Điểm nằm giữa hai điểm. Tia.

HH6.CHUYÊN ĐỀ – NHỮNG HÌNH HỌC CƠ BẢN Chủ đề 8.1: Điểm nằm hai điểm Tia PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT Điểm, đường thẳng hình học khơng định nghĩa Hình ảnh điểm: dấu chấm nhỏ; Hình ảnh đường thẳng: tia sáng Vị trí điểm đường thẳng M m  Điểm A thuộc đường thẳng m, kí hiệu A  m  Điểm M không thuộc đường thẳng m, kí hiệu M  m A Ba điểm thẳng hàng chúng thuộc đường thẳng Ba điểm không thẳng hàng chúng không thuộc đường thẳng Trong ba điểm thẳng hàng, có điểm có điểm nằm hai điểm cịn lại Nếu có điểm nằm hai điểm khác ba điểm thẳng hàng Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị chua O lầ tia gốc O Khi đọc (hay viết) tên tia, phải đọc (hay viết) tên gốc trước Ví dụ: Tia Ox O x Hai tia chung gốc Ox Oy tạo thành đường thẳng xy gọi hai tia đối Mỗi điểm đường thẳng gốc chung hai tia đối y x Ví dụ: Hai tia Ox Oy hai tia đối O Nếu điểm M thuộc tia Ox (M khác O) hai tia Ox Om trùng x O M Xét điểm A, O, B A O B Nếu hai tia OA, OB đối điểm O nằm hai điểm A B.Ngược lại, O nằm A B: Hai tia OA, OB đối Hai tia AO, AB trùng nhau; Hai tia BO, BA trùng PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Nhận biết điểm thuộc đường thẳng đường thẳng qua điểm I Phương pháp giải - Xét xem đường thẳng có điểm điểm thuộc đường thẳng đường thẳng qua điểm II.Bài tốn Bài 1: Xem hình bên trả lời câu hỏi sau: a) Điểm A thuộc đường thẳng nào? b) Điểm B thuộc đường thẳng nào? Viết câu trả lời m ngôn ngữ thông thường kí hiệu n p B c) Những đường thẳng qua điểm B? Những A q C đường thẳng qua điểm C? Ghi kết kí hiệu c) Điểm D nằm đường thẳng không nằm đường thẳng nào? Ghi kết kí hiệu Lời giải a) Điểm A thuộc hai đường thẳng n q: A  n; A  q Điểm B thuộc ba đương thẳng m, n p: B  n; B  m; B  p b) Ba đường thẳng m, n, p qua điểm B: B  n; Bm;B  p Hai đường thẳng m q qua điểm C: C  m; C  q c) Điểm D nằm đường thẳng q không nằm ba đường thẳng m, n, p: D  q; D  n; D  m; D  p (2) (3) Bài 2: Cho hình vẽ bên có đường thẳng đánh số (1); (2); (3) điểm A; B Hãy xác định đường thẳng (1) A đường thẳng a; b; c biết rằng: a) Đường thẳng a không qua điểm A không qua điểm B b) Đường thẳng b không qua điểm A c) Đường thẳng C không qua điểm B Lời giải a) Đường thẳng a đường thẳng đánh số (2); b) Đường thẳng b đường thẳng đánh số (3); c) Đường thẳng c đường thẳng đánh số (1) Bài 3: Ở hình bên có điểm đường thẳng chưa đặt tên Hãy điền chữ A, B, C a, b vào vị trí hình biết rằng: a) Điểm A không nằm đường thẳng nào; b) Điểm B nằm đường thẳng; c) Đường thẳng a không qua điểm B Lời giải B a C A b B Bài 4: Xem hình bên chọn kí hiệu ;  từ qua, không qua điền vào chỗ trống cho b hợp nghĩa: D a) C a; C b; a b) D a; D b; C O c) Đường thẳng a D; d) Đường thẳng b O Lời giải a) C  a; C  b b) D  a; D  b c) Đường thẳng a không qua D d) Đường thẳng b qua O Bài 5: Xem hình bên với đường thẳng a, b, c, d Q a điểm M, N, P, Q trả lời: P a) Điểm thuộc đường thẳng? b b) Điểm thuộc hai đường thẳng? M c c) Điểm thuộc ba đường thẳng? N d d) Đường thẳng qua điểm? e) Đường thẳng qua ba điểm? Lời giải a) Điểm P thuộc đường thẳng c b) Điểm M thuộc hai đường thẳng b c; Điểm N thuộc hai đường thẳng b d c) Điểm Q thuộc ba đường thẳng a, c d d) Đường thẳng a qua điểm Q e) Đường thẳng c qua ba điểm M, P Q Dạng 2: Vẽ điểm, vẽ đường thẳng theo số điều kiện cho trước I Phương pháp giải Nên vẽ đường thẳng trước tùy theo điểm thuộc đường thẳng hay không thuộc đường thẳng mà vẽ điểm sau II.Bài toán Bài 1: Vẽ ba điểm A, B, C ba đường thẳng a, b, c Lời giải a c A C b B Bài 2: Vẽ hình theo cách diễn đạt lời sau: a) Điểm C nằm đường thẳng a b) Điểm B nằm đường thẳngb Lời giải a C B b Bài 3: Vẽ hình theo kí hiệu sau: A  p; B  q Lời giải p A q B Bài 4: Cho đường thẳng m, điểm A thuộc đường thẳng m điểm B khơng thuộc m a) Vẽ hình viết kí hiệu b) Có điểm khác điểm A mà thuộc đường thẳng m không? Hãy vẽ hai điểm kí hiệu c) Có điểm không thuộc đường thẳng m mà khác với điểm B khơng? Hãy vẽ hai điểm kí hiệu a) A  m; B  m b) Có điểm khác điểm A mà E B Lời giải m A F C D thuộc đường thẳng m, chẳng hạn hai điểmC D: C  m; D  m c) Có điểm khác điểm B mà khơng thuộc đường thẳng m, chẳng hạn, hai điểm E F: E  m; F  m Bài 5: Vẽ hai đường thẳng p, q điểm C, D, E thỏa mãn ác điều kiện sau: a) C  p C  q b) D  p D  q c) E  p E  q Lời giải q C p E D Bài 6: Vẽ hai đường thẳng m, n điểm G, H, I cho: a) G, H  m; I  m I  n b) G, H , I  m I  n Lời giải n n I I m m G G H H b) a) Bài 7: Dùng kí hiệu để ghi diễn đạt sau vẽ hình minh họa: a) Điểm H điểm I nằm đường thẳng m cịn điểm K nằm ngồi đường thẳng m b) Đường thẳng n qua điểm A không qua điểm B Lời giải a) H , I  m; K  m K m H I b) A  n; B  n B n A Bài 8: Vẽ đường thẳng a điểm A, B thuộc a a) Nêu cách vẽ điểm M thẳng hàng với hai điểm A B b) Nêu cách vẽ điểm N không thẳng hàng với hai điểm A B Lời giải a) Vẽ điểm M thuộc đường thẳng a N không trùng với hai điểm A, B a b) Vẽ điểm N không thuộc đường thẳng a A B M Bài 9: Vẽ điểm C, D, E, F, G không thẳng hàng điểm C, D, E thẳng hàng; ba điểm E, F, G thẳng hàng Lời giải G F C D E Bài 10: Hãy vẽ sơ đồ trồng 16 thành hàng, hàng Lời giải Bài 11: Hãy vẽ điểm O, M, N thẳng hàng cho điểm M, N khơng nằm hai điểm cịn lại cho biết câu sau, câu đúng, câu sai? a) Điểm O nằm hai điểm M N; b) Hai điểm O N nằm phía điểm M; c) Hai điểm M N nằm phía điểm O; d) Hai điểm O M nằm khác phía điểm N Lời giải a) Đúng; M O N b) Đúng; c) Sai; d) Sai Dạng 3: Nhận biết ba điểm thẳng hàng I Phương pháp giải - Muốn biết ba điểm có thẳng hàng hay khơng thẳng hàng ta cần xem ba điểm có thuộc đường thẳng hay không thuộc đường thẳng - Muốn vẽ điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng lấy điểm đường thẳng - Muốn vẽ điểm không thẳng hàng vẽ đường thẳng lấy hai điểm đường thẳng, điểm cịn lại lấy ngồi đường thẳng II.Bài tốn Bài 1: Xem hình bên gọi tên: D B a) Tất ba đểm thẳng hàng; E G A C b) Hai ba điểm không thẳng hàng Lời giải a) Các ba điểm thẳng hàng hình là: A, E, B; B, C, D; D, E, G b) Hai ba điểm không thẳng hàng là: A, B, C; A, B, D Ngoài cịn 15 ba điểm khơng thẳng hàng khác Bài 2: Vẽ: a) điểm M, N, P thẳng hàng; b) điểm C, E, D thẳng hàng cho điểm E nằm giữa; c) điểm T, Q, R không thẳng hàng Lời giải R M N P C E T D Q c) a) b) Bài 3: Vẽ đường thẳng a lấy điểm E, F, G, H nằm đường thẳng Lấy điểm O  a a) Kể tên điểm thẳng hàng; b) Kể tên điểm không thẳng hàng Lời giải O a) Có trường hợp điểm thẳng hàng là: a E, F, G; E, F, H; E, G, H; F, G, H E F G H b) Có trường hợp điểm không thẳng hàng là:O, E, F; O, E, G; O, E, H; O, F, G; O, F, H; O, G, H Dạng 4: Đường thẳng qua hai điểm I.Phương pháp giải Vận dụng tính chất “có đường thẳng đường thẳng qua hai điểm” II.Bài toán Bài 1: Lấy điểm A, B, C, D khơng có ba điểm thẳng hàng Kẻ đường thẳng qua cặp điểm Có tất đường thẳng? Đó đường thẳng nào? Lời giải Qua điểm A điểm B, C, D có ba đường thẳng AB, AC, AD Qua điểm B mối điểm A C, D có hai đường thẳng BC, BD (khơng qua B A) Qua điểm C D cịn lại có đường thẳng CD (khơng qua A, B) D C Bài 2: Lấy điểm M, N, P, Q ba điểm M, N, P thẳng hàng điểm Q nằm đường thẳng Kẻ đương thẳng qua cặp điểm Có đường thẳng (phân biệt), viết tên đường thẳng Lời giải Qua ba điểm M, N, P thẳng hàng có đường thẳng Q Xét điểm Q với điểm M, N, P có đường thẳng qua cặp điểm QM, QN, QP Vậy có tất đường thẳng phân biệt qua cặp M điểm là: MN, QM, QN, QP N P Bài 3: a) Tại khơng nói: “Hai điểm thẳng hàng”? b) Cho ba điểm A, B, C trang giấy thước thẳng (không chia khoảng) Phải kiểm tra để biết ba điểm có thẳng hàng hay khơng? Lời giải a) Qua hai điểm có đường thẳng nên ta khơng nói hai điểm thẳng hàng b) Đặt cạnh thước qua hai điểm, chẳng hạn A B Nếu điểm C nằm cạnh thước ba điểm thẳng hàng, trái lại ba điểm khơng thẳng hàng Bài 4: Cho trước điểm A, B, C, D, E khơng có điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ đường thẳng đường thẳng nào? Lời giải Có 10 đường thẳng: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE A E B D C Bài 5: Cho trước điểm M, N, P, Q, R có điểm P, Q, R thẳng hàng ngồi khơng cịn điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ đường thẳng đường thẳng nào? Lời giải Có đường thẳng là: PM, PN, PQ, MQ, MR, RN, MN, NQ M P R Q N Bài 6: Cho trước bốn điểm A, B, C, D Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ đường thẳng? Lời giải Xét trường hợp: - Cả điểm thẳng hàng có đường thẳng A C B D - Có điểm thẳng hàng có đường thẳng A C B D - Khơng có điểm thẳng hàng có đường thẳng A B D C Dạng 5: Chứng minh nhiều điểm thẳng hàng I.Phương pháp giải - Chứng minh điểm thuộc hai (hay nhiều) đường thẳng mà đường thẳng có hai điểm chung II.Bài toán Bài Cho bốn điểm A, B, C, D cho C nằm hai điểm A D; điểm D nằm hai điểm C B Hãy chứng tỏ bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng Lời giải A C D B Theo đề bài, điểm C nằm hai điểm A D nên ba điểm A, C, D nằm đường thẳng Điểm D nằm hai điểm C B nên ba điểm C, B, D nằm đường thẳng Hai đường thẳng có hai điểm chung C, D nên chúng phải trùng nhau, suy điểm A, B, C, D thẳng hàng Bài Cho điểm A, B, C, D điểm A, B, C thẳng hàng; điểm B, C, D thẳng hàng Hỏi điểm A, B, C, D có thẳng hàng khơng? Vì sao? Lời giải A B C D Ba điểm A, B, C thẳng hàng nên chúng nằm đường thẳng Ba điểm B, C, D thẳng hàng nên chúng nằm đường thẳng Hai đường thẳng có hai điểm chung B, C nên chúng phải trùng nhau, suy bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng Bài Cho điểm E, F, G, H, O cho: Ba điểm E, F, G thẳng hàng; ba điểm F, G, H thẳng hàng; ba điểm E, F, O không thẳng hàng a) Hỏi điểm E, F, G, H có thẳng hàng khơng? Vì sao? b) Hỏi điểm E,H, O có thẳng hàng khơng? Vì sao? Lời giải E F G H O a) Ba điểm E, F, G thẳng hàng nên chúng nằm đường thẳng Ba điểm F, G, H thẳng hàng nên chúng nằm đường thẳng mà hai đường thẳng có hai điểm chung F G nên hai đường thẳng phải trung nên bốn điểm E, F, G, H thẳng hàng b) Ta có E, F, G, H thẳng hàng theo chứng minh nên bốn điểm E, F, G, H nằm đường thẳng Mặt khác theo ta có E, F, O khơng thẳng hàng nên điểm O không nằm đường thẳng chứa bốn điểm E, F, G, H Suy ba điểm E, H, O không thẳng hàng Bài 4: Vẽ năm điểm A, B, C, D, E cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, ba điểm B, C, D thẳng hàng, ba điểm B, C, E không thẳng hàng a) Ba điểm A, B, D có thẳng hàng hay không? b) Kẻ đường thẳng, đường thẳng qua hai điểm nói Kể tên đường thẳng hình vẽ (các đường thẳng trùng kể lần) Lời giải E A B C D a) Ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng nên ba điểm nằm đường thẳng Ba điểm B, C, D thẳng hàng nên ba điểm nằm đường thẳng Suy hai đường thẳng có hai điểm chung B C nên hai đường thẳng trùng Vậy điểm A, B, D thẳng hàng b) Các đường thẳng hình vẽ là: AE, BE, CE, DE đường thẳng qua điểm A, B, C, D gọi chung đường thẳng AD Dạng 6: Vận dụng khái niệm điểm nằm giữa, điểm nằm khác phía, nằm phía I.Phương pháp giải Dựa vào nhận xét: Nếu điểm O nằm hai điểm A B ta nói: - Hai điểm A B nằm khác phía điểm O - Hai điểm O B nằm phía điểm A - Hai điểm O A nằm phía điểm B II.Bài tốn Bài Xem hình điền vào chỗ trống phát biểu sau: a) Điểm nằm hai điểm M, N M b) Hai điểm R, N nằm điểm M R N c) Hai điểm nằm khác phía Lời giải a) R b) Cùng phía c) M N; R Bài Xem hình gọi tên điểm: a) Nằm hai điểm M P a M b) Không nằm hai điểm N Q N P Q c) Nằm hai điểm M Q Lời giải a) Điểm N b) Điểm M c) Điểm N P Bài Vẽ điểm A, B,O, I thuộc đường thẳng m cho đồng thời thỏa mãn điều kiện sau: A không nằm O I (1) O không nằm B I (2) I không nằm A O (3) B không nằm O I (4) Bằng lập luận chứng tỏ điểm O nằm hai điểm A I; điểm I nằm hai điểm O B Lời giải m A O I B - Xét điểm thẳng hàng A, O, I ta có A khơng nằm hai điểm O I (1); I không nằm hai điểm A O (3) Vậy O nằm hai điểm A I - Xét ba điểm thẳng hàng O, I, B ta có O không nằm hai điểm B I (2); B không nằm hai điểm O I (4) Vậy I phải nằm hai điểm O B Bài Hãy vẽ điểm O, M, N thẳng hàng cho điểm M, N không nằm hai điểm lại cho biết câu sau, câu đúng, câu sai? a) Điểm O nằm hai điểm M N; b) Hai điểm O N nằm phía điểm M; c) Hai điểm M N nằm phía điểm O; d) Hai điểm O M nằm khác phía điểm N Lời giải m a) Đúng M O N b) Đúng c) Sai d) Sai Bài Vẽ điểm A, B, M, N cho điểm A nằm M B; điểm N nằm A B a) Hãy cho biết điểm A cịn nằm hai điểm nào? b) Tìm điểm nằm khác phía điểm A? Lời giải M A N B a) Điểm A nằm giứa M N b) Hai điểm M N; hai điểm M B nằm khác phía điểm A Bài Cho điểm C, D, O Biết điểm C, D khơng nằm hai điểm cịn lại Hãy nêu điều kiện để: - Điểm O nằm hai điểm C D; - Điểm O không nằm hai điểm C D Lời giải - Xét điểm C, D, O biết C, D không nằm hai điểm lại, để điểm O nằm hai điểm C D ba điểm C, D, O phải thẳng hàng - Xét điểm C, D, O biết C, D không nằm hai điểm cịn lại, để điểm O khơng nằm hai điểm C D ba điểm C, D, O phải không thẳng hàng Bài Cho biết điểm O nằm hai điểm M N Điền vào chỗ trống phát biểu sau: a) Hai điểm O N nằm phía b) Hai điểm nằm phía đối vơí điểm N c) Hai điểm nằm khác phía Lời giải m a) Điểm M M b) M O c) M N ; điểm O O N Dạng Nhận biết điểm nằm hai điểm khác I.Phương pháp giải - Dùng nhận xét hai tia OA, OB đối gốc O nằm hai điểm A, B II.Bài toán Bài Vẽ tia AB Lấy điểm M thuộc tia AB Hỏi: a) Hai điểm B, M phía điểm A hay nằm khác phía điểm A? b) Điểm M nằm hai điểm A, B hay điểm B nằm hai điểm A, M? Lời giải a) Hai điểm B M nằm phía điểm A A B M A M B b) Nếu điểm M thuộc tia đối tia BA hai tia BM, BA đối điểm B nằm hai điểm A B Bài Vẽ đường thẳng xy Lấy điểm O đường thẳng xy Lấy điểm m thuộc tia Oy Lấy điểm N thuộc tia Ox a) Viết tên hai tia đối gốc O b) Trong ba điểm M, O, N điểm nằm hai điểm lại? Lời giải x N O y M a) Hai tia đối gốc O Ox Oy b) Điểm M thuộc tia Oy nên tia OM trùng với tia Oy.Điểm N thuộc tia Ox nên tia ON trùng với tia Ox Suy hai tia OM, ON đối điểm O nằm hai điểm M N Bài Cho hai tia đối AB AC a) Gọi M điểm thuộc tia AB Trong ba điểm M, A, C điểm nằm hai điểm lại? b) Gọi N điểm thuộc tia AC Trong ba điểm N, A, B điểm nằm hai điểm lại? Lời giải B M A N C a) M thuộc tia AB nên tia AM trùng với tia AB Hai tia AB AC đối nên hai tia AM AC đối điểm A nằm hai điểm M C b) N thuộc tia AC nên tia AN trùng với tia AC Hai tia AB AC đối nên hai tia AN AB đối điểm A nằm hai điểm N B Bài Cho điểm O nằm hai điểm A B; điểm M nằm hai điểm A O; điểm N nằm hai điểm B O a) Nêu tên tia trùng gốc O b) Chứng tỏ điểm O nằm hai điểm M N Lời giải A M O N B a) Điểm M nằm hai điểm A O nên hai tia OM OA trùng nhau.(1) b) Điểm N nằm hai điểm B O nên hai tia ON OB trùng (2) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA OB đối (3) Từ (1), (2), (3) suy hai tia OM, ON đối điểm O nằm hai điểm M N Bài Cho điểm O nằm hai điểm A B; điểm C nằm hai điểm O B a) Kể tên hai tia trùng gốc O b) Tại khẳng định điểm O nằm hai điểm A C? Lời giải A O B C a) Điểm C nằm hai điểm O, B nên hai tia OC OB trùng (1) b) Điểm O nằm hai điểm A B nên OA OB hai tia đối (2) Từ (1) (2) suy hai tia OA OC hai tia đối điểm O nằm hai điểm A C Bài Vẽ điểm D E cho D nằm giữ C E E nằm D F a) Vì khẳng định điểm C, D, E, F thẳng hàng b) Kể tên hai tia trùng gốc E c) Vì khẳng định điểm E nằm C F Lời giải C D a) D nằm C E nên ta có điểm D, C, E thẳng hàng (1) E F E nằm hai điểm D F nên điểm E, D, F thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy hai đường thẳng có hai điểm chung D E nên hai đường thẳng phải trùng Vậy điểm C, D, E, F thẳng hàng b) Điểm D nằm hai điểm C E nên hai tia ED EC trùng (3) c) E nằm D F nên DE DF đối (4) Từ (3) (4) suy E nằm C F HẾT ... a) M thuộc tia AB nên tia AM trùng với tia AB Hai tia AB AC đối nên hai tia AM AC đối điểm A nằm hai điểm M C b) N thuộc tia AC nên tia AN trùng với tia AC Hai tia AB AC đối nên hai tia AN AB... Điểm M nằm hai điểm A O nên hai tia OM OA trùng nhau. (1) b) Điểm N nằm hai điểm B O nên hai tia ON OB trùng (2) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA OB đối (3) Từ (1) , (2), (3) suy hai tia OM,... a) Điểm C nằm hai điểm O, B nên hai tia OC OB trùng (1) b) Điểm O nằm hai điểm A B nên OA OB hai tia đối (2) Từ (1) (2) suy hai tia OA OC hai tia đối điểm O nằm hai điểm A C Bài Vẽ điểm D E cho