TỔNG ôn hàm hợp

Củng cố 01: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thực phân biệt phương trình f ( x ) + f ( x ) = là: +) Đáp án:  f ( x) = Ta có f ( x ) + f ( x ) =    f ( x ) = −4 + Dựa vào bảng biến thiên, ta có Phương trình f ( x ) = có nghiệm phương trình f ( x ) = −4 có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Củng cố 02: Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hình vẽ Đặt g ( x ) = f  f ( x )  Tìm số nghiệm phương trình g  ( x ) = +) Đáp án:  f ( x) = (1) Ta có: g  ( x ) = f  ( x ) f   f ( x )  ; g  ( x ) =    f   f ( x )  = ( ) Dựa vào đồ thị ta thấy: x =  TH1: Phương trình f  ( x ) =   x =  x = −1  f ( x) =  TH2: Phương trình f '  f ( x )  =   f ( x ) =  f x = −1  ( ) ( *) (**) (***) Nhận xét: Số nghiệm phương trình ( *) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = Suy phương trình ( *) có nghiệm Số nghiệm phương trình (**) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = Suy phương trình ( *) có nghiệm Số nghiệm phương trình (***) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = −1 Suy phương trình ( *) có nghiệm Vậy số nghiệm phương trình g  ( x ) = Củng cố 03: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm thỏa mãn f ( −2 ) = , f ( ) = , f ( ) = −3 có đồ thị hàm f  ( x ) hình vẽ Phương trình f   f ( x )  = có ngiệm? +) Đáp án:  x = −2 Ta có f  ( x ) =   x =  x = Bảng biến thiên hàm số y = f ( x )  f ( x ) = −2  f ( x) =   2 Phương trình f   f ( x )  =   f ( x ) =   f ( x ) = −2    f x =2  f ( x) =  ( )  Từ BBT y = f ( x ) ta thấy: Phương trình f ( x ) = có nghiệm Phương trình f ( x ) = −2 có nghiệm Phương trình f ( x ) = có nghiệm Vậy phương trình f   f ( x )  = có nghiệm Củng cố 04: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) = ax + bx + c ( a; b; c  , a  ) có bảng biến thiên sau Phương trình f (1 − f ( x ) ) = f ( c ) có nghiệm thực phân biệt ? +) Đáp án: Ta có f ( ) = c =  f ( c ) = f (1) =  f ( x) =   f ( x ) = 1 − f ( x ) = −1 Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 ; x2 1 − f ( x ) = f (1 − f ( x ) ) = f ( c )  f (1 − f ( x ) ) =   Phương trình ( ) có nghiệm phân biệt x3 ; x4 ; x5 Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Củng cố 05: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình Phương trình ( ) f f ( x ) − = có nghiệm ? +) Đáp án: (1) ( 2)  x = x1 Từ đồ thị hàm số bậc ba suy f ( x ) =   với x1   x2  x = x2  f x = x1 (1) Ta có: f f ( x ) − =  f f ( x ) =    f x = x2 ( )  Nhận xét: Khi x1  −2 ta có đồ thị hàm số y = f x cắt đường thẳng y = x1 điểm có ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) hoành độ âm nên phương trình (1) vơ nghiệm ( *) ( ) Với x2  ta có đồ thị hàm số y = f x cắt đường thẳng y = x2 điểm có hồnh độ dương nên phương trình ( ) ln có hai nghiệm phân biệt (**) Từ ( *) (**) suy phương trình có hai nghiệm phân biệt Củng cố 06: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Gọi S tập nghiệm phương trình f  ( f ( x ) ) = , số phần tử S là: +) Đáp án: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy:  f ( x) = − f ' ( f ( x ) ) =   f ( x) =  f ( x) =1 +) Với f ( x) = −1 phương trình có nghiệm +) Với f ( x) = phương trình có nghiệm +) Với f ( x) = phương trình có nghiệm Vậy phương trình f ' ( f ( x ) ) = có nghiệm Củng cố 07: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  ( f ( x ) + 3) = +) Đáp án: Xét phương trình f  ( f ( x ) + 3) = ( *) Đặt t = f ( x ) + , từ phương trình ( *) ta có f  ( t ) = t = −2  Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta suy ra: f  ( t ) =  t = t = + Với t = −2  f ( x ) = − , dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm thực phân biệt + Với t =  f ( x ) = − , dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm thực phân biệt + Với t =  f ( x ) = − , dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm thực phân biệt Vậy, số nghiệm thực phân biệt phương trình cho là: + + = nghiệm Củng cố 08: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm ( ) thực phân biệt phương trình f f ( x ) = +) Đáp án: Căn vào đồ thị hàm số cho ta thấy:  f ( x ) = a ( a  −1)  f ( f ( x )) =   f ( x ) =  f x = b 1 b  ( )  ( ) Căn vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có: + Với a  −1 , phương trình f ( x ) = a có nghiệm + Phương trình f ( x ) = có hai nghiệm thực phân biệt + Với  b  , phương trình f ( x ) = b có ba nghiệm thực phân biệt Các nghiệm phương trình f ( x ) = a ; f ( x ) = ; f ( x ) = b nghiệm phân biệt Vậy phương trình cho có nghiệm thực phân biệt Củng cố 09: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Số nghiệm thực phân biệt phương trình  f  ( f ( x ) )  +  f  ( f ( x ) ) + f  ( f ( x ) ) = +) Đáp án:  f ( x) =  Ta có  f  ( f ( x ) )  +  f  ( f ( x ) ) + f  ( f ( x ) ) =  f  ( f ( x ) ) =   f ( x ) = −2 f x =0  ( ) Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình f ( x ) = có hai nghiệm, phương trình f ( x ) = có nghiệm phương trình f ( x ) = −2 có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Vận dụng 01: Cho hàm số f ( x ) = x − ( m + ) x + m với m tham số thực Số giá trị nguyên m   −2022; 2022 để hàm số y = f ( x ) có số điểm cực trị nhiều là: +) Đáp án: 2022 Hàm số y = f ( x ) hàm số y = f ( x ) có tập xác định Lại có, hàm số y = f ( x ) hàm số đa thức bậc trùng phương nên có tối đa điểm cực trị x1 , x2 , x3 đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tối đa điểm phân biệt có hồnh độ x4 , x5 , x6 , x7 Do đó, hàm số y = f ( x ) có nhiều điểm cực trị điểm x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 Hàm số y = f ( x ) có nhiều điểm cực trị  đồ thị hàm số y = f ( x ) phải cắt trục hồnh điểm phân biệt (khi hàm số y = f ( x ) chắn có điểm cực trị)  phương trình t − ( m + ) t + m = phải có nghiệm dương phân biệt ( m + )2 − 4m  Δ     m    S   m +  P  m    m   Do m   −2022; 2022 nên m  1; 2;3; ; 2022 m   Vận dụng 02: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tổng tất giá trị nguyên tham số m để hàm số g ( x ) = f (f ( x) − f ( x) − m ) có 17 điểm cực trị +) Đáp án: 1652 g ( x) = f  ( x ) ( f ( x ) − 4) ( f ( x ) − f ( x ) − m) f ( x) − f ( x) − m ( ) f  f ( x) − f ( x) − m =  f  ( x ) = (1)  f ( x ) − =  f ( x ) = ( 2)   f ( x ) − f ( x ) − m =  f ( x ) − f ( x ) = m ( 3)  f ( x ) − f ( x ) − m = −1 ( vo ly )    f ( x) − f ( x) − m =  f ( x ) − f ( x ) = m + ( 4)    f ( x) − f ( x) − m =    f ( x ) − f ( x ) − m = −2   f ( x ) − f ( x ) = m − ( 5) Dễ thấy (1) có nghiệm đơn (vì có cực trị) ( ) có nghiệm đơn Vậy tổng số nghiệm đơn phương trình ( 3) ; ( ) ; ( ) 12 thỏa mãn  x  −1; 2 Đặt u = u ( x ) = f ( x ) − f ( x )  u  = f  ( x ) ( f ( x ) − )  u  =    x  a; b; c Các nghiệm thứ tự từ nhỏ đến lớn sau: a  −1  b   c Bảng biến thiên hàm số u = f ( x ) − f ( x ) x ∞ a u' + b 0 + c 0 +∞ + +∞ +∞ 60 u -3 -4 -4 -4 Vậy số giao điểm đường thẳng y = m − 2; y = m; y = m + với đồ thị u ( x ) 12 điểm phân biệt −3  m −  60   −1  m  58  m  −1;0;1; ;57  S = 1652 −3  m +  60 Vận dụng 03: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị y = f  ( x ) hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên thuộc đoạn  −10;10 tham số m để hàm số ( ) y = f x + x − − m có điểm cực trị Số phần tử tập hợp S +) Đáp án:  x = −2 f  ( x ) =   x =  x = y = ( x + 1) ( x + x − ) x + x−2 ( f  x2 + x − − m )  x = −  Điểm đặc biệt: y ' = y ' không xác định   x =  x = −2   f  x + x − − m = (1)  ( ) Ta thấy x = − ; x = 1; x = −2 nghiệm đơn y  x + x − − m = −2  x2 + x − = m −    (1)  x + x − − m =   x + x − = m +    x2 + x − − m =  x2 + x − = m +   Ta có BBT hàm số t = x + x − sau: Để hàm số có điểm cực trị phương trình (1) khơng có nghiệm đơn Dựa vào BBT trên, phương trình (1) khơng có nghiệm đơn  m +   m  −5 Vì m  , m   −10;10  m  −10; −9; − 5 Vậy tập S có phần tử Kết hợp với điều kiện m nguyên, không vượt 2022 suy có 2021 giá trị m Vận dụng 04: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x + 1) ( x + 2mx − 2m − 1) Có giá trị nguyên m không vượt 2019 để hàm số y = f ( x + 1) có điểm cực trị ? +) Đáp án: 2021 ( ) 2  Ta có: y = f ( x + 1) = x f  ( x + 1) = x ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) + 2m ( x + 1) − 2m − 1   x =  Khi đó: y =   t = x2 +1 ( t 1) ( x + 1) + 2m ( x + 1) − 2m − = ⎯⎯⎯⎯⎯→ t + 2mt − 2m − = (1) Ta thấy nghiệm (1) có khác Nên x = cực trị hàm số Do để hàm số có điểm cực trị (1) vơ nghiệm có nghiệm kép, có t −1  nghiệm t1 ; t2    t2 −    ' = m + 2m +   m = −1   m  −1     ' = m + 2m +       t1 + t2   ( t1 − 1) + ( t2 − 1)     ( t − 1)( t − 1)   t1t2 − ( t1 + t2 ) +   m = −1   m = −1   m  −1  m  −1  m = −1       m  −1    m  −1  m  −1 −2m        −2m − − ( −2m ) +  Vậy tập hợp giá trị m thỏa đề S = −1;0;1; ; 2019 nên có 2021 giá trị m ... tử Kết hợp với điều kiện m nguyên, không vượt 2022 suy có 2021 giá trị m Vận dụng 04: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x + 1) ( x + 2mx − 2m − 1) Có giá trị nguyên m không vượt... đó, hàm số y = f ( x ) có nhiều điểm cực trị điểm x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 Hàm số y = f ( x ) có nhiều điểm cực trị  đồ thị hàm số y = f ( x ) phải cắt trục hồnh điểm phân biệt (khi hàm. .. Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị y = f  ( x ) hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên thuộc đoạn  −10;10 tham số m để hàm số ( ) y = f x + x − − m có điểm cực trị Số phần tử tập hợp S