Toàn cảnh đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán (2017 – 2022)

Tài liệu gồm 574 trang, được tổng hợp bởi thầy giáo Th.S Nguyễn Hoàng Việt, tổng hợp và phân loại theo chuyên đề các dạng toán trong các đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo từ năm học 2016 – 2017 đến năm học 2021 – 2022, có đáp án và lời giải chi tiết; tài liệu giúp học sinh tham khảo trong quá trình ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông môn Toán.

MỤC LỤC I GIẢI TÍCH Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ §1 – Sự đồng biến nghịch biến hàm số §2 – Cực trị hàm số 31 §3 – Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 77 §4 – Đường tiệm cận 96 §5 – Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Chương 2 109 HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT 177 §1 – Lũy thừa 177 §2 – Hàm số lũy thừa 179 §3 – Lơgarit 183 §4 – Hàm số mũ Hàm số Lơgarit 202 §5 – Phương trình mũ Phương trình Lơgarit 224 §6 – Bất phương trình mũ lơgarit 264 Chương NGUN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 282 §1 – Nguyên hàm 282 §2 – Tích phân 305 §3 – Ứng dụng tích phân hình học 308 Chương SỐ PHỨC 348 §1 – Số phức 348 §2 – Cộng, trừ nhân số phức 365 Th.S Nguyễn Hoàng Việt i SĐT: 0905.193.688 MỤC LỤC §3 – Phép chia số phức 381 §4 – Phương trình bậc hai với hệ số thực 385 II 386 HÌNH HỌC Chương KHỐI ĐA DIỆN 387 §1 – Khái niệm khối đa diện 387 §2 – Khối đa diện lồi khối đa diện 389 §3 – Khái niệm thể tích khối đa diện 390 Chương 437 MẶT NÓN MẶT TRỤ MẶT CẦU §1 – Khái niệm mặt trịn xoay 437 §2 – Mặt cầu 466 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 480 §1 – Hệ tọa độ khơng gian 480 §2 – Phương trình mặt phẳng 502 §3 – Phương trình đường thẳng khơng gian 530 Th.S Nguyễn Hồng Việt ii SĐT: 0905.193.688 I PHẦN GIẢI TÍCH 234114 18 16 39 34 36 21 26 47 44 45 32 19 25 10 433 11 12 17 24 31 38 40 27 35 28 13 20 49 37 46 33 29 22 42 50 15 48 30 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BÀI SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ą Câu (Câu - ĐMH - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) Hỏi hàm Å số y = 2x ã + đồng biến khoảng nào? Å ã 1 A −∞; − B (0; +∞) C − ; +∞ 2 D (−∞; 0) ɓ Lời giải Ta có y = 8x > ⇔ x > 0, hàm số đồng biến khoảng (0; +∞) Chọn đáp án B Ą Câu (Câu - ĐTK - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) x−2 Cho hàm số y = Mệnh đề đúng? x+1 A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−1; +∞) ɓ Lời giải > 0, ∀x ∈ R\ {−1} Suy hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) Ta có y = (x + 1)2 (−1; +∞) Chọn đáp án B Ą Câu (Câu 10 - ĐTK - BGD&ĐT - lần - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ −1 + y 0 − +∞ + − y −∞ −1 −∞ Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? Th.S Nguyễn Hoàng Việt SĐT: 0905.193.688 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A (−∞; −1) B (0; 1) C (−1; 0) D (−∞; 0) ɓ Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến khoảng (−1; 0) (1; +∞) Chọn đáp án C Ą Câu (Câu 30 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2021 - 2022) Hàm số đồng biến R? x−1 A y = x4 − x2 B y = x3 + x C y= x+2 D y = x3 − x ɓ Lời giải Nhận thấy hàm số y = x + x có y = 3x + > 0, ∀x ∈ R nên hàm số đồng biến R Chọn đáp án B Ą Câu (Câu 34 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2021 - 2022) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x + với x ∈ R Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A (−∞; −1) B (−∞; 1) C (−1; +∞) D (1; +∞) ɓ Lời giải Ta có f (x) < ⇔ x + < ⇔ x < −1 Vậy hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (−∞; −1) Chọn đáp án A Ą Câu (Câu - ĐTN - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) Cho hàm số y = x3 − 2x2 + x + MệnhÅ đề ã đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ;1 Å3 ã B Hàm số nghịch biến khoảng −∞; Å ã C Hàm số đồng biến khoảng ;1 D Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) ɓ Lời giải Ta có y = 3x2 − 4x + ⇒ y = ⇔ x = x = Bảng biến thiên x −∞ + y − + +∞ 31 27 y +∞ −∞ Å Vậy hàm số nghịch biến khoảng ã ;1 Chọn đáp án A Th.S Nguyễn Hoàng Việt SĐT: 0905.193.688 Sự đồng biến nghịch biến hàm số Ą Câu (Câu - ĐTK - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau −∞ x −2 + y − −2 + +∞ − 3 y −∞ −1 ∞ Hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng đây? A (−2; 0) B (−∞; −2) C (0; 2) D (0; +∞) ɓ Lời giải Theo bảng biến thiên ta có hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (−∞; −2) (0; 2); hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (−2; 0) (2; +∞) Ą Câu (Câu - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x y −∞ − −1 0 + +∞ +∞ − + +∞ y −2 −2 Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A (0; 1) B (−∞; 0) C (1; +∞) D (−1; 0) ɓ Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số cho nghịch biến khoảng (0; 1) Chọn đáp án A Ą Câu (Câu 12 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ y + −1 − +∞ + +∞ y −∞ −2 Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; +∞) B (1; +∞) C (−1; 1) D (−∞; 1) ɓ Lời giải Hàm số cho đồng biến (1; +∞) Chọn đáp án B Ą Câu 10 (Câu - MĐ 103 - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Th.S Nguyễn Hồng Việt SĐT: 0905.193.688 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ x y −∞ + −1 0 − + −1 +∞ − −1 y −∞ −2 −∞ Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; 0) B (1; +∞) C (−∞; 1) D (0; 1) ɓ Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) (0; 1) Chọn đáp án D Ą Câu 11 (Câu - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ − y y −2 +∞ + +∞ − −∞ Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−2; +∞) B (−2; 3) C (3; +∞) D (−∞; −2) ɓ Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khoảng (−2; 3) Chọn đáp án B Ą Câu 12 (Câu - ĐMH - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số đồng biến khoảng đây? A (0; 1) B (−∞; −1) C (−1; 1) D (−1; 0) y −1 O −1 −2 ɓ Lời giải Hàm số đồng biến khoảng đồ thị có hướng lên khoảng Dựa vào đồ thị cho, ta thấy hàm số đồng biến khoảng (−1; 0) Chọn đáp án D Ą Câu 13 (Câu - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên sau: Th.S Nguyễn Hoàng Việt SĐT: 0905.193.688 x Sự đồng biến nghịch biến hàm số −∞ x y −2 − 0 + +∞ +∞ − + +∞ y 1 Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A (−2; 0) B (2; +∞) C (0; 2) D (0; +∞) ɓ Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy khoảng f (x) < 0, ∀x ∈ (0; 2) Vậy hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) Chọn đáp án C Ą Câu 14 (Câu 14 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ −2 − y + − +∞ +∞ + +∞ y 1 Hàm số cho đồng biến khoảng A (0; +∞) B (0; 2) C (−2; 0) D (−∞; −2) ɓ Lời giải Từ bảng biến thiên, suy khoảng (−2; 0) hàm số đồng biến Chọn đáp án C Ą Câu 15 (Câu 15 - MĐ 103 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ −1 − f (x) 0 + +∞ +∞ − + +∞ f (x) 0 Hàm số cho đồng biến khoảng sau ? A (−1; 0) B (−1; +∞) C (−∞; −1) D (0; 1) ɓ Lời giải Hàm số cho đồng biến khoảng (−1; 0) Chọn đáp án A Th.S Nguyễn Hoàng Việt SĐT: 0905.193.688 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Ą Câu 16 (Câu 10 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ −1 − f (x) 0 + +∞ +∞ − + +∞ f (x) 0 Hỏi hàm số nghịch biến khoảng đây? A (0; 1) B (1; +∞) C (−1; 0) D (0; +∞) ɓ Lời giải Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến khoảng (0; 1) Chọn đáp án A Ą Câu 17 (Câu - ĐTK - BGD&ĐT - lần - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau x y −∞ + −1 0 − + +∞ − y −∞ −∞ Hàm số cho đồng biến khoảng ? A (1; +∞) B (−1; 0) C (−1 ; 1) D (0 ; 1) ɓ Lời giải Dựa vào bảng biến thiên hàm số cho đồng biến khoảng(−∞ ; −1)và(0 ; 1) Chọn đáp án D Ą Câu 18 (Câu - MĐ 101 - BGD&ĐT - Đợt - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ f (x) − −1 0 + +∞ − +∞ + +∞ f (x) −1 −1 Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−∞; −1) B (0; 1) C (−1; 1) D (−1; 0) ɓ Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến khoảng (−1; 0) Chọn đáp án D Th.S Nguyễn Hoàng Việt SĐT: 0905.193.688 Sự đồng biến nghịch biến hàm số Ą Câu 19 (Câu 17 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Đợt - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) + −1 0 − + +∞ − f (x) −∞ −∞ Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (1; +∞) B (−1; 1) C (0; 1) D (−1; 0) ɓ Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (0; 1) Chọn đáp án C Ą Câu 20 (Câu 17 - MĐ 103 - BGD&ĐT - Đợt - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ −2 + y 0 − +∞ + − y −∞ −∞ Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−2; 2) B (0; 2) C (−2; 0) D (2; +∞) ɓ Lời giải Từ bảng biến thiên suy hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) (0; 2) Chọn đáp án B Ą Câu 21 (Câu - MĐ 101 - BGD&ĐT - Đợt - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đường cong hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (1; +∞) B (−1; 0) C (0; 1) D (−∞; 0) y −1 O ɓ Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; −1) (0; 1) Chọn đáp án C Th.S Nguyễn Hồng Việt SĐT: 0905.193.688 x Phương trình đường thẳng khơng gian Vì (P ) song song với hai đường thẳng d1 d2 nên VTPT (P ) #» n = [ #» u , #» u ] = (0; 1; −1) Khi (P ) có dạng y − z + D = ⇒ loại đáp án A C Å ã Lại có (P ) cách d1 d2 nên (P ) qua trung điểm M 0; ; AB Do P : 2y − 2z + = Chọn đáp án B Ą Câu 89 (Câu 33 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; −1; 0), B(1; 2; 1), C(3; −2; 0) D(1; 1; −3) Đường thẳng  qua D vng góc với  mặt phẳng (ABC) có phương trình  x = t x = t       x = + t x = + t y=t A y=t B C y =1+t D y =1+t         z = −1 − 2t z = − 2t z = −2 − 3t z = −3 + 2t ɓ Lời giải î # » # »ó # » # » Ta có AB = (−1; 3; 1); AC = (1; −1; 0); #» n (ABC) = AB, AC = (1; 1; −2) Đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng  (ABC) nên có véc-tơ phương là:  x = + t #» n (ABC) = (1; 1; −2) phương trình tham số là: y = + t   z = −3 − 2t   x = t Đường thẳng y = t   z = −1 − 2t Chọn đáp án A Ą Câu 90 (Câu 45 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Đợt - Năm 2020 - 2021) x y−1 z−2 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = mặt phẳng 1 −1 (P ) : x + 2y + z − = Hình chiếu vng góc d (P ) đường thẳng có phương trình x y+1 z+2 x y+1 z+2 A B = = = = −4 −2 y−1 z−2 y−1 z−2 x x C = = D = = −4 −2 ɓ Lời giải #» Mặt phẳng (P ) có véc-tơ  pháp tuyến n P = (1; 2; 1)  x = t Gọi M giao điểm d : y = + t (P )   z =2−t Do M ∈ d ⇒ M (m; m + 1; −m + 2) Mặt khác M ∈ (P ) ⇔ m + 2(m + 1) + (−m + 2) − = ⇔ m = Suy M (0; 1; 2) Lấy N (1; 2; 1) ∈ d, gọi ∆ đường thẳng qua N vng góc với (P ) #» #» Suy đường thẳng ∆ có véc-tơ phương u ∆ = n P = (1; 2; 1)  x = + t Do phương trình đường thẳng ∆ y = + 2t   z = + t Gọi H giao điểm ∆ (P ) Do H ∈ d ⇒ M (1 + h; + 2h; + h) Th.S Nguyễn Hoàng Việt 558 SĐT: 0905.193.688 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Mặt khác H ∈ (P ) ⇔ + h + 2(2 + 2h) + (1 + h) − = ⇔ 6h + = ⇔ h = − ã Å ; ; Suy H Å 3 ã # » Ta có M H = ; ;− 3 Gọi d hình chiếu vng góc d (P ) # » Suy đường thẳng d qua M (0; 1; 2) có véc-tơ phương #» u d = 3M H = (2; 1; −4) x y−1 z−2 Vậy phương trình hình chiếu vng góc d d (P ) là: = = −4 Chọn đáp án C Ą Câu 91 (Câu 43 - MĐ 103 - BGD&ĐT - Đợt - Năm 2020 - 2021) x−1 y−2 z+1 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = mặt phẳng (P ) : x + 2y − 1 −2 z − = Hình chiếu vng góc d (P ) đường thẳng có phương trình x+1 x−1 y+2 z−1 y−2 z+1 A B = = = = −1 −1 x+1 x−1 y+2 z−1 y−2 z+1 C D = = = = −1 −1 ɓ Lời giải Xét A(1; 2; −1) ∈ d Dễ thấy A ∈ (P )   x = + t Xét B(2; 3; −3) ∈ d Phương trình đường thẳng ∆ qua B vng góc với (P ) : y = + 2t   z = −3 − t −5 Suy giao điểm ∆ (P ), Thay vào phương trình (P ) : + t + + 4t + + t − = ⇔ t = ã6 Å −13 ; ; hình chiếu vng góc B (P ), H 6 Å ã −4 −7 # » Ta có AH = ; ; Do phương trình hình chiếu vng góc d (P ) đường thẳng 6 x−1 y−2 z+1 có phương trình = = −1 Chọn đáp án D Ą Câu 92 (Câu 45 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 4; −3) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d qua điểm ? A P (−3; 0; −3) B Q(0; 11; −3) C N (0; 3; −5) D M (0; −3; −5) ɓ Lời giải Th.S Nguyễn Hoàng Việt 559 SĐT: 0905.193.688 Phương trình đường thẳng khơng gian z O y d x H A A Vì d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng nên d đường sinh hình trụ có trục Oz có bán kính đáy r = Gọi A hình chiếu A lên trục Oz, dễ thấy A (0; 0; −3) AA = Gọi H(x; y; z) hình chiếu A lên d AH lớn A, A , H thẳng hàng AH = AA + AH = AA + r = + =  x = # » 7# » Khi AH = AA ⇔ (x; y − 4; z + 3) = (0; −4; 0) ⇔ y = −3 ⇒ H(0; −3; −3)  4  z = −3   x = #» suy Vậy d qua H(0; −3; −3) có véc-tơ phương k = (0; 0; 1) nên có phương trình y = −3   z = −3 + t d qua điểm M (0; −3; −5) Chọn đáp án D Ą Câu 93 (Câu 20 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương qua  điểm A(2; 3; 0) vnggóc với mặt phẳng (P ): x + 3y − z + = 0?    x = + 3t x = + t x = + t y = 3t A y = 3t B C y = + 3t D       z = − t z = − t z = − t trình đường thẳng   x = + 3t y = 3t   z = + t ɓ Lời giải # » Đường thẳng vng góc  với mặt phẳng (P ) nhận n(P ) = (1; 3; −1) làm véc-tơ phương ⇒ phương  x = + t trình đường thẳng y = + 3t   z = −t   x = + t Lấy t = −1 ⇒ N (1; 0; 1) thuộc đường thẳng ⇒ đáp án là: y = 3t   z =1−t Chọn đáp án B Ą Câu 94 (Câu 34 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) x−1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (−1; 1; 3) hai đường thẳng ∆ : = y+3 z−1 x+1 y z = ,∆ : = = Phương trình phương trình đường thẳng 1 −2 qua M , vuông góc với ∆ ∆ ? Th.S Nguyễn Hồng Việt 560 SĐT: 0905.193.688 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN   x = −1 − t A y =1+t   z = + 3t   x = −t y =1+t B   z = + t   x = −1 − t C y =1−t   z = + t   x = −1 − t D y =1+t   z = + t ɓ Lời giải ∆ ∆ có véc-tơ phương u#»1 = (3; 2; 1) u#»2 = (1; 3; −2) Khi [u#»1 , u#»2 ] = (−7; 7; 7) ⇒ đường thẳng vng  góc với d ∆ có véc-tơ phương  x = −1 − t #» u = (−1; 1; 1) ⇒ phương trình đường thẳng y = + t   z =3+t Chọn đáp án D Ą Câu 95 (Câu 37 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017)   x = + 3t x−1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : y = −2 + t, d2 : =   z=2 y+2 z = mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − 3z = Phương trình phương trình mặt −1 phẳng qua giao điểm d1 (P ), đồng thời vng góc với d2 ? A 2x − y + 2z + 22 = B 2x − y + 2z + 13 = C 2x − y + 2z − 13 = D 2x + y + 2z − 22 = ɓ Lời giải Giao d1 (P ) điểm M (4; −1; 2) Các mặt phẳng phương án vng góc với d2 có mặt phẳng phương án C qua M (4; −1; 2) nên chọn C Chọn đáp án C Ą Câu 96 (Câu 19 - MĐ 103 - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; −2; −3), B (−1; 4; 1) đường x+2 y−2 z+3 thẳng d : = = Phương trình phương trình đường thẳng −1 qua trung điểm đoạn thẳng AB song song với d? x y−1 z+1 x y−2 z+2 A = = B = = 1 −1 y−1 z+1 y−1 z+1 x x−1 C = = D = = −1 −1 ɓ Lời giải Trung điểm đoạn AB M (0; 1; −1), xét d có véc-tơ phương #» u = (1; −1; 2) ⇒ phương trình đường thẳng qua M song song với d x y−1 z+1 = = −1 Chọn đáp án C Ą Câu 97 (Câu 33 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −1; 2), B(−1; 2; 3) đường thẳng x−1 y−2 z−1 d : = = Tìm điểm M (a; b; c) thuộc d cho M A2 + M B = 28, biết 1 c < A M (−1; 0; −3) B M (2; 3; 3) Th.S Nguyễn Hoàng Việt 561 SĐT: 0905.193.688 Phương trình đường thẳng khơng gian C M Å ã ; ;− 6 Å ã D M − ;− ;− 6 ɓ Lời giải Vì M ∈ d nên tọa độ M có dạng M (1 + t; + t; + 2t) Ta có M A2 + M B = 28 ⇔ t2 + (t + 3)2 + (2t − 1)2 + (t + 2)2 + t2 + (2t − 2)2 = 28 ⇔ 12t2 − 2t − 10 = ⇔ t = 1; t = − Với t = ⇒ M (2;Å 3; 3) loại c < ã ; ;− thỏa yêu cầu toán Với t = − ⇒ M 6 Chọn đáp án C Ą Câu 98 (Câu 50 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2021 - 2022) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1; 4; 2), bán kính Gọi M, N hai điểm thuộc hai trục Ox, Oy cho đường thẳng M N tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIM N có bán kính · Gọi A tiếp điểm M N (S), giá trị AM.AN √ √ A B 14 C D ɓ Lời giải z I B M O x A N y Gọi M (a; 0; 0) ∈ Ox, N (0; b; 0) ∈ Oy Ta có d I; (Oxy) = = R nên (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) điểm A(1; 4; 0) M N qua A # » # » Lại có AM = (a − 1; −4; 0), AN = (−1; b − 4; 0) điểm A, M, N thẳng hàng nên ta a−1 −4 = ⇔ (a − 1)(b − 4) = (1) −1 b−4 Tứ diện OIM N có IA ⊥ (OM N ) OM N vng O nên gọi J tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIM N J ∈ (IM N ) Th.S Nguyễn Hoàng Việt 562 SĐT: 0905.193.688 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIM N bán kính đường trịn ngoại tiếp IM.IN.M N Ta có S IM N = (với r = 27 bán kính đường trịn ngoại tiếp IM N ) 4r IM N IM.IN.M N ⇔ IA.M N = 4· ⇔IM.IN = 7IA ⇔ IM.IN = 14 ⇔ (a − 1)2 + 20 (b − 4)2 + = 196 ß Đặt (2) m=a−1 n = b −    n = (3)  m.n = m Å ã Từ (1) (2) ta có hệ ⇔ 16  m2 + 20 n2 + = 196  + = 196 (4)  m2 + 20 m2 Từ (4) ta m2 + 20 16 + 5m2 = 196m2 √ √ ï ï m=2 √ n= √ 2 2 ⇒ ⇔ 5m − 80m + 320 = ⇔ m = ⇔ m = −2 n = − √ √ ï a = + 2√2, b = + √2 Suy a = − 2, b = − √ Vậy AM.AN = Chọn đáp án C ® Ą Câu 99 (Câu 43 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Đợt - Năm 2020 - 2021) x y z−1 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = mặt phẳng (P ) : x+2y−2z+2 = −1 Hình chiếu vng góc d (P ) đường thẳng có phương trình x y z−1 x y z+1 x y z+1 x y z−1 A C = = B = = = = D = = −2 14 −2 14 ɓ Lời giải Giả sử ∆ hình chiếu d (P ) Gọi (Q) mặt phẳng chứa ∆ d Xét I giao điểm d (P ) I ∈ ∆ toạ độ I nghiệm hệ phương trình  x = y = z − 1 −1  x + 2y − 2z + = d #» nP MDD-109 P #» ud I #» u∆ Q ∆ #» nQ x 2y 2z − x + 2y − 2z + = = = = = ⇒ x = 0, y = 0, z = ⇒ I(0; 0; 1) −2 1−2−4 −5 Xét #» u d = (1; −1; 2), #» n P = (1; 2; −2), ta có ® ® #» (Q) ⊃ d n Q ⊥ #» ud ⇒ #» Chọn #» n Q = [ #» u d , #» n P ] = (−2; 4; 3) #» (Q) ⊥ (P ) nQ ⊥ nP ⇒ Mặt khác ® ∆ ⊂ (P ) ⇒ ∆ ⊂ (Q) ® #» u ∆ ⊥ #» nP Chọn #» u ∆ = [ #» n P , #» n Q ] = (14; 1; 8) #» #» u∆ ⊥ nQ Th.S Nguyễn Hoàng Việt 563 SĐT: 0905.193.688 (1) (2) Phương trình đường thẳng khơng gian Từ (1) (2), ta ∆ : x y z−1 = = 14 Chọn đáp án D Ą Câu 100 (Câu 49 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 16 điểm A (−1; −1; −1) Xét điểm M thuộc (S) cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M thuộc mặt phẳng có phương trình A 3x + 4y − = B 3x + 4y + = C 6x + 8y + 11 = D 6x + 8y − 11 = ɓ Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; −1) bán kính R = M #» Có IA = (−3; −4; 0) ⇒ IA = Mặt phẳng cố định qua điểm H hình chiếu M #» xuống IA nhận IA làm véc-tơ pháp tuyến Do hai M HI AM I đồng dạng nên I IM 16 H IM = IH · IA ⇒ IH = = ã ÅIA 11 # » 16 # » ; ; −1 Suy IH = IA ⇒ H 25 25 25 N Å ã Å ã 11 Mặt phẳng cần tìm có phương trình −3 x − −4 y− = ⇔ 3x + 4y − = 25 25 Chọn đáp án A A Ą Câu 101 (Câu 42 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 4; −3) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d qua điểm đây? A P (−3; 0; −3) B M (0; −3; −5) C N (0; 3; −5) D Q(0; 5; −3) ɓ Lời giải Đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng nên d nằm mặt trụ tròn xoay có trục Oz bán kính Gọi I hình chiếu A lên Oy, khoảng cách từ A đến d nhỏ d qua giao điểm Oy với mặt trụ điểm I(0; 3; 0)   x = Phương trình đường thẳng d : y =   z = t Nên d qua điểm N (0; 3; −5) z d K O y A x dmin A Chọn đáp án C Th.S Nguyễn Hoàng Việt 564 SĐT: 0905.193.688 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ą Câu 102 (Câu 39 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = điểm A(2; 3; −1) Xét điểm M thuộc (S) cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M ln thuộc mặt phẳng có phương trình A 6x + 8y + 11 = B 3x + 4y + = C 3x + 4y − = D 6x + 8y − 11 = ɓ Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(−1; −1; −1) √ bán kính R = * Ta tính AI = 5, AM = AI − R2 = * Phương trình mặt cầu (S ) tâm A(2; 3; −1), bán kính AM = (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 16 * M thuộc mặt phẳng (P ) = (S) ∩ (S ) có phương trình: 3x + 4y − = Chọn đáp án C Ą Câu 103 (Câu 42 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 = điểm A(1; 2; 3) Xét điểm M thuộc mặt cầu (S) cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M thuộc mặt phẳng có phương trình A 2x + 2y + 2z + 15 = B 2x + 2y + 2z − 15 = C x + y + z + = D x + y + z − = ɓ Lời giải √ Mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; 4) bán kính R = √ #» Ta có IA = (−1; −1; −1) ⇒ IA = Suy điểm A nằm ngồi mặt cầu (S) Do tập hợp tất điểm M nằm mặt phẳng cố định (α) Mặt phẳng cố định (α) qua điểm H hình chiếu #» điểm M xuống IA nhận IA = (−1; −1; −1) làm véctơ pháp tuyến Do hai tam giác M HI AM I đồng dạng nên suy IM = IH · IA ⇒ IH = #» 2#» Suy IA = IA ⇒ H Å M I H A IM =√ IA ã 10 ; ; 3 Å ã Å ã Å ã 10 Mặt phẳng cần tìm có phương trình − x − − y− − z− = ⇔ x + y + z − = 3 Chọn đáp án D Ą Câu 104 (Câu 48 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2018 Ä -√2019) ä2 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x + y + z + = Có tất điểm A(a; b; c) (a, b, c số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) cho có hai tiếp tuyến (S) qua A hai tiếp tuyến vng góc với nhau? A 12 B C 16 D ɓ Lời giải Ä ä2 Ä √ √ ä √ Mặt cầu (S) : x2 + y + z + = có tâm I 0; 0; − , bán kính R = Ta có A(a; b; c) ∈ (Oxy) ⇒ A(a; b; 0) Th.S Nguyễn Hoàng Việt 565 SĐT: 0905.193.688 Phương trình đường thẳng khơng gian Dễ thấy (S) cắt mặt phẳng (Oxy) nên từ điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy) nằm (S) kẻ tiếp tuyến tới (S) tiếp tuyến nằm mặt nón đỉnh A, tiếp điểm nằm đường tròn xác định Còn A thuộc (S) ta kẻ tiếp tuyến thuộc mặt phẳng tiếp diện (S) điểm A Để có hai tiếp tuyến qua A thỏa mãn toán √ ○ Hoặc A thuộc (S) ⇔ IA = R = ◦ ◦ ÷ ’ ○ Hoặc tiếp tuyến√ tạo thành mặt√ nón √ góc đỉnh √ mặt nón M AN ≥ 90 ⇔ M AI ≥ 45 √ IM ’ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ IA ≤ Suy sin M AI ≥ IA IA √ √ Vậy điều kiện toán ≤ IA ≤ ⇔ ≤ IA2 ≤ Ta có ≤ IA2 ≤ ⇔ ≤ a2 + b2 + ≤ ⇔ ≤ a2 + b2 ≤ (*) Do A(a; b; 0) có tọa độ nguyên nên ta có điểm thỏa mãn (∗) (0; 2; 0), (0; −2; 0), (2; 0; 0), (−2; 0; 0), (0; 1; 0), (0; −1; 0), (1; 0; 0), (−1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; −1; 0), (−1; 1; 0), (−1; −1; 0) Vậy có 12 điểm A thỏa mãn yêu cầu Chọn đáp án A Ą Câu 105 (Câu 49 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y + (z − 1)2 = Có tất điểm A(a, b, c) (a, b, c số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) cho có hai tiếp tuyến (S) qua A hai tiếp tuyến vng góc với nhau? A 12 B 16 C 20 D ɓ Lời giải R I A ) xy (O √ Mặt cầu có tâm I(0; 0; 1), bán kính R = Vì A ∈ (Oxy) nên c = Các giao tuyến A đến mặt cầu (nếu IA > R ) tạo nên mặt nón tâm √ ◦ A, để mặt nón có hai đường sinh vng góc góc mặt nón phải ≥ 90 hay IA ≤ R √ Vậy R ≤ IA ≤ R ⇔ ≤ a2 + b2 + ≤ 10 ⇔ ≤ a2 + b2 ≤ Ta có số thỏa mãn (0; ±2) ; (0; ±3) ; (±1; ±2) ; (±2; ±2) ; (±2; ±1) ; (±2; 0) ; (±3; 0), 20 số Chọn đáp án C Ą Câu 106 (Câu 50 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Đợt - Năm 2020 - 2021) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = Có điểm M thuộc (S) cho tiếp diện (S) điểm M cắt trục Ox, Oy điểm ÷ A(a; 0; 0), B(0; b; 0) mà a, b số nguyên dương AM B = 90◦ ? A B C D Th.S Nguyễn Hoàng Việt 566 SĐT: 0905.193.688 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ɓ Lời giải (S) có tâm I(2; 3; 1), bán kính R = Do mặt phẳng (M AB) (M khơng trùng với A B d(I, Ox) > 1, d(I, Oy) > 1) tiếp diện (S) M ⇒ IM ⊥ (M AB) Ta có IA2 = (a − 2)2 + 10; IB = (b − 3)2 + ⇒ M A2 = (a − 2)2 + 9; M B = (b − 3)2 + ÷ Vì AM B = 90◦ ⇔ M A2 + M B = AB I MDD-109 M ⇔ (a − 2)2 + + (b − 3)2 + = a2 + b2 ⇔ 2a + 3b = 13 ñ a = 5, b = ∗ Suy có hai cặp điểm A, B Do a, b ∈ N nên a = 2, b = Thử lại Trường hợp 1: A(5; 0; 0) B(0; 1; 0) Gọi (P ) tiếp diện (S) qua A, B B A ○ Trường hợp (P ) cắt Oz C(0; 0; c), c = 0, suy (P ) có phương trình (P ) : x y z + + − = c (P ) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên + + −1 26 60 144 24 c … + + = + ⇔c=− =1⇔ 25 5c c 25 c 59 1 +1+ 25 c Như trường hợp có điểm M thỏa mãn ○ Trường hợp (P ) không cắt Oz, suy (P ) ∥ Oz nên (P ) có véc-tơ pháp tuyến ỵ # » #»ó #» n = AB, j = (1; 5; 0) Phương trình (P ) : x + 5y − = Khi √ |2 + · − 5| 26 d(I, (P )) = √ = (loại) = 13 12 + 52 Vậy trường hợp có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Trường hợp 2: A(2; 0; 0) B(0; 3; 0) Tính tốn tương tự, ta có điểm M thỏa mãn yêu cầu tốn Vậy có tất điểm M thỏa mãn Chọn đáp án D Ą Câu 107 (Câu 50 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Đợt - Năm 2020 - 2021) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 3)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = Có điểm M thuộc (S) cho tiếp diện (S) M cắt trục Ox, Oy điểm A(a; 0; 0), ÷ B(0; b; 0) mà a, b số nguyên dương AM B = 90◦ ? A B C D ɓ Lời giải Th.S Nguyễn Hoàng Việt 567 SĐT: 0905.193.688 Phương trình đường thẳng khơng gian Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; −1), bán kính R Å = ã a b Gọi K trung điểm AB suy toạ độ K ; ;0 2 ÷ Do AM B = 90◦ nên tam √giác AM B vuông M nên AB a2 + b MK = ⇔ MK = 2 Do K nằm tiếp diện (S) M nên M K ⊥ IK I ⇒ IM + M K = IK Å ã2 a b a2 + b ⇔ −3 + −2 +1=1+ 2 ⇔ 3a + 2b = 13 13 − 3a ⇔ b= B K M A ® Do a b nguyên dương A, B nằm mặt cầu nên 13 − 3a > ⇒ a ∈ {1; 2; 3; 4} a>0 Ta có bảng sau a b 3,5 0,5 Từ bảng ta thấy xảy hai trường hợp TH1: a = b = hay A(1; 0; 0) B(0; 5; 0) Ta dựng mặt phẳng tiếp diện chứa A B TH2: a = b = hay A (3; 0; 0) B (0; 2; 0) Ta dựng mặt phẳng tiếp diện chứa A B Lại có điểm nằm mặt phẳng (Oxy) d[I, (Oxy)] = nên (Oxy) tiếp diện chung Vậy có tiếp diện thỏa mãn nên có tiếp điểm B A B M1 A M3 M2 I Chọn đáp án D Ą Câu 108 (Câu 49 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2021 - 2022) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1; 3; 9) bán kính Gọi M , N hai điểm thuộc hai trục Ox, Oz cho đường thẳng M N tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIM N có bán kính 13 · Gọi A tiếp điểm M N (S), giá trị AM.AN √ √ A 39 B 12 C 18 D 28 Th.S Nguyễn Hoàng Việt 568 SĐT: 0905.193.688 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ɓ Lời giải Đặt M (a; 0; 0) N (0; 0; b) Nhận xét: (S) tiếp xúc (Oxz) mà M N ⊂ (Oxz) tiếp xúc (S) Suy M N tiếp xúc (S) tiếp điểm (S) (Oxz) ⇒ A(1; 0; 9) ®# » AM = (a − 1; 0; −9) −9 a−1 = ⇒ (a − 1)(b − 9) = ⇒ # » −1 b−9 AN = (−1; 0; b − 9) Khi OIM N có OM N vuông O, (IM N ) ⊥ (OM N ) (do IA ⊂ (IM N ), IA ⊥ (OM N )) Suy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp OIM N bán kính đường trịn ngoại tiếp IM N 13 · IM.IN.M N Suy · 3.M N = ⇔ IM.IN = 39 (1) 13 (a − 1)2 + 90 81 IN = 12 + 32 + (b − 9)2 = 10 + · (a − 1)2 ó ỵ 81 = 1521 ⇔ (a − 1)2 = 27 Thay vào (1) ta được: [(a − 1)2 + 90] 10 + (a−1)  » √ √ AM = (a − 1)2 + 81 = 108 = √ » Ta có , suy AM.AN = 12 √ AN = + (b − 9)2 = + = Mà IM = = (a − 1)2 + 32 + 9  Chọn đáp án B Ą Câu 109 (Câu 41 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 1) qua điểm A(1; 0; −1) Xét điểm B, C, D thuộc (S) cho AB, AC, AD đơi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD lớn 64 32 A B 32 C 64 D 3 ɓ Lời giải Đặt AD = a, AB = b, AC = c 1 Khi đó, VABCD = AB · AC · AD = abc 6 √ Ta có bán kính mặt cầu (S) R = IA = b2 + c2 Gọi M trung điểm BC Khi đó, AM = Vì tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (S) nên ta có IM ∥ AD 1 IM = AD = a 2 Xét tam giác AIM vng M , ta có D I A B M AI = AM + IM ⇔ a2 + b2 + c2 = 48 C 1 (a2 + b2 + c2 )3 1024 32 Suy VABCD = a2 b c ≤ = hay VABCD ≤ 36 36 27 Chọn đáp án D Ą Câu 110 (Câu 37 - ĐMH - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2; 1; 3), mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − z − = mặt cầu (S) : (x − 3)2 + (y − 2)2 + (z − 5)2 = 36 Gọi ∆ đường thẳng qua E, nằm (P ) cắt (S) hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình ∆ Th.S Nguyễn Hồng Việt 569 SĐT: 0905.193.688 Phương trình đường thẳng khơng gian   x = + 9t A y = + 9t   z = + 8t   x = − 5t y = + 3t B   z=3   x = + t C y = − t   z=3   x = + 4t D y = + 3t   z = − 3t ɓ Lời giải Mặt cầu √ 2; 5) bán kính R = √ (S) có tâm I (3; IE = 12 + 12 + 22 = < R, suy điểm E nằm mặt cầu (S) Gọi H hình chiếu I mặt phẳng (P ), A B hai giao điểm ∆ với (S) Khi đó, AB nhỏ ⇔ d(J, ∆) lớn (với J tâm đường tròn giao tuyến (P ) (S)), mà d(J, ∆) ≤ EJ Do AB nhỏỵ ⇔ AB ⊥ OE, mà AB ⊥ IH nên AB ⊥ (HIE) ⇒ AB ⊥ IE # »ó # » # » Suy ra: u∆ = nP ; EI = (5; −5; 0) = (1; −1; 0)   x = + t Vậy phương trình ∆ y = − t   z=3 Chọn đáp án C Ą Câu 111 (Câu 42 - MĐ 103 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 3; −2) Xét đường thẳng d thay đổi song song với Oz cách Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ d qua điểm đây? A P (−2; 0; −2) B N (0; −2; −5) C Q(0; 2; −5) D M (0; 4; −2) ɓ Lời giải Vì d song song với Oz cách Oz khoảng nên d thuộc mặt trụ trục Oz bán kính Có H(0; 0; −2) hình chiếu vng góc A(0; 3; −2) Oz # » Có HA = (0; 3; 0) ⇒ HA = nên A nằm mặt trụ Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với Oz M điểm d Gọi K giao điểm AH mặt trụ (K nằm A H) Dễ thấy AM ≥ AK; AK = AH − d(OZ; d) = = d(A; d) Dấu xảy M ≡ K # » 2# » Khi ta có HK = HA ⇒ K(0; 2; −2)  x =   ⇒ d: y = (t ∈ R)   z = −2 + t Với t = −3 ta thấy d qua điểm Q Chọn đáp án C Z d A H K M O Ą Câu 112 (Câu 45 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 3; −2) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d qua điểm đây? A Q(−2; 0; −3) B M (0; 8; −5) C N (0; 2; −5) D P (0; −2; −5) ɓ Lời giải Th.S Nguyễn Hoàng Việt 570 SĐT: 0905.193.688 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN d Oz B H A(0; 3; −2) Do đường thẳng d ∥ Oz nên d nằm mặt trụ có trục Oz bán kính trụ R = Gọi H hình chiếu A trục Oz, suy tọa độ H(0; 0; −2) Do d(A, Oz) = AH = # » 3# » Gọi B điểm thuộc đường thẳng AH cho AH = AB Suy B(0; −2; −2) Vậy d(A, d)max = ⇔ d đường thẳng qua B song song với Oz   x = Phương trình tham số d : y = −2   z = −2 + t Kết luận: d qua điểm P (0; −2; −5) Chọn đáp án D Ą Câu 113 (Câu 49 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Đợt - Năm 2020 - 2021) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −3; −4) B(−2; 1; 2) Xét hai điểm M N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) cho M N = Giá trị lớn |AM − BN | √ √ √ √ A B 61 C 13 D 53 ɓ Lời giải A1 A2 B H y Ox N K M A Vì zA · zB < nên A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (Oxy) Gọi H, K hình chiếu vng góc A, B lên mặt phẳng (Oxy) # » Suy H(1; −3; 0), K(−2; 1; 0) ⇒ HK = (−3; 4; 0) HK = Gọi A1 điểm đối xứng A qua (Oxy) ⇒ A1 (1; −3; 4) # » # » Gọi A2 điểm thỏa mãn A1 A2 = M N ⇒ A1 A2 = Do A2 thuộc đường trịn (C) nằm mặt phẳng song song với (Oxy) có tâm A1 , bán kính R = Khi |AM − BN | = |A1 M − BN | = |A2 N − BN | ≤ A2 B # » # » Dấu “=” xảy A2 B đạt giá trị lớn A1 A2 ngược hướng với HK Th.S Nguyễn Hồng Việt 571 SĐT: 0905.193.688 Phương trình đường thẳng không gian Å ã Å ã √ A1 A2 # » 11 23 # » Suy A1 A2 = − · HK = ; − ; ⇒ A2 ; − ; ⇒ A2 B = 53 HK 5 5 √ Vậy giá trị lớn |AM − BN | 53 Chọn đáp án D Ą Câu 114 (Câu 47 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(−2; 0; 0), B(0; −2; 0) C(0; 0; −2) Gọi D điểm khác O cho DA, DB, DC đơi vng góc với I(a; b; c) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.Tính S = a + b + c A S = −4 B S = −1 C S = −2 D S = −3 ɓ Lời giải Nhận xét OA = OB = OC OA, OB, OC đôi vuông góc Do ta có Å thể xét trường ã hợp D điểm đối xứng với O qua ABC 4 Khi D − , − , − 3 # » # » Từ M I = Å DE, ã 1 dẫn đến I − , − , − 3 Vậy S = −1 C M I D A B E Chọn đáp án B Ą Câu 115 (Câu 28 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vng góc với mặt phẳng √ đáy SA = a Khoảng cách √ hai đường thẳng √ BD SC √ 30a 21a 21a 30a A B C D 21 21 12 ɓ Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có A(0; 0; 0), B(0; a; 0), D(2a; 0; 0), C(2a; a; 0) S(0; 0; a) Ta có # » ○ BD = (2a; −a; 0) # » ○ SC = (2a; a; −a) # » ○ SB = (0; a; −a) # » # » ○ [BD, SC] = (a2 ; 2a2 ; 4a2 ) √ # » # » ⇒ [BD, SC] = a2 21 # » # » # » ○ [BD, SC] · SB = 2a3 z S A y D C x Khoảng cách hai đường thẳng BD SC # » # » # » √ [BD, SC] · SB 2a 21 d(SC, BD) = = # » # » 21 [BD, SC] Chọn đáp án C Th.S Nguyễn Hoàng Việt 572 B SĐT: 0905.193.688 ... LỤC §3 – Phép chia số phức 381 §4 – Phương trình bậc hai với hệ số thực 385 II 386 HÌNH HỌC Chương KHỐI ĐA DIỆN 387 §1 – Khái niệm khối đa diện 387 §2 – Khối đa diện lồi khối đa diện 389 §3 – Khái... MẶT TRỤ MẶT CẦU §1 – Khái niệm mặt trịn xoay 437 §2 – Mặt cầu 466 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 480 §1 – Hệ tọa độ khơng gian 480 §2 – Phương trình mặt phẳng 502 §3 – Phương trình đường... giải Dựa vào bảng biến thi? ?n, hàm số cho nghịch biến khoảng (−∞; −1) (0; 1) Chọn đáp án B Ą Câu 35 (Câu - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2021 - 2022) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thi? ?n sau x −∞ −1 −