BÀI 6 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

Bài 6: Ước lượng tham số BÀI ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Hướng dẫn học Bài tiếp tục với giảng trước mẫu tổng thể Để dùng mẫu phản ánh tổng thể, không tính giá trị thống kê mẫu Cần kết hợp với lý thuyết xác suất để xây dựng toán suy diễn cho tổng thể Trong giảng cần ý cách kết hợp thống kê tính tốn trước giá trị tới hạn tra được, quy luật phân phối xác suất đề cập giảng số Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau:  Học lịch trình môn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn  Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê toán NXB Đại học KTQD  Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email  Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung  Khái niệm ước lượng;  Ước lượng điểm tính chất, ước lượng số tham số tổng thể;  Lý thuyết ước lượng khoảng;  Ước lượng khoảng cho trung bình, phương sai, tỷ lệ tổng thể ứng dụng;  Bài toán xác định kích thước mẫu Mục tiêu  Hiểu khái niệm ước lượng;  Tìm ước lượng khơng chệch, hiệu số ước lượng cho;  Với số liệu mẫu, ước lượng tham số tổng thể suy luận từ 112 TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 Bài 6: Ước lượng tham số Tình dẫn nhập Ước lượng tham số chi tiêu khách hàng Với tình giảng số 5, có số liệu chi tiêu 100 khách hàng cho bảng số liệu sau (đơn vị: nghìn đồng) Giả thiết chi tiêu biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95% Chi tiêu 60–100 100–140 140–180 180–220 220–260 260–300 300–340 Số người 25 29 21 Người quản lý muốn ước lượng mức chi tiêu trung bình tất khách hàng Người quản lý muốn đánh giá mức độ dao động mức chi tiêu khách hàng Nếu khách hàng chi tiêu từ 260 nghìn trở lên khách hàng quan trọng tỷ lệ khách hàng loại chiếm phần trăm tổng thể khách hàng TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 113 Bài 6: Ước lượng tham số 6.1 Lý thuyết ước lượng 6.1.1 Khái niệm ước lượng Ước lượng nghĩa tính tốn cách gần giá trị đại lượng chưa biết dựa thơng tin có Ta ước lượng cho đại lượng đo lường độ lớn trung bình; đại lượng đo lường độ dao động phương sai, độ lệch chuẩn; đại lượng đo lường khả xác suất, tỷ lệ tổng thể Đại lượng cần đo lường tham số tổng thể (trung bình, phương sai, tỷ lệ), chưa biết Chính chưa biết lại cần biết để phân tích định nên cần ước lượng Thông tin mà ta có lấy từ mẫu Khái niệm: Ước lượng tham số tính tốn cách gần giá trị tham số chưa biết tổng thể dựa thơng tin từ mẫu Có nhiều tham số tổng thể, trước đề cập đến ba tham số chính, ta tập trung vào ba tham số này, ta có ba tốn:  Ước lượng trung bình tổng thể: μ  Ước lượng phương sai tổng thể: 2  Ước lượng tỷ lệ tổng thể: p Tham số độ lệch chuẩn tổng thể  phải tính tốn thơng qua phương sai tổng thể 2 khơng cần tách thành tốn riêng Thay phải viết với ba tham số μ, 2, p riêng biệt, tạm thời dùng ký hiệu chung tham số  (đọc tê – ta) Khi viết tham số tổng qt  ta hiểu có ba trường hợp μ, 2, p Khi ước lượng cho tham số  dựa thơng tin từ mẫu, có hai loại ước lượng ước lượng điểm ước lượng khoảng Ước lượng điểm: Trong thực tế ta thường dùng khái niệm ước lượng điểm nói: “ước lượng cho lạm phát 6,5%”; “ước lượng mức tăng trưởng kinh tế 8%”, nghĩa dùng số để ước lượng Ước lượng điểm thống kê tốn tìm giá trị, tính tốn mẫu, tùy thuộc mẫu mà kết khác Ước lượng khoảng: Bên cạnh ước lượng điểm “ước lượng lạm phát 6,5%”, có cách nói thứ hai: “ước lượng mức lạm phát khoảng đến phần trăm” Đây hình ảnh ước lượng khoảng Khi ước lượng khoảng ta mong muốn khoảng chứa số cần tìm với khả cao Từ có khái niệm ước lượng khoảng thống kê toán 6.1.2 Khái niệm ước lượng điểm Khái niệm: Ước lượng tham số giá trị tính tốn mẫu gọi ước lượng điểm cho tham số Với mẫu ngẫu nhiên giá trị thống kê ngẫu nhiên, với mẫu cụ thể giá trị số  Ký hiệu ước lượng điểm tham số  ˆ (tê – ta mũ), quy ước quốc tế ước lượng điểm  Với mẫu ngẫu nhiên (X1, X2,…, Xn) thống kê có dạng: ˆ = f(X1, X2,…, Xn) hàm số mẫu 114 TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 Bài 6: Ước lượng tham số  Với mẫu cụ thể (x1, x2,…, xn) thống kê có dạng ˆqs  f ( x1 , x2 , , xn ) số Chữ qs viết tắt quan sát Giá trị tính mẫu gọi giá trị quan sát Tuy nhiên với tham số tổng thể, có nhiều cách để tìm ước lượng điểm Trong số nhiều ước lượng điểm, cần tìm ước lượng điểm xác Để lựa chọn ước lượng tốt, cần có tiêu chuẩn đặt 6.1.3 Tiêu chuẩn lựa chọn ước lượng điểm Một ước lượng điểm tốt khơng có sai lầm mang tính hệ thống, sai lầm ngẫu nhiên phải mức nhỏ Ví dụ 6.1 Để ước lượng trung bình tổng thể m, xét mẫu ngẫu nhiên gồm hai người điều tra, hay mẫu kích thước 2: W = (X1, X2) Với mẫu này, có ba ý kiến sau: Ý kiến 1: Cho người điều tra quan trọng nhất, dùng công thức: mˆ  X1  X 2 Ý kiến 2: Cho người điều tra quan trọng, chia cho tổng số phải coi người thứ hai người, dùng cơng thức: mˆ  X1  X Ý kiến 3: Cho hai người điều tra quan trọng nhau, nên dùng công thức: mˆ  X1  X 2 Trong ba cơng thức đó, cơng thức dùng tốt nhất? Để giải toán này, xét hai tiêu chuẩn ước lượng điểm tính khơng chệch tính hiệu Tính khơng chệch Định nghĩa – Tính không chệch: Thống kê ˆ mẫu gọi ước lượng không chệch tham số  tổng thể kỳ vọng giá trị tham số Vậy ˆ ước lượng không chệch  thì: E (ˆ )   (6.1) Nếu E (ˆ)   ˆ ước lượng chệch  Ước lượng chệch dẫn đến sai lệch mang tính hệ thống, ước lượng cao thấp giá trị cần ước lượng Nếu ước lượng chệch dùng ước lượng tham số khác nữa, kết sai lầm Tính hiệu Giả sử ˆ , ˆ ước lượng không chệch θ, V (ˆ )  V (ˆ ) ước lượng ˆ 2 gọi hiệu ước lượng ˆ2 TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 115 Bài 6: Ước lượng tham số Ước lượng không chệch ˆ* gọi hiệu có phương sai nhỏ số tất ước lượng không chệch xây dựng mẫu, tức V (ˆ* )  V (ˆ) với ˆ ước lượng không chệch Định nghĩa – Tính hiệu quả: Thống kê ˆ mẫu gọi ước lượng hiệu tham số  tổng thể ˆ ước lượng khơng chệch có phương sai nhỏ số ước lượng không chệch  Như ước lượng hiệu trước tiên phải ước lượng không chệch Ước lượng không chệch hiệu gọi ước lượng tốt Ví dụ 6.1 (tiếp) Tìm ước lượng khơng chệch, hiệu trung bình tổng thể m ba ước lượng sau: mˆ  X1  X 2 mˆ  X1  X mˆ  X1  X 2 Giải: Cần nhớ lại kiến thức trước: Biến ngẫu nhiên gốc X có E(X) = m V(X) = 2 với mẫu ngẫu nhiên thành phần mẫu có: E(Xi) = m V(Xi) = 2 Ngồi cịn cần tính chất kỳ vọng phương sai học số Do để xét tính khơng chệch, ta tính kỳ vọng ước lượng  X  X  E ( X )  E ( X ) 2m  m E (mˆ )  E    m  2 2    X  X  E ( X )  E ( X ) 2m  m E (mˆ )  E   m  3    X  X  E ( X1 )  E ( X ) m  m E (mˆ )  E   m  2   Vây ba ước lượng ước lượng có kỳ vọng khác với m, ước lượng chệch, khơng nên sử dụng Với hai ước lượng khơng chệch cịn lại, xét tính hiệu qua phương sai Nhớ cho số ngồi phương sai phải bình phương số lên: 2  X  X  V ( X )  V ( X ) 4      2 V (mˆ )  V   3 9   2  X  X  V ( X1 )  V ( X )       2 V (mˆ )  V   2   Ta thấy V (mˆ )  V (mˆ ) nên ước lượng thứ ba hiệu Vậy ba ước lượng ước lượng thứ chệch, ước lượng thứ hai không chệch không hiệu ước lượng thứ ba Ước lượng thứ ba không chệch hiệu Ví dụ 6.2 Biến ngẫu nhiên gốc X có trung bình m, phương sai 2 Với mẫu ngẫu nhiên kích thước 3: W = (X1, X2, X3), cho biết số thống kê sau, hàm ước lượng không chệch, hàm ước lượng hiệu hơn: 116 TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 Bài 6: Ước lượng tham số G1  1 1 1 X  X  X ; G2  X  X  X ; G3  ( X  X  X ) 2 3 Giải: Để xét tính khơng chệch, tính trung bình (kì vọng) thống kê Do mẫu ngẫu nhiên nên ta có: E(X1) = E(X2) = E(X3) = m V(X1) = V(X2) = V(X3) = 2 Ta có: 1  1 1 E (G1 )  E  X  X  X   E ( X )  E ( X )  E ( X )  2 2 1  m m m  m  m 2 3 1 1 1 m  m  m  m ; E (G3 )  m  m  m  m 3 Trong thống kê G1 ước lượng chệch, G2, G3 ước lượng khơng chệch Để xét tính hiệu quả, ta tính phương sai ước lượng khơng chệch Ta có: Tương tự: E (G2 )  1 V (G2 )  2  2    2 36 18 1 1 V(G )  2      2 9 Do V(G2) > V(G3) nên G3 ước lượng có phương sai nhỏ nhất, ước lượng hiệu số ba ước lượng Qua hai ví dụ rút nhận xét là: Ước lượng cho trung bình tổng thể tổ hợp thành phần mẫu  Tổ hợp ước lượng khơng chệch tổng hệ số  Tổ hợp không chệch (tổng hệ số 1) hiệu hệ số Dựa vào định lý tính chất biến ngẫu nhiên, người ta chứng minh biến ngẫu nhiên gốc phân phối chuẩn trung bình mẫu X ước lượng khơng chệch, hiệu trung bình tổng thể m (cũng tham số μ); phương sai S2 ước lượng không chệch phương sai tổng thể 2; tỷ lệ mẫu f ước lượng không chệch hiệu tần suất tổng thể p Với mẫu cụ thể, ước lượng điểm tính giá trị cụ thể 6.1.4 Khái niệm ước lượng khoảng Trong phần trước, ước lượng điểm giá trị dùng để ước lượng cho tham số chưa biết Trong nhiều trường hợp, ước lượng điểm chưa đủ khơng đảm bảo độ xác cần thiết, cần tìm khoảng giá trị để ước lượng cho tham số chưa biết Với khoảng giá trị dùng để ước lượng cho tham số chưa biết, khơng đảm bảo xác hồn toàn, mà với xác suất định, có khả sai Khái niệm – Ước lượng khoảng: Ước lượng tham số khoảng tính tốn mẫu, cho xác suất để khoảng chứa số cần tìm giá trị đủ lớn, gọi ước lượng khoảng cho tham số TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 117 Bài 6: Ước lượng tham số Ước lượng khoảng cho tham số  tìm khoảng (1, 2) cho: P(1 <  < 2) số đủ lớn Nếu ký hiệu xác suất cho phép sai α xác suất yêu cầu (1   ) , ta có: P(1 <  < 2) = – α (6.2) Khi ta có cách gọi sau:  Khoảng (1, 2) gọi khoảng tin cậy tham số   Giá trị (1 – α) gọi độ tin cậy ước lượng  Đại lượng I = 2 – 1 gọi độ dài khoảng tin cậy Ước lượng khoảng có độ dài khoảng tin cậy ngắn tốt Thông thường lấy độ tin cậy 95% hay nói khác xác suất 95%, cho phép sai 5% 6.1.5 Phương pháp tìm ước lượng khoảng Phương pháp tìm ước lượng khoảng tổng quát tính mẫu ngẫu nhiên dựa vào quy luật phân phối xác suất liên hệ đề cập giảng số Việc thực chi tiết biến đổi xem giáo trình Với mẫu ngẫu nhiên, cơng thức ước lượng khoảng cho khoảng ngẫu nhiên, viết dạng xác suất Với mẫu cụ thể, thay số vào đại lượng ngẫu nhiên, tính khoảng cụ thể, không gắn với xác suất Để tránh nhầm lẫn, hai trường hợp mẫu ngẫu nhiên hay cụ thể không viết với xác suất Người học sử dụng công thức chứng minh, thay giá trị số để tính kết cuối 6.2 Ước lượng trung bình tổng thể 6.2.1 Ước lượng điểm trung bình tổng thể Ước lượng điểm khơng chệch cho trung bình tổng thể trung bình mẫu Trong giảng số ta có khu trung bình tổng thể m E ( X )  m nên X ước lượng không chệch m Phương sai trung bình mẫu: V ( X )  2 n Chứng minh tổng thể phân phối Chuẩn X ước lượng hiệu nhất, ước lượng tốt 6.2.2 Ước lượng khoảng trung bình tổng thể phân phối Chuẩn Ta xét toán ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể tổng thể phân phối Chuẩn Giả sử tổng thể có biến ngẫu nhiên gốc X phân phối chuẩn X ~ N (, 2 ) , trung bình tổng thể ký hiệu , phương sai tổng thể phương sai biến ngẫu nhiên 2 Với mẫu W kích thước n, với độ tin cậy (1 – ) cho trước Với W, tính thống kê đặc trưng mẫu X , S2 Chúng ta xây dựng cơng thức ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể sau: T 118 ( X  ) n ~ T (n  1) S TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 Bài 6: Ước lượng tham số Chứng minh công thức sau: S ( n 1) S ( n 1)   P X  t /    X  t /2     n n   (6.3) Như xác suất để trung bình tổng thể μ rơi vào khoảng (1 – α) Khoảng khoảng tin cậy, ước lượng khoảng cho tham số μ X S ( n 1) S ( n 1) t /    X  t /2 n n (6.4) Khoảng tin cậy (6.3) đối xứng qua giá trị trung bình nên gọi khoảng tin cậy đối xứng Với mẫu cụ thể, thay giá trị thống kê mẫu ngẫu nhiên số, cho kết khoảng cụ thể Khoảng cụ thể là: x s ( n 1) s ( n 1) t /2    x  t /2 n n (6.5) Ta viết khoảng tin cậy dạng: x     x  (6.6) Trong ε gọi sai số, sai số:  s ( n 1) t /2 n (6.7) Sai số ước lượng nhỏ, ta gọi ước lượng xác Khi nói ước lượng xác tức sai số giảm Dựa cơng thức, thấy muốn sai số giảm đi, có cách sau:   Tăng kích thước mẫu: n tăng lên ε giảm Giảm độ tin cậy: (1 – α) giảm α tăng giá trị tới hạn giảm Trong trường hợp mà giữ nguyên độ tin cậy, muốn sai số ước lượng  không vượt khoảng 0 cho trước kích thước mẫu tối thiểu cần điều tra xác định xấp xỉ sau: n'  s ( n 1)  t /2   02 (6.8) Con số n’ xấp xỉ, kích thước mẫu thay đổi giá trị tới hạn s2 thay đổi, ta chấp nhận thay đổi không nhiều Giá trị tới hạn Student tra phụ lục 4, với bậc tự lớn 30 dùng xấp xỉ giá trị tới hạn Chuẩn, dịng cuối bảng Ví dụ 6.3 Khảo sát giá loại hàng thiết yếu thị trường tự 20 cửa hàng thấy giá trung bình 135,8 nghìn, với độ dao động đo phương sai 23,2 nghìn2 Giả thiết giá loại hàng biến phân phối Chuẩn (a) Với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng giá trung bình thị trường (b) Với độ tin cậy 95%, muốn sai số ước lượng khơng q nghìn cần khảo sát thêm cửa hàng nữa? (c) Với độ tin cậy 90% kết ước lượng khoảng nào? TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 119 Bài 6: Ước lượng tham số Giải: Theo đề bài, thị trường tổng thể gồm nhiều cửa hàng, mà ta điều tra 20 cửa hàng tức là mẫu Đặt X giá hàng hóa thị trường, đơn vị nghìn, theo giả thiết X phân phối Chuẩn: X ~ N(μ, 2) Lưu ý μ trung bình tổng thể chưa biết, khơng phải μ = 135,8 số 135,8 trung bình 20 cửa hàng khơng phải toàn thị trường gồm nhiều cửa hàng Các số có mẫu cụ thể Như vậy, mẫu có kích thước n = 20, trung bình mẫu x  135,8 phương sai mẫu s  23,3 ; suy độ lệch chuẩn mẫu s  23,3  4,827 (a) Độ tin cậy 95% tức (1 – α) = 0,95 hay α = 0,05, ước lượng giá trung bình thị trường tức ước lượng cho trung bình tổng thể Công thức: x s ( n 1) s ( n 1) t /2    x  t /2 n n Các giá trị x s có, cần tra giá trị t( n/21) bảng giá trị tới hạn Student – Phụ (20 1) (19) lục Tra bảng ta có: t( n/21)  t0,05/2  t0,025  2, 093 (20) Lưu ý không nhầm lẫn n = 20 α = 0,05 để tra sai thành t0,05 Thay số vào ta có: 135,8  4,827 4,827  2, 093    135,8   2, 093 20 20 135,8 – 2,259 < μ < 135,8 + 2,259 133,541 < μ < 138,059 Vậy với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng, hay khoảng tin cậy cho giá trung bình thị trường (133,541 ; 138,059) nghìn đồng Sai số ước lượng ε = 2,259 nghìn đồng (b) Nếu muốn sai số ước lượng khơng q nghìn đồng, hay ε  2, theo cơng thức ta có: n'  s ( n 1) 23,3 t  n'  (2, 093) 2   /2  0  n’ ≥ 25,5 n’ số tự nhiên nên n’ ≥ 26 Vậy để sai số ước lượng khơng q nghìn đồng cần khảo sát thêm cửa hàng (vì ta có số liệu 20 cửa hàng rồi) (c) Khi ước lượng khoảng cho μ với độ tin cậy 90%, đại lượng thay đổi t( n/21) , (20 1) (19) tính lại là: t( n/21)  t0,1/2  t0,05  1, 729 120 TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 Bài 6: Ước lượng tham số Do thay số vào công thức ta được: 135,8  4,827 4,827  1, 729    135,8  1, 729 20 20 135,8 – 1,866 < μ < 135,8 + 1,866 133,934 < μ < 137,666 Như ta thấy độ tin cậy thay đổi với kích thước mẫu cũ sai số ước lượng giảm Tuy nhiên sai số ước lượng giảm mà không dựa việc khảo sát thêm độ tin cậy phải giảm, khả có sai lầm tăng lên 6.3 Ước lượng phương sai tổng thể 6.3.1 Ước lượng điểm Phương sai tổng thể V(X) = 2 Ước lượng không chệch cho phương sai tổng thể mẫu ngẫu nhiên phương sai mẫu S2, ta có E(S2) = 2 Tuy nhiên việc chứng minh tính hiệu phương sai mẫu không dễ dàng, kể biến ngẫu nhiên gốc phân phối Chuẩn, đặc biệt khơng có thơng tin trung bình tổng thể 6.3.2 Ước lượng khoảng phương sai tổng thể phân phối Chuẩn Khi X phân phối chuẩn, phương sai tổng thể 2 cần ước lượng, với độ tin cậy (1 – ), dựa quy luật thống kê phân phối Khi – bình phương bậc tự (n – 1) Từ có cơng thức ước lượng khoảng, hay khoảng tin cậy phương sai tổng thể: (n  1) S (n  1) S 2    2( n 1)  2(/2n 1) 1 /2 (6.9) Trong hai giá trị mẫu giá trị tới hạn Khi – bình phương bậc tự (n – 1) với mức (/2) (1 – /2) Với mẫu cụ thể, thay S2 s2 tính từ mẫu, nên khoảng tin cậy là: (n  1) s (n  1) s 2    2( n 1) 2(/2n 1) 1 /2 (6.10) Ví dụ 6.3 (tiếp) Với mẫu 20 cửa hàng khảo sát có trung bình mẫu 135,8 nghìn phương sai mẫu 23,3 nghìn2 Giả thiết giá phân phối Chuẩn (d) Với độ tin cậy 95% ước lượng độ dao động giá bán thị trường, đo phương sai độ lệch chuẩn (e) Với độ tin cậy 90%, tìm khoảng tin cậy cho độ phân tán giá bán thị trường Giải: Với ví dụ này, X ~ N(μ, 2) với 2 phương sai tổng thể chưa biết Mẫu cụ thể: n = 20, x = 135,8 s2 = 23,3 (d) Đề ghi rõ “độ dao động đo phương sai độ lệch chuẩn” nên ta hiểu phương sai độ lệch chuẩn tổng thể Trong nhiều trường hợp, TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 121 Bài 6: Ước lượng tham số câu hỏi (e), đề không nói trực tiếp mà dùng cụm từ “độ phân tán”, phương sai độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn tính trực tiếp từ phương sai, cần ước lượng phương sai: Cơng thức ước lượng là: (n  1) s (n  1) s 2     2(/n21) 12(n / 1)2 Cần có hai giá trị tới hạn mẫu: 2(20 1) 2(19)  2(/2n 1)   0,05/2   0,025  32,85 1) 2(19) 12(n /21)  12(20  0,05/2   0,975  8,907 Lưu ý: ký hiệu χ2 số ký hiệu viết liền, khơng nhân số vào ngoặc trịn Thay số vào công thức ta được: (20  1)23,3 (20  1)23,3 2  32,85 8,907 13, 476    49, 702 Để có giá trị độ lệch chuẩn, cần bậc hai phương sai, ta có: 3, 67    7, 05 Vậy với độ tin cậy 95%, ước lượng độ dao động giá bán thị trường, đo phương sai (13,476; 49,702) nghìn2, đo độ lệch chuẩn (3,67; 7,05) nghìn (e) Khi yêu cầu tìm khoảng tin cậy cho “độ phân tán”, ta hiểu phương sai độ lệch chuẩn, hai đại lượng đo độ phân tán Với câu hỏi có khác biệt độ tin cậy 90% tương ứng với α = 0,9 Tính lại hai giá trị tới hạn: 2(20 1) 2(19)  2(/2n 1)   0,1/2   0,05  30,14 Thay số: (20  1)  23,3 (20  1)  23,3 2  30,14 10,12 14, 688    43, 745 3,832    6, 614 Vậy với độ tin cậy 95%, ước lượng độ phân tán giá bán thị trường, đo phương sai (14,688; 43,745) nghìn2, đo độ lệch chuẩn (3,832; 6,614) nghìn Ví dụ 6.4 (Tình dẫn nhập) Có số liệu chi tiêu 100 khách hàng cho bảng số liệu sau (đơn vị: nghìn đồng) Giả thiết chi tiêu biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95% 122 TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 Bài 6: Ước lượng tham số Chi tiêu 60 – 100 100 – 140 140 – 180 180 – 220 220 – 260 260 – 300 300 – 340 Số người 25 29 21 (a) Ước lượng điểm khoảng cho chi tiêu trung bình tất khách hàng (b) Muốn sai số câu (a) nửa cần điều hóa đơn khách hàng? (c) Ước lượng cho độ dao động chi tiêu, đo độ lệch chuẩn Giải: Đặt chi tiêu X, theo giả thiết X phân phối Chuẩn: X ~ N(μ, 2) với tham số chưa biết Từ số liệu đề bài, thực tính tốn giảng số 5, ta thông tin từ mẫu cụ thể này: n = 100, x = 200,4 (nghìn đồng), s2 = 3086,71 (nghìn đồng)2, s = 55,558 (nghìn đồng) Độ tin cậy 95% nghĩa α = 0,05 (a) Ước lượng điểm cho chi tiêu trung bình tất khách hàng trung bình mẫu, 200,4 nghìn đồng Ước lượng khoảng theo công thức: x s ( n 1) s ( n 1) t /2    x  t /2 n n (100 1) (99) Giá trị tới hạn: t( n/21)  t0,05/2  t0,025  1,96 Thay số vào ta có: 200,  55,558 55,558  1,96    200,  1,96 100 100 200,4 – 10,89 < μ < 200,4 + 10,89 189,51 < μ < 211,29 Vậy với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng cho chi tiêu trung bình tất khách hàng khoảng (189,51; 211,29) nghìn đồng 10,89  5, 445 (b) Muốn sai số câu (a) nửa, tức là:   Theo công thức:   s ( n 1) s  t /2 nên suy ra: n   t( n/21)  n   2  55,558   1,96   400 Thay số ta có: n    5, 445  Thực kết suy luận trực tiếp từ công thức mối quan hệ n ε: quan hệ n tỷ lệ nghịch với bình phương ε, muốn ε giảm nửa n phải tăng lên gấp bốn lần (c) Ước lượng cho độ dao động đo độ lệch chuẩn phải tính qua cơng thức ước lượng phương sai Công thức ước lượng là: (n  1) s (n  1) s 2    2(/n21) 12(n / 1)2 TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 123 Bài 6: Ước lượng tham số Cần có hai giá trị tới hạn mẫu, lấy giá trị xấp xỉ bảng số khơng có giá trị xác: 2(99) 2(100)  2(/2n 1)   0,025   0,025  129, 2(99) 2(100) 12(n /21)  0,975   0,975  74, 22 Thay số vào công thức ta được: (100  1)  308, 71 (100  1)  308, 71 2  129, 74, 22 2357,9    4117, 28 48,558    64,166 Vậy ước lượng cho độ lệch chuẩn chi tiêu khoảng (48,558 ; 64,166) nghìn đồng 6.4 Ước lượng tỷ lệ tổng thể 6.4.1 Ước lượng điểm tỷ lệ tổng thể M tỷ lệ N tổng thể, hay tần suất tổng thể dấu hiệu A Nếu coi việc xuất dấu hiệu A biến cố, p xác suất biến cố Với mẫu kích thước n, tỷ lệ mẫu hay tần suất mẫu f, chứng minh f ước lượng điểm không chệch hiệu p Với tổng thể kích thước N, có M phần tử chứa dấu hiệu A, p  6.4.2 Ước lượng khoảng tỷ lệ tổng thể Cần ước lượng tần suất tổng thể p với độ tin cậy (1 – ) dựa mẫu ngẫu nhiên kích thước n Trong mẫu, tần suất mẫu dấu hiệu A f = XA/n với XA tần số ngẫu nhiên dấu hiệu A mẫu Với mẫu ngẫu nhiên cụ thể, ký hiệu f dùng chung Bài toán ước lượng khoảng cho tỷ lệ tổng thể thực với mẫu có kích thước từ 100 trở lên: n ≥ 100 Ước lượng khoảng, khoảng tin cậy có dạng đối xứng: f f (1  f ) n u /2  p  f  f (1  f ) n u / (6.11) Ước lượng khoảng viết dạng: f   p  f  (6.12) Trong ε gọi sai số,  f (1  f ) n u /2 (6.13) Do muốn sai số ước lượng không vượt giá trị 0 cho trước kích thước mẫu tối thiểu là: f (1  f ) n'  u /2 (6.14) 02 124 TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 Bài 6: Ước lượng tham số Ví dụ 6.5 Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm nhà máy sản xuất, thấy có 92 sản phẩm đạt chất lượng loại I Với độ tin cậy 95%: (a) Tỉ lệ sản phẩm loại I nhà máy nằm khoảng nào? (b) Nếu muốn sai số khơng q 4% cần kiểm tra sản phẩm? (c) Hãy ước lượng số sản phẩm loại I số 40 nghìn sản phẩm? Giải: Đặt p tỉ lệ sản phẩm loại I nhà máy, p chưa biết Với mẫu, n = 400; số sản phẩm loại I, k = 92, đặt f tỉ lệ sản phẩm loại I mẫu f  k 92   0, 23 n 400 (a) Ước lượng cho p với độ tin cậy 95% hay α = 0,05 Công thức: f f (1  f ) n u /2  p  f  f (1  f ) n u / Với u /2  u0,025  1,96 , thay số vào ta có: 0, 23  0, 23  (1  0, 23) 400 1,96  p  0, 23  0, 23  (1  0, 23) 400 1,96 0,23 – 0,0412 < p < 0,23 + 0,0412 0,1888 < p < 0,2712 Vậy tỉ lệ sản phẩm loại I nằm khoảng (18,88; 27,12) % (b) Nếu muốn sai số không vượt 4% hay muốn ε ≤ 0,04 thì: n'  0, 23  (1  0, 23) 1,962 0, 042 Vậy n’ ≥ 425; cần kiểm tra 425 sản phẩm (c) Khi sản xuất 40000 sản phẩm, muốn ước lượng số sản phẩm loại I đơn giản nhân giá trị tỷ lệ với số 40000 Nếu đặt số sản phẩm loại I số 40000 sản phẩm M thì: M = 40000p Do từ kết ước lượng p câu (a), có 0,1888 < p < 0,2712 0,1888  40000 < 40000p < 0,2772  40000 7552 < M < 10848 Vậy với độ tin cậy 95% có khoảng (7552 ; 10848) sản phẩm loại I TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 125 Bài 6: Ước lượng tham số Tóm lược cuối   Ước lượng tham số tính tốn gần giá trị tham số chưa biết tổng thể, gồm tham số: μ, 2, p, dựa thơng tin từ mẫu Có hai loại ước lượng ước lượng điểm ước lượng khoảng Ước lượng điểm gọi không chệch kỳ vọng tham số, gọi hiệu ước lượng khơng chệch có phương sai nhỏ  Ước lượng khoảng tìm khoảng cho xác suất mức cho trước, mức gọi độ tin cậy Khoảng tìm gọi khoảng tin cậy, khoảng có độ dài ngắn coi tốt  Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể tỷ lệ tổng thể có dạng đối xứng, sai số ước lượng phản ánh độ xác Muốn sai số giảm tăng kích thước mẫu giảm độ tin cậy  Từ ước lượng khoảng cho phương sai tổng thể tính ước lượng khoảng cho độ lệch chuẩn tổng thể 126 TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 Bài 6: Ước lượng tham số Câu hỏi ôn tập Thế ước lượng? Ta thường ước lượng tham số tổng thể? Phân biệt ước lượng điểm ước lượng khoảng? Thế ước lượng điểm không chệch? Thế ước lượng điểm hiệu quả? Ước lượng khoảng thể qua xác suất nào? Tại gọi công thức ước lượng khoảng trung bình tỷ lệ tổng thể khoảng tin cậy đối xứng? Ước lượng khoảng trung bình tỷ lệ tổng thể kích thước mẫu tăng lên? Ước lượng khoảng trung bình tỷ lệ tổng thể độ tin cậy tăng lên? Muốn ước lượng khoảng cho độ lệch chuẩn tổng thể phải làm nào? TXTOKT02_Bai6_v1.0014109205 127