Phát huy tính tích cực, độc lập cho học sinh phổ thông là một nội dung quan trọng của định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn toán. Bài báo này đưa ra một số biện pháp nâng cao tính tích cực, độc lập của học sinh thông qua việc phát biểu bài toán mới từ bài toán ban đầu về chứng minh đẳng thức.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol 58, pp 112-118 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn PHÁT BIỂU BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU VỀ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC NHẰM NÂNG CAO TÍNH TÍCH CỰC, ĐỘC LẬP CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Nguyễn Sơn Hà Trường THPT Chuyên, Đại học Sư phạm Hà Nội Email: sonhadhsphn@gmail.com Tóm tắt Phát huy tính tích cực, độc lập cho học sinh phổ thơng nội dung quan trọng định hướng đổi phương pháp dạy học mơn tốn Bài báo đưa số biện pháp nâng cao tính tích cực, độc lập học sinh thông qua việc phát biểu toán từ toán ban đầu chứng minh đẳng thức Từ khóa: Chứng minh đẳng thức, tích cực, độc lập, Trung học phổ thông Đặt vấn đề "Tính tích cực hoạt động học tập thực chất tính tích cực nhận thức, đặc trưng khát vọng hiểu biết, cố gắng trí tuệ nghị lực cao trình chiếm lĩnh tri thức Tính tích cực học tập biểu dấu hiệu như: hăng hái trả lời câu hỏi giáo viên, bổ sung câu trả lời bạn, thích phát biểu ý kiến trước vấn đề nêu ra; hay nêu thắc mắc, địi hỏi giải thích cặn kẽ vấn đề chưa đủ rõ; chủ động vận dụng kiến thức kĩ học để nhận thức vấn đề mới; tập trung ý vào vấn đề học; kiên trì hồn thành tập, khơng nản trước tình khó khăn, Tính tích cực học tập có liên quan đến động học tập Động tạo hứng thú, hứng thú tiền đề tự giác, hứng thú tự giác hai yếu tố tâm lí tạo nên tính tích cực Tính tích cực sản sinh nếp tư độc lập Suy nghĩ độc lập mầm mống sáng tạo Tính tích cực học tập đạt cấp độ từ thấp lên cao như: - Bắt chước: gắng sức làm theo mẫu hành động thầy, bạn, - Tìm tịi: độc lập giải vấn đề nêu ra, tìm kiếm cách giải khác vấn đề, - Sáng tạo: tìm cách giải mới, độc đáo, hữu hiệu" [1] 112 Phát biểu toán từ tốn ban đầu chứng minh đẳng thức Có bốn dấu hiệu đặc trưng phương pháp dạy học phát huy tính tích cực cho học sinh: - Dạy học thông qua tổ chức hoạt động học tập cho học sinh - Dạy học trọng rèn luyện phương pháp tự học - Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác - Kết hợp đánh giá thầy với tự đánh giá trị Tương thích với nội dung tốn học cụ thể, dạy học, giáo viên cần đưa biện pháp nâng cao tính tích cực, độc lập cho học sinh Nhiều định lí tốn học phát biểu thông qua đẳng thức, chứng minh đẳng thức dạng toán hay gặp trường phổ thơng Vì vậy, giáo viên có nhiều hội để bồi dưỡng tính tích cực độc lập cho học sinh thơng qua tốn chứng minh đẳng thức Nội dung nghiên cứu Trong dạy học, thay áp đặt học sinh chứng minh đẳng thức sẵn có, giáo viên phát biểu tốn để đưa học sinh vào tình tự tìm đẳng thức, phát chứng minh đẳng thức Chúng xin đưa số biện pháp sáng tạo toán từ toán ban đầu chứng minh đẳng thức nhằm nâng cao tính tích cực, độc lập cho học sinh: - Thay toán chứng minh đẳng thức thành toán rút gọn biểu thức - Thay toán chứng minh đẳng thức thành toán biểu diễn số đại lượng theo đại lượng cho trước - Thay toán chứng minh đẳng thức thành tốn tìm liên hệ đại lượng - Thay toán chứng minh đẳng thức thành toán tính giá trị biểu thức - Thay tốn chứng minh đẳng thức thành toán chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào ẩn toán - Thay toán chứng minh đẳng thức toán lập tất đẳng thức có đại lượng cho trước Ví dụ Bài toán ban đầu: Cho M trung điểm đoạn thẳng AB, O −−→ −→ −−→ OA + OB điểm tùy ý Chứng minh OM = Bài toán thứ nhất: Rút gọn biểu thức −−→ −→ −−→ vectơ OM − OA + OB Từ lập −−→ đẳng thức biểu diễn vectơ OM theo vectơ khác có điểm đầu O → Bài toán thứ hai: Biểu diễn vectơ − u = −−→ −→ −−→ OA + OB theo vectơ OM Từ lập đẳng −−→ thức biểu diễn vectơ OM theo vectơ 113 Nguyễn Sơn Hà khác có điểm đầu O −→ −−→ → −−→ → Bài tốn thứ ba: Tìm liên hệ hai vectơ − u = OA + OB, − v = OM Từ −−→ lập đẳng thức biểu diễn vectơ OM theo vectơ khác có điểm đầu O −→ −−→ −−→ → Bài toán thứ tư: Chứng minh vectơ − w = OA + OB − 2OM khơng phụ −−→ thuộc vào vị trí điểm O Từ lập đẳng thức biểu diễn vectơ OM theo vectơ khác có điểm đầu O −−→ −→ −−→ Bài toán thứ năm: Biểu diễn OM theo OA, OB Nếu thay điều kiện −−→ −−→ toán điều kiện MA = k.MB, k = ta có kết nào? Với toán ban đầu, giáo viên kiểm tra học sinh kĩ sử dụng quy tắc cộng quy tắc trừ vectơ kiểm tra khả phát biểu giả thiết trung điểm đoạn thẳng ngôn ngữ vectơ Tuy nhiên, với cách phát biểu toán mới, học sinh rèn luyện kĩ sử dụng quy tắc cộng, trừ hai vectơ phát kết −−→ −→ −−→ OA + OB Ngồi ra, em tự phát thêm kết thay OM = −−→ −−→ điều kiện toán điều kiện tổng quát MA = k.MB Ví dụ Bài toán ban đầu: Cho tam giác ABC, trọng tâm G, hai trung tuyến BB ′ CC ′ vng góc với Kí hiệu BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh b2 + c2 = 5a2 Bài toán mới: Cho tam giác ABC, ba trung tuyến AA′ , BB ′ , CC ′ cắt trọng tâm G, BB ′ ⊥CC ′ , kí hiệu BC = a, CA = b, AB = c a) Viết đẳng thức độ dài tương đương với đẳng thức ∠BGC = 900 b) Biểu diễn đại lượng đẳng thức theo độ dài a, b, c c) Viết đẳng thức độ dài đại lượng a, b, c tương đương với đẳng thức ∠BGC = 900 Dự kiến hoạt động học sinh: Phương án a) ∠BGC = 900 ⇔ GB + GC = BC 4 2c2 + 2a2 − b2 2c2 + 2a2 − b2 b) GB = mb ⇒ GB = m2b = = ; 9 4 2a2 + 2b2 − c2 2a2 + 2b2 − c2 = GC = mc ⇒ GC = m2c = 9 9 2c2 + 2a2 − b2 2a2 + 2b2 − c2 + = a2 ⇔ b2 + c2 = 5a2 c) 9 Phương án a) ∠BGC = 900 ⇔ GA′ = BC 114 Phát biểu toán từ toán ban đầu chứng minh đẳng thức 2b2 + 2c2 − a2 2b2 + 2c2 − a2 a2 2b2 + 2c2 − a2 = a⇔ = c) ∠BGC = 90 ⇔ 36 ⇔ b2 + c2 = 5a2 Với tốn ban đầu, học sinh chưa nhìn liên hệ giả thiết ′ BB ⊥CC ′ kết luận b2 + c2 = 5a2 , khó khăn việc vận dụng kiến thức học khơng độc lập giải vấn đề Lúc này, giáo viên phân bậc hoạt động, đưa toán với câu hỏi trung gian để kích thích tư học sinh Với cách hỏi mới, giáo viên đưa em vào tình tìm lại dấu hiệu nhận biết tam giác vuông liên quan đến độ dài đoạn thẳng, đẳng thức bình phương độ dài cạnh, đẳng thức độ dài trung tuyến xuất phát từ đỉnh cạnh tương ứng, kiến thức học sinh lớp nên em độc lập giải Cùng vấn đề, học sinh có cách giải khác nhau, phương án phương án Ngoài ra, với cách hỏi giúp em tự tìm điều kiện cần đủ để hai trung tuyến tam giác vng góc với Tùy vào mức độ nhận thức học sinh mà giáo viên đưa tốn với yêu cầu khác Từ toán ban đầu, đưa tốn khác với mức độ cao Bài toán thứ hai: Cho tam giác ABC, ba trung tuyến AA′ , BB ′ , CC ′ cắt trọng tâm G, BB ′ ⊥CC ′ Lập tất đẳng thức có từ đại lượng GA, GB, GC, GA′ , GB ′ , GC ′ , AA′ , BB ′ , CC ′ , a, b, c Với toán thứ hai, học sinh độc lập việc huy động kiến thức có tính chất trọng tâm tam giác, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông, công thức độ dài đường trung tuyến Từ khám phá nhiều kết khác nhau: 1 2b2 + 2c2 − a2 GA′ = GA = AA′ = , 3 1 2c2 + 2a2 − b2 , GB ′ = GB = BB ′ = 3 1 2a2 + 2b2 − c2 GC ′ = GC = CC ′ = , 3 GA2 + GB = a2 , GA′ = a, 2 2 2b + 2c − a = a, b2 + c2 = 5a2 , √ 1√ GB + GC , GA′ = GA = GB + GC Trong hoạt động học tập, giáo viên cho học sinh thảo luận, đưa câu hỏi gợi mở, từ em tích cực, độc lập tìm nhiều kết có liên quan đến Ví dụ Bài tốn ban đầu: Chứng minh định lí cơsin tam giác 1 b) GA′ = ma = 3 115 Nguyễn Sơn Hà Cho tam giác ABC Kí hiệu BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh a = b2 + c2 − 2bc cos A Bài toán mới: Cho tam giác ABC −−→ −→ −→ a) Biểu diễn BC theo AB, AC −−→ b) Biểu diễn BC theo độ dài vectơ −→ −→ AB, AC tích vơ hướng chúng c) Kí hiệu BC = a, CA = b, AB = c Biểu diễn a theo b, c giá trị lượng giác góc A π d) Khi A = ta có kết nào? e) Phát biểu kết tương tự biểu diễn b2 c2 theo cạnh cịn lại giá trị lượng giác góc đối diện Dự kiến hoạt động học sinh: −−→ −→ −→ a) BC = AC − AB −−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ b) BC = AC − AB = AC + AB − 2AC.AB c) BC = AC + AB − 2AC.AB cos A a2 = b2 + c2 − 2bc cos A π d) A = ⇒ cos A = ⇒ a2 = b2 + c2 e) b2 = c2 + a2 − 2ca cos B, c2 = a2 + b2 − 2ab cos C Trong tốn ban đầu, học sinh khơng dễ dàng phát việc sử dụng bình phương vơ hướng vectơ để chứng minh đẳng thức độ dài toán mới, em chủ động sử dụng kiến thức có phép cộng, phép trừ hai vectơ, sử dụng tích vơ hướng hai vectơ, từ khám phá kết Với toán ban đầu, giáo viên kiểm tra học sinh khả sử dụng quy tắc cộng quy tắc trừ hai vectơ, khả biến đổi bình phương vô hướng đẳng thức vectơ, khả vận dụng khái niệm tích vơ hương hai vectơ Tuy nhiên, với tốn mới, giáo viên khơng kiểm tra học sinh kiến thức, kĩ nói mà cịn giúp em tự phát nội dung định lí cơsin tam giác Ngồi ra, học sinh nhận kết đặc biệt định lí Pytago tam giác vng Ví dụ Bài tốn ban đầu: Chứng minh quy tắc hình hộp khơng gian −−→ −→ −−→ −−→ Cho hình hộp ABCD.A′ B ′ C ′ D ′ Chứng minh AC ′ = AB + AD + AA′ Bài tốn mới: Cho hình hộp ABCD.A′ B ′ C ′ D ′ a) Các tứ giác ABCD, ACC ′ A′ hình gì? −→ −→ −−→ b) Tìm liên hệ vectơ AC, AB, AD −−→ −→ −−→ c) Tìm liên hệ vectơ AC ′ , AC, AA′ −−→ −→ −−→ −−→ d) Hãy lập đẳng thức vectơ AC ′ , AB, AD, AA′ 116 Phát biểu toán từ toán ban đầu chứng minh đẳng thức Dự kiến hoạt động học sinh: a) Các tứ giác ABCD, ACC ′ A′ hình bình hành b) ABCD hình bình hành −→ −→ −−→ ⇒ AC = AB + AD c) A′ ACC ′ hình bình hành −−→ −→ −−→ ⇒ AC ′ = AC + AA′ d) Sử dụng hai kết qả trên, ta có −−→′ −→ −−→ −−→′ AC = AB + AD + AA Thông qua tốn mới, học sinh chủ động ơn lại kiến thức dấu hiệu nhận biết hình bình hành đẳng thức vectơ liên quan đến hình bình hành Từ đó, học sinh phát kết quy tắc hình hộp Ví dụ Bài tốn ban đầu: Cho tứ diện OABC có OA⊥OB, OB⊥OC, OC⊥OA Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ABC Chứng minh 1 1 = + + OH OA2 OB OC Bài toán mới: Cho tứ diện OABC có OA⊥OB, OB⊥OC, OC⊥OA Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ABC Gọi K giao điểm AH BC theo OA, OK a) Biểu diễn OH b) Biểu diễn theo OA, OB, OC OH Dự kiến hoạt động học sinh: a) OA⊥ (OBC) ⇒ OA⊥OK 1 ⇒ = + 2 OH OA OK b) BC⊥ (OAH) ⇒ BC⊥OK 1 ⇒ = + 2 OK OB OC 1 1 ⇒ = + + 2 OH OA OB OC Thay chứng minh đẳng thức độ dài đoạn thẳng không thuộc mặt phẳng, giáo viên yêu cầu học sinh biểu diễn nghịch đảo bình phương độ dài đoạn thẳng theo độ dài hai đoạn thẳng khác ba đoạn thẳng thuộc tam giác Điều giúp em độc lập việc huy động kiến thức hình học liên quan đến đẳng thức có nghịch đảo bình phương độ dài, em chủ động ôn lại hệ thức lượng tam giác vuông, ôn lại cách chứng minh quan hệ vuông góc khơng gian Việc đưa tốn từ toán ban đầu giúp học sinh chủ động vận dụng kiến thức có 117 Nguyễn Sơn Hà Kết luận Giáo viên chủ động đưa toán để tăng cường hoạt động học tập học sinh Tùy vào đối tượng học sinh nội dung dạy học, giáo viên phân bậc hoạt động để đưa toán phù hợp, giúp em có niềm tin khả thân, hứng thú học tập, từ tích cực, độc lập học tập Phát biểu toán làm cho học sinh hút vào hoạt động giáo viên đạo tự khám phá kết thụ động tiếp thu tri thứ có giáo viên áp đặt Với biện pháp nêu, người thầy không rèn luyện cho học sinh khả giải vấn đề mà rèn luyện cho học sinh khả phát vấn đề mới, tạo kết Giáo viên đưa toán đẳng thức nâng cao yêu cầu học sinh, chuyển từ nhiệm vụ giải vấn đề sang nhiệm vụ phát vấn đề giải quyến vấn đề.Theo Einstein, “việc phát vấn đề nhiều quan trọng việc giải vấn đề” Phát vấn đề yếu tố quan trọng để học sinh rèn luyện tư sáng tạo (theo: Tôn Thân, 1995 Xây dựng hệ thống câu hỏi tập nhằm bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh giỏi Toán trường trung học sở Việt Nam Luận án phó tiến sĩ khoa học tâm lí, Viện khoa học giáo dục) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Bá Hoành, 2010 Đổi phương pháp dạy học chương trình sách giáo khoa Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội, tr 81-82 ABSTRACT Addressing new problems derived from the original problem to verify high school student independence enhancement Promoting active, independent school students is an important part of the innovation-oriented mathematics teaching This paper provides a number of measures that can enhance student independence through new problems derived from the original problem that will verify the solution of that original problem 118 ... đưa học sinh vào tình tự tìm đẳng thức, phát chứng minh đẳng thức Chúng xin đưa số biện pháp sáng tạo toán từ toán ban đầu chứng minh đẳng thức nhằm nâng cao tính tích cực, độc lập cho học sinh: ... Thay toán chứng minh đẳng thức thành tốn tính giá trị biểu thức - Thay toán chứng minh đẳng thức thành toán chứng minh giá trị biểu thức khơng phụ thuộc vào ẩn tốn - Thay toán chứng minh đẳng thức. . .Phát biểu toán từ toán ban đầu chứng minh đẳng thức Có bốn dấu hiệu đặc trưng phương pháp dạy học phát huy tính tích cực cho học sinh: - Dạy học thơng qua tổ chức hoạt động học tập cho học sinh