(SKKN mới NHẤT) ứng dụng tam thức bậc hai vào việc tìm cực trị của hàm số

Lời nói đầu Có lẽ “tam thức bậc hai” khía cạnh quen thuộc chúng ta: người học tốn ,nghiên cứu tốn…Nó xun suốt chương trình Trung học phổ thơng,tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng,việc sử dụng công cụ giúp giải loạt toán giải tích,hình học,cũng lượng giác “Tam thức bậc hai” xuất nhiều sách.Tuy nhiên tác giả đề cập cách tổng quan,chung chung ,chứ chưa sâu vàotừng vấn đề,ứng dụng cụ thể Vì nhóm nghiên cứu chúng tơi lựa chọn đề tài “Ứng dụng tam thức bậc hai vào việc tìm cực trị hàm số”_Đây ứng dụng đặc sắc tam thức bậc hai.Nhằm cụ thể hóa dạng tập sở ứng dụng tam thức bậc hai vào việc tìm cực trị hàm số Trong đề tài ,chúng tơi chia làm hai phần chính: Phần 1: Nêu sở lý thuyết trọng tâm Phần 2:Đưa hệ thống tập bao gồm dạng từ dễ đến khó Dạng 1: Hàm số y = f(x) = Dạng 2: Hàm số y = f (x) = Dạng 3: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối hàm số chứa thức Dạng 4: Hàm số lượng giác Dạng 5: Tìm Dạng 6: Tìm Trong dạng ,chúng lựa chọn để đưa số tập có giải mẫu từ đơn giản đến phức tạp số tập tự giải.Đặc biệt dạng dạng tập hay cồng kềnh với việc ứng dụng tam thức bậc hai ta thấy lời giải thật gọn nhẹ Vì thời gian khả cịng hạn chế nên chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến bạn để đề tài chúng tơi hồn thiên Chúng tơi cung xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo Dương Thanh Vỹ hướng dẫn chúng tơi q trình làm đề tài TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Phần I: MỘT SỐ KIẾN THỨC TRANG BỊ Xét dấu tam thức bậc hai có dạng f(x) = Đặt Khi ( ) ta đặt Ta có f(x1)=f(x2)=0 x1, x2 hai nghiệm tam thức bậc hai ( hai nghiệm phương trình bậc hai )  Định lý Viét thuận: Nếu phương trình bậc hai :ax2+bx+c=0 (a ≠ ) có hai nghiệm x1,x2 (giả sử x1 < x2)  Mệnh đề:  Hệ (Định lý Viét đảo): Nếu hai số có tổng S, có tích P hai số nghiệm phương trình ( với )  Chú ý Nếu ( hai nghiệm trái dấu ) Ta có hai trường hợp nhỏ: Nếu ( hai nghiệm âm ) Nếu ( hai nghiệm dương ) Tính chất đồ thị (P): y = f(x) = Trong (d) parabol có đỉnh nghiệm kép tam thức bậc hai trục đối xứng (P) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bằng đồ thị ghi nhớ định lý cịn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tam thức bậc hai sau: a>0 a ta cần xét ba trường hợp TH1: Hoành độ đỉnh parabol x0 = GTNN hàm số GTLN hàm số TH2: Nếu x0 = TH3: Nếu x0 = đạt x = x0 GTNN là: đạt GTLN là: đạt GTNN là: đạt GTLN là: đạt * Giả sử a < 0, xét tương tự TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Lưu ý Ngồi phương pháp đánh giá khơng loại trừ khả áp dụng bất đẳng thức Cauchy, Schwartz… để làm giảm bớt khối lượng tính tốn TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Trên tóm tắt lại số kiến thức sở phương pháp sử dụng tam thức bậc hai để tìm GTLN GTNN hàm số Để minh họa cho phương pháp xin đưa số bài điển hình phần Phần II: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH Dạng 1: HÀM SỐ y = f(x) = Bài 1[1] Cho hàm số y = f(x) = tập Tìm a để GTNN f(x) Giải: Vì hệ số a = > đồ thị hàm số y = f(x) parabol quay bề lõm lên trên, đỉnh Bây ta xét vị trí so với đoạn  TH1: Quan sát đồ thị ta thấy  TH2: Quan sát đồ thị ta thấy  TH3: Quan sát đồ thị ta thấy Vậy kết hợp ba trường hợp ta thấy thỏa yêu cầu tốn Dạng 2: HÀM SỐ CĨ DẠNG y = f (x) = TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bài 1:[1] Tìm GTLN GTNN hàm số (1) Giải: Ta nhận thấy thỏa nên việc tìm GTLN y quy việc tim GTNN(M) , , (1) Đặt F(x) = + Khi M = (1) trở thành: + Khi M : khơng thỏa , (1) trở thành: Vậy GTLN (y) = GTNN (M) = Tương tự việc tìm GTNN y ta quy việc tìm GTLN m thỏa điều kiện , , (2) Đặt G (x) = + Khi m = (2) trở thành: + Khi m : khơng thỏa , (2) trở thành: Vậy GTNN (y) = GTLN (m) = Kết luận: GTLN (y) = GTNN (y) = Bài 2:[2] Tìm GTLN GTNN hàm số y = f(x) = (1) Giải Trên tập xác định: D = hàm số ta viết Đặt g (x) = (2) + Khi y = (2) trở thành: ( vơ lí ) (3) + Khi y (2) có nghiệm (4) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Từ (3) (4) cho ta GTNN f (x) = không tồn GTLN Bài 3: [2] Cho hàm số y = f(x) = , p, q tham số Tìm GTNN GTLN cùa hàm số Giải giá trị hàm số Phương trình sau có nghiệm () có nghiệm  TH1: y0 = () Do phương trình có nghiệm giá trị hàm số ()  TH2: Phương trình có nghiệm Đặt Vì a = > F(y0) nên xảy trường hợp Gọi y1, y2 hai nghiệm phương trình F(y0) = Khi () Hơn F(1) = nên Từ () () ta suy Bài 4: [1] Tìm giá trị a b để hàm số y = f(x) = có GTNN GTLN Giải Ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Tương tự Theo yêu cầu toán cho ta hệ có nghiệm Ta nhân thấy Vậy khơng tồn a, b để max f(x) = f(x) = với Dạng 3: HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC Bài 1:[3] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = f(x) = , Giải: Ta tìm giá trị nhỏ hàm đặc trưng y = g(x) = R  x R Gọi M(x0, y0) điểm thuộc đồ thị (C) hàm số y = g(x),  x R  y0 =  y0x02 - y0x0 + y0 = 2x02 + x0 -  (y0 - 2)x02 - (y0 + 1)x0 + y0 +1 = Xét tam thức bậc F(x0) trường hợp sau:  TH 1: y0 - =  y0 = Khi (1)  -3x0 + =  x0 = Vậy y0 = giá trị hàm số y = f(x) điểm x0 =  TH 2: y0 ≠ 2: Tam thức F(x0) có nghiệm R 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com       f(x) = Max {1, 3} = Hơn f(x)  0, x  R f( ) = f(-1) = Do f(x) = Bài 2:[3] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ y= Giải: Từ điều kiện -3  x  ( )2 + ( )2 = ta đặt 0t1 Khi y = Trước hết, ta cần tìm giá trị y để phương trình F(t) = (7 - 5y)t2 + 2(8y - 6)t + 7y - = có nghiệm thuộc [0, 1] 1) y = không giá trị biểu thức phương trình có nghiệm t = -  [0, 1] 2) y ≠ ’ = (8y - 6)2 - (7y - 5)(7y - 9) = 99y2 - 190y + 99 > y f(0) = 7y - f(1) = 18y - 14 - = a) f(0).f(1)    y  b)  không tồn y Vậy Max y = t =  x = -8 Min y = t =  x = Bài 3:[4] Tìm giá trị nhỏ hàm số sau: y = f(x) = x + khoảng (0, +) Giải: y0 giá trị hàm số y = f(x)  pt sau y0 = x + (1) có nghiệm x >  (y0 - x)2 = x2 + có nghiệm x >  y02 - 2y0x + x2 = x2 + có nghiệm x > 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com  2y0x2 - y02x + = có nghiệm x >  Tam thức bậc hai F(x) = 2y0x2 - y02x + = có nghiệm x > Ta có F = y04 - 8y0 = y0(y03 - 8) Vì y0 = x + > 0, x > nên F   y03 -   y0    Tam thức bậc F(x) vó nghiệm y0  lúc nghiệm dương  f(x) = x = Dạng 4: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1:[1] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = (3sinx + cosx)(3cosx - sinx) + Giải: y = 12 cos2x - 7sinxcosx - 12sin2x +  y = 12 cos2x - sin2x + y0 giá trị hàm số  24cos2x - 7sin2x + - 2y = có nghiệm x  R  242 + (-7)2  (2y - 2)2  (2y - 2)2  252  -25  2y -2  25  y Lúc Bài 2:[4] Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số: y = f(x) = , x R 12 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Giải: Xét hàm số: y = g(x), x  R  phương trình sau có nghiệm: y0(sinx + 2) = sinx + cosx +  phương trình: (y0 -1)sinx - cosx + 2y0 - = có nghiệm  (y0 - 1)2 +  (2y0 - 1)2  3y02 - 2y0 -   -  y0   g(x) = 1; g(x) =   f(x) = x = 2k, k  Z Vì f(x)  x  R f(x) =  Bài 3:[2] Tùy theo m, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: y = f(x) = sin4x + cos4x + msinxcosx ; x, m Giải: Ta có: y = f(x) = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2xcos2x + msinxcosx  y = f(x) = - sin22x + sin2x + Đặt: sin2x = t  | t |  Yêu cầu toán quy việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: g(t) = - t2 + t + ;  | t |  1, m g(t’) = - t + Xét trường hợp:  TH 1:  -1  m  -2 t g’(t) - -1 + - + - g(t) 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com    ` TH 2: -1 < <  -2 < m < t g’(t) - -1 + + - g(t)    TH 3:   m  t - -1 g’(t) + + + - g(t)   ; m  [2, +) Dạng 5: TÌM VÀ PHƯƠNG PHÁP : Xét hàm số :f Gọi : g(x)= R với m,n đa thức sở có: Trước hết,để dơn giản ta giải tốn thứ : tìm qua hai trường hợp: 14 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com  TH1: f = Đây tốn tầm thường ,ta có kết : yS S xS  TH2: >0 xét toán với (khi f lập luận tương tự) = Khi : f(x1) ; ta xét ba khả cho A xs x1 x2 Với Khi : (I) ; ta xét khả cho 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com f1(x1) f1(x1) f1(x1) f2(x2) f2(x2) f2(x2) với (II) Kết hợp (I) (II) cho ta trường hợp : =min{ , } BÀI TẬP : Bài 1:[4] Với giá trị tham số m giá trị nhỏ hàm số : y= lớn 1? Giải: Để ý : f(x) = =0 Ta viết : f(x) = f(x) = Áp dụng phương pháp ( = >1 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 1 0; x (1) Ta có : g(x)= nên Ta xét hai trường hợp:  TH1: xác đinh m để: 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com  TH2: Xác định m để (với TH1 ) TH2 :cho ta : Dạng 6: TÌM VÀ PHƯƠNG PHÁP: Cũng dạng trước ,Ở trình bày phương pháp tìm : với m>0 (*) Các trường hợp khác với (*) lập luận tương tự : Để ý đặt : f(x) = 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com f(x) (1) Dấu đẳng thức xảy khi: x =- Ta xét : f(x) = f f( )= +c = (C1 ) (C2 ) Qua trường hợp sau: A S S Thì : (C2) (C1) (C1) (C2) A S1 S1 S2 S2 Thì : < 19 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Thì : Vậy : = BÀI TẬP: Bài1: [4] Tìm m để với x ,ta có: +2 Giải: Xét : +2 f Gọi = đỉnh Parabol ( ta có Để ý : >0 (ycbt) Bài 2: [3] Tìm giá trị tham số cho GTNN hàm số Biết : y = f(x) = Giải: Để ý : y = f(x)= y = f(x) (đẳng thức xảy x= m) y = f(x) Gọi đỉnh Parabol : Như sau: 20 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com f = Để  TH1: m  TH2: m TH3: ta xét: = = Kết hợp ba trường hợp ta được: -1/2 Bài 3: [2] Tìm giá trị tham số m cho: x2 + (m + 1)2 + Giải: Xét tam thức bậc hai đặc trưng cho (1), ta có: f(x) = x2 + (m + 1)2 + Suy f(x) x2 + (m + 1)2 ( dấu đẳng thức xảy x = m – 1) Suy f(x) (m – 1)2 + (m + 1)2 = 2(m2 + 1) (ycbt) (1) 21 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Xét: f(x) = Gọi S1, S2 đỉnh Parabol (P1): y = f1(x); (P2): y = f2(x) Ta xét trường hợp sau:  TH1: m – ≤ -1 = m Suy  TH2: m – 1= -1≤m≤0 m Suy m  TH3: -1< m – < 0< m < Suy Bài4: [1] Tìm giá trị tham số để: , HD: Bạn giải cách làm tương tự MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO 1/ Tìm GTLN VÀ GTNN hàm số sau: a b c 2/ Giả sử x, y liên hệ với hệ thức Hãy tìm GTLN GTNN biểu thức S = x2 + y2 22 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 3/ Giải biện luận nghiệm bất phương trình theo tham số a sau a b CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] 15 PHƯƠNG PHÁP CHUYÊN ĐỀ TAM THỨC BẬC HAI VÀ CÁC ỨNG DỤNG ĐẶC SẮC NGUYỄN ĐỨC ĐỒNG _ NGUYỄN VĂN VĨNH [2] TAM THỨC BÂC HAI – ỨNG DỤNG LÊ HỒNG ĐỨC [3] BÁO TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ [4] TRANG WED: BOXMATH.VN 23 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ... GTNN) Tìm GTLN – GTNN hàm số cách áp dụng tam thức bậc hai Cơ sở phương pháp dụng đánh giá hàm số ba công cụ sau tam thức bậc hai Thứ là: i, f(x) = ii, f(x) = Thứ hai là: Để tìm GTLN – GTNN hàm số. ..Phần I: MỘT SỐ KIẾN THỨC TRANG BỊ Xét dấu tam thức bậc hai có dạng f(x) = Đặt Khi ( ) ta đặt Ta có f(x1)=f(x2)=0 x1, x2 hai nghiệm tam thức bậc hai ( hai nghiệm phương trình bậc hai )  Định... = f(x) = với Dạng 3: HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC Bài 1:[3] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = f(x) = , Giải: Ta tìm giá trị nhỏ hàm đặc trưng y = g(x)