(SKKN mới NHẤT) bất đẳng thức cauchy và một số ứng dụng

Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu Chương 1: Cơ sở lý luận Bất đẳng thức Cauchy Hệ bất đẳng thức Cauchy Chương 2: Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy 3 I Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức II Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải phương trình, bất phương trình III Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào tìm GTLN- GTNN 13 Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy 13 Ứng dụng vào tìm GTLN- GTNN 17 IV Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh tính chất nghiệm 20 Kết luận 21 Tài liệu tham khảo 22 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng MỞ ĐẦU 1- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Bất đẳng thức mảng kiến thức khó tốn học phổ thơng mà học sinh cần phải nắm được, ứng dụng bất đẳng thức xuyên suốt chương trình tốn học THPT Đặc biệt phải kể đến mảng ứng dụng , lí nên tơi chọn đề tài : “ Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng ’’ Đề tài giúp hiểu sâu phương pháp dậy tập bất đẳng thức cho học sinh 2- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Để cho học sinh thấy vai trò bất đẳng thức Cauchy giải toán Yêu cầu đạt đến học sinh thấy rõ, hiểu biết cách vận dụng bất đẳng thức Cauchy thực hành giải toán 3- ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Đối tượng nghiên cứu đề tài vận dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải số toán liên quan đề thi HSG tuyển sinh ĐH 4- NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : Đưa sở lí luận bất đẳng thức Cauchy Từ mơ tả phân tích để tìm biện pháp dậy cho học sinh cách vận dụng vào giải toán 5- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH : Với tảng sở lí luận phương pháp dạy tốn học , địi hỏi phương pháp phân tích sản phẩm , tổng kết kinh nghiệm để út lí thuyết cho thân người dạy 6- KẾT CẤU CỦA ĐỀ TÀI : Đề tài gồm chương : Chương : Cơ sở lí luận Chương : Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Chương : Cơ sở lí luận 1.BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Cho Ta có : Dấu , (1) xảy CM  Với ta có : ( ln đúng)  Giả sử (1) với , tức : với Đặt Ta chứng minh (1) Thật , giả sử , Vì Do : (đúng) Dấu xảy Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1)  Với hiển nhiên bất đẳng thức (1) HỆ QUẢ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY + Hệ 1: Nếu xảy + Hệ 2: Nếu xảy Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Chương : Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy I.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CHỨNG MINH BĐT Bài toán (BĐT Bernoulli) Cho :  , ta có:  (2) Dấu , ta có : (3) Dấu xảy xảy CM  Trước hết ta chứng minh + Với bđt (2) hiển nhiên + Với Dấu + Với , đặt Khi ta có : xảy , giả sử số vơ tỷ tùy ý Khi nên tồn dãy số hữu tỷ mà Với n , ta có : tập trù mật chuyển qua giới hạn ta có : hay Như BĐT (2) chứng minh trọn vẹn  + Với , bđt (3) hiển nhiên + Với , đặt Ta có : Dấu Giả sử xảy số vơ tỷ tùy ý , mà trù mật nên hữu tỷ , Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng ta có : Chuyển qua giới hạn , : hay Như bđt (3) chứng minh hoàn toàn Bài tốn : Cho Ta có : (4) Dấu xảy CM Đặt   , BĐT (4) hiển nhiên , áp dụng BĐT cauchy cho số số Do : ta : Dấu xảy ( đpcm) Chú ý : + Ta chứng minh BĐT (4) nhờ BĐT Bernoulli sau : Đặt Khi : (4) , ta có : Do : Dấu “ = ” xảy + Nếu thay điều kiện điều kiện cách chứng minh thứ hợp lí + Các BĐT (2), (3) , (4) chứng minh đạo hàm Bài tốn 3: Cho Chứng minh rằng: Dấu “ = ” xảy Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng CM Áp dụng BĐT CauChy cho số , ta có : Tương tự ta có : Cộng vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta điều phải chứng minh MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ: Cho , Đặt Chứng minh : Cho Chứng minh : , Cho Chứng minh : , , Cho (chẵn) Chứng minh : , Chú ý : Với việc sử dụng đẳng thức sau : Ta có lời giải BĐT Cauchy thật đẹp cho Cho Chứng minh , ta có : thỏa mãn điều kiện Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng II ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT , BPT ,HPT, HBPT ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT, BPT Ví dụ Giải pt sau : Lời giải Điều kiện Ta có : Vậy nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình sau : Do lời giải khơng nghiệm pt , nên chia vế cho ta : Dấu “ = ’’ xảy Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ Tìm nghiệm x, y bất phương trình sau : (1) Lời giải Đặt thành : Khi phương trình( 1) trở (2) Giả sử nghiệm BPT (2) , điều có nghĩa nghiệm BPT (1) Tức : (*) Mặt khác theo BĐT Bernoulli , ta lại có : mâu thuẫn với ( *) Vậy BPT cho vô nghiệm Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ví dụ Chứng minh BPT sau khơng có nghiệm ngun dương: a) (1) b) (2) Lời giải a) Từ ( ) suy Giả sử nghiệm BPT (1) , tức : (*) Theo BĐT Bernoulli , ta có : Và Do : Mâu thuẫn (*) suy điều giả sử sai Vậy BPT (1) vô nghiệm b) làm tương tự ý a 2.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI HPT, HBPT Ví dụ Giải hệ phương trình sau : Lời giải Điều kiện Từ (1) Từ (2) (4) (5) Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Dấu “ = ’’ (4) (5) xảy đồng thời Thay vào (1) thoả mãn (3) Vậy HPT cho có nghiệm Nhận xét :  Thay lý luận dấu “ = ’’ (4) (5) xảy đồng thời , ta làm sau : Từ (4) (5) (6) vào (3) ta : (7) Từ (2), (6),(7) theo định lí Vi-ét x, y,z nghiệm phương trình sau :  Với cách làm phương trình (3) khơng cần thiết  Ta trình bày lời giải tốn theo cách sau : Vì vai trị Khơng tính tổng qt ta giả sử Ta có Dấu xảy mãn phương trình (1) Vậy Thế vào (2) ta thoả nghiệm hệ cho Bình luận : Với cách làm ta thấy phương trình (1) cần thay giả thiết đủ Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm dương : Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Lời giải  Giả sử hệ có nghiệm nguyên dương , tức : Ta có : Mặt khác : Từ (4) (5) suy  Với , ta có : nghiệm (phân biệt trùng nhau) phương trình sau : Vậy với , ycbt thoả mãn 10 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ví dụ Tìm a,b thoả mãn : Lời giải Từ (1) ta có : Do a,b Từ (2) ta có : Giả sử , từ (3) suy  Với , từ (4) (mâu thuẫn (3) )  Với , từ (4) suy kết hợp với (3) ta Dễ dàng kiểm tra thấy có cặp (1 ; 9) thoả mãn Vậy nghiệm hệ BPT cho Ví dụ Tìm nghiệm dương HBPT sau : Lời giải Áp dụng BĐT cauchy ta có : Tương tự , ta có : Do : + Từ (2) (3) suy nghiệm HBPT cho : Dấu “ = “ xảy Vậy 11 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1.Tìm thoả mãn : 2.Giải phương trình sau : 3.Tìm GTLN tham số a để BPT sau có nghiệm : 4.Giải HPT , HBPT sau : a) c) b) d) e) f) III ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO TÌM GTLN - GTNN 12 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng 1.KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BĐT CAUCHY Giả sử ta cần chứng minh, BĐT sau : 1.1 Trường hợp : biểu thức đối xứng Ta dự đoán dấu “ = ’’ BĐT (*) xảy Kiểm tra lại dự đốn kết hợp với điều kiện xảy dấu “ = ’’ BĐT cauchy , ta tìm số đánh giá giả định Từ đưa lời giải tốn Ví dụ 1: Cho Chứng minh : Lời giải Dự đốn Do ta cần chọn cho : Từ ta có lời giải sau : Dấu “ = ” xảy (đpcm) Ví dụ : 13 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Cho Chứng minh : Trước tiên ta xét đánh giá giả định sau : (*) Mặt khác , ta lại có : Do (*) ln ta chọn thoả mãn : Khi , ta có lời giải sau : Ta có : , Cộng vế với vế BĐT ta ĐPCM Ví dụ : Cho Chứng minh : Trước tiên ta dự đoán dấu “ = ” xảy Khi Do : 14 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Tương tự ta có : Cộng vế với vế BĐT ta được: 1.2 Trường hợp : Trong biểu thức khơng có tính đối xứng Khi việc dự đoán dấu “ = ’’ BĐT (*) cho lớp toán khó Kết việc chủ yếu dựa vào kinh nghiệm trực quan toán học người làm tốn Ví dụ : Cho Trước tiên , ta dự đoán Biểu diễn S dạng sau : Như ta cần chọn số Chứng minh : , thoả mãn thoả mãn điều kiện sau : Thế (1),(2),(3) vào (4) ta : 15 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ta cần chọn cho thay vào (5) ta khai biểu thức có chứa dấu Dễ thấy đáp ứng yêu cầu Khi ta có lời giải đẹp sau : LG Ta có : Dấu “ = “ xảy Ví dụ : Cho Chứng minh : Trước tiên ta dự đoán , Ta biểu diễn P dạng sau : Như , ta cần chọn thoả mãn điều kiện sau : Thay (2) vào (3) ta : Dễ thấy thoả mãn (4) , thay vào (1) ta Khi , ta có lời giải sau : 16 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Dấu đẳng thức xảy ỨNG DỤNG VÀO TÌM GTLN - GTNN Ví dụ : Cho Tìm GTNN biểu thức sau : Do LG khơng có mối quan hệ ràng buộc Nên để tìm MinS ta có cách sau Cách Sử dụng BĐT Cauchy ngược ta có : Ta có : Do : Vậy , Cách Sử dụng BĐT Cauchy thuận ta có : Ta có Do đó, ta có kết cách Ví dụ : Cho Tìm GTLN : 17 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng LG Nhận xét : Rõ ràng với điều kiện cho theo hệ BĐT cauchy Mặt khác , Vậy ta cần chọn cho : Dễ dàng thấy Vậy Khi ta có lời giải sau : , Ví dụ : Cho phương trình : Trong tất nghiệm dương Hãy nghiệm với tổng : Đặt nhỏ với Lời giải Theo BĐT cauchy , ta có : Và Do : 18 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Vậy Dấu “ = “ xảy (*) Vậy , đạt có (*) MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : Cho Tìm GTLN : Tìm giá tị nhỏ hàm số: Với Cho Tìm GTLN Tìm GTLN Tìm GTLN , GTNN hàm số : IV.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CM TÍNH CHẤT NGHIỆM 19 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ví dụ : Chứng minh phương trình dương , ( (1) có nghiệm ) Lời giải Giả sử nghiệm (1) ta có : Dấu “ = ” xảy Nhưng không thoả mãn (1) Do Ví dụ : Chứng minh phương trình : khơng thể có nghiệm khơng âm Lời giải Giả sử phương trình cho có nghiệm Theo định lý Vi-et ta có : Mặt khác theo BĐT Cauchy , ta lại có : ( vơ lý ) Vậy điều giả sử sai , tức phương trình cho khơng thể có nghiệm khơng âm Ví dụ : Cho , có n nghiệm thực Chứng minh Vì Lời giải > nên n nghiệm nghiệm dương Giả sử Khi khơng có có dạng : 20 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng ( với ) Theo định lý Vi-et Áp dụng BĐT Cauchy ta : KẾT LUẬN Như biết, bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức tiếng phạm vi ứng dụng rộng rãi Ngồi việc vận dụng để chứng minh bất đẳng thức đại số bất đẳng thức Cauchy sử dụng các chứng minh bất đẳng thức lượng giác hay tốn cực trị hình học Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu không nhiều nên chuyên đề vấn đề thú vị chưa đề cập đến Trên số kinh nghiệm có q trình dạy hoc, tìm tịi tự bồi dưỡng nghiệp vụ chun mơn Các ví dụ sưu tầm chọn lọc kĩ lưỡng từ đề thi đại học năm đề thi học sinh giỏi tỉnh nước Mặc dù cố gắng song kinh nghiệm cịn khiêm tốn Mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô bạn động nghiệp nội dung hình thức trình bày để chun đề hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Mê Linh , ngày 10 tháng 05 năm 2011 Giáo viên Trần công Văn 21 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO Bất đẳng thức ( Phan Đức Chính) Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số (Nguyễn Đức Tấn) Báo toán học tuổi trẻ Báo toán tuổi thơ 22 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ... LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Chương : Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy I .ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CHỨNG MINH BĐT Bài toán (BĐT Bernoulli) Cho... skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng ( với ) Theo định lý Vi-et Áp dụng BĐT Cauchy ta : KẾT LUẬN Như biết, bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức tiếng phạm vi ứng dụng rộng rãi Ngồi việc vận dụng. .. Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Chương : Cơ sở lí luận 1.BẤT ĐẲNG THỨC