Giáo trình Toán giải tích (Nghề: Kế toán - Cao đẳng) - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp

Giáo trình Toán giải tích cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến. Khái niệm về đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử dạng vô định khi tính giới hạn; các tính chất của hàm số liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo!

UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH ĐỒNG THÁP TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP GIÁO TRÌNH MƠN HỌC/MƠ ĐUN: TỐN GIẢI TÍCH NGÀNH, NGHỀ: KẾ TỐN TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG (Ban hành kèm theo Quyết định Số:…./QĐ-CĐCĐ-ĐT ngày… tháng… năm 2017 Hiệu trưởng Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp) Đồng Tháp, năm 2017 TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu thuộc loại sách giáo trình nên nguồn thơng tin đƣợc phép dùng ngun trích dùng cho mục đích đào tạo tham khảo Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh bị nghiêm cấm i LỜI GIỚI THIỆU Toán giải tích học phần Tốn cao cấp, đề cập đến vấn đề giải tích tốn học hàm số, giới hạn tính liên tục hàm số, phép tính vi phân hàm biến, hàm nhiều biến, Đây môn học nhằm trang bị cho Sinh viên kiến thức Toán học để làm nên tảng cho việc học học phần sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả tư logic, phương pháp định lượng kinh tế kỹ thuật Mục đích giáo trình giúp đở cho Sinh viên nắm vững vận dụng phương pháp giải tốn cao cấp Trong mục, tơi trình bày tóm tắt cở sở lý thuyết liệt kê cơng thức cần thiết Tiếp đó, phần ví dụ tơi đặt biệt quan tâm đến toán giải mẫu vận dụng kiến thức trình bày Sau phần ví dụ có tập tương tự đặt sau dấu chấm hỏi, xếp theo thứ tự tăng dần độ khó, nhằm giúp em làm quen với lời giải chi tiết phần ví dụ, từ áp dụng thành thạo phương pháp giải Tổ biên soạn xin chân thành cảm ơn giảng viên nhà chuyên môn có ý kiến đóng góp Qua giúp Tổ biên soạn hồn thiện giáo trình cách tốt Đồng Tháp, ngày… tháng năm 2017 Chủ biên Phạm Thị Kiều Anh ii MỤC LỤC Trang LỜI GIỚI THIỆU ii CHƢƠNG HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ1 Hàm số 1.1 Hàm số phép toán hàm số 1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.3 Hàm số hợp hàm số ngƣợc 1.4 Các hàm số sơ cấp Giới hạn tính liên tục hàm số 2.1 Giới hạn dãy số 2.1.1 Định nghĩa dãy số 2.1.2 Giới hạn dãy số 2.1.3 Các phép toán 2.1.4 Một số tính chất đặc biệt dãy 2.2 Giới hạn hàm số 10 2.2.1 Định nghĩa (ngôn ngữ ,  ) 10 2.2.2 Giới hạn phía 11 2.2.3 Các giới hạn vô tận vô tận 11 2.2.4 Các tính chất giới hạn hàm số 12 2.2.5 Các phép toán 12 2.2.6 Các dạng vô định 0   ;  0; ;0.  13   2.2.7 Một số công thức giới hạn quan trọng 15 2.2.8 Đại lƣợng vô bé – đại lƣợng vô lớn 17 2.3 Tính liên tục hàm số 19 BÀI TẬP CHƢƠNG 22 CHƢƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 25 Đạo hàm hàm số 25 1.1 Đạo hàm 25 1.2 Đạo hàm cấp cao 27 Vi phân hàm số 30 2.1 Vi phân 30 2.2 Vi phân cấp cao 31 Các định lý phép tính vi phân 31 3.1 Đinh lý Rolle 31 3.2 Định lý Lagrange 31 iii 3.3 Định lý Cauchy 32 3.4 Các qui tắc L‟Hospital (Khử dạng vô định) 32 3.5 Ứng dụng phép tính vi phân 34 3.5.1 Xác định khoảng đơn điệu 34 3.5.2 Cực trị địa phƣơng hàm số 34 3.5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ 36 3.5.4 Bài toán tối ƣu thực tế 38 BÀI TẬP CHƢƠNG 42 CHƢƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 44 Tích phân khơng xác định 44 1.1 Nguyên hàm tích phân khơng xác định 44 1.1.1 Định nghĩa 44 1.1.2 Định lý 44 1.1.3 Tính chất tích phân không xác định 45 1.2 Các phƣơng pháp tính 46 1.2.1 Phƣơng pháp phân tích 46 1.2.2 Phƣơng pháp đổi biến số 46 1.2.3 Phƣơng pháp tích phân phần 48 1.3 Tích phân số hàm thƣờng gặp 50 1.3.1 Tích phân hàm hữu tỉ 50 1.3.2 Tích phân hàm vơ tỉ 53 1.3.3 Tích phân hàm số lƣợng giác 53 Tích phân xác định 55 2.1 Định nghĩa 55 2.2 Tính chất 56 2.3 Các định lý phép tính tích phân 57 2.4 Các phƣơng pháp tính tích phân xác định 58 2.5 Ứng dụng tích phân xác định 60 Tích phân suy rộng 65 3.1 Tích phân suy rộng loại (tích phân cận vơ tận) 65 3.2 Tích phân suy rộng loại (hàm số dấu tích phân khơng bị chặn) 67 3.3 Một vài tiêu chuẩn hội tụ phân kỳ tích phân suy rộng 68 BÀI TẬP CHƢƠNG 71 CHƢƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 73 Khái niệm hàm nhiều biến 73 1.1 Khái niệm không gian n 73 1.2 Định nghĩa hàm hai biến 74 iv Giới hạn tính liên tục hàm nhiều biến 76 2.1 Định nghĩa giới hạn dãy 76 2.2 Định nghĩa giới hạn hàm biến (giới hạn kép giới hạn bội) 76 2.3 Tính chất (Tương tự hàm biến) 77 2.4 Tính liên tục hàm số 78 Đạo hàm hàm hai biến 79 3.1 Đạo hàm riêng 79 3.2 Đạo hàm riêng cấp cao 80 3.3 Đạo hàm hàm hợp 82 3.4 Đạo hàm hàm ẩn 83 Vi phân hàm hai biến 86 4.1 Sự khả vi 86 4.2 Vi phân toàn phần 87 4.3 Vi phân cấp cao 88 4.4 Công thức Taylor 90 Cực trị hàm hai biến 91 5.1 Cực trị địa phƣơng 91 5.1.1 Định nghĩa 91 5.1.2 Điều kiện cần cực trị 92 5.1.3 Điều kiện đủ cực trị 92 5.1.4 Ứng dụng vào toán Kinh tế biến 94 5.2 Cực trị có điều kiện 96 5.2.1 Định nghĩa 96 5.2.2 Cách tìm cực trị có điều kiện 96 a) Phƣơng pháp 96 b) Phƣơng pháp nhân tử Lagrange 97 5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ 99 BAI TẬP CHƢƠNG 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 v GIÁO TRÌNH MƠN HỌC Tên mơn học: Tốn Giải Tích Mã mơn học: MH33KX6340301 Vị trí, tính chất mơn học: - Vị trí: Là môn học tự chọn thuộc ngành học cao đẳng Kế Tốn, Quản Trị Kinh Doanh,… - Tính chất: Nhằm trang bị cho Sinh viên kiến thức Toán học để làm nên tảng cho việc học học phần sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả tƣ logic, phƣơng pháp định lƣợng kinh tế kỹ thuật Mục tiêu môn học - Về kiến thức: + Cung cấp cho ngƣời học kiến thức giới hạn tính liên tục hàm biến Khái niệm đại lƣợng vô bé – vô lớn áp dụng vào khử dạng vơ định tính giới hạn; tính chất hàm số liên tục + Trang bị kiến thức đạo hàm, vi phân hàm biến Ứng dụng đƣợc qui tắc L‟Hospital khử dạng vơ định tính giới hạn khảo sát hàm số, tìm cực trị; giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số Từ đó, vận dụng để giải số tốn tối ƣu + Cung cấp kiến thức tích phân hàm biến phƣơng pháp tính loại tích phân Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích, thể tích vật thể + Trang bị cho sinh viên kiến thức phép tính vi phân hàm nhiều biến, làm sở cho việc nghiên cứu Toán học đại bậc Đại học môn học khác có liên quan - Về kỹ năng: Mơn học giúp ngƣời học củng cố thêm kỹ tƣ duy, phân tích giải vấn đề nhƣ: tính giới hạn, đạo hàm, vi phân hàm biến, tích phân (bất định, xác định, suy rộng), đạo hàm,cƣc trị,… hàm nhiều biến Ở nội dung cần biết cách tính, phƣơng pháp giải ứng dụng vào giải toán đời sống kinh tế - Về lực tự chủ trách nhiệm: + Chủ động tìm tài liệu nghiên cứu, chuẩn bị trƣớc đến lớp + Có ý thức tích cực, chủ động q trình học tập + Có ý thức nghiêm túc đắn khoa học chất vấn đề toán học vận dụng vào toán kinh tế vi + Làm tập bắt buộc nhằm rèn luyện kỹ năng, thái độ khách quan khoa học Nội dung môn học : Thời gian (giờ) Số TT Tên chƣơng, mục Thực Tổng Lý hành, thí Kiểm tra số thuyết nghiệm, thảo luận, tập Chƣơng 1: Hàm số - giới hạn tính liên tục hàm số Hàm số 0 0 Giới hạn Tính liên tục Hàm số Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến Đạo hàm Hàm số 2 Vi phân hàm số 6 Các định lý phép tính vi phân Kiểm tra (1) 1 Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến3.1 Tích phân khơng xác định Ngun hàm tích phân khơng xác định 6 0 0 Tích phân xác định Tích phân suy rộng Chƣơng Phép tính vi phân hàm nhiều biến Khái niệm hàm nhiều biến Giới hạn tính liên tục hàm nhiều biến Đạo hàm hàm hai biến vii Vi phân hàm hai biến Cực trị hàm hai biến Ôn thi (3) 1 0 Thi/Kiểm tra kết thúc môn học (4) 1 0 Cộng 30 viii 29 CHƢƠNG HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới thiệu: Hàm số, giới hạn hàm số tính liên tục hàm số khái niệm giải tích tốn học Việc nắm vững khái niệm hàm số, tính chất chúng, giúp cho ngƣời học tiếp thu tốt khái niệm tính chất giới hạn hàm tính liên tục hàm số để từ tiếp cận đƣợc với kiến thức phép tính vi phân, phép tính tích phân, Mục tiêu: - Về kiến thức: + Hệ thống hóa kiến thức giới hạn hàm số, phép tốn cơng thức tính giới hạn (khử dạng vô định) + Hiểu vận dụng đƣợc phép tính đại lƣợng vơ bé (VCB), vô lớn (VCL) + Phép ngắt bỏ VCB cấp cao, VCL cấp thấp vào việc khử dạng vô định tính giới hạn + Nắm đƣợc khái niệm liên tục – điều kiện liên tục, tính chất hàm số liên tục đoạn a,b   - Về kỹ năng: Thành thạo cách tính giới hạn (khử dạng vơ định) Nội dung chính: Hàm số 1.1 Hàm số phép toán hàm số 1.1.1 Định nghĩa Cho X,Y  ;X,Y , hàm số f qui luật cho ứng với giá trị biến x X có giá trị thực y Y , kí hiệu y  f (x) * Hàm số đƣợc viết dƣới dạng sơ đồ sau: f : X Y x y  f (x)  Biến  x (1.1) đƣợc gọi biến độc lập y  f (x) đƣợc gọi biến phụ thuộc  Tập  D  x  | f (x) có nghĩa} đƣợc gọi miền xác định hàm số x  1  y  1 x  x   y   y  Vậy ta có điểm dừng M1(1, 1);M2(0,0);M3(1,1) 5.1.2 Điều kiện cần để có cực trị Định lý FERMAT: Nếu f (x0,y0) đạt cực trị địa phƣơng M0(x0,y0) f có đạo hàm riêng M0(x0,y0) (5.4)  Nhận xét Định lý điều kiện cần, nghĩa đạo hàm riêng (là điểm dừng) ta chƣa kết luận đƣợc (x0,y0) (x0,y0) điểm cực trị hàm số Ví dụ 24: Tìm cực trị hàm số a) z  xy b) z  x2 y2 Giải z 'x  y  x  z '  x  y   điểm M(0,0) điểm dừng   y Hàm số khơng đạt cực trị M(0,0) lân cận điểm M ln có điểm (x,y) cho x  0;y  0, z(x, y)   z(0,0) Mặt khác tồn điểm (x,y) cho x  0;y  0, z(x, y)   z(0,0) b) Ta có: f (x,y)   f (0,0) (x, y) Do đó, hàm số đạt cực tiểu điểm M0 0,0 Mặt khác: Điểm M0 0,0 điểm kì dị f (0 x,0)  f (0,0)  lim x Thật vậy: z 'x(0,0)  lim x0 x0 x x  z 'x(0,0),  z 'y(0,0) a) Tìm điểm dừng: 5.1.3 Điều kiện đủ để có cực trị z  f (x,y) có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận điểm M0(x0,y0) , với M0(x0,y0) điểm dừng hàm số f (x, y) A  f ''xx(x0,y0) B  f ''xy(x0,y0) C  f ''yy(x0,y0) Gọi Định lý: Giả sử  AC B2 94 Khi đó:  Nếu  f khơng đạt cực trị địa phƣơng M0(x0,y0)  Nếu   f đạt cực trị địa phƣơng M0(x0,y0)  A  0: f đạt cực đại  A  0: f đạt cực tiểu  Nếu   chƣa kết luận, cần phải khảo sát thêm Ví dụ 25: Tìm cực trị hàm số a) z  x3 y3 3xy b) z  (x y)2 (x y)3 Giải a) * Tập xác định: D * Ta tìm điểm dừng cách giải hệ phƣơng trình  z 'x  3x 3y   x  x  y   y  3x  z '  y     y  Ta đƣợc hai điểm dừng M1(0,0) M2(1,1) z ''xy  3 z ''yy  6y * Ta có: z ''xx  6x * Xét M1(0,0) A  z ''xx(0,0)  C  z ''yy(0,0)  Suy B  z ''xy(0,0) 3  AC B2 9  Do đó, hàm số không đạt cực trị M1(0,0) * Xét M2(1,1) A  z ''xx(1,1)  B  z ''xy(1,1) 3 Suy  AC B2  36 9  27  Mà cực tiểu M2(1,1) zCT 1 b) * Tập xác định: D C  z ''yy(1,1)  A   nên hàm số đạt * Ta tìm điểm dừng cách giải hệ phƣơng trình  x   z 'x  2(x y)  3(x y)    y  0 z '  2( x  y )  3( x  y )     y Ta đƣợc điểm dừng M(0,0) 95 z ''xx  6(x y) A  z ''xx(0,0)  z ''xy 26(x y) B  z ''xy(0,0) 2 * Ta có: z ''yy  26(x y) C  z ''yy(0,0)  Suy  AC B2  * Trƣờng hợp ta phải khảo sát thêm phƣơng pháp khác Trong lân cận M(0,0) tồn điểm (h,h) cho: z(h,h)  8h3  h  z(h,h)  h  Tức là, hàm số đổi dấu Do đó, M(0,0) điểm cực trị hàm số z Vậy z không đạt cực trị điểm M(0,0)  ? Tìm cực trị hàm số: z  f (x,y)  x y xey ? 3.5.4 Ứng dụng vào tốn Kinh tế biến Bài tốn tìm sản lƣợng để đạt lợi nhuận cực đại Một công ty kinh doanh độc quyền hai loại sản phẩm có hàm cầu QD1  D1(P1, P2); QD2  D2(P1, P2) (*) hàm chi phí C C(Q1,Q2) P1, P2 giá loại sản phẩm thị trường, Q1,Q2 sản lượng loại sản phẩm đơn vị thời gian Hãy tìm sản lượng sản xuất Q1,Q2  0để công ty đạt lợi nhuận lớn  Phương pháp giải Với sản lƣợng phẩm công Q1,Q2  ty phải bán đơn vị thời gian Để bán hết số sản với đơn giá QD1 QS1 Q1; QD2 QS2 Q2 P1, P2 cho P1 theo Q , Q P  B2: Suy : Hàm doanh thu : R(Q,Q 2)  P1.Q1 + P2.Q2 ( 1,Q2) - C(Q1,Q2) Hàm lợi nhuận : L  RQ B3: Ta tìm Q1, Q2  hàm L đạt giá trị lớn B1: Từ phƣơng trình (*) xem P1, P2 ẩn số, ta tính đƣợc Ví dụ 26: Doanh nghiệp tƣ nhân Trần Hiền chuyên sản xuất độc quyền loại sản phẩm võng xếp giƣờng xếp Thông tin xƣởng sản xuất cung cấp nhƣ sau : 96 + Hàm cầu : Q1  14  1P võng xếp ; Q  24  1P giƣờng xếp 2 C  Q12  5Q1.Q2 Q22 (trong : Q1 số lƣợng võng xếp giá P1 Q2 số lƣợng giƣờng xếp giá P2) + Hàm tổng chi phí : Hỏi doanh nghiệp nên định giá bán loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa (đơn vị :10.000 đ/ sản phẩm) Giải * Muốn bán hết số sản phẩm Q1, đơn giá P1, P2 cho : * Doanh thu : * Lợi nhuận : Q2  cơng ty phải bán với Q  14  P 1 P1  56  4Q1    Q2  24  1P2  P2  48 2Q2  R  P1.Q1  P2.Q2  56-4Q1Q1 48-2Q2Q2 L  RQ ( 1,Q2) - C(Q1,Q2)  (56 - 4Q1).Q1 (48 - 2Q2).Q2 - Q12 - 5Q1.Q2 - Q22  56Q1  48Q2 - 5Q12 - 3Q22 - 5QQ  Bài tốn đƣa tìm Q1, Q2  cho Lmax  ? * Tìm điểm dừng Q  96  '  56 10Q 5Q   L 10 Q  Q  56   35 2  Q1    ' 5Q 6Q  48  L  48  Q  Q    Q2  40   Q   * Ta có " " " A  LQQ  10; B  LQ  5; C  LQQ  6 1 1.Q2 2  AC - B2  60 25  35  A 10  nên hàm LQ ( 1,Q2) đạt cực đại điểm (3,6) Vậy doanh thu đạt lợi nhuận tối đa mức giá : P1  56 4 96  1576  45(đơn vị :10.000 đ = 450.000 đ/sp) 35 35 P2  48 2 40  256  36,5(đơn vị :10.000 đ = 365.000 đ/sp) 7 97 5.2 Cực trị có điều kiện Sự khác biệt cực trị địa phƣơng cực trị ‘có điều kiện’ (hay “có ràng buộc”) thay cho so sánh giá trị hàm số điểm M0(x0,y0) với giá trị điểm thuộc lân cận điểm M0, ta so sánh với giá trị thoả điều kiện (thƣờng phƣơng trình dạng g(x, y)  (phương trình đường cong mặt phẳng)) 5.2.1 Định nghĩa Cực trị hàm số z  f (x,y) với điều kiện ràng buộc g(x,y)  đƣợc gọi cực trị có điều kiện 5.2.2 Cách tìm cực trị có điều kiện Để tìm cực trị có điều kiện hàm số f (x, y) ta dùng phƣơng pháp phƣơng pháp nhân tử Lagrange a) Phƣơng pháp Từ điều kiện ràng buộc g(x,y)  0, ta rút x y vào z  f (x,y) Khi đó, tốn trở tìm cực trị hàm biến z  1x2 y2 với điều kiện ràng buộc Ví dụ 27: Tìm cực trị hàm số x y 1  (*) Giải * Từ điều kiện x y 1  y  1x * Thay vào z, ta đƣợc: z  2x 2x2  g(x)  Miền xác định: D  0;1  g'(x)  12x2 (x  0; x  1) x x g'(x)   12x2  x  y  1; g 1  2  2 x x g'(x) không xác định x  x   Bảng xét dấu 0 (CĐ) 98 Hàm số g(x) đạt cực đại x  z đạt cực đại với điều kiện (*) M  1; 1 zCÑ   2 Tìm cực trị hàm số z  x2y thỏa điều kiện : x y   Vậy hàm số ? Tuy nhiên nhiều trường hợp từ điều kiện ràng buộc không rút g(x,y)  0, ta y  y(x) sau dùng phép hàm nhận z hàm biến không dễ dàng lấy đạo hàm Khi đó, ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để giải b) Phƣơng pháp nhân tử Lagrange Định lý (Điều kiện cần) Giả sử g(x,y)  z  f (x,y) đạt cực trị điểm M0(x0,y0) với điều kiện ràng buộc Nếu f, g liên tục với đạo hàm riêng cấp lân cận điểm M0(x0,y0) g'x(x0,y0)  g'y(x0,y0)  tồn số  với x0, y0 thoả mãn hệ phƣơng trình   (5.5) số  đƣợc gọi nhân tử Lagrang & F(x,y, )  f (x,y)  g(x,y) hàm số phụ Lagrange Định lý (điều kiện đủ) Giả sử hàm f (x, y) g(x,y) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp lân cận điểm M(x0, y0) (x0, y0, ) điểm dừng hàm F Xét d2F(x0,y0)  F ''xx dx2 2F ''xy dxdy F ''yy dy2 với dx, dy thỏa hệ sau dx2 dy2  g' dx g' dy  y  x Nếu:  d2F(x0, y0)   M0(x0,y0) điểm cực đại có điều kiện  d2F(x0, y0)   M0(x0,y0) điểm cực tiểu có điều kiện 99 (5.6) (5.7)  d2F(x0,y0) không xác định đƣợc dấu  M0(x0,y0) khơng điểm cực trị có điều kiện  Phƣơng pháp tìm cực trị có điều kiện nhân tử Lagrange B1 Lập hàm số phụ Lagrange: F(x,y, )  f (x,y)  g(x,y) B2 Tìm điểm dừng hàm F, giải hệ phƣơng trình F 'x  F '  M(x0,y0)   y F '   B3 Tính vi phân cấp 2: d2F(x0, y0)  F ''x2 dx2 2F ''xy dxdy F ''y2 dy2 với dx, dy thoã hệ sau dx2 dy2  g' dx g' dy  y  x B4 Dùng định lý điều kiện đủ để xét cực trị có điều kiện f Ví dụ 28: Tìm cực trị hàm z  xy với điều kiện ràng buộc x y a a  0,x  0,y  0 Giải * Lập hàm số phụ Lagrange F(x,y, )  f (x,y)  g(x,y)  xy  (x y a) F 'x  y    x  y  a     * Giải hệ phƣơng trình: F 'y  x     F '  x y a    a    aa Hàm z có điểm tới hạn M  ;   2 F ''x2  0; F ''xy 1; F ''y2  * Ta có : d2F a ;a   F ''xx dx2 2F ''xy dxdy F ''yy dy2  2dxdy  2 dx2 dy2  dx2 dy2  với dx,dy thoả hệ sau g' dx g' dy  dx dy  y  x  d2F 2dx2  a a a   Vậy M  ;  điểm cực đại cần tìm zCÑ   2 Suy 100  Ví dụ 29: Tìm cực trị hàm z  xy với điều kiện ràng buộc g(x,y)  x2 y2   (C) Giải * Lập hàm số phụ Lagrange: F(x,y, )  f (x,y)  g(x, y)  xy  (x2 y2 4) F 'x  y 2x    * Giải hệ phƣơng trình : F 'y  x 2y  F '   2  x y 4  M1( 2,  2); M2( 2, 2) Ta tìm đƣợc điểm tới hạn: * Ta có: M3( 2, 2); M4( 2,  2) z(M1)  z(M2)  2 z(M3)  z(M4)  * Vì z  xy liên tục tập đóng bị chặn (C), hàm đạt giá trị nhỏ giá trị lớn (C) zmin 2 M1( 2,  2); M2( 2, 2) zmax  M3( 2, 2); M4( 2,  2) ? Tìm cực trị hàm số z  2x y thỏa điều kiện : x2 y2  5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ Để tìm GTLN GTNN hàm số z  f (x,y) liên tục miền D đóng bị chặn mặt phẳng Ta tìm i) Các điểm dừng hàm thuộc phần D ii) Các điểm dừng biên D g(x,y)  thay xét điểm biên, ta xét điểm cực trị với điều kiện g(x, y)  mút biên) (Nếu biên D đƣờng cong có phƣơng trình iii) Tính giá trị hàm điểm vừa tìm đƣợc iv) So sánh giá trị vừa tìm  GTLN GTNN hàm f 101  Phƣơng pháp tìm GTLN – GTNN B1 Tìm điểm dừng miền D (cực trị địa phương)  zx'   Giải hệ phƣơng trình :  '  zy  B2 Tìm điểm dừng biên D (cực trị có điều kiện)  Miền D bị giới hạn đoạn thẳng : sử dụng phương pháp  Miền D bị giới hạn đường cong : sử dụng phương pháp Lagrange (không kể đầu mút) B3 Tính giá trị hàm điểm dừng vừa tìm điểm đầu mút B4 So sánh giá trị  GTLN – GTNN y Ví dụ 30: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số z  f (x,y)  x2 y2 xy x y miền D  (x,y): x  0, y  0, x y 3  A O -3 x Giải  Ta tìm điểm dừng f (x, y) miền tam giác: -3 B Giải hệ phƣơng trình: '  x 1 zx  2x y 1   ' y  1 (nhận)   zy  2y x 2    M(-1,-1) điểm dừng  Ta tìm điểm nghi ngờ điểm dừng hàm f (x, y) biên tam giác: * Trên biên AO: y  0, 3  x  z  f (x,0)  x2 x  g(x) g'(x)  2x 1  x   N  1,0 điểm dừng hàm f AO   * Trên biên OB: x  0, -3  y  z  f (0,y)  y2 y  h(x) h '(x)  2y 1  y   P 0,  1 điểm dừng hàm f OB  2 102 * Trên biên AB: x y 3  y 3x, x 3,0 z  f (x, 3 x)  3x2  9x   k(x) k '(x)  6x   x   &y   Q 3,  3 điểm dừng hàm 2  2 f AB  Tính giá trị hàm điểm dừng vừa tìm điểm đầu mút f (1, 1)  1 f 0,  1    2 f (0,0)  f  1,0     f  3,  3    2 f (3,0)  f (0, 3)  So sánh giá trị trên, ta đƣợc: zmax  z(3,0)  z(0, 3)  zmin  z(1,1) 1 Ví dụ 31: Tìm GTLN – GTNN hàm Giải  Ta tìm điểm dừng   z  x2 y2 miền D  x2 y2  f (x, y) miền D : y Giải hệ phƣơng trình: '  x   zx  2x   -2 ' y    zy  2y    M0(0,0) điểm dừng miền D z(M0)   Ta tìm điểm dừng f (x, y) biên D : Mọi điểm (x, y) biên D phải thỏa x2 y2  g(x,y)  x2 y2 4  * Lập hàm số phụ Lagrange: F(x,y, )  f (x,y)  g(x, y)  x2 y2  (x2 y2 4) * Giải hệ phƣơng trình 103 O phƣơng x trình x  x  2 F 'x  2x 2x   F '   y  2 V y  (nhận)   y   y   y     F '   2   1    x y 4    Suy biên D hàm số có điểm dừng: M1(0,2);M2(0, 2);M3(2,0);M4(2,0) z(M1)  z(M2)  4 z(M3)  z(M4)  Vậy zmin 4 M1(0,2);M2(0, 2) zmax  M3(2,0);M4(2,0) * Ta có: (xem tài liệu tham khảo 1, 3, 5, 7) 104 BÀI TẬP CHƢƠNG Tìm miền xác định hàm sau 2 z  1 x2  y2 a b e) u  R2 x2 y2 z2  x2 y2 z2 r2 z  2xy x y y 1 d) z  arctan   x  a) b) z  ln(1xy) c) Tính giới hạn sau x 1 a) lim 2 x0 x y ln(x ey ) b) lim x1 x2 y2 y0 c) x0 y1 2y2 1 1 x d) lim x0 x2 y2 e) lim sinxy x0 x f) lim y1 ya y0 Xét liên tục hàm số x2 xy lim(1xy) x y x x2 xy y2 y M0(0,0)  x2y2 2  x2y2 , x  y  ,(x, y)  (0,0) 2  a) f (x,y)  x y b) f (x, y)   x4 y4 0 0 , (x, y)  (0,0) , x2 y2    Tìm đạo hàm riêng hàm số sau a) z  x y  3y x d) z  ln x  x2 y2   b) z  sin 2x y e) z  arctan x y c) z e2xy sin6x M(1,1) f) z  xy (x  0) Chứng minh hàm số sau thỏa mãn phƣơng trình đạo hàm riêng đƣợc cho a) z  xey b) z  x y thỏa x y c) u  x2yz thỏa thỏa x z  z x y x z y z  x y x u y u z u  x y z 105 Tìm đạo hàm hàm hợp z  u2 lnv với u  x , v  3x2 2y y b) z  uv2 với u  x  ln(1y2), v ey a) z eu 2v với u cosx , v  x2 y2 z ; z z 1; 2 ; z 1; 2 Cho F(x, y, z)  x3  4xz y2  Tính x y x y c) 2 Tìm vi phân toàn phần hàm a) z  ln(x2 y2) b) z  sin(x2 y2) c) z e3x 2y xy d) z  4x3 3x2y 3xy2 y3 2 Tìm đạo hàm cấp hàm a) z  ex y  cosx z  (x2 y2)2 c) z  sinx.siny b) c) z  y ln x 10 Cho z e2x siny Tính d2z d2z(0;) 11 Dùng vi phân tính gần giá trị biểu thức sau a) A  4,052  3,072  b) B  (2,01)3,03 b) z x2 y2 2x 4y 1  c) C  sin (0,01)(1,05) ln(1,05) 12 Tìm cực trị hàm số sau a) z  4(x y) x2 y2 c) z  x3 y2 6xy 39x 18y 20 d) z  x  y  2 4x y 13 Tìm cực trị hàm số sau a) z  f (x,y)  x2y 9x 1 với điều kiện ràng buộc x y   b) z  f (x,y)  x2 y2 thỏa điều kiện x2 y2  3x  4y 14 Tìm GTLN GTNN hàm số z  f (x,y)  x x2 y2 hình chủ nhật  x  2,  y  x y b) z  f (x,y)   hình trịn x2 y2  a) 15 Công ty Vissan sản xuất thịt hộp lạp xƣởng phục vụ Tết âm lịch 2009, cung cấp thông tin cho nhƣ sau : 106 - Lạp xƣởng : Q1, giá thị trƣờng P1 = 80 ngàn đồng/1kg - Thịt hộp : Q2, giá thị trƣờng P2 = 50 ngànđồng/1kg  4Q12  3Q1.Q2  5Q22 Nhà quản trị hỏi: Chọn tổ hợp sản xuất (Q1,Q2) nhƣ để Công ty Hàm chi phí cho sản phẩm là: C Vissan đạt lợi nhuận tối đa? 16 Một doanh nghiệp tƣ nhân Anh Kỳ kinh doanh độc quyền loại sản phẩm A B thị trƣờng có hàm cầu lần lƣợt là: QD1  520 2P1, QD2  240P2 hàm chi phí sản xuất doanh nghiệp C Q12 2QQ 10 Tìm sản lƣợng Q1; Q2 để doang nghiêp thu đƣợc lợi nhuận tối đa 17 Một xí nghiệp X kinh doanh độc quyền loại sản phẩm dầu gội sữa tắm với giá bán thị trƣờng lần lƣợt là: P1  60 P2  75 (đơn vị là: 1000 đồng) chi phí sản xuất Q1, Q2 lƣợng hàng cho loại C Q1,Q2 Q12 QQ Q2 Hãy xác định sản lƣợng Q1; Q2 để doang nghiêp đạt đƣợc lợi nhuận cực đại 18 Một doanh nghiệp tƣ nhân X kinh doanh độc quyền loại sản phẩm A B thị trƣờng có hàm cầu lần lƣợt là: QD1 12002P1, QD2 1440P1 P2 hàm chi phí sản xuất doanh nghiệp C  489Q1 720Q2 400 Tìm sản lƣợng Q1; Q2 để doang nghiêp thu đƣợc lợi nhuận tối đa 19 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm có thị trƣờng tiêu thụ tách biệt Biết hàm cầu loại sản phẩm thị trƣờng lần lƣợt là: QD1  310P1, QD2  350P2 hàm tổng chi phí C  2030Q Q2 (với Q Q1 Q2) Tìm mức sản lƣợng giá bán tƣơng ứng thị trƣờng để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa, tính lợi nhuận đó? 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) - Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Huỳnh (2006), Toán Học Cao Cấp (Tập 1, 2, 3); Bài Tập Toán Học Cao Cấp (Tập 1, 2, 3), Nhà xuất giáo dục Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) – Lê Trọng Vinh – Dƣơng Thủy Vỹ (2006), Giáo Trình Tốn Học Cao Cấp (Tập 1, 2, 3) (Dùng cho Sinh viên trường Cao Đẳng), Nhà xuất giáo dục Trần Ngọc Liên (2006), Vi Tích Phân A1 – Trƣờng Đại Học Cần Thơ 108 ... 106 v GIÁO TRÌNH MƠN HỌC Tên mơn học: Tốn Giải Tích Mã mơn học: MH33KX6340301 Vị trí, tính chất mơn học: - Vị trí: Là mơn học tự chọn thuộc ngành học cao đẳng Kế Toán, Quản Trị Kinh Doanh,… - Tính... phương pháp giải toán cao cấp Trong mục, tơi trình bày tóm tắt cở sở lý thuyết liệt kê công thức cần thiết Tiếp đó, phần ví dụ tơi đặt biệt quan tâm đến toán giải mẫu vận dụng kiến thức trình bày... số Từ đó, vận dụng để giải số toán tối ƣu + Cung cấp kiến thức tích phân hàm biến phƣơng pháp tính loại tích phân Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích, thể tích vật thể + Trang bị