(SKKN mới NHẤT) nhận dạng tam giác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA TOÁN Nhóm thực Lê Nguyễn Minh Trung Nguyễn Anh Tuấn Nguyễn Thuý Uyên Nguyễn Thị Thanh Vui Trần Đức Vương Nguyễn Thị Kim Xuyến Giáo viên hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ Quy Nhơn, tháng 11/2009 LỜI NÓI ĐẦU Nhận dạng tam giác vấn đề không mới, dễ tìm thấy sách thị trường với nhiều tác giả khác Nhưng TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com thấy tài liệu trình bày chưa chặt chẽ khái quát, chưa sâu vào phương pháp thiết lập đề toán Với tiểu luận mong đóng góp số kiến thức để giải toán nhận dạng tam giác phương pháp đề cho dạng Bài tiểu luận gồm: Chương 1: Nhận dạng tam giác cân Chương 2: Nhận dạng tam giác vuông Chương 3: Nhận dạng tam giác Chương 4: Nhận dạng tam giác khác Trong chương đưa số ví dụ điển hình cho phương pháp giải, đồng thời có mở rộng nhận xét, cuối chương phương pháp đề cho dạng toán Chúng xin tỏ lời cám ơn chân thành đến thầy giáo Dương Thanh Vỹ số bạn lớp sư phạm Toán K29 Trường Đại học Quy Nhơn Vì thời gian khả có hạn nên tiểu luận chắn có nhiều sai xót hạn chế Chúng mong đóng góp ý kiến xây dựng phê bình độc giả Nhóm thực TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Một số hệ thức lượng tam giác: ( ABC không tam giác vuông) (Đẳng thức hàm Côsin suy rộng) Một số bất đẳng thức lượng tam giaùc: Dấu xảy bất đẳng thức ABC Việc chứng minh bđt xin dành cho bạn đọc CHƯƠNG 1: NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com - Các toán thuộc loại có dạng sau: cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện đó, thường cho dạng hệ thức Hãy chứng minh ABC cân - Phải lưu ý tính đối xứng toán để định hướng phép biến đổi Chẳng hạn cân C tập trung vào chứng minh A=B - Các toán nhận dạng tam giác cân chia thành loại sau: LOẠI I: SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG THỨC Từ giả thiết đến kết luận cách vận dụng hệ thức lượng tam giác, công thức biến đổi lượng giác VD1: Cho ABC thoả (1) CM ABC cân ABC cân C NX: Từ (1) thay góc C góc B ta toán: cho ABC cân B Tương tự thay góc C góc A ta toán: cho ABC cân A Như toán CM ABC cân, ta hoán đổi vị trí góc ta thu ABC cân vị trí khác VD2: Cho ABC có (1) CM ABC cân Ta thấy (1) chứa yếu tố góc cạnh Đối với toán ta CM ABC cân theo cách A=B a=b Tuỳ vào biểu thức toán mà ta chọn biến đổi góc hay cạnh cho thuận lợi Cách 1: (1) p dụng định lý hàm Sin ta được: TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ABC cân C Cách 2: (1) a=b ABC cân C Chú ý: Ta có VD3: Cho CM ABC thoả (1) ABC cân Nên cân C NX: Từ (1) ta biến đổi sau Tiếp tục chuyển vế đặt thừa số chung ta được: Cách khác: TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Từ (*) ta xét hàm tăng Vì vậy: (*) Chú ý: Trong toán CM tam giác cân ta thường gặp vế biểu thức đối xứng Trong trường hợp ta sử dụng phương pháp hàm số: Tính chất: Nếu hàm  tăng (hoặc giảm) khoảng (a,b) Thì : VD4: Cho ABC thỏa: (1) Tam giác ABC tam giác ? (1) (*) NX: Ta dùng tính chất tam thức bậc hai để nhận dạng đa giác Thật vậy: Đặt có nghiệm Nên: Khi đó: VD5: Cho ABC thỏa mãn hệ thức C≠ 900 CM (1) ABC tam giác cân TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com (1) Có khả sau: 1)Nếu 2)Neáu sin2A – sin2B =0 (2) Do C≠ 900 A+B ≠ 900 2A+2B ≠ 1800 hiển nhiên 0C => => (2) Do b>c => > (3) Từ (2) (3) suy ra: : mâu thuẫn với (1) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com b) sin A B sin sin 2 =        Vậy  ABC e) tg + tg + tg =   (*) Mà Từ (*) suy    A=B=C Vậy  ABC f) cotgA + cotgB + cotgC = Bằng cách áp dụng hệ thức cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgCcotgA = biến đổi giống phần (e) Tacó: (cotgA – cotgB )2 + (cotgB – cotgC)2 + (cotgC – cotgA)2 = => => A = B = C Vậy ABC Ví dụ1: Giả s  ABC thoả mãn điều kiện: 2(acosA + bcosB + ccosC) = a + b + c Chứng minh  ABC TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com p dụng định lý Sin ta coù a=2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC ( với R bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC), hệ thức cho tương đương với: 2sinA cosA + 2sinB cosB + 2sinCcosC = sinA + sinB + sinC  sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC (*) Tacoù sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A + B)cos( A – B ) – 2sin( A + B)cos( A + B) = 2sin (A + B)(cos(A + B) – cos (A + B)) = 4sinAsinBsinC Tacoù sinA + sinB + sinC = (dạng toán bản.) Vậy  ABC Ví dụ : CMR A,B,C ba góc tam giác thoả mãn tam giác Hệ thức cho tương ứng với ( dạng toán bản) Vậy  ABC Ví dụ3 : Cho  ABC thoả mãn thức: Chứng minh  ABC tam giác Biến đổi giả thiết cho dạng sau 2ab + 2ac + 2bc = a2 + b2 + c2 + S (1) Aùp dụng định lí hàm số Côsin suy rộng, ta có a2 + b2 + c2 = (cotgA + cotgB + cotgC)4S TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Kết hợp công thức ab = , bc = , ca = Khi (1) (*) (dạng toán bản) Vậy  ABC Chú ý:  ABC thoả mãn thức tam giác Thật (*)  cotgA + cotgB + cotgC = S  ABC (dạng toán bản) Vậy  ABC Nhận xét: Qua số ví dụ trên, ta tạo số toán nhận dạng tam giác phương pháp sau: Ta xuất phát từ toán bản, kết hợp với hệ thức lượng tam giác, định lí sin, cosin, biến đổi đưa toán 2) Phương pháp sử dụng mệnh đề Ví dụ1: Chứng minh ABC có = 9r  ABC Ta coù + hb + hc = 9r  Vậy  ABC Ví dụ 2: CMR  ABC ta có ( p: nửa chu vi, R bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC)  ABC tam giác Ta có: (*)  TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Ta coù sin2A + sin2B + sin 2C = sinAsinBsinC = (**)   (ab + bc+ ca) (a + b + c)=9abc  a2b + bc2+ ab2 + ac2+ b2c+ a2c = 6abc  b(a2+c2- 2ac) + a(b2+ c2 - 2bc) + c(a2 + b2 – 2ab)=0  b(a - c)2 + a(b - c)2 + c(a - b)2   a=b=c Vậy  ABC Ví dụ 3: CMR  ABC ta có Ta có  ABC Suy hệ thức cho tương ứng Theo định lý hàm sin, ta có a= 2RsinA, b =2RsinB, c= 2RsinC (*) (*)  2RsinB + 2RsinC =     2RsinB + 2RsinC = sinA + 2RsinB + 2RsinC = sin(B+C) + 2RsinB + 2RsinC = sinBcosC+ sinCcosB + (2RsinB - sinB cosC) +(2sinC- sinCcosB -  2sinB + sinC =0 =0  2sinB =0   Vậy  ABC Ví dụ 4: Cho  ABC thoả (1) CMR  ABC  Đặt Khi (1)     z = y = x  2x = 2y = 2z  a = b =c Vậy  ABC LOẠI II: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC - Từ điều kiện toán (thường hệ thức, bất đẳng thức)sử dụng phép biến đổi lượng giác để dẫn đến TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com bất đẳng thức đơn giản, đánh giá điều kiện dấu xảy - Thiết lập hệ phương trình xác định mối quan hệ góc, cạnh tam giác, qua nhận dạng tam giác Ví dụ 1: Cho  ABC thỏa điều kiện cosAcosBcosC = (*) Chứng minh ABC Từ giả thiết suy ABC nhoïn (cos A > 0, cos B > 0, cos C > 0) Ta coù: cosA cosB = = Vậy < cosA cosB Tương tự ta coù Suy cosA CosB = cosB cosC = cos (A-B) = cos (B-C) = cosC cosA = Hay A=B=C cos (C-A) = Vậy ABC Ví dụ 2: Cho ABC thỏa đk Xác định dạng ABC ? Từ điều kiện cosA Mặt khác sin2A + Sin2B =2sin(A+B)cos(A-B) Dấu “=” xảy SinA = SinB = SinC Vậy ABC vuông cân A  Hai ví dụ sử dụng bđt lượng giác đơn giản tam giác để nhận dạng tam giác Ngoài bđt ta sử dụng bđt đại số bđt Cosi, bđt Bunhiacopxki, Jesen,…… để nhận dạng tam giác TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Nhận dạng tam giác cách sử dụng BĐT Cosi Ví dụ 3: CMR ABC Xét ABC tù Giả sử A > Vậy tgC C Vậy Xét trường hợp ABC nhọn Áp dụng bđt Cosi ta có Dấu “=” xảy Tương tự Dấu “=” xảy Dấu “=” xảy Suy hay Dấu “=” xảy ABC Xét ví dụ 1: Phần I,2 Ta chứng minh cách sử dụng bất đẳng thức Cosi Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Dấu “=” xảy ABC Ví dụ 2: Cho ABC, thoả (1) CMR ABC dấu ”=” xảy Ta có (1) Ta cần xét VT(1) số Khi dễ chứng minh thừa lớn không Đặt x = 3a-b-c y = 3b-a-c z = 3c-a-b Khi a= b= c= (1) Theo bất đẳng thức Cosi ta có (2) 2x+y+z = x+x+y+z (3) x+2y+z (4) x+y+2z (5) Nhaân vế (3),(4) (5) đpcm Dấu “=” xảy đồng thời có dấu “=” (3),(4) (5) tức Vậy ABC Ví dụ 3: Cho ABC thỏa (1) CMR ABC Theo định lí hàm số Sin ta có acosA + bcosB + ccosC = R (sin2A+sin2B+sin2C) = 4Rsin2Asin2Bsin2C (2) Theo bất đẳng thức Cosi, ta có acosA + bcosB + ccosC (3) asinA + bsinB + csinC Do từ (2) (3) suy (4) Dấu “=” (4) xảy dấu “=” (3) xảy TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Khi ño ù aSinA = bSinB = cSinC Sin2A = Sin2B = Sin2C SinA = SinB = SinC A = B = C Laïi theo bất đẳng thức Côsi ta có (5) Dấu “=” (5) xảy A = B = C Từ (5) (6) suy = Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki nhận dạng tam giác ABC thoả tg6 Ví dụ 4: Cho + tg6 + tg6 = CMR ABC Ta có tg6 + tg6 + tg6 tg3 tg3 + tg3 Daáu “=” (1) xảy tg tg3 + tg3 = tg3 tg3 = tg3 A= B= C Ñaët x = tg tg , y = tg tg , z = tg tg x+y+z=1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có (x+y+z)(x 3+y3+z3) (x2+y2+z2) Dấu “=” (2) xảy x = y = z A = B + C Ví dụ 5: Cho ABC thoaû 2(la + lb + lc) = (a + b + c) CMR ABC Áp dụng công thức = Áp dụng bất đẳng thức Cosi suy Dấu “=” (1) xảy (1) b=c Tương tự ta có (2) (3) Dấu “=” (2) xảy Từ (1),(2) (3) suy la + Dấu “=” (4) xảy Vậy ABC p dụng bất đẳng thức 1, 1, 1,ta có a=c (3) a=b lb + lc ( + + ) (4) đồng thời có dấu “=” (1),(2) (3) Bunhiacopxki với dãy Dấu “=” (5) xảy p – a = p – b = p – c Vậy ABC TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Từ (4) (5) ta có Dấu “=” xảy đồng thời có dấu “=” (4) (5) tức ABC * Ví dụ 1, phần I, sử dụng BĐT Bunhiacopxki Ta có + hb + hc = 9r   Dùng bất đẳng thức Bunnhiacopxki, ta có 9= Dấu “=” xảy Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ 6: Cho  ABC thoả CMR  ABC Ta có (1) Dấu “=” (1) xảy Đặt , , A=B=C x+y+z=1 p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai dãy Ta có (x+y+z)(x3+y3+z3)  (x2+y2+z2) (2) Dấu “=” (2) xảy x = y = z A=B=C Từ (1) (2) suy Dấu “=” xảy đồng thời có dấu (1) (2) Vậy  ABC Nhận dạng tam giác cách sử dụng bđt Jensen Ví dụ 1: CMR  ABC thoả Xét hàm số f(x)= , với 00 g’’(x)>0 Theo tính chất  g(x) hàm lồi bất đẳng thức Jensen, ta có (1) Tương tự, ta có: (2) (3) Cộng trừ vế (1), (2) vaø (3) suy tgA + tgB + tgC (4) Dấu xảy (4) đẳng thức có dấu “=” (1), (2) (3) suy A = B = C TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Tương tự g(x) = cotgx hàm lồi x  cotgA + cotgB + cotgC (5) Dấu “=” (5) xảy A = B = C Nhân vế (4), (5) Suy đpcm Dấu “=” xảy đẳng thức có dấu (4) (5) tức  ABC Nhận xét: Từ toán nhận dạng ta đưa toán nhận dạng cho tam giác cách từ bất đẳng thức đại số có điều kiện (mà ta đánh giá điều kiện dấu xảy ra) kết hợp với yếu tố lượng giác, yếu tố góc cạnh tam giác để đến đẳng thức tam giác CHƯƠNG 4:NHẬN DẠNG TAM GIÁC KHÁC Tiếp theo xin trình bày số toán liên quan đến giải tam giác có tính chất khác Ví dụ 1: Xác định góc  ABC nếu: (1) Cách 1: (1) (1’) Đặt t = t (1’) Đặt (0,1) =0 = Ta coù: ’ = , t ,t (0,1) (0,1) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Cách 2: Ví dụ 2: (*) (*) xảy Nếu cos(B-C) < >900 C > 900 Do Suy B = C Và Nhận xét: Từ cách giải hai ví dụ ta thấy việc nhận xét quan trọng Nhờ nhận xét mà ta giải toán Ví dụ 3: Cho  ABC thoả b(a2-b2) = c(c2-a2) Nhận dạng tam giác Ta có Bài ta biến đổi sau: Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy việc giải toán nhận dạng tam giác cần ý điểm sau: + Cần phân biệt toán nhận dạng toán chứng minh (Tức phải tìm tất tính chất tam giác) + Khi giải toán nhận dạng thường hay dùng phép biến đổi tương đương dạng phương trình tích tổng số hạng (không âm không dương) để đánh giá Một số tập đề nghị: TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bài 1: Tam giác ABC có đẳc điểm nếu: sin6A + sin6B + sin6C = HD: Dùng phép biến đổi tương đương chuyển phương trình tích Bài 2: Nhận danïg tam giác ABC thoả (2) HD: (2) Sau chuyển dạng:   ABC có góc 600 Trong trường hợp vế phải (2) thay nào? kết Bài 3: Cho tam giác ABC có cạnh thoả: , , , Hãy nhận dạng tam giác ABC HD: Xét điều kiện x để tồn tam giác Bài 4: Nhận dạng tam giác ABC bieát: sin5A + sin5B + sin5C = HD: Ta biến đổi tương đương đẳng thức dạng: Ta khái quát: Nhận dạng tam giác ABC thoả sin(mA) + sin(mB)+ sin(mC) = sin(mA) + sin(mB) + sin(mC) = Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện: (1) (2) Chứng minh  ABC có góc 360 HD: (1) Giả sử  A=36 A= 1080 Từ (2) cosA; cosB; cosC 0) Để thoả mãn (1) (2) A=360 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com KẾT LUẬN Trong khuôn khổ đề tài làm được: Tổng hợp số toán liên quan đến nhận dạng tam giác Sau lần toán, rút nhận xét, lưu ý toán mở rộng toán Sau chương nêu phương pháp để thiết lập toán nhận dạng tam giác để bạn tham khảo Chúng hy vọng tiểu luận tài liệu tham khảo cho người dạy học môn lượng giác nói chung nhận dạng tam giác nói riêng Rất mong nhận góp ý bạn đọc TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Đậu Thế Cấp (chủ biên):Toán nâng cao lượng giác, NXB Đại học Quốc Gia TP.HCM TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Nguyễn Đức Đồng – Nguyễn Văn Vónh: 23 phương pháp chuyên đề bất đẳng thức toán cực trị lượng giác, NXB trẻ Võ Giang Giai: Chuyên đề hệ thức lượng tam giác, NXB Đại học Quốc Gia TP.HCM Phan Huy Khải – Nguyễn Đạo Phương: Các phương pháp giải toán sơ cấp lượng giác, NXB Hà Nội – 2000 Phan Huy Khải: 10000 toán sơ cấp bất đẳng thức kinh điển, NXB Hà Nội – 1998 Trương Quang Linh:140 toán hệ thức lượng tam giác 7.103 trigonometry problems 8.Tạp chí toán học tuổi trẻ 9.Các trang web: -www.Thuvienbachkim.vn -www.violet.vn -www.math@.vn TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ... toán nhận dạng tam giác phương pháp đề cho dạng Bài tiểu luận gồm: Chương 1: Nhận dạng tam giác cân Chương 2: Nhận dạng tam giác vuông Chương 3: Nhận dạng tam giác Chương 4: Nhận dạng tam giác. .. vuông CHƯƠNG 3:NHẬN DẠNG TAM GIÁC ĐỀU Tam giác tam giác đẹp, tam giác có cạnh ba góc Bài toán nhận dạng tam giác lớp toán quan trọng lớp toán đa dạng chuyên mục ? ?nhận dạng tam giác? ?? Trong mục... vế phải (2) thay nào? kết Bài 3: Cho tam giác ABC có cạnh thoả: , , , Hãy nhận dạng tam giác ABC HD: Xét điều kiện x để tồn tam giác Bài 4: Nhận dạng tam giác ABC biết: sin5A + sin5B + sin5C