18 tổng ôn tổ hợp xác suất nhị thức newton

Xác suất để chọn ra 2 quả cầu cùng màu bằng Một hộp đựng 10 viên bi có kích thước bằng nhau, trong đó có 7 viên bi màu đỏ và 3 viên bi màu xanh.. Xác suất để 2 viên bi được chọn có ít nh

 n! 1.2.3 n

 Qui ước: 0! 1; ! n n–1 ! n

Một tập hợp gồm n phần tử n1

Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử

 Số các hoán vị của n phần tử là: Pn ! n

Cho tập A gồm n phần tử Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử

 Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Qn  n1 !

Cho tập hợp A gồm n phần tử n1 

Kết quả của việc lấy k 1  k n phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là

 ! !.

k n

n A

n k





 Chú ý

Khi giải một bài toán chọn trên một tập X có n phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu có 2 dấu hiệu sau:

–

Giả sử tập A có n phần tử n1  Mỗi tập con gồm k 1  k n phần tử của A được gọi là một

tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là

 !  .

k n

n C





0 1; n 1

với qui ước này ta có

 ! 

k n

n C



 đúng với số nguyên dương k thỏa mãn 0 k n.

C C   k n

C  C  C  k n

 Chú ý 1

Khi giải bài toán chọn trên một tập hợp X có n phần tử, ta sẽ dùng tổ hợp nếu có 2 dấu hiệu sau:

 Chỉ chọn k phần tử trong n phần tử của X (1 k n  )

 Không phụ thuộc vào thứ tự sắp xếp các phần tử đã chọn

 Chú ý 2

Trong thực tế, rất nhiều học sinh lần đầu tiếp cận khái niệm về tổ hợp và chỉnh hợp đều bị lẫn lộn

và không biết sử dụng cái nào trong bài toán Thầy sẽ chỉ cho các bạn mẹo như sau đều không bao giờ bị nhầm:

Tất cả các bài toán ta đều dùng tổ hợp k

n

C Nếu bài toán có thêm yếu tố sắp xếp vị trí k phần tử nữa ta chỉ cần nhân thêm !k

Xác suất của biến cố: P A  n A   

n





[Đề minh hoạ 2021] Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh từ một nhóm có 5 học sinh?

5

5

Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 9 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh?

Một tổ có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ đi lao động?

6 15

6 9

C C Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong

đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là

Một hộp đựng 5 bi đỏ và 4 bi xanh Có bao nhiêu cách lấy 2 bi có đủ cả hai màu?

Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?

Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau

Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?

7

7

A Cho tập A1, 2,3,5,7,9 Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau?

Cho đa giác lồi n đỉnh n3 Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đã cho là

n

n

3

3!

n

C

(Đề minh hoạ 2022) Từ một hộp chứa 16 quả cầu gồm 7 quả màu đỏ và 9 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả Xác suất để lấy được hai quả có màu khác nhau bằng

A 7

21

3

2

15 [Mã 103 - 2018] Từ một hộp chứa 9 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3

quả cầu Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng

A 12

5

24

4

91 Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó Xác suất để chọn ra 2 quả cầu cùng màu bằng

A 5

6

5

8

11 Một hộp đựng 10 viên bi có kích thước bằng nhau, trong đó có 7 viên bi màu đỏ và 3 viên bi màu xanh Chọn ngẫu nhiên 2 viên Xác suất để 2 viên bi được chọn có ít nhất một viên bi màu xanh bằng

A 1

2

7

8

15 Một lớp học có 30 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán

sự lớp gồm có 3 học sinh Tính xác suất để ban cán sự lớp có cả nam và nữ

A 435

135

285

5750

9880 Chi đoàn lớp 12A có 20 đoàn viên trong đó có 12 đoàn viên nam và 8 đoàn viên nữ Tính xác suất khi chọn 3 đoàn viên có ít nhất 1 đoàn viên nữ

A 46

251

11

110

570

 Khi lập một số tự nhiên x a a 1 n ta cần lưu ý: ai0;1; 2; ;9và a10

2

n

a là số chẵn

Khi giải bài toán tìm số chẵn nếu bài toán chứa chữ số 0 thì ta chia hai trường hợp: an0 và an 0

3 a1a2  an chia hết cho 3

4 a an1 n chia hết cho 4

5 an 0;5

8 a a an2 n1 n chia hết cho 8

9 a1a2  an chia hết cho 9

11 Tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11

25 x chia hết cho 25 Hai chữ số tận cùng là 00; 25;50;75

[Đề minh hoạ 2021] Chọn ngẫu nhiên một số trong 15 số nguyên dương đầu tiên Xác suất để chọn được số chẵn bằng

A 7

8 .

7 .

1. 2

[Đề minh hoạ 2020 lần 1]Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp số có ba chữ số khác nhau Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn bằng

A 41

4

1

16 81 Một hộp chứa 15 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 15, rút ngẫu nhiên ba cái thẻ Xác suất để rút được ba cái thẻ có tổng các số ghi trên ba thẻ là số lẻ bằng:

A 8

32

16

24

65

[Mã 101 - 2018] Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn

 1;17 Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

(Mã 101 – 202 lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng

A 25

5

65

55

126

[Đề minh hoạ 2018] Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B

và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang Xác suất để 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng

A 11

1

1

1 42

Có 8 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh gồm 3 học sinh nữ, 5 học sinh nam ngồi vào hàng ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh Xác xuất để 3 học sinh nữ ngồi ở 3 ghế cạnh nhau bằng

A 3

1

1

3

28

[Đề minh hoạ 2019] Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế Xếp ngẫu nhiên 6, gồm

3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi Xác suất

để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng

A 2

1

3

1 10

[Đề minh hoạ 2020 lần 2]Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang, xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng 1 học sinh Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng

A 1

3

2

1

5

Với mọi n và với mọi cặp số a b, ta có:  

0

n

n k



 Số các số hạng của khai triển bằng n1

 Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

 Số hạng tổng quát (thứ k1) có dạng: Tk1 = k n k k

n

C a  b , k0,1, 2,3, ,n

 Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: k n k

C C 

1

C  C C 

Hệ số của x7trong khai triển  10

2

102

10

102

102 C

Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển  8

3x2

8

8

8

864C

8

1944C

Số hạng không chứa x trong khai triển

10

1 x x

10

10

10

C

10

C

Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh?

34

34

C

Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?

7

7

A

Từ các số 1, 2 , 3, 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

Một lớp học có 40 học sinh gồm 15 nam và 25 nữ Giáo viên cần chọn 3 học sinh tham gia lao động Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau?

Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau Một bạn học sinh cần chọn 1 cái bút và 1 quyển sách Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?

Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong

đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là

Có bao nhiêu cách ếp một nhóm 7 học sinh thành một hàng ngang?

Cho tập hợp A có 30 phần tử Số tập con gồm 6 phần tử của A là

30

30

Có bao nhiêu cách sắp ếp 5 học sinh thành một hàng dọc?

Có bao nhiêu cách ếp 6 bạn nam và 4 bạn nữ vào 10 ghế kê thành hàng ngang?

Với kvà n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k n , mệnh đề nào dưới dây đúng?

A

!

k

n

A C

k

 ! !

k n

n C

n k



k n

n A

k n k



 D

1

    

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có ba chữ số?

Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7nam và 5 nữ Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để

làm vệ sinh lớp học Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?

Một bình đựng 5 quả cầu anh khác nhau, 4 quả cầu đỏ khác nhau và 3 quả cầu vàng khác nhau Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu trong quả cầu trên Xác suất để chọn được 3 quả cầu khác màu là

A 3

3

3

3

11 Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ một hộp gồm 5 viên bi đen và 4 viên bi trắng Xác suất để hai viên bi được chọn cùng màu là

A 4

5

1

1

9 Cho hai đường thẳng song song d d1, 2 Trên d1 có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ, trên d2có

4điểm phân biệt được tô màu anh Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau Chọn ngẫu nhiên một tam giác, khi đó ác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu

A 2

5

5

3

8 Một tổ có 7 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên 2 người Xác suất sao cho 2 người được chọn đều là

nữ bằng

A 8

1

2

7

15 Chọn ngẫu nhiên hai học sinh trong một nhóm gồm 7 học sinh nam và 14 học sinh nữ Xác suất

để chọn được hai học sinh nữ bằng

A 13

1

7

13

30

Ba bạn , ,A B C mỗi bạn viết lên bảng một số tự nhiên thuộc  1;17 Xác suất để ba số được viết

ra có tổng chia hết cho 3 bằng

A 3276

1728

23

1637

4913 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp 1; 2;3; 4;5;6;7 Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, ác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng

A 9

16

22

19

35

Có 6 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C ếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang Tính ác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của cả 3 lớp A, B, C

1

1

1

15

Hệ số của x8 trong khai triển  2 10

2

102

10

10

102

Tìm hệ số của x16 trong khai triển

20

2 x x

Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển  8

3x2

8

8

8

864C

8

1944C