Nghiên cứu động lực học giải tích của các hệ cơ và hệ cơ điện: Phần 2

Phần 2 cuốn sách Nghiên cứu động lực học giải tích của các hệ cơ và hệ cơ điện trình bày các nội dung: Các nguyên lý biến phân tích phân, các phép biến đổi chính tắc Hamilton, động lực học của hệ cơ điện, nhập môn về lý thuyết điều khiển tối ưu. |

Trang 1

Chương 6

CAC NGUYEN LY BIEN PHAN TICH PHAN

6.1 Khái niệm biến phân

Biến phân là một trong những khái niệm cơ bản của cơ học giải tích [1, 3, 5, 7, 24, 30, 33, 39] Để tìm chuyển động của hệ cơ học, nó được xem là trạng thái thực duy nhất giữa những trạng thái có thể của hệ cơ học Các biến phân tạo các trạng thái khả dĩ của hệ cơ học Các trạng thái khả đĩ đó có thể tạo nên tại một thời điểm (tại một vị trí), nó liên quan với các biến phân được gọi là đẳng thời, hoặc trong một khoảng thời gian (ứng với các vị trí khác nhau của cơ hệ), nó liên quan đến các biến phân được gọi là

không đẳng thời Dưới đây sẽ giới thiệu hai khái niệm cơ bản này

6.1.1 Biến phân đẳng thời a) Biến phân tọa độ

Xét cơ hệ có cấu hình xác

định {đ,} ; ¡ = l,n tại thời điểm

t Cấu hình cơ hệ có thể thay đổi

nhờ vào thông số {a} Do đó,

trạng thái cơ hệ được xác định

qua {q,(,œ)}¡=l,n Xét một

trạng thái khả dĩ của cơ hệ ứng

với sự thay đổi của thông số a,

nó được ký hiệu qua qi(t,a+da) Hinh 6.1 Ta có: 4 Ae 0a

Tại thời điểm trạng thái của co hệ được xác định nhờ tập hợp các thông số

{t,4(Đ}, ¡=l,n , nó ứng với trạng thái thực của cơ hệ Trạng thái khả dĩ của cơ hệ

q;(t,a+da)=4,(t,a)+

“tại thời điểm z sẽ ứng với các thông số {t, q(t, a)} ;i= Ln Sự sai lệch giữa hai trạng thái này được biểu diễn qua các biến phân của cơ hệ:

Trang 2

* 6g 04,

= _ " Dan = 6.1

ða, = q(t,œ+døœ)— q,(t,đ) nữ) da-q(t,a) Sự da (6.1)

b) Biến phân vận tốc tả, (t,a)}

Trạng thái vận tốc cia co hé tai thoi diém ¢ duge xác định bởi {á,ữ,œ)};¡= 1n Xét trạng thái vận tốc khả dĩ của cơ hệ tại thời điểm này được tạo ra do thong sé a biến đổi, tức {4ø + da)} 5 i=Ln Sự sai lệch giữa hai trạng thái vận tốc được xác định qua các biến phân vận tốc, đó là:

=#',œ+ø)~ả (t,g) = gult,a)+ Sh oh da tt,a)= Shae 54, = Su xu, (6.2) 0a Dé dang chimg minh duge tinh chat sau: 4 (64) = 54 63) dt i i mn

Tức có tính giao hoán giữa phép tính đạo hàm và phép tính biến phân (đẳng

thời) Để chứng minh tính chất đã nêu, ta sử dụng phương pháp kiểm tra trực tiếp Một mặt: d 04, 24, a < (64 ;)= 7 80 da)= aa 2ã i mele oe (a) Mat khac: _ OY, 0 04, _ ở, 66,= da = i i

49a S ng Vay Bae t

Khi so sánh (a) và (b) với chú ý hàm g,(/,2) liên tục đối với ? và Œ, ta rút ra điều cần chứng minh

©) Biến phân của một hàm

Xét hàm /[4,(t,ơ),r] và tính biến phân của nó Có thé xem ƒ là hàm của biến thời gian chứa tham số øz,, tức xem f(t,@) Trong trường hợp như vậy, ta có:

sft,a)=Lda

Trang 4

Vậy:

5] Fle(a).4, (0,42), 4;(t, @)ldt =| SF (a), g, (6,2)4, 4 4 (ta) dt (6.5)

Như vậy phép tính biến phân đẳng thời có tính giao hoán đối với phép tính tích phân

6.1.2 Biến phân không đẳng thời

Trong trường hợp này thời gian / phụ thuộc vào tham số ø, tức /(z), kể cả biến phân của thời gian, nên được gọi là biến phân toàn phần, để phân biệt với biến

phân đăng thời có ký hiệu là ổ, trong trường hợp này nó được ký kiệu là 4 a) Biến phân không đẳng thoi toa dé Aq,

Trong trường hợp biến phân không đăng thời thì cấu hình của cơ hệ được xác định qua các tọa độ suy rộng 4,[#(2),œ]; ¡ =In

Trang 5

nên: Trong công thức trên ta đã sử dụng: _ 34 = _zy„) - ð(@) Ki da, At=t(a+da)-t(a) = ae dt Vay: Aq, =6q,+4,At (6.6) b) Biến phân không dang thai van toc Aq, Vi: 4, = 4[t(@),a] =q[t(a +da),a+da)—q[t(a),a] = ä[(2),ø]+ $ = da+ eda ảj(ø),ø] = Oh ey 4 Sh Ba at Da —da=6q,+G,At Ở đây đã sử dụng hệ thức: ot 0g, ` =——da ;—~da = ô At aa da ae a=64, Như vậy ta nhận được:

Aq, = ôả, + G,At (6.7)

©) Biến phân không đẳng thời của một ham Xét hàm có dạng:

S(t(@),q(t,@)) = f((@),@)

Từ công thức:

Af = flt(a +da),a+da]- f[t(a),a)

Trang 6

Vậy ta có:

Af = of + fat (6.8)

6.1.3 Bién phan khéng dang thoi cua phiém ham

Khảo sát một phiếm hàm khi biến thời gian thay đổi theo tham sé a:

tạ(a)

J= [ F[t(œ), q,,a), g,(t,a), ade

ta)

Trong trường hợp này biến phân không đẳng thời được xây dựng như sau: Đầu tiên xem phiếm hàm thay đổi theo tham số a Do đó ta có:

oy AJ =—da

0a

Các cận tích phân là hàm của tham số a Sử dụng phép tinh đạo hảm của tích

Trang 7

6.2.2 Bài toán và các giả thiết

Để tìm trạng thái thực (ứng với chuyển động xảy ra), Hamilton tạo ra các trạng

thái khả dĩ (để so sánh) và tìm dấu hiệu (tiêu chuẩn) của chuyển động thực nó phân biệt từ các chuyển động ứng với các trạng thái khả dĩ

Bài toán được khảo sát với các giả thiết sau:

1) Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm

và cấu hình được xác định nhờ các 4

tọa độ suy rộng đủ

2) Các chuyển động so sánh (khả đĩ) bắt đầu tại cùng thời điểm í,

và kết thúc tại cùng thời điểm ¿;, um

© 4

nghĩa là các chuyển động so sánh ie

được thực hiện trong cùng một

khoảng thời gian At=t,-1, Dinh 9) - 2

luật thay đổi thời gian của các chuyển =

động là như nhau, tức so sánh tại cùng một thời điểm Nói khác đi, sự

khác nhau giữa các chuyển động theo

nghĩa biến phân đẳng thời : 3) Vì các chuyển động so sánh bắt đầu từ cùng vị trí và kết thúc cũng cùng một vị trí nên tại trạng thái đầu ng, và trạng thái cuối (.3.4?} tương ứng có các 1¬ Hình 6.3 điều kiện: (Ô4,), (84,),

Khi các trạng thái của cơ hệ ứng với các chuyển động so sánh (khả di) tai thoi điểm ¿ được ký hiệu qua Qs q thì độ lệch của vị trí sẽ là:

0;

¬ (6.11)

0,i=1, =

64, =q, —q,;i=l,n

Để minh họa ta mô tả chuyển động của cơ hệ như chuyển động của một điểm

tượng trưng M trong không gian n chiều, có các tọa độ là {4}:1= 1,n (hình 6.3)

Hai chuyển động so sánh được mô tả bằng hai đường cong (hai quỹ đạo của hai

chuyển động so sánh), cắt nhau tại 4 và Ø ứng với thời điểm bắt đầu (/,) và thời điểm kết thúc (:,) Tại thời điểm ¿ bất kỳ điểm tượng trưng có hai vị trí M/(g,) và M '4,)

Trang 8

M' được xét tại cùng thời điểm ¢ và xuất phát cùng lúc nên sẽ có vị trí khác nhau và vận tốc khác nhau Do đó thế năng và động năng tại hai vị trí này khác nhau, nên hàm

Lagrange của cơ hệ phân biệt tại từng điểm trên quỹ đạo so sánh, tức khác nhau ứng với các chuyển động so sánh khác nhau Do đó Hamilton đã dùng tác dụng Lagrange dang (6.10) để nhận dạng được tính riêng biệt của từng chuyển động so sánh Dựa vào

đó Hamilton đưa ra tiêu chuẩn để nhận dạng chuyền động thực từ các chuyển động so

sánh Đó là nội dung của nguyên lý tác dụng tối thiểu Hamilton

Nguyên lý: Đối với cơ hệ bảo toàn chịu liên kết hôlônôm và lý tưởng, chuyển động thực của cơ hệ là một từ các chuyển động khả di cing bat đầu và cùng kết thúc ứng với tác dụng Hamilton có giá trị dừng, tức là

5S =0

Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu Hamilton có thể rút ra phương trình chuyển động của các hệ cơ hệ

6.2.3 Phương trình Lagrange loại hai

Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu Hamilton có thể rút ra phương trình Lagrange

loại hai và ngược lại

Thực vậy, tác dụng S là hàm của thông số œ dọc theo các quỹ đạo so sánh: 4 = | Ht,a.02),4/(,2)]dt Ta tính biến phân của tác dụng Š, tức lấy biến nn theo ø, ta có: 4 5S = 3Ì Lat = [zuz= le 5q,+ 5 at 4 4 4 fl

Sal gop gy ah_ 4 aly BA As,

K- a4, al, + Ee aq, dt 04, va a-fS6 04, 34 ”

Trong khi thực hiện các phép tính trên ta đã sử dụng phép tinh tích giấu từng phân và tính hoán vị giữa phép tính đạo hàm và phép tính biến phân [dựa vào (6.3)] và

Trang 9

3 = Ge,

iat at Og, 04g,

Do các tọa độ {g,} độc lập, nên {ổg,} độc lập Từ đó ta nhận được:

Vậy từ nguyên lý tác dụng Hamilton ta nhận được phương trình mô tả chuyển

động của cơ hệ bảo toàn với liên kết lý tưởng dang Lagrange loai hai

Ngược lại, dễ đàng chứng minh rằng đối với chuyển động thực thì tác dụng Lagrange sẽ có giá trị dừng

Thực vậy, chuyển động thực tương ứng với chuyển động của hệ theo phương trình Lagrange loại hai Do đó, dựa vào biểu thức biến phan cua tac dung Hamilton

asf Sb yg

4, j=l i

ta nhận được: 5S = 0

Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu cũng nhận được phương trình Lagrange loai hai trong trường hợp cơ hệ với liên kết hôlônôm lý tưởng khơng bảo tồn [1, 3, 5, 7, 26,

27, 30]

6.2.4 Phương trình chuyển động của hệ bảo toàn trong dạng các

biến chính tắc :

Trang 10

9 Sma, — 1a oH dt % đp,] ơn = ¥ fee, +457, 3-54, - i=l ĐT “4, +(4~ aa (6.14) -Sjit ~(p,54,)- 3.54, my + (4, - ® 5p, ân 5p, -— HH 6q,\dt PC N non 4 ist

Dựa vào điều kiện (6.11), ta nhận được

DUG, “Soh (6,4 54,10 2 2a,

Các biến {q,,p,} độc lập đối véi nhau, nén cdc bién phan {5q,,5p,} cing déc

lập đối với nhau Do đó ta nhận được:

dH _._ ôH

,=E— ;¡ b=-——

op, 6g,

Đây là hệ phương trình vi phân chuyển động chính tắc của hệ hơlơnơm bảo tồn chịu các liên kết lý tưởng, nó gồm 2n phương trình vi phân cấp một đối với các biến (6.15)

chính tắc {q,p,} ị i=ln

Cũng có thé viết phương trình chuyển động dạng chính tắc đối với trường hợp hệ khơng bảo tồn, nó có đạng:

ge, p= eos ain (6.16)

ôp, ôi,

Trong đó Ó, là lực suy rộng của các lực không thế

6.3 Nguyên lý tác dụng dừng Lagrange

Nguyên lý này áp dụng cho các cơ hệ bảo toàn, tức cơ năng E=T+z=h=const Các chuyển động so sánh cũng phải thỏa mãn điều kiện này,

Trang 11

nó có trị số bé hơn, tức chuyển động xảy ra chậm hơn, có nghĩa thời gian xảy ra đối với hai chuyển động sẽ khác nhau, tức không thể xét tại cùng thời điểm, tức không đẳng thời Do đó cần sử dụng phép tính biến phân không đẳng thời Liên quan đến điều này

điểm tượng trưng ứng với các quỹ đạo so sánh có thể không trùng nhau tại lúc đầu (xuất phát) và lúc cuối (kết thúc) Nói khác đi, thay cho điều kiện (6.11), trong trường hợp này ta có: (A9;) an =0; (Aq,),-1 =0 (6.17) Cơ hệ được khảo sát có cơ năng không đổi, tức Ak =0, chịu liên kết hôlônôm lý tưởng Trong các điều kiện đã nêu, nguyên lý tác dụng dừng Lagrange được phát biểu như sau:

Nguyên lý: Chuyển động thực của cơ hệ ứng chuyển động so sánh (trong ý nghĩa không đẳng thời) với nó tác dụng Lagrange lấy giá trị dừng t AA=|2Tái =0 4 (6.18) 4 Trong đó: ty A= fora (6.19) 4

được gọi là tac dung theo Lagrange

Để khẳng định tính chất được nêu ra, ta khảo sát hệ với liên kết dừng Biểu thức

Trang 12

Biến phân toàn phần của tác dụng Lagrange sẽ là: AA =A Hadt+A | Ldt 4 4 Như đã biết H là cơ nang, nén H = const Vay: b 4 Af Hải = HA|# = HA(t, —t,) =[HAI] h 4 Khi sử dụng công thức (6.9), ta có: A|rar = 5{ Lat +[LAr mô ak ð| La= [ðLät = [Š) [Xe 4 4 Sử dụng tính giao hoán phép tính biến phân đẳng thời và phép tính đạo hàm theo thời gian: Goa +e 8 dt 1 is! d 6g, =—6 49 a qi

và giả thiết chuyển động so sánh được chọn là chuyển động thực, tức nó thỏa mãn ` phương trình Lagrange loại hai: ðL_dôi aq, dt 4, Ta có: 4 d aly, , hd 6| Ldt = —— ——(ô J Ele Og! Ai ø) >3] lim” a} PEs va} Vi: x

=—=P, ; Ôq, = A4, —đ,At 04;

Trang 13

t h n n fta=> pratt -¥ paadt =D naar isl i=l isl 4 Vay: t n 7 af tat -( pÄAr+Lar i=l 4 4 Nguyên lý tác dung Lagrange sé dugc viét trong dang: 4 n AA=A Ỉ (H +L)dt =(->) pg, + L+H)At?? =(-27 + 27) Ad]? =0 4 1 : -

Như vậy sự đúng đắn của nguyên lý tác dụng Lagrange được khẳng định

Trang 14

Chương 7

CÁC PHÉP BIẾN ĐỎI CHÍNH TẮC HAMILTON

7.1 Phép biến đổi chính tắc Hamilton

Đối với một cơ hệ có thể xây dựng một hệ biến chính tắc và một hàm Hamilton tương ứng với hệ biến đã chọn Chuyển động của cơ hệ sẽ được mô tả nhờ hệ biến

chính tắc được chọn Giả sử hệ biến được chọn là {4 P,}; 1= 1,n và hàm Hamilton

ứng với nó được ký hiệu là H(t,q,-p,), nd cd dang (3.22):

Phương trình chuyển động của cơ hệ đối với hệ biến được chọn được viết trong dạng: dạ 0H đt ôp, i aig (7.1) dp, OH dt 94,

Đưa vào một hệ biến đổi khác {Q,,P};i= 1,n và ứng với nó cé ham Hamilton

Trang 15

Mục tiêu để ra là tìm phép biến đổi chính tắc để phương trình chuyển động của cơ hệ trong hệ biến mới có dạng đơn giản hơn và nhờ đó việc tích phân chúng được dễ dàng hơn 7.2 Hàm dẫn Trong hệ biến {đ,, p,} ; ¡ =1,n vaham H = H(q,, p,), ta có hệ thức: H=>p4,-L (7.5) il Đối với hệ biến mới, các phương trình chuyển động cơ hệ được viết trong dạng chính tắc nên ta cũng có: K= > FO, -L (7.6) isl Trong đó: a L=>p4-HQ.p) 3 L=)PO-K (7.7) ist i=l

Vì các phương trình chuyển động được suy trực tiếp từ nguyên lý tác dụng tối

thiểu Hamilton, nên:

t

af Ldt=0 và d{L'at=0 (7.8)

4

Cần xác định phép biến đổi (7.3), (7.4) cũng như mối liên hệ giữa hai hàm Hamilton H va K Nhim mục đích này, ta chứng minh bổ để sau;

Bồ đề: Đưa vào một hàm F(q,p,Q,P,t) duge xem là hàm của biến t va đạo

hàm của nó theo biến £, #' = F664 PW ,P)-

t Xét phiém hàm:

J; jeu = Fi? = F(t,)-F(t)=6, 4

b là một hằng số xác định, không phụ thuộc vào , cũng như các thông số khác Xét hai phiếm hàm khác J, va J, véi:

Trang 16

J, = -]# dt - [re - - K(Q,,P,t)\dt 1, in Ba phiém hàm được xây dựng thỏa mãn điều kiện: 6J,-6J,-5J,=0 Từ đó có đẳng thức sau: 5] Heda H(t,9.P,I-[ PQ, - Kt, 0, rE ha =0 (9) 4 i=l ¿=1 Từ giải tích ta có tính chất sau:

Bé dé: Điều kiện cần và đủ để (7.9) được thỏa mãn là hàm đưới đấu tích phân của (7.9) là đạo hàm của một hàm chỉ phụ thuộc vào ¿ Dựa vào bỗ đề ta có: [Šø4, ~H(,p.0]~ [Ö hộ - K(Q,F,0] -T= j=l i=l SE Hoặc: a, 1 nz~ dự 3,Pá, -H(4,psÐ~2 isl isl hỘ +K(Q,ñ,0=T— — 010) Trong đó: V=Ft+o

con cdc ham F cing nhu ham @ trong trường hợp tổng quát phụ thuộc tất cả các biến

chính tắc cũ và mới và thời gian /, nên ƒ = V(t.4,,p,,Ó, ,P) được gọi là hàm dẫn, dựa

vào nó có thể xác định được phép biến đổi biến (7.3) và hàm Hamilton K đối với các biến mới Chú ý rằng, từ đây xác định được phép biến đổi ngược từ hệ biến mới về hệ biến cũ và hàm H theo ham K

Trang 17

Từ đây tìm được biểu thức của hàm Hamilton K trong hệ biến mới:

ôV

K=H+— (712)

Ot

Tùy thuộc việc chọn dạng hàm W(,g,, p,, Ó,, P, ), thay vào (7.11) sau đó cân bằng các số hạng (theo các đạo hàm) từ đó giải bài toán đặt ra Phương trình (7.11)

được gọi là phương trình cơ bản của phép biến đỏi chính tắc Bài toán sẽ phụ thuộc vào việc chọn dạng hàm dẫn V

Chú ý đến (7.12) từ (7.11) ta có

viêm Hh +o tà Đ-Š nà +Š nô =0 G19

Thay cho việc sử dụng phương trình (7.11) có thể viết trực tiếp (7.13) và (7.12) Sau đây phương trình (7.13) cũng được gọi là phương trình cơ bản

Đã chỉ ra rằng tổn tại một số dạng cơ bản của hàm dẫn Dưới đây nêu ra một số dạng hàm dẫn thường dùng

7.3 Các dạng cơ bản của phép biến đổi chính tắc

Dạng 1 Hàm dẫn được chọn trong dang:

F,=VW(,.0,1) (7.14)

Chi y ring

M9 M9

op, =F,

Phuong trinh co ban (7.13) cho:

< 7, - PO, - +4, -=+ 0) = ,-Y4- 0 +O, =0 (7.15) »~ WV VW: a ov ar

Lied 19; an,“ ô0, x aq, @ 20,2

Tir (7.15) xem céc dai hrgng g,,0,(i=1,n) độc lập, khi cho bằng không các số

hạng chứa các đại lượng này, ta nhận được:

P; “TU 0,8 (7.16)

i

OV,

P=-(q,,0, 1 ao, Ø0 (7.17) 1.17

Từ (7.16) tính biến O.=0O(4,p,uf) và thay nó vào (7.17) ta tính được

Trang 18

từ (7.17) tinh duge g, = 4,(Q,,P) va thay vào (7.16) tính được p, = p,(,Ó,,P,), tức biểu diễn các biến cũ qua các biến mới

Khi thay các kết quả tính được ở trên vào (7.12) ta tìm được biểu thức của hàm K là hàm của các biến mới

K=H +e K(t,Q,,P)

Phuong trình chuyển động của hệ được viết theo (7.2)

Dạng 2 Hàm dẫn được chọn như sau: V, = F;(q,„P,)~ i=l OP (7.18) Thay các đại lượng: oY, Fo M &, -0; Oe ah vao phuong trinh co ôn, 04,” ap, `0, bản (7.12), ta = OF _ osi= tro -Ô 5a —(Ê5 —oypi= Xá hộ ~ tá =chô ~Qó=6)#1= St =2 4 =CGó ~0)P1=0 Từ đây ta nhận được: P.= FCG Pd (7.19) 9= s9) (7.20) Từ phương trình (7.19) rút ra: h.=h(,q4 P.) Và thay (7.21) vào (7.20), ta nhận được: Q, = ay (4,f4,,p,9)5 O,(t,4, P;)

Bằng cách như vậy đã tìm được biểu thức của các biến mới theo các biến cũ

Để tính các biểu thức của biến cũ qua biến mới, từ (7.20) tính được

4, =4,0,O,,f) và thay vào (7.19) ta nhận được p, = p,(,Ó;,#)

Khi thay các kết quả nhận được vào về phải của phương trình (7.12) ta có biểu

thức của hàm K là hàm của các biến mới và biến thời gian

9F

Trang 19

Dạng 3 Chọn hàm dẫn trong dang:

i=l

V,=FQ,p.1)+ Dap,

Tir day tinh duge:

OV, _ Đi OV, _ OF, OV, _ OF, =—`+q,;:—=0 Ov,

ôn “'”ô0 00,’ ôp oF,

Khi thay các đại lượng này vào phương trình cơ bản (7.13): Ta OF, OF, , - (bã, — PO, - Pa, - 9, ~,+—)ð,~(P.+)Ó, =0 » 1 4 di ~4,Ù,— ep,” go » 4 ôp, P; 202 Ta rit ra: oF, 4=——(0.p,!) 7 (7.21) a, 20, 2 »Pist (7.22) Từ (7.21) tính được: 9.=04 P,) Và thay kết quả nhận được vào (7.22) ta có h.=h(.4,.P,)

Như vậy biểu diễn được biến mới theo biến cũ

Để biểu diễn các biến cũ theo các biến mới, từ (7.22) tính được p, = p,(t,0,,P)

và thay vào (7.21) ta nhận được g, = g,(, Q,, ?;)

Từ (7.12) đó tính được hàm Hamilton K trong biến mới K=H+Š>=K(,Q,') và viết phương trình chuyển động của hệ trong biến mới nhờ (7.2) Dạng 4 Chọn hàm dẫn dạng: W,= F(p,P,t)+3.4p,— OP (7.23) i=l i=l Vi:

Trang 20

nên phương trình cơ bản (7.13) có dạng: =e : "my ‘ a OF, 3 3 Ð_Ipd, — PỘ, ~ pả,= =b, — 4ð ~(CR@)— << ñ)+90] i=l Op; OP 2k, ?, +4,)#,]=0 > S10, - Đ# ~( Từ đây ta tính được: 4, =p Pal (7.24) 0= SE (0,1,0 (7.25) Từ (7.24) tính được: h.=hŒ.4.P.) Thay vào (7.25), ta có: Ø,.=0,0.4,.P,)

Như vậy đã biểu được biến mới qua biến cũ

Để tính biểu thức của biến cũ qua biến mới, từ (7.25) tính được

P; = p,(,0,,P,) và thay kết quả nhận được này vào (7.24), ta có 4, = đ,(t,@,,)

Thay các kết quả tính được vào về phải của phương trình (7.12)

K=H+*=K(,0,P) ôi

để nhận được phương trình chuyển động của hệ ta viết phương trình (7.2)

Trang 21

2 2 Hae ae 9 2a 2 Sử dụng phép biến đổi dang 1, trong 46: F = 224 con Do đó: OF, ôF awq? =——-= tan š =——=——

Pq oqoorang ôQ ` 2sin?Q

Từ đây biểu diễn biến cũ qua biến mới: 4=, = snQ ; p=2awPcosQ an Ham Hamilton trong bién mdi: ô Kani tear ot Phương trình chuyển động của hệ trong biến mới: “` n oP 20 Vì K không phụ thuộc Ợ, nên: P=0—>P=const=P, Từ phương trình đầu: » OK =——=0—›Q=ứới+ 9 pee Q a

Trang 22

ayant [7% sina +a) = | sin(or +a), ao aw aw p=~2awPcosQ = J 2a@P, cos(wt +a) =/2aEcos(at + a) Khử biến thời gian, ta tìm được quỹ dao pha của hệ:

2 2

7 $-Ê =1 2E/aw 2Ea

Từ đây cho thấy, phép biến đổi chính tắc là một công cụ rất có hiệu quả đối với việc nghiên cứu chuyến động của các cơ hệ, đặc biệt trong cơ học thiên thẻ Ví dụ 7.2 Khảo sát phép biến đổi với hàm dẫn dạng: # = 3` g,Ø, i=l Nhận xét: đây thuộc phép biến đổi dạng 1 Từ kết quả khảo sát đối với dang 1, ta có: = 2-9; p= Fang 04; ag, Ham Hamilton trong hé biến mới có đạng: K=H Và =H ot Phương trình chuyển động của hệ trong hệ biến mới sẽ là: oH, @P oP HN”, 4 aH ôK_ ôH , OH =——=- —- = a 00 “œ

Trang 23

Trong phép biến đổi này các biến tọa độ của hệ biến mới được biểu diễn qua các biển tọa độ của hệ biến cũ, hoàn toàn độc lập đối với các biến xung của hệ biến cũ Phép biến đổi như vậy được gọi là phép biến đổi điểm

7.4 Phép biến đổi chính tắc vô cùng bé

Phép biến đổi điểm có tính chất không gian cấu hình (được xác định qua các thông số vị trì) không bị biến đạng (như vật rắn), nó được xem là trường hợp riêng của phép biến đổi đồng nhất khi mở rộng cho không gian của tất cả các biến, gồm các biến tọa độ và biến xung Ta khảo sát phép biến đổi với hàm dẫn sau: #q,)= ae : i=l Phép biến đổi này thuộc nhóm dang 2 Kết quả khảo sát từ phép biến đổi nhóm dạng 2 cho ta: OF OF =——=P ° Ì =——=gq Pi i 9 aP qi

Trong phép biến đổi này, các điểm của không gian đứng yên (điểm của không

gian mới trùng với điểm của không gian cũ), tựa như hai không gian đặt trùng khít lên

nhau Phép biến đổi như vậy được gọi là phép biến đổi động nhát

Từ phép biến đổi đồng nhất ta có khái niệm phép biến đổi vô cùng bé

Phép biến đổi vô cùng bé là phép biến đổi chuyển mỗi điểm của không gian pha

sang điểm lân cận vô cùng bé

Như vậy, trong phép biến đổi vô cùng bé, điểm của không gian pha di chuyển vô cùng bé Do đó:

Q=%+59, 5 F=p,+op,

Trong đó 5q,,6p, 1a cdc dai lugng v6 cing bé bac một

Phép biến đổi vô cùng bé rất gần phép biến đổi đồng nhất Từ đó chọn hàm dẫn đạng:

F(q,,F) = S)aP + eG(4,,P)

Trong đó, £ là đại lượng vô cùng bé

Phép biến đổi này là thuộc dạng của nhóm phép biến đổi 2 Do đó:

ôG ôG

p=hJ+e— 3; Q=q+e£e—— 04;

Trang 24

Từ đây ta tính được: ôG op,= BH sK— (ah) ; Ổqg,=Ơ,— q.= 258 ace +) i Dựa vào tính chất vô cùng bé, nên: P = p, Do a6: 9G 9G ổp, =—=e——(,.P,)—e—(q,›: P, Pi k (4,,) 24, (4,7) 9G 6 rd ,)>ze—( P, 1= “ap (q,,) a, (,.,) Chọn £=dt, G= H va 6q, = đạ, ; 6p, = dp,, các phương trình trên có dạng: hg bát; dạ =S di ¡ ĐeĂR ap; 0g, Từ đây ta nhận được: N _ OH a _ 6H ee 4 ae P; "a, ; › Như vậy: Phép biến đổi chính tắc biểu diễn phép biến đổi vô cùng bé của không gian pha của cơ hệ

Trong lý thuyết biến đổi vô cùng bé đã chỉ ra rằng: các điểm tiếp xúc của các

mặt trong một không gian chuyển sang điểm tiếp xúc của các mặt tương ứng trong không gian khác

Trang 25

Chương 8

ĐỘNG LỰC HỌC CỦA HỆ CƠ - ĐIỆN

8.1 Các khái niệm và các định nghĩa về hệ cơ — điện

Hệ cơ - điện là một hệ cơ chứa mạch điện Trong hoạt động của hệ cơ — điện sẽ

có tương tác giữa mạch điện và hệ cơ, trong đó các thông số mạch điện làm thay đổi sự

hoạt động của hệ cơ và ngược lại Nói khác đi, sự thay đổi các thông số mạch điện như điện áp, cường độ dòng điện, làm thay đổi những đại lượng động học và động lực như tốc độ, gia tốc, mô men lực, lực, Ngược lại những sự thay đổi của đại lượng sau cùng cũng làm thay đổi các thông số mạch điện, như cường độ, điện áp, Rất nhiều thiết bị, máy, là những hệ cơ — điện Trong phần này chỉ đề cập đến các hệ cơ học chứa các thông số tập trung Nói cách khác, chỉ đề cập đến các hệ mô tả bởi những phương trình vi phân thường, tuyến tính và phi tuyến, được gọi là các hệ động lực và ảnh hưởng của các thông số mạch điện đến hoạt động của hệ cơ [4, 26, 32, 33]

Những khái niệm quen thuộc trong các hệ cơ như tọa độ suy rộng, vận tốc, động

năng, thế năng, công suất, phương trình liên kết, bậc tự do và lực suy rộng đều có các

khái niệm tương ứng trong rất nhiều hệ điện Trong các hệ điện, có hai đại lượng

thường được sử dụng như “tọa độ suy rộng” là điện lượng và từ thông Để thể hiện mối tương đồng giữa hai hệ thường sử dụng ngôn từ chung là “các thông số trạng thái”

Việc chọn “tọa độ suy rộng” là điện lượng hay từ thông sẽ dẫn đến hai đạng

phương trình chuyển động của hệ điện: phương trình chuyển động theo điện lượng và

phương trình chuyển động theo từ thông Như đã đề cập, mỗi một đại lượng của hệ

điện hầu như đều ứng với một khái niệm trong hệ cơ Ví dụ, điện lượng có thể được coi

như các tọa độ vị trí, cường độ dòng điện thì tương ứng với khái niệm vận tốc, hiệu

điện áp tương ứng với khái niệm lực và từ thông tương ứng với khái niệm động lượng

Bậc tự do trong hệ điện cũng có thể được tính bằng số “tọa độ suy rộng” đủ và độc lập của điện lượng hoặc từ thông Các phương trình liên kết trong hệ điện đối với biến điện

lượng có thể được thành lập nhờ Định luật Kirchhoff I đối với dòng tại các nút Nếu sử

dụng các biến từ thông thì các phương trình liên kết có thể được thành lập nhờ Định

luật Kirchhoff II đối với áp trên từng phần tử mạch điện trong các vòng kín

Việc thiết lập các phương trình của mạch điện có thể được thực hiện qua hai

phương pháp Phương pháp trực tiếp dùng Định luật Kirchhoff I và II cùng với các quy

Trang 26

để thiết lập dạng phương trình Lagrange - Maxwell Phương pháp gián tiếp cũng là

cách tiếp cận được đề nghị đẻ thiết lập phương trình trạng thái của các hệ cơ — điện Các yếu tố tạo nên mạch điện có thể mô tả có tính chất tuyến tính hay phi tuyến đối với sự thay đổi các thông số Đầu tiên sẽ giới thiệu một số phần tử cơ bản tạo nên mạch điện

8.1.1 Trở kháng (Điện trở)

Khảo sát một đoạn dây có dòng điện chạy qua Một mặt, trong mạch điện chứa phan tử đặc biệt có lõi trong đó có tính chất kháng điện Trên các cực của phần tử

kháng điện (để đơn giản gọi là kháng điện) có sự thay đỗi của điện áp theo cường độ

dòng điện Mối quan hệ giữa chúng có đặc trưng phi tuyến:

U=UQ@) (8.1)

Đối với trường hợp có quan hệ tuyến tính theo Định luật Ohm, mối quan hệ này sẽ có dạng:

U=rl

Trong đó r = const, được gọi là điện trở

Từ đây, xây dựng khái niệm điện trở vi phân bằng đạo hàm của điện áp đối với cường độ dòng điện Đó là:

nn= = (8.2)

Dai lugng r(1) dc trumg cho tốc độ thay đổi của điện áp theo cường độ dòng điện trên trở kháng Lượng tiêu hao năng lượng, ví dụ, tiêu hao nhiệt, trên kháng điện trong khoảng thời gian df sé bing:

5A, =Uldt =Udg

Trong 46 q la dién lugng di qua dién tro trong khoảng thời gian [0,¢]; 6A, - đại lượng vô cùng bé (nguyên tố), trong trường hợp tổng quát không phải là vi

phân toàn phân của đại lượng 4, nào

Trang 27

Phù hợp với (8.1), điện áp thay đổi theo thời gian nếu cường độ dòng điện thay đổi, tức điện áp cũng là hàm biến đổi theo thời gian

Trong trường hợp mà cấu hình hoặc điều kiện làm việc của trở kháng thay đổi

thì điện áp qua trở kháng có thể phụ thuộc tường minh vào cả cường độ và thời gian, tức: U=UI 0 Trong đó, việc phụ thuộc vào thời gian được gây nên có thể do, ví dụ, trạng thái nhiệt của trở kháng Trong trường hợp này, hệ số trở kháng được tính theo công thức: aun Ð rq,!)= (84) Tức hệ số trở kháng được xác định theo từng thời điểm 8.1.2 Tự cảm

Nếu cuộn tự cảm không có lõi và không nằm gần từ trường thì sự thay đổi của điện áp trong cuộn sẽ tỷ lệ với tốc độ (đạo hàm) của cường độ đòng điện theo thời gian,

tức:

al

U= i (8.5)

Trong đó / là hằng số, được gọi là hệ số từ cảm

Trong trường hợp tổng quát, sự thay đổi của điện áp trên cuộn cảm ứng được

tính theo theo cõng thức tổng quát hơn Khi từ thông trong cuộn cảm ứng là hàm của

cường độ dòng điện, tức: ự =/(Ï), trong đó ự là từ thông được xác định nhờ thực

nghiệm, thì điện áp qua cuộn là đạo hàm theo thời gian của từ thông, là tốc độ biến đổi

theo thời gian của từ thông, tức:

ay

H (8.6)

Thông thường đặc tuyến ự/(ï) là hàm phi tuyến trơn, nên có thể xấp xỉ trong

dạng chuỗi bậc Trong trường hợp này đưa vào hệ số từ cảm khả vi, được xác định

như sau:

Iạ)=SF (8.7)

Biến thiên năng lượng của từ trường của cuộn cảm ứng sau khoảng thời gian đ/ bằng:

aW, =Uldt = Idy (8.8)

Trang 28

t ¥ W, =[Uldt=[Idy 5 Yug=0 (8.9) 0 0 Trong trường hợp từ thông phụ thuộc tuyến tính vào cường độ dòng điện, tức V = l1, ta nhận được: W„=-Lự2 asi", (8.10)

Nếu vị trí và cấu hình của cuộn từ cảm thay đổi theo thời gian thì từ thông sẽ là

hàm của các biến là cường độ dòng điện và thời gian, tức ự =/(I,£) Trong trường

hợp như vậy, ta có:

U-=3V _ôv đ[, ôy _ôV ¡.ÔV (8.11)

ad aedt a@ a ot

Vấn đề năng lượng được tính như sau:

Năng lượng của từ trường (gây nên do sự biến đổi của từ thông, tức không kể

đến sự thay đôi của vị trí và cấu hình, tức xem thời gian là không đổi) được tính theo công thức:

v

W,, = [1(y',)dy'=W„(v,0), (8.12)

0

Ở đây hàm dưới dấu tích phân là 7(',f), thời gian £ được xem là thông số, tích

phân được tiến hành theo biến ự”

Năng lượng sinh ra trong cuộn cảm, nếu không kể năng lượng hao tán do nhiệt sẽ được xác định theo công thức:

Cry i AWE) 5 ian ee

lđx uy bái tat =lự ,)dự (8.13)

Trong (8.13), tích phân được lấy theo cả ⁄',f" nên cần xem đại lượng £° phụ

thuộc vào w’, Sự chênh lệch giữa năng lượng được tinh theo (8.13) và năng lượng từ

có thể xem là năng lượng cơ học, được tính bằng (W —W⁄„) do các lực (tương tác) của

từ trường tác dụng lên cơ hệ Năng lượng cơ được tính qua hiệu này, nó thể hiện công

của các lực cơ học từ phía từ trường tác dụng lên hệ cơ Bằng cách như vậy, cuộn cảm

với từ thông phụ thuộc vào cấu hình cũng là một hệ cơ - điện, qua đó chuyển năng

lượng điện sang năng lượng cơ học hoặc năng lượng cơ sang năng lượng điện

Trang 29

1

W(10 =[vữ0Đ4I' (8.14)

9

Tích phân được tính theo biến cường độ dòng điện, còn thời gian được xem là tham số (đại lượng hằng)

Khi thực hiện phép tính tích phân từng phần đối với tích phân (8.13), ta dễ dàng nhận được quan hệ:

W, =yl-We (8.15)

Biểu thức này cho mét biéu dién cy thé trén mat phing (y,J) 1a tong của năng

lượng từ và đối năng lượng từ bằng diện tích của hình chữ nhật có các cạnh [0,w]j[0,1] Điều này có ý nghĩa năng lượng từ và đối năng lượng từ bỗ sung cho nhau Trong trường hợp của quan hệ tuyến tính, khi = !()J, ta nhận được: We = Jtorar = Stor Khi ké dén (8.15), ning lugng co (Wy) trong trrdng hợp này sẽ bằng: W,, =W-W,=W+W2 -ly (8.16) Khi chú ý đến (8.16), biểu thức công nguyên tố cơ học sẽ là: awe | aw” SW, = AW + Wig - ly) = dW +(—*-dl += dt) - Idy —yall Từ (8.13) ta có: dW =Idy Và theo (8.14): owe —= a oY (8.14) 8.14)’ Do đó:

OU = 1b y + (yal + He )— tay —yat = a Od oy

Biến thiên năng lượng cơ học được chuyển đổi sang công các lực cơ học,

Trang 30

5Ay = a a “ Dt dW (1,1)

Như vậy, công nguyên tố của các lực cơ học được tính qua lượng biến thiên của đối năng lượng từ Từ đây làm rõ ý nghĩa vật lý của đối năng lượng từ là lượng năng

lượng từ chuyên sang năng lượng cơ học

Giả sử, đối năng lượng từ phụ thuộc vào thời gian qua các tọa độ suy rộng

4,(); ¡ =1,n., xác định vị trí và cấu hình của cuộn từ cảm, tức:

cơ

bA=d'W” (I,q(t)) = —= dt

> ¬ ” co (8.17)

= yee ay = yea = Wn qi

ist 0q; ot i=l ôq, 0q

Trong trường hợp cuộn từ cảm có chứa lõi từ thì có thể xây dựng mô hình bằng

việc thay cuộn này bằng mắc song song hai phần tử: cuộn lý tưởng và một điện trở

Cường độ dòng điện sẽ bằng tổng hai cường độ dòng điện: một phụ thuộc vào từ thông (có thể cả thời gian), một phụ thuộc điện áp (có thể cả thời gian), tức:

1=1(w,)+1,(U,)

Trong đó: U =ự và

1=1(W.Ð; I,=1L(,Ð

Có thể tính ngược để tìm các đại lượng ự„(1,,f);U =(I,,f), chúng được gọi

tương ứng là các đặc tuyến ampe — từ thông và ampe — điện áp

8.1.3 Điện dung

Trong các tụ điện chứa điện lượng, sự thâm thấu điện của nó không phụ thuộc

vào điện áp của điện trường, điện áp tỷ lệ với điện lượng, tức = g/c, trong đó c là hằng số, được gọi là điện dung của tụ điện Trường hợp U =U(@) có dạng phi tuyến,

thì hệ số dung môi được xác định như sau:

¬

c=| 3U (8.18)

aq

Khi lấy vi phân theo thời gian phương trình đặc tuyến, ta nhận được tốc độ thay đổi của điện áp theo thời gian:

a _ a dq 1,

dt dạ dị c

Trang 31

Nếu đặc tuyến điện áp — điện lượng có dang g = 4(U) thì khi lấy vi phân ta nhận

được hệ thức thiết lập mối quan hệ giữa cường độ dòng điện, điện áp và tốc độ của

điện áp, tức nhận được:

1=c(U)Ủ với c(U)= a (8.19)

Như vậy cường độ dòng điện tỷ lệ thuận với tốc độ thay đổi của điện lượng theo điện áp (đạo hàm điện lượng theo điện áp) Khi tích phân hệ thức trên ta nhận được:

U

4= [e(UMU +4 (8.20)

0

Khi có sự tổn thất nhiệt đáng kể trong tụ điện thì thay tụ điện bằng tụ điện lý tưởng được mắc song song với điện trở Như vậy cường độ dòng điện có thể được tính như Sau:

I=1,+1,=c(U+1,(U) (8.21)

Có thể có các cách để thay thế tương đương

Nếu điện áp phụ thuộc vào điện lượng và thời gian, tức = U(g,£), ta có: 4U _ôU dạ, =—-++—=c'l+— ôU _ 1, U (8.22) dt Odqdt o ot Trong đó ⁄ -1 c=c(4,)= (§) aq (823)

Lượng biến đổi cia nang lugng dién trudng (W.) trong khoang thdi gian dt va

trong khoảng thời gian hữu hạn [0,:] được tính như sau:

4W, =U(4)4q ; W, = |U(4)dq

Ở đây giả thiết rằng tại thời điểm ban đầu tụ không nạp điện

Trang 32

Trong đó năng lượng điện W„ và đối năng lượng điện W” được tính theo các công thức tương ứng: 4 W,= [U(g',1)44' 7 (8.24) W2 = [a(U”1)4U' 0 #, =Uạ-W."

Điều này được hiểu như sau: Đầu tiên, tụ điện không nạp điện có vị trí ứng với

thời điểm ¿, sau đó mới tích điện ạ Như vậy trong các công thức này thời gian được xem như thông số

Trong trường hợp khi quan hệ giữa điện áp và điện lượng có đạng tuyến tính, tức khi U = [eœT" q, ta có: 2 W,= q 2c(t) 2 Năng lượng vào tụ điện sẽ bằng: We? = q W =|U(q,t)4q—' 0

Trong đó, cả hai đại lượng điện lượng và thời gian đều là biến Năng lượng tiêu tốn cho chuyển động hệ cơ sẽ bằng:

W„ =W -W,

Trong đó, W⁄„ là ký hiệu năng lượng tiêu tốn cho chuyển động cơ học

Công nguyên tố của trường điện (ứng với khoảng thời gian đi) sẽ là: gq q 5A=dW-W,)=d[U(q't')dq'—d[U(q',t)dq' 0 0 =Udg ~đ'[U(4,!)4q 2 ]U(94 he 0 0

= Udg -Udg - = dt = eat

Trang 33

aw, 6A, =-——£dt , at = -d'W,(q,t" .(4,f) Trong trường hợp năng lượng điện phụ thuộc vào thời gian qua các tọa độ suy rộng đ,(Ì = Ln), tức: f, =W,(q.4,().4;(0, 4,()) = W,(4.40)) trong đó g =(4,,đ;› đ„) vectơ của tọa độ suy rộng, thì: OW, 0, OA, =-—*dq =-) —‘dq, (8.25) ôq x q, ”

8.1.4 Nguồn ngoài (Suắt điện động)

Khi mắc vào mạch nguồn điện bên ngoài sẽ tạo nên biến thiên điện áp E Khi đó trong mạch có hiện tượng hạ thế một lượng —E Điện áp có thể là không đổi, có thể phụ thuộc vào thời gian, cũng như phụ thuộc vào cường độ dòng điện, tức E = E(1, t)

Có thể xem điện áp E độc lập với các đại lượng khác

Nguồn ngoài thường được dùng duy trì dòng điện trong mạch Công (nguyên tố)

của nó sẽ bằng

6A, = Eldt = Edq

Công của nguồn ngoài tính được khi tích phân của công nguyên tố trong khoảng thdi gian [0,7] Ap = i E(I(t),t)I(t)dt = j E(I,t)dq 0 0 8.2 Phương trình của mạch vòng Khảo sát một mạch điện chỉ gồm một

mạch vòng như trên hình 8.1, chứa các thông số tập trung: điện trở, cuộn tự cảm, tụ điện và nguồn Các đặc trưng của các phần tử này có thé là tuyến tính (), phi tuyến (R, C) và biến đổi

theo thời gian Trong đó, các yếu tố có đặc trưng

phi tuyến được biểu diễn trên hình vẽ với gạch

chéo (xem hình 8.1)

Dòng điện trong mạch theo chiều ngược

chiều kim đồng hồ Quá trình điện từ trong mạch

Hình 8.1

Trang 34

tuân theo định luật thứ hai của Kirchhoff: tổng (đại số) của các điện áp qua cdc phan tử mạch là bằng không Như vậy, áp dụng phương pháp trực tiếp ta có thể viết U,+U, +U,+(-E)=0 Trong đó các đại lượng ,,Ữ,,, lần lượt là điện áp qua các phần tử cuộn cảm ứng, điện trở và tụ điện Từ đây ta có: (,)+U,(,)+*U,(4,1)= E1) Chú ý khi 7 = ‡, phương trình trên có dạng: V(,0)+U,(4,1)= E(4,)~U,(4,0) (8.26) Trong trường hợp có quan hệ tuyến tính: ự =l4 ; U, = rả; U, =qíc; E=EQ) Ta nhận được một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai sau: kế “lâu lä+r4+—q= E() c

Phương trình nhận được tương tự phương trình chuyển động thẳng của chất

điểm dưới tác dụng của lực kích động, lực cản nhớt, lực đàn hồi tuyến tính

Hình 8.2

Ví dụ 8.1 Khảo sát một mạch điện nói với một mạch triot Cho biết các thông số tập trung z, /, c cũng như độ tự cảm tương hỗ giữa hai cuộn từ cảm Nhờ cuộn

Trang 35

tự cảm tương hỗ trong mạch chính tạo nên suất điện động tỷ lệ với tốc độ thay đổi của

cường độ dòng điện trong anode qua hệ thức:

E=Mi,

Do đó có thể xem trong vòng mạch chính có mắc tụ điện E Bỏ qua dòng điện

lưới, điện áp trong anode được tính bằng (hình 8.2) U,=E Sử dụng định luật Kirchhoff II viét phuong trinh cho mạch điện 1 dl, lj+rg+—qeM 2 BI, TẾ ae dt Trong đó: t q= J Idt+q, 0

Dòng điện trong anode được xem chỉ là hàm của điện áp mạng, theo như hình

8.2, là hàm của điện áp tụ điện, tức 1, =1(U,)=1(4fe)= ƒ(4) Phương trình cho mạch điện sẽ nhận được dạng cuối cùng như sau: zl 7 el ặ+r-M @la+_q=0 Trong đó: ef _ dls dq dạ #q)= Trong trường hợp đặc tuyến mạng có thể xắp xi bằng đa thức bậc ba dang 1,(q/c)= f(q)*4+4g+Ag Phương trình nhận được sẽ là: ä-(œ~/4”)¿+z”4=0 Trong đó:

øz =(MA,—r)!I, 8 =3MA, !; # = (le) ®

Trang 36

Ví dụ 8.2 Một mạch vòng với điện dung tuyến tính €, độ tự cảm có đặc trưng dạng: Ï= a/ + bự và điện áp C dang sinus E = E, sin ot (hình 8.3) L Phương trình dòng điện có dạng E w+q/c=E,sinat Trong đó: t du J Idt+-4, Hình 8.3 0 Bằng cách lấy vi phân hai về của phương trình dòng điện đã được thiết lập theo biến ¿, ta nhận được Ử + aự + 8ự) = ycos øt Trong đó: a=Š;8=Š;y= Bụo c c

Phương trình nhận được có dạng phương trình Duffin Vi dy 8.3 Phương trình dòng điện trong mạch rẽ nhánh

Hình 8.4

Khảo sát một mạch rẽ nhánh có điểm phân nhánh Điểm phân nhánh gọi là nút Một cặp nút có thể nói một hoặc một số nhánh Nhánh là một đoạn của mạch, với các

phần tử mắc nối tiếp giữa hai nút Ví dụ, trên hình 8.4 là một mạch chứa hai nguồn

phát, ba điện trở, ba tụ điện, ba cuộn cảm ứng, trong đó có hai cuộn tương hỗ từ Mạch

này có ba nhánh được nối bằng hai nút Quan hệ các dòng điện được xác định nhờ

Định luật Kirchhoff Giả sử số nút bằng n, số nhánh bằng m, còn k là chỉ số khối tao nên mạch được khảo sát, giữa chúng chỉ có liên hệ hỗ cảm

Trang 37

Dựa trên Định luật Kirchhoff I, thiết lập được (m — È) hệ thức độc lập Vì vậy số cường độ dòng điện độc lâp bing n — (m — k)

Các nhánh thuộc mạch khảo sát, các nhánh tạo nên một số vòng kín Để thành

lập phương trình của các dòng điện cần phải chọn các vòng kín khác nhau chứa số

cường độ dòng điện bằng số vòng đã chọn Thêm vào đó, phải chọn sao cho mạch

được chọn ôm tất cả các vòng mạch kín Chọn chiều di chuyển của dong điện trong

mạch vòng kín, dựa vào Định luật Kirchhoff II, viết phương trình cho mỗi mạch vòng

kín Đó là:

~ Viết cho nút:

T=1,+1, >q=4,+q, + const

— Viết cho hai mạch kin:

UA(,Ð+U, (A,90+1 L-M dt dt “ + Ta+U, gạ)+ “St? Mil ye BY dt BH, +h FM lag +Ù,(I,)+-T4=E, > dt dt oc CG Đưa vào các đại lượng: ứng (1,1,1) =1 — MI, +ựa(I,9; U:(,1,)=l1, MI

W.(1,,;;(I,1;,f) là lượng từ thông trong các vòng mạch kín 1 và 2 tương

Trang 38

Me hy) +Ui shat) UG dest= E(lvhst¥een @27)

Trong d6, y, — tir thong trong mach vong thir s; 7, — điện áp trên kháng và tụ của mạch vòng

Hệ phương trình này là hệ phương trình vi phân cấp một đối với các biến q,=1,2) „ có đạng sau:

AV (Gir 92st) rs ,

—” nhe +U/ (Quận) +U/(,4,,) =E, ¡ s=1,2

Tích phân hệ phương trình nảy với điều kiện đầu cho có thể tính được các điện

tích g,(),g;(/) và từ đó tính được các dòng điện 7, = đ,(), 7; = đ;()

Tổng quát, xét trường hợp của n dong điện độc lập Ï = (7,,1;, ,1„) , có điện tích q=(4.4: ,4,), ta nhận được ø hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp hai đối với điện tích g

“Hết” ¿02(4/)+U1(4,)= E,(4); s=ln

Trong đó, ự,— từ thông trong mạch vòng thứ s; U?,7 - điện áp trong mạch

vòng trên các điện trở và tụ điện

Tích phân hệ phương trình vi phân nhận được với điều kiện đầu cho sẽ tính

được: q = q(t) va tiép theo tính được cường độ dòng điện trong các mạch vòng

1,=¿,@»›J=lLn

Để khử các cường độ dòng điện phụ thuộc có thể áp dụng phương pháp sau: Trong mạch được chọn, xây dựng các mạch vòng và dòng điện trong các mạch vòng độc lập thì được chọn là các dòng độc lập Khi có dòng điện chạy trong mạch vòng có biên chung với các mạch vòng độc lập thì được tính bằng tổng (đại số) các cường độ

dòng điện của các mạch vòng độc lập có đường biên với mạch vòng này Ví dụ, trong

mạch được khảo sát như trên hình 8.4, ta có hai mạch vòng độc lập và cường độ dòng điện trong hai mạch vòng này được chọn là những dòng độc lập Do đó khi tính cường độ dòng chạy trong nhánh AB được tính bằng 7,+, mà không cần sử dụng ký hiệu

dòng chạy trong nhánh nảy là 7 và sau đó phải bỗ sung thêm phương trình J = J, + ;

Trang 39

Ví dụ 8.4 Để minh họa, xét mạch được cho như trên hình 8.5 với các nguồn điện được mắc song song: tự cảm phi tuyến

với đặc trưng 1 =aW/+bự, trở kháng và

điện dung tuyến tinh Theo Định luật

Kirchhoff I, phương trình trạng thái viết cho một trong các nút (hình 8.5)

J+I,+l-I=0

Điện áp trên tất cả các phần tử như

nhau, tức Ứ = Tính các đại lượng

Hình 8.5

1, =r”U =r'ÿ; l, = cỦ = cÿ

Và thay chúng vào phương trình dòng điện, ta nhận được phương trình vi phân đối với từ thông

cw +r y+ ay +bự` = I()

8.3 Phương trình trạng thái của mạch điện trong dạng Lagrange — Maxwell

Phương trình trạng thái của mạch điện (8.27) có thể viết trong dạng phương trình Lagrange loại hai Đầu tiên, Maxwell viết phương trình nảy cho các mạch tuyến tính, hiện nay phương trình đã viết cho các mạch phi tuyến

Đối năng lượng từ của một mạch điện là tông đối năng lượng từ của tất cả các

cảm ứng kháng trong mạch được xét Khảo sát một mạch rẽ nhánh với ø đòng điện mạch vòng độc lập 1ï = (1,1;, ,7,), chứa m cuộn kích động Từ thông , trong cuộn

thứ s phụ thuộc vào một số, thậm chí có thể tất cả các dòng điện, tức trong trường tổng quát

v(t) Vs; s=1,m

Dòng điện 1, trong cuộn thứ s là tổng (đại số) của các dòng điện trong các mạch vòng Khi đó, đối năng lượng từ được tính như sau:

Tin

We =| C.od?, 0 =I

Trang 40

Giả thiết rằng tích phân này theo đường cong trong không gian, các dòng dién I không phụ thuộc đạng đường cong và là hàm chỉ của các giá trị cuối của đòng điện Trong điều kiện như vậy có thể thực hiện tích phân theo đường gãy khúc gồm các đoạn:

I) 1/e|0,1];1;= 1,=0;

2) 1=1;1; e|0,1,],1; = l; =0;

n) l=l;l=l„; 1,=1, 1 e[0,1,);

Ví dụ 8.5 Khảo sát một mạch điện từ tuyến tính với hai cuộn kích động với các dòng J,,7, Giả thiết rằng từ thông trong các cuộn có biểu thức:

ự, =l¡Œ)h +1;(1,; s=1,2

thỏa mãn các điều kiện j; = J¡, đảm bảo tính chất độc lập của đối năng lượng đối với

dạng đường cong Trong trường hợp như vậy, đối năng lượng từ sẽ là:

Ctr) h I; h EL

we = Ï (vảlr+vali)= |viAli+|vial; = |IdiA + f Uy t, + halt dal, (0,0) 0 0 0 0

WO +21,(011, + lạ@)2]

Ni

Đại lượng ự¿ là biểu thức của hàm y,(/,,/,), trong a6 J, duge coi là thông số khi thực hiện tích phân Tương tự, ; là biểu thức của hàm ự„(1,,J,), trong đó J, được xem là thông số khi thực hiện tích phân

Để viết phương trình trạng thái của mạch điện, ta sử dụng quan điểm năng lượng Đầu tiên cần chú ý đến đối ning lugng tr We =W2(I,t) Tính lượng biến thiên năng lượng do dòng điện 7, trong mạch vòng thứ s thay đổi Do các dòng điện được giả thiết là độc lập, nên ta có: _9W°“(I) a, s owe Từ đây tính được từ thông trong mach vòng thứ s nhờ biểu thức đối năng lượng của mạch

Phép tính với giả thiết là chỉ có dòng điện trong mạch vòng thir s thay đổi, còn dòng điện trong các mạch khác và thời gian được xem là thông số

Khi chú ý đến biểu thức của đối năng lượng từ (8.14)”, ta có:

aw (1,1) Lj=—

v9 aI,