Giả thuyết và chứng minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể của học sinh trung học phổ thông

Bài viết Giả thuyết và chứng minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể của học sinh trung học phổ thông được nghiên cứu nhằm mục đích làm sáng tỏ khả năng đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh của học sinh trung học phổ thông (THPT) qua khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể.

GIẢ THUYẾT VÀ CHỨNG MINH TRONG KHÁM PHÁ TỰ NGHIỆM CÁC BÀI TỐN CĨ TÍNH KHƠNG THỂ CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG TRẦN ĐÌNH PHƯƠNG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Nghiên cứu nhằm mục đích làm sáng tỏ khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh học sinh trung học phổ thông (THPT) qua khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể Từ đó, tìm kiếm đề xuất số phương án nhằm nâng cao khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh học sinh Nghiên cứu thực học sinh trường THPT Phan Đăng Lưu, Thừa Thiên Huế Chúng đề xuất hai thang mức để đánh giá khả nói học sinh nghiên cứu cho thấy kết khả quan Hơn từ kết nghiên cứu, thấy khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể tạo điều kiện thuận lợi giúp học sinh chủ động việc tìm phương án giải vấn đề, đưa phán đoán, lập luận để thuyết phục người khác Từ khóa: Giả thuyết, chứng minh, khám phá tự nghiệm, chứng minh tính khơng thể GIỚI THIỆU Theo quan điểm nhiều nhà giáo dục toán học nay, giải vấn đề kỹ trọng tâm việc học toán Casti (2001) cho rằng: “Lý tồn toán học đơn giản để giải vấn đề” Và Schoenfeld (1979) việc giảng dạy giải vấn đề thông qua “khám phá tự nghiệm” giúp nâng cao khả giải vấn đề toán học Khám phá tự nghiệm toán học đặc trưng đoán, đưa giả thuyết, chứng minh bác bỏ Margolis (1987) cho rằng: “Mọi định lý xuất phát từ giả thuyết” Nhưng, mệnh đề coi sản phẩm toán học phải chứng minh chặt chẽ lập luận logic Điều cho thấy việc đặt giả thuyết chứng minh quan trọng phát triển toán học Theo Laczkovich (2001), chứng minh tính khơng thể giới thiệu tốt “linh hồn toán học” Khi chứng minh điều khơng thể xảy ra, vấn đề khơng thể giải hay đối tượng khơng tồn lập luận ln tổng qt, rõ ràng, dứt khốt Việc sử dụng “tính khơng thể” tốn học để học sinh khám phá tự nghiệm cần thiết bởi: Bản thân giả thuyết “tính khơng thể” tình có vấn đề, khuyến khích học sinh tìm tịi, đặt giả thuyết, đưa chứng minh, bác bỏ giả thuyết, bổ đề, đưa phản ví dụ; q trình đưa bác bỏ, giả thuyết hình thành Và lại tiếp tục nảy sinh tình có vấn đề Các phản ví dụ đưa phát triển thành giả thuyết Quá trình liên tục lặp lại, tình có vấn đề liên tiếp tạo cách tự nhiên trình phát triển tri thức toán Học sinh bị mê vấn đề đặt Từ em có hứng thú việc học kiến thức Tốn nói riêng, Tốn học nói chung Các tốn “tính khơng thể” tạo cho em tò mò khám phá tri thức, linh động tư 198 KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2016 11/2016 Trong viết này, chúng tơi cố gắng tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu: Thứ nhất, khả đặt giả thuyết học sinh trung học phổ thơng khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể nào? Thứ hai, khả tìm đường chứng minh học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể nào? Thứ ba, làm để giúp học sinh nâng cao khả đặt giả thuyết chứng minh khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể? PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để trả lời câu hỏi nghiên cứu đặt ra, tiến hành thực nghiệm học sinh THPT Phan Đăng Lưu, Thừa Thiên Huế, gồm học sinh lớp 10giải toán 1, học sinh lớp 12 giải tốn Các nhóm tiến hành thảo luận tốn phiếu thực nghiệm trình bày làm nhóm lên phiếu học tập mà khơng có can thiệp nhà nghiên cứu Chúng tơi tiến hành quan sát, ghi âm, ghi thảo luận liên quan đến việc em đặt giả thuyết tìm đường chứng minh trình giải toán Tiến hành vấn học sinh để nắm rõ sở mà em dựa vào để đưa giả thuyết, tìm đường chứng minh cho giả thuyết 2.1 Thang mức đánh giá khả đặt giả thuyết Thang mức mà sử dụng kiểu thang mức, từ mức đến mức tăng dần theo khả đặt giả thuyết, sau: Mức Yêu cầu Không đặt giả thuyết đặt giả thuyết không dựa chứng Đặt giả thuyết dựa vào mường tượng hình ảnh việc thử vài trường hợp cụ thể Đặt giả thuyết dựa số chứng tập hợp chứng tổng quát cho phép chứng minh giả thuyết (ví dụ vài ràng buộc để có kết định lý) Đặt giả thuyết dựa đầy đủ ràng buộc cho phép mường tượng chứng minh Ví dụ 1: Các em đặt giả thuyết vấn đề tổng góc tứ giác - Học sinh không đưa giả thuyết, học sinh đạt mức - Học sinh đặt giả thuyết: Tổng góc tứ giác 3600 thơng qua việc dùng thước đo góc đo tính tổng góc tứ giác (tổng góc mà em đo 199 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ CYS 2016 khơng xác 1800 ? 3600 mà nằm lân cận 3600 ), học sinh đạt mức - Học sinh dựa vào việc phát đường chéo phân tứ giác thành tam giác kết biết tổng số đo góc tam giác, đưa giả thuyết tổng số đo góc tứ giác 360 , học sinh đạt mức Học sinh phát cần chia tứ giác thành hai loại, tứ giác đơn tứ giác phức, dựa vào kết biết tổng số đo góc tam giác, đưa giả thuyết: tổng góc tứ giác đơn 3600 , nhỏ 3600 trường hợp tứ giác phức, học sinh đạt mức 2.2 Thang mức đánh giá khả tìm đường chứng minh Để đánh giá khả tìm đường chứng minh học sinh, đề xuất kiểu thang có mức, từ mức đến mức tăng dần theo khả tìm đường chứng minh, sau: Mức Yêu cầu Không biết điều cần chứng minh (đâu giả thiết, đâu kết luận) khơng có nhận thức cần thiết phải có chứng minh Ý thức cần thiết phải có chứng minh, học sinh cho việc xem xét một vài trường hợp cụ thể hay kết luận dựa vào hình ảnh đủ Ý thức phải có lập luận tổng qt khơng đề kế hoạch tìm kiếm chứng cho việc lập luận chứng minh Ý thức phải có lập luận tổng qt, lập luận để tìm kiếm chứng cho việc thiết lập chứng minh, chứng tìm chưa đầy đủ Ý thức phải có lập luận tổng quát, lập luận để tìm kiếm đầy đủ chứng cho phép thiết lập chứng minh chặt chẽ Ví dụ 2: Khi tìm đường chứng minh cho vấn đề: Cho n số tự nhiên chia hết cho Viết số tự nhiên từ đến n lên bảng, ta tiến hành xóa hai số thay tổng chúng Làm lại số bảng Hỏi liệu có tồn chiến lược thay mà số cuối lại bảng số lẻ không? - Học sinh thử trường hợp n=4, thấy khơng có phương án thay cho không cần phải đưa chứng minh, học sinh đạt mức - Học sinh thử trường hợp n=4, thấy khơng có phương án thay nào, xem chứng minh cho vấn đề xem xét, học sinh đạt mức - Học sinh thử trường hợp n=4, n=8, thấy khơng có phương án thay nào, ý thức cần có chứng minh tổng quát cho trường hợp n không phát 200 KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2016 11/2016 tính bất biến tốn nên khơng đề xuất kế hoạch tìm kiếm chứng cho phép chứng minh tổng quát, học sinh đạt mức - Học sinh ý thức cần có chứng minh tổng quát, phát tính bất biến tốn, khơng tính tổng trường hợp tổng qt, dẫn đến không giải trọn vẹn vấn đề, học sinh đạt mức - Học sinh phát tính bất biến tốn, đưa đầy đủ lập luận cho phép chứng minh tổng quát, chặt chẽ, học sinh đạt mức KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU * Bài tốn 1: Tồn hay khơng số nguyên dương a1 , b1 , a2 , b2 cho: a12  b12  3(a22  b22 ) Các em bắt đầu khám phá toán thực nghiệm, thơng qua việc sử dụng máy tính 2 bỏ túi thử số trường hợp cụ thể, đưa dự đốn tính chia hết cho a1  b1 ; a1; b1 tìm đường chứng minh dự đốn đó, q trình lập luận chứng minh, em mắc sai lầm mặt luận cứ, suy luận dựa vào mệnh đề sai (tổng hai số chia hết cho 2 số chia hết cho 3); mặt luận đề, thay mệnh đề cần chứng minh (nếu a1  b1 chia 2 hết cho a1 , b1 chia hết cho 3) thành mệnh đề (nếu a1 , b1 chia hết cho a1  b1 chia hết cho 3); mặt luận chứng, phủ định sai mệnh đề: Trong trình chứng minh phản chứng 2 (các em cho phủ định mệnh đề: a1  b1 chia hết cho a1 , b1 chia hết cho 2 mệnh đề: có số nguyên a1 , b1 để a1  b1 3 a1 b1 không chia hết cho 3) Các lập luận bị bác bỏ thay lập luận khác chỉnh sửa cho chặt chẽ Những giả thuyết em đặt có sở rõ ràng Chứng minh mà em trình bày phiếu học tập chặt chẽ Xét tổng thể việc giải vấn đề nhà nghiên cứu yêu cầu mà nhóm thực hiện, theo thang mức đánh giá khả đặt giả thuyết khả tìm đường chứng minh đề xuất, em đạt mức tương ứng 2, * Bài toán 2: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với đáy Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên cạnh SB , SD Liệu hai mặt phẳng ( AHK ) (SBD) có khả vng góc với hay khơng? Hãy chứng minh điều 201 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ CYS 2016 Kết nghiên cứu cho thấy em bắt đầu tiếp cận toán việc đưa giả thuyết mà sở tưởng tượng mặt hình ảnh (AHK) vng góc với (SBD), em đưa lập luận để chứng minh giả thuyết đó, lập luận khơng xác mắc sai lầm mặt luận cứ, suy luận dựa mệnh đề sai: “Trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng mặt phẳng hai mặt phẳng vng góc” bị bác bỏ phản ví dụ thực nghiệm (sử dụng hình ảnh thực tế để minh họa) Tiếp sau đó, em đưa phương án hợp lý để tìm đường chứng minh cho giả thuyết đặt giả thuyết con, giả thuyết bị bác bỏ lập luận suy diễn chặt chẽ Và nhờ kết có trình tìm đường chứng minh cho giả thuyết đặt ban đầu, em bác bỏ giả thuyết ban đầu hoàn thành toán Các giả thuyết em đưa đa phần không đúng, mặt sư phạm giả thuyết đưa hồn tồn có sở dựa trực giác kiến thức có em Chứng minh em trình bày phiếu học tập xếp cách logic chối cải Xét tổng thể việc giải vấn đề mà nhà nghiên cứu đưa ra, khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh em tốt đạt mức tối đa theo thang mức mà đề xuất THẢO LUẬN BA CÂU HỎI NGHIÊN CỨU 4.1 Câu hỏi nghiên cứu thứ Qua kết thực nghiệm, thấy khả đặt giả thuyết học sinh trung học phổ thơng thơng qua khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể tốt, đạt mức cao theo thang mức mà đề xuất Các giả thuyết mà em đưa phán đốn ngẫu nhiên, khơng có sở mà dựa vào việc quan sát hình ảnh, tính chất, quy luật có từ việc thử số trường hợp toán, hay từ việc hay số giả thiết định lý cho phép kết luận vấn đề xem xét thỏa mãn 4.2 Câu hỏi nghiên cứu thứ hai Sau đưa giả thuyết, em bắt đầu mường tượng đường chứng minh giả thuyết đó, em thường bắt đầu việc tìm đường chứng minh lập luận có từ q trình thực nghiệm hay khái quát hóa từ vài trường hợp cụ thể tốn, em tìm kiếm lập luận thích hợp giúp cho việc tạo chứng minh suy diễn, em đưa giả thuyết con, nhằm tạo sở lập luận cho việc chứng minh giả thuyết chính, đơi em lại tự bác bỏ giả thuyết mà đặt người khác phản ví dụ hay lập luận suy diễn chặt chẽ Kết thực nghiệm cho ta thấy đa phần em ý thức cần phải đưa chứng minh tổng quát chứng minh trường hợp cụ thể nào, em lập kế hoạch để tìm chứng cho phép tạo thành chứng minh Tuy nhiên, cịn số học sinh hiểu chứng minh người khác chưa thể tự đưa lập luận để chứng minh có khả đưa lập luận chứng minh chưa xét hết tất trường hợp xảy hay lập luận dựa việc ngộ nhận định lý 4.3 Câu hỏi nghiên cứu thứ Qua thực nghiệm thấy môi trường học hợp tác tạo điều kiện thuận lợi giúp em phát triển khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh nói chung khám 202 KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2016 11/2016 phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể nói riêng Các em thảo luận để đưa giả thuyết có giá trị, hỗ trợ lẫn việc đưa chứng để chứng minh giả thuyết, đưa lập luận để bác bỏ giả thuyết đặt Các tốn có tính ẩn chứa nhiều vấn đề lôi học sinh giải Tuy nhiên, số lượng tốn thuộc loại sách giáo khoa khơng nhiều Giáo viên cần tự tạo tốn đặc sắc để thông qua khám phá tự nghiệm em học cách giải vấn đề Giáo viên cần tạo môi trường học tập thân thiện, nơi mà em thoải mái nói lên lập luận, suy đốn mình, hay bảo vệ, bác bỏ lập luận người khác, nơi mà em phép mắc sai lầm mơi trường giúp em phát triển khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh phù hợp với kiến thức có Giáo viên cần chọn tốn hấp dẫn, lơi để em khám phá tự nghiệm, có nâng đỡ vừa sức em gặp khó khăn việc đưa giả thuyết hay tìm đường chứng minh Giáo viên cần giúp học sinh ý thức cần phải có chứng minh tổng quát cho vấn đề xem xét không kiểm chứng hay chứng minh cho trường hợp cụ thể, đặc biệt Ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học hổ trợ em việc thực nghiệm, mường tượng hình ảnh, từ giúp em có thêm sở để đưa giả thuyết, định hướng chứng minh KẾT LUẬN Giải vấn đề kĩ quan trọng việc học toán học sinh Để giải vấn đề tốt khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh phải tốt Do đó, giáo viên cần khuyến khích, thúc đẩy, phát triển khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh học sinh, theo sát trình tư học sinh để kịp thời có biện pháp nâng đỡ vừa sức giúp học sinh vượt qua chướng ngại trình lập luận đưa giả thuyết định hướng đường chứng minh Khi chứng minh điều khơng thể xảy ra, khơng tồn lập luận phải luôn tổng quát, rõ ràng, dứt khốt Do đó, q trình giảng dạy, giáo viên cần trọng đến tốn có tính khơng thể Từ kết nghiên cứu này, thấy khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh học sinh khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể khả quan Thơng qua việc đưa toán số trường hợp cụ thể, quan sát hình vẽ, liên kết liệu có, học sinh đưa giả thuyết, sau lập luận, tìm kiếm chứng cho phép chứng minh giả thuyết Trong q trình tìm đường chứng minh, đơi em lại tiếp tục đưa giả thuyết con, giả thuyết em chứng minh tìm luận chứng để bác bỏ em nghi ngờ tính đắn Và vậy, trình tiếp diễn giả thuyết chứng minh Các kết nghiên cứu cho thấy, khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể tạo điều kiện thuận lợi giúp em chủ động việc tìm phương án giải vấn đề, em hăng hái thảo luận, đưa phán đoán, lập luận thân để thuyết phục hay phản biện với người khác Các em tự tin hồn tồn chủ động việc khám phá tốn học Trong viết này, chúng tơi đề xuất thang mức đánh giá khả đặt giả thuyết thang mức đánh giá khả tìm đường chứng minh học sinh thông qua khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể, dùng làm sở đánh giá kết thu từ thực nghiệm Và theo chúng tơi, phù hợp để đánh giá khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh tốn học nói chung 203 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ CYS 2016 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] Casti, J L (2001) Mathematical mountaintops: The five most famous problems of alltime New York: Oxford University Press Laczkovich, M (2001) Conjecture and proof The Mathematical Association of America Margolis, H (1987) Patterns, thinking, and cognition Chicago: University of Chicago Press Schoenfeld, A H (1979) Explicit heuristic training as a variable in problemsolving performance Journal of Research in Mathematical Education, 10,173–187 Title: CONJECTURES AND PROOFS IN HEURISTIC EXPLORING MATHEMATICS OF IMPOSSIBILITY OF THE SENIOR HIGH SCHOOL STUDENT Abstract: This study aims to clarify the ability to make conjectures and find ways to prove of the senior high school students through heuristic exploring mathematics of impossibility From there, search and suggest some alternatives to improve the ability make conjectures and find ways to prove of the students The study was performed on students of Phan Dang Luu senior high school We have also proposed two level scale to assess the ability of the students, and the study show that the results are very positive From the results of the study, we also found that heuristic exploring mathematics of impossibility create favorable conditions to help students take the initiative in finding alternatives to solve the problem, make conjectures, arguments to convince others Keywords: conjecture, proof, heuristic, proofs of impossibility TRẦN ĐÌNH PHƯƠNG Học viên Cao học, chuyên ngành Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn, khóa 23 (2014-2016), Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế 204 ... đường chứng minh học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể nào? Thứ ba, làm để giúp học sinh nâng cao khả đặt giả thuyết chứng minh khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng... đưa giả thuyết con, giả thuyết em chứng minh tìm luận chứng để bác bỏ em nghi ngờ tính đắn Và vậy, trình tiếp diễn giả thuyết chứng minh Các kết nghiên cứu cho thấy, khám phá tự nghiệm tốn có tính. .. thực nghiệm, thấy khả đặt giả thuyết học sinh trung học phổ thơng thơng qua khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể tốt, đạt mức cao theo thang mức mà đề xuất Các giả thuyết mà em đưa phán đốn