Câu 39 Cho tam giác ABC có A 1; , B 1;1 , C 5; 1 Tính AB AC A B Câu 40 Trong mặt phẳng Oxy cho A 1;1 , B 1;3 , C 1; 1 Khảng định sau A AB 4; , BC 2; 4 B AB BC C Tam giác ABC vuông cân A D Tam giác ABC vuông cân B Câu 41 Cho tam giác ABC vng A có Bˆ 60o , AB a Tính AC.CB B 3a C 3a D Câu 42 Cho vectơ đơn vị a b thỏa a b Hãy xác định 3a 4b 2a 5b A 3a2 A B C D Câu 43 Cho hình thang vng ABCD có đáy lớn AB 4a , đáy nhỏ CD 2a , đường cao AD 3a Tính DA.BC A 9a B 15a D 9a2 C ABC C AC BC Câu 44 Cho tam giác vng có , Tính AB AC A B 81 C D Câu 45 Cho hai vectơ a b Biết a =2, b = a , b 120o Tính a b A 7 7 B C 72 72 D Câu 46 Cho hai điểm B, C phân biệt Tập hợp điểm M thỏa mãn CM CB CM : A Đường tròn đường kính BC B Đường trịn B; BC C Đường tròn C ; CB D Một đường khác Câu 47 Cho ba điểm A, B, C phân biệt Tập hợp điểm M mà CM CB CA.CB : A Đường trịn đường kính AB B Đường thẳng qua A vng góc với BC C Đường thẳng qua B vng góc với AC D Đường thẳng qua C vuông góc với AB Câu 48 Cho hai điểm A 2, , B 5, 2 Tìm M tia Ox cho AMB 90o A M 1, B M 6, C M 1, hay M 6, Câu 49 Cho hai vectơ a b Đẳng thức sau sai? 2 2 2 A a.b B a b a b 2 2 C a.b D a b a b a.b a.b a b 2 2 2 a b a b 2 a b Câu 50 Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB.BC Trang 14 D M 0,1 A AB.BC a a2 C AB.BC a B AB.BC a D AB.BC Câu 51 Cho tam giác ABC có cạnh a chiều cao AH Mệnh đề sau sai? a a A AH BC B AB, HA 1500 C AB AC D AC.CB 2 Câu 52 Cho tam giác ABC vng A có AB c, AC b Tính BA.BC A BA.BC b B BA.BC c C BA.BC b c D BA.BC b c Câu 53 Cho ba điểm A, B, C thỏa AB cm, BC 3cm, CA 5cm Tính CA.CB A CA.CB 13 B CA.CB 15 C CA.CB 17 D CA.CB 19 Câu 54 Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Tính P AB AC BC c2 b2 a Câu 55 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính P AC CD CA A P b c B P c2 b2 C P B P 3a A P 1 D P c2 b2 a 2 C P 3a D P 2a Câu 56 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 3; 1 , B 2;10 , C 4; Tính tích vơ hướng AB AC A AB AC 40 B AB AC 40 C AB AC 26 D AB AC 26 Câu 57 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 3; b 1; 7 Tìm tọa độ vectơ c biết c.a c.b 20 A c 1; 3 B c 1;3 C c 1; 3 D c 1;3 Câu 58 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a 1; , b 4;3 c 2;3 Tính P a b c A P B P 18 C P 20 D P 28 Câu 59 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 2; 1 b 4; 3 Tính cosin góc hai vectơ a b 5 A cos a, b B cos a, b C cos a, b D cos a, b 5 2 Câu 60 Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Gọi M trung điểm cạnh BC Đẳng thức sau đúng? b c c b B AM BC A AM BC 2 c b a c b a C AM BC D AM BC Câu 61 Cho ba điểm O, A, B khơng thẳng hàng Điều kiện cần đủ để tích vô hướng OA OB AB A tam giác OAB B tam giác OAB cân O Trang 15 C tam giác OAB vuông O D tam giác OAB vng cân O Câu 62 Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8, AD Đẳng thức sau đúng? A AB.BD 62 B AB.BD 64 C AB.BD 62 D AB.BD 64 Câu 63 Cho hình thoi ABCD có AC BD Đẳng thức sau đúng? A AB AC 24 B AB AC 26 C AB AC 28 D AB AC 32 Câu 64 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 7; 3 , B 8; , C 1;5 D 0; 2 Khẳng định sau đúng? A AC CB B Tam giác ABC C Tứ giác ABCD hình vng D Tứ giác ABCD khơng nội tiếp đường tròn Câu 65 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; B 3;1 Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung cho tam giác ABC vuông A A C 0;6 B C 5;0 C C 3;1 D C 0; 6 Câu 66 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP vuông M Biết điểm M 2;1 , N 3; 2 P điểm nằm trục Oy Tính diện tích tam giác MNP 10 16 20 A B C D 3 3 Câu 67 Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn MA MB MC là: A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Câu 68 Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MB MA MB MC với A, B, C ba đỉnh tam giác A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Câu 69 Cho hai điểm A, B cố định có khoảng cách a Tập hợp điểm N thỏa mãn AN AB 2a là: A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Câu 70 Cho hai điểm A, B cố định AB Tập hợp điểm M thỏa mãn MA.MB 16 là: A điểm B đường thẳng Câu 71 Cho tam giác ABC vuông AB.BC BC.CA CA AB A AB.BC BC.CA CA AB 4a C AB.BC BC.CA CA AB 4 a A C đoạn thẳng D đường trịn có AB a , BC a Tính tích vơ hướng B AB.BC BC.CA CA AB a D AB.BC BC.CA CA AB 2 a Câu 72 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính giá trị biểu thức ( AB AD)( BD BC ) A ( AB AD)( BD BC ) 3a B ( AB AD)( BD BC ) a C ( AB AD)( BD BC ) a D ( AB AD)( BD BC ) a Câu 73 Cho tứ giác ABCD có AB BC , CD BD , AD 10 , AC 10 Tìm cơsin góc hai vectơ AC DB Trang 16 A B C D Câu 74 Cho tứ giác ABCD Gọi M , N trung điểm DA, BC Tính góc hai đường thẳng AB CD biết AB CD a , MN a A ( AB, CD) 50 B ( AB, CD) 60 C ( AB, CD) 80 Câu 75 Cho tam giác OAB vuông cân O , cạnh OA Tính 2OA OB A 2OA OB B 2OA OB C 2OA OB 12 D 2OA OB D ( AB, CD) 300 Câu 76 Cho hình thang vng ABCD vuông A , D ; AB CD ; AB 2a ; AD DC a O trung điểm AD Độ dài vectơ tổng OB OC A a B 3a C a D 3a Câu 77 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 1; ; B 1;1 Điểm M thuộc trục Oy thỏa mãn tam giác MAB cân M Khi độ dài đoạn OM A B C 2 D Câu 78 Cho ABC cạnh 2a với M trung điểm BC Khẳng định đúng? a a A MB MC B AM C AM D AM a 2 Câu 79 Cho tam giác vuông cân ABC với AB AC a Khi 2AB AC A a B a C 5a D 2a Câu 80 Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 2;1 , B 2; 1 , C 2; 3 , D 2; 1 Xét ba mệnh đề: I ABCD II ABCD III AC hình thoi hình bình hành cắt BD M 0; 1 Chọn khẳng định A Chỉ I B Chỉ II C Chỉ II III D Cả ba Câu 81 Tìm x để hai vectơ a ( x; 2) b (2; 3) có giá vng góc với A B C 3 D Câu 82 Cho tam giác ABC có A 1; , B 0;3 , C 5; Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC A 0;3 B 0; 3 C 3;0 D 3;0 Câu 83 Cho tam giác ABC có A 1;0 , B 4;0 , C 0; m , m Gọi G trọng tâm tam giác ABC Xác định m để tam giác GAB vuông G Trang 17 A m B m 3 C m D m Câu 84 Cho tam giác ABC có A 1; 1 , B 3; 3 , C 6;0 Diện tích DABC A B C 12 D Câu 85 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm B 1;3 C 3;1 Tìm tọa độ điểm A cho tam giác ABC vuông cân A A A 0;0 A 2; B A 0;0 A 2; C A 0;0 A 2; D A 0;0 A 2; Câu 86 Tìm bán kính đường trịn qua ba điểm A 0; , B 3; , C 3;0 A B 10 C D tam giác ABC gần với giá trị Câu 87 Tam giác ABC có A 1; , B 0; , C 3;1 Góc BAC đây? A 90 B 3652 C 1437 D 537 Câu 88 Cho hai véctơ a , b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a - b = Gọi góc hai véctơ a , b Chọn phát biểu A = 600 B = 300 C cos = Câu 89 Cho hai vectơ u 2; 1 , v 3; Tích u v A 11 B 10 C A 8a B 8a C 3a D cos = D 2 Câu 90 Cho tam giác ABC có cạnh 4a Tích vơ hướng hai vectơ AB AC D 3a Câu 91 Cho ABC đều; AB M trung điểm BC Tích vơ hướng AB.MA A 18 B 27 C 18 D 27 a b Câu 92 Cho hai vectơ Biết a 2, b a, b 300 Tính a b A 11 B 13 C 12 D 14 30, AC Gọi M trung điểm BC Tính giá trị Câu 93 Cho tam giác ABC vuông A có B biểu thức P AM BM A P B P C P D P 2 60 Điểm K thuộc AD thỏa mãn Câu 94 Cho hình bình hành ABCD có AB 2a, AD 3a, BAD AK DK Tính tích vơ hướng BK AC A 3a B 6a C D a Câu 95 Cho tam giác ABC có AB=5, AC=8, BC=7 AB AC bằng: A -20 B 40 C 10 D 20 Câu 96 Cho véc tơ a 1; 2 Với giá trị y véc tơ b 3; y tạo với véctơ a góc 45 A y 9 Trang 18 y 1 B y y 1 C y 9 D y 1 Câu 97 Cho hai vecto a , b cho a , b hai véc tơ x a b , y 2a b vng góc với Tính góc hai véc tơ a b A 120 B 60 C 90 D 30 Câu 98 Cho hình chữ nhật ABCD có AB a AD a Gọi K trung điểm cạnh AD Đẳng thức sau đúng? A BK AC B BK AC a 2 C BK AC a 2 D BK AC 2a Câu 99 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A 1; 17 ; B 11; 25 Tìm tọa độ điểm C thuộc tia BA cho BC 13 A C 14; 27 B C 8; 23 C C 14; 27 C 8; 23 D C 14; 27 C 8; 23 a Câu 100 Cho tam giác ABC vuông A , BC a , M trung điểm BC có AM BC Tính cạnh AB, AC A AB a, AC a B AB a, AC a C AB a 2, AC a D AB a 2, AC a Câu 101 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M 3;1 Giả sử A a ;0 B 0; b (với a, b số thực không âm) hai điểm cho tam giác MAB vuông M có diện tích nhỏ Tính giá trị biểu thức T a b2 A T 10 B T C T D T 17 Câu 102 Cho hình vng ABCD cạnh a M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ADM Tính giá trị biểu thức CG CA DM A 21a B 11a C 9a2 D a2 Câu 103 Cho véctơ a, b có độ dài thoả mãn điều kiện a 3b Tính cos a, b A cos a , b B cos a , b C cos a, b D cos a , b 4 Câu 104 Cho véctơ a , b có độ dài góc tạo hai véc tơ 60 Xác định cosin góc hai vectơ u v với u a 2b , v a b 1 1 A cos u; v B cos u; v C cos u; v D cos u; v Câu 105 Cho hình vng ABCD cạnh Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM , cạnh CD lấy điểm N cho DN P trung điểm BC Tính cos MNP A cos MNP C cos MNP 13 10 13 10 B cos MNP 13 10 D cos MNP 13 45 10 Trang 19 Câu 106 Cho hình chữ nhật ABCD có AB M điểm xác định AM MB , G trọng tâm tam giác ADM Tính MB.GC A MB.GC B MB.GC C MB.GC D MB.GC 8 Câu 107 Cho tam giác ABC vng A có AB a , BC a G trọng tâm Tính tích vơ hướng GA.GB GB.GC GC.GA a2 2a2 A GA.GB GB.GC GC.GA B GA.GB GB.GC GC.GA 3 4a2 5a C GA.GB GB.GC GC.GA D GA.GB GB.GC GC.GA 3 Câu 108 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; 1 B 3; Tìm M thuộc trục tung cho MA2 MB nhỏ A M 0;1 B M 0; 1 1 C M 0; 2 1 D M 0; 2 Câu 109 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 8;0 , B 0; , C 2;0 D 3; 5 Khẳng định sau đúng? BCD phụ A Hai góc BAD C cos AB, AD cos CB, CD góc nhọn B Góc BCD BCD bù D Hai góc BAD Câu 110 Cho hình vng ABCD cạnh Điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM AC Gọi N trung điểm đoạn thẳng DC Đẳng thức sau đúng? A MB.MN 4 B MB.MN C MB.MN D MB.MN 16 Câu 111 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 4;1 , B 2; , C 2; 2 Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác cho 1 A I ;1 B I ;1 C 4 1 I 1; 4 1 D I 1; 4 Câu 112 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3;0 , B 3;0 C 2;6 Gọi H a; b tọa độ trực tâm tam giác cho Tính a 6b A a 6b B a 6b C a 6b D a 6b Câu 113 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 4;3 , B 2;7 C 3; Tìm toạ độ chân đường cao A ' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC A A ' 1; B A ' 1; C A ' 1; D A ' 4;1 Câu 114 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3;0 , B 3;0 C 2;6 Gọi H a; b tọa độ trực tâm tam giác cho Tính a 6b A a 6b B a 6b C a 6b D a 6b Câu 115 Cho tam giác ABC cạnh a Tập hợp điểm M MA2 MB MC Trang 20 thỏa mãn đẳng thức 5a nằm đường trịn C có bán kính R Tính R A R a B R a C R a Câu 116 Cho tam giác ABC cạnh 18cm Tập hợp điểm M MA 3MB MC MA MB A Tập rỗng a D R thỏa mãn đẳng thức B Đường trịn cố định có bán kính R cm C Đường trịn cố định có bán kính R 3cm D Một đường thẳng Câu 117 Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 2; 3 , B 3; 4 Tìm tọa độ điểm M trục hồnh cho chu vi tam giác AMB nhỏ 18 A M ;0 B M 4;0 7 C M 3;0 A E 4;0 C E 1;0 17 D M ;0 Câu 118 Cho M 1; , N 3; , P 4; 1 Tìm E Ox cho EM EN EP nhỏ B E 3;0 D E 2;0 Câu 119 Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK 3KJ , I trung điểm cạnh AB ,điểm K thỏa mãn KA KB KC Một điểm M thay đổi thỏa mãn 3MK AK MA MB MC Tập hợp điểm M đường đường sau A Đường trịn đường kính IJ B Đường trịn đường kính IK C Đường trịn đường kính JK D Đường trung trực đoạn JK Câu 120 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A 1;0 ; B 1;1 ; C 5; 1 Tọa độ trực tâm H tam giác ABC A H 1; B H 8; 27 C H 2;5 D H 3;14 Câu 121 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy ; cho tam giác ABC có A(1;1), B (1;3) trọng tâm 2 G 2; Tìm tọa độ điểm M tia Oy cho tam giác MBC vuông M 3 A M 0; 3 B M 0;3 C M 0; D M 0; 4 Câu 122 Trên hệ trục tọa độ xOy , cho tam giác ABC có A 4;3 , B 2;7 , C 3; Tọa độ chân đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC A 1; 4 B 1; C 1; D 4;1 Câu 123 Cho tam giác ABC cạnh a Lấy M , N , P nằm ba cạnh BC , CA, AB cho BM MC , AC AN , AP x , x Tìm x để AM vng góc với NP A x 5a 12 B x a C x 4a D x 7a 12 Câu 124 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC Biết A 3; 1 , B 1; I 1; 1 trọng tâm tam giác ABC Trực tâm H tam giác ABC có tọa độ a; b Tính a 3b A a 3b B a 3b C a 3b D a 3b 2 Trang 21 Câu 125 Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB 2a , cạnh đáy AD a BC 3a Gọi M điểm đoạn AC cho AM k AC Tìm k để BM CD A B C D Câu 126 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 2;0 , B 0; C 0;7 Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D hình thang cân ABCD A D 7;0 B D 7;0 , D 2;9 Trang 22 C D 0;7 , D 9; D D 9; ... ' yy ' PHẦN CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TÍNH TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ, TÍNH GĨC GIỮA HAI VECTƠ a) Để tính tích vơ hướng hai vectơ, ta sử dụng: + Nếu có... Tích u v A 11 B ? ?10 C A 8a B 8a C 3a D cos = D 2 Câu 90 Cho tam giác ABC có cạnh 4a Tích vơ hướng hai vectơ AB AC D 3a Câu 91 Cho ABC đều; AB M trung điểm BC Tích. .. tính tích vơ hướng a 2a b , 3a 4b 2a 3b Câu Cho a 3, b 2, a 3b Tính 2a b Câu 10 Trong mặt phẳng Oxy cho A 1;1 , B 2; , C ? ?10;