Tài liệu Nhập môn Quang học dẫn sóng và sợi quang học doc

Điều kiện của việc truyền dẫn sóng sóng TE Hình I-1 đặt ra các giả thuyết tính toán trong trường hợp một sóng phân cực song song với mặt phẳng của linh kiện dẫn sóng sóng TE.. Trường đ

Trung tâm Khoa học Orsay – Nhà 503

91403 Orsay cedex

Jean.michel.jonathan@iota.u-psud.fr

Sau khi theo học Maîtrise về Vật lý cơ bản ở Trường Đại Học Paris VI và DEA về Quang học kết hợp ở Trường Đại Học Paris–Sud (Orsay), Jean-Michel Jonathan bảo vệ năm 1981 luận án Tiến sĩ Quốc gia với công trình nghiên cứu về các ứng dụng của hiệu ứng Weigert (hiện tượng lưỡng sắc bởi cảm ứng quang học) vào xử lý thông tin bằng phương pháp quang học

Ông thực hiện giai đoạn đầu sự nghiệp nghiên cứu của mình ở Trung tâm Quốc gia Nghiên cứu Khoa học Pháp (CNRS), trong Phòng Thí nghiệm Quang học của Giáo sư Maurice Françon tại Paris và sau đó ông về làm việc trong nhóm nghiên cứu của Alain Brun và Gérald Roosen ở Viện Quang học Orsay Khi đó ông nghiên cứu về hiệu ứng quang khúc xạ (photoréfractif), hiện tượng mà ông đã đóng góp vào việc mô hình hoá, ở Viện Quang học

và có 3 năm nghiên cứu trong nhóm của Robert W Hellwarth, ở Trường Đại Học Nam California, tại Los Angeles Nhận chức vụ Giám đốc Nghiên cứu của CNRS, ở Viện Quang học, ông làm việc trong nhóm của Gérald Roosen, về sự mở rộng các tính chất quang khúc

xạ của titanate baryum ở trong vùng phổ hồng ngoại gần và ứng dụng của nó trong việc thực hiện các gương dùng liên hợp pha tự bơm (miroirs à conjugaison de phase auto-pompés) Sau đó, ông đóng góp vào việc thiết kế các bộ cộng hưởng laser mới theo cơ chế tự tổ chức (auto-organisées) dùng các hôlôgram động lực (hologrammes dynamiques) Song song với hoạt động nghiên cứu khoa học, ông trở thành người phụ trách của DEA « Quang học và Phôtônic » (là chương trình đào tạo các nghiên cứu sinh tương lai) của Trường Đại Học Paris-Sud

Năm 1999, ông rời CNRS để trở thành Giáo sư đại học và Phó hiệu trưởng của Trường Đại học Kỹ thuật Quang học (Ecole Supérieure d’Optique) Ông giảng dạy các hiệu ứng điện-quang và hiệu ứng quang âm, quang học dẫn sóng và quang học phi tuyến Từ tháng 9 năm

2003, ông là Hiệu trưởng Trường Đại học Kỹ thuật Quang học

Từ năm 1995 đến năm 2003, ông là thành viên của hội đồng quản trị và sau đó là Chủ tịch của Hội Quang học Pháp

MỤC LỤC MỤC LỤC

Chương I Giới thiệu chung và các khái niệm cơ bản

1 Tổng quan: linh kiện dẫn sóng (waveguide) dùng gương

1.1 Điều kiện của việc truyền dẫn (sóng TE)

1.2 Cấu trúc của các trường dẫn

1.3 Sự tán sắc của linh kiện dẫn sóng (dispersion du guide)

1.4 Tính trực giao của các mode dẫn sóng

1.5 Số lượng các mode

2 Linh kiện dẫn sóng điện môi phẳng đối xứng

2.1 Dẫn sóng bằng phản xạ toàn phần

2.2 Điều kiện dẫn sóng (đối với TE)

2.3 Các hằng số lan truyền và số lượng mode (đối với TE)

2.4 Phân bố của trường (đối với TE)

2.5 Quan hệ của sự tán sắc và tốc độ nhóm

Chương II Điện từ trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng

1 Khái niệm chung

1.1 Các phương trình Maxwell

1.2 Phân bố ngang của trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng

1.3 Các mode TE và TM của linh kiện dẫn sóng

2 Linh kiện dẫn sóng có hố chiết suất (guide à saut indice)

2.1 Phương trình truyền các mode TE

2.2 Mode dẫn TE

2.3 Xác định đồ thị của các mode dẫn sóng TE

2.4 Chiết suất hiệu dụng và hằng số lan truyền chuẩn hóa

2.5 Các mode TM của linh kiện dẫn sóng phẳng có hố chiết suất

2.6 Tính lưỡng chiết của linh kiện dẫn sóng phẳng hố chiết suất 2.7 Tính ngang của trường dẫn sóng

2.8 Công suất được truyền tải (puissance transportée) bởi mode

2.9 Kích thích các mode dẫn sóng

3 Linh kiện dẫn sóng chiết suất bậc bai

3.1 Mode của linh kiện dẫn sóng bậc hai

3.2 Kết hợp (couplage) của một sóng gauss

3.3 Tán xạ giữa các mode (inter-modes) trong linh kiện dẫn sóng bậc hai

4 Khái niệm về dẫn sóng yếu

4.1 Phương trình truyền sóng

4.2 Các thành phần ngang và dọc

4.3 Gần đúng của sự truyền dẫn yếu

Chương III Sợi quang học

2 Gần đúng Gausse của mode LP01 và các ứng dụng của nó

2.1 Sự tương đương của hai sợi quang học có bán kính khác nhau

2.2 Sự mất mát bởi kết hợp giữa hai sợi

3 Tán xạ và sự suy giảm trong một sợi quang học đơn mode

3.1 Vận tốc nhóm

3.2 Độ tán sắc liên quan đến linh kiện dẫn

3.3 Độ tán sắc gây bởi vật liệu

3.4 Độ tán sắc toàn phần của sợi quang

Chương IV Kết hợp của các mode

1 Lý thuyết của các mode kết hợp

1.1 Môi trường không nhiễu loạn

1.2 Môi trường nhiễu loạn

1.3 Giải phương trình nhiễu loạn

1.4 Khái niệm về kết hợp cộng hưởng

2 Kết hợp giữa các linh kiện dẫn sóng

2.1 Kết hợp giữa hai linh kiện dẫn sóng

2.2 Trường hợp hai linh kiện dẫn sóng giống nhau

2.3 Ước lượng các hằng số kết hợp

2.4 Các ví dụ

3 Kết hợp bằng cách tử

3.1 Kết hợp đ`ồng hướng của hai mode được dẫn

3.2 Kết hợp của một mode được dẫn và một mode bức xạ

3.3 Kết hợp ngược chiều

Chương I Giới thiệu chung và các khái niệm cơ bản

1 Tổng quan: linh kiện dẫn sóng (waveguide) dùng gương

Sự nghiên cứu về một mặt phẳng dẫn tạo bởi hai mặt phản xạ kim loại giả thiết là

phẳng tuyệt đối, song song, cách nhau một khoảng d, cho phép đưa ra những khái niệm quan

trọng sẽ sử dụng ở những phần sau

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

θ

d/2

x y

Hình I-1 Hình học của linh kiện dẫn sóng dùng gương và điều kiện dẫn

Như trên hình I-1, một mô tả khá thô sơ là xét các phản xạ liên tiếp của một chùm sáng hẹp trên hai thành phản xạ lý tưởng cho mọi góc θ giữa chùm sáng này và hướng truyền

trung bình z Cách mô tả này khiến người ta nghĩ một cách sai lệch rằng mọi chùm sáng đều

có thể truyền đi nhờ một dẫn sáng như vậy Nhưng điều đó chỉ thỏa mãn khi chiều dày d của

linh kiện dẫn sóng lớn hơn độ dài kết hợp của ánh sáng Còn trong trường hợp ngược lại thì cần phải tính đến sự giao thoa giữa các sóng phẳng gần như đơn sắc, mà các tia sáng thể hiện

hướng truyền sóng Như vậy, sóng phẳng tiến lên ở phía sau điểm B xuất phát từ sóng phẳng tiến lên đến điểm A; một phần bởi một lộ trình có quang lộ (AB’), một phần bởi lộ trình có quang lộ AB thông qua hai lần phản xạ (hình I-1) Vì vậy hai quang lộ này cần phải khác nhau

một số nguyên lần của bước sóng

1.1 Điều kiện của việc truyền dẫn sóng (sóng TE)

Hình I-1 đặt ra các giả thuyết tính toán trong trường hợp một sóng phân cực song song với mặt phẳng của linh kiện dẫn sóng (sóng TE) Sự khác nhau về độ dài hình học có thể viết như sau:

'

φλ

Chúng ta cũng có thể diễn đạt lại điều kiện đối với góc θ này thành điều kiện cho các vectơ sóng tương ứng kr1

và kr2 của các sóng phẳng đi lên và đi xuống

và βmlà thành phần dọc (theo x), ta tìm được :

m m

m ym

m m

k k

k k

θ

θ β

sin

cossin

cos

0

0 2

Hình I-2 Các thành phần dọc và ngang của hằng số lan truyền của các sóng dẫn

Trước tiên chúng ta nhận thấy rằng, hai sóng ứng với cùng một giá trị m sẽ có cùng

hằng số lan truyền dọc và các hằng số lan truyền ngang đối nhau Hình vẽ I-2 cho chúng ta biết các nghiệm được thể hiện bằng hình Nó cho ta biết rằng thành phần ngang của hằng số lan truyền là bội của

d

0

λ

π và hằng số lan truyền dọc nhận các giá trị nằm giữa 0 và k0

1.2 Cấu trúc của các trường dẫn

Độ lệch pha π khi phản xạ chỉ ra rằng trường được tạo thành do sự chồng chập của các sóng phẳng có cùng hằng số lan truyền dọc βm bằng 0 Điều kiện đồng bộ pha (1.2) là kết quả của việc hai sóng này có hằng số lan truyền ngang đối nhau (hệ thức 1.4) Sự chồng chập của

hai sóng phẳng này tạo ra một cấu trúc trường có các đặc trưng ngang được xác định bởi k ym

và lan truyền theo z một cách không đổi về không gian với hằng số lan truyền βm

Người ta gọi đó là một mode truyền: một sóng ngang truyền không biến dạng theo

hướng z Cấu trúc này có thể được đặc trưng một cách đơn giản từ hai sóng phẳng đang nói đến:

Nếu m lẻ : Erx( )y,z =2A m cosk ym y exp−iβm z

Nếu m chẵn : Erx( )y,z =2i A m sink ym y exp−iβm z

(1.6)

Hình I-3 a) mode m = 1,2,3 ; b) chu kỳ lộ trình của một tia sáng

Như hình I-3 ở trên cho thấy, các mode lẻ thì đối xứng và các mode chẵn thì bất đối xứng Các hệ thức (1.6) thể hiện rõ các mode như là các cẩu trúc ngang truyền không biến

dạng theo z m là giá trị của số cực trị mà ta quan sát được

1.3 Sự tán sắc của linh kiện dẫn sóng (dispersion du guide)

2

2 2 2

2 2

d

m c

m

πω

=

Ta cũng có thể tìm thấy kết quả này khi tính tốc độ lan truyền của một thông tin được mang bởi một tia sáng bằng hình học Thực vậy, hình I-3-b chỉ ra rằng để vượt qua khoảng cách l=2dcotθm thì cần một thời gian

c

d t

m

2sinθ

1.4 Tính trực giao của các mode dẫn sóng

Đối với phần tiếp theo, một điều quan trọng cần lưu ý là các mode được định nghĩa bởi các hệ thức (1.6) trực giao với nhau Thực vậy :

nếu l ≠ m, khi ấy :

2 / cos sin 0

a m = 2 m = 2sin π

m

m m

2 /

2 /

r

(1.14)

được gọi là tích phân xen phủ giữa trường trong linh kiện dẫn sóng và mode m

Chúng ta chú ý rằng nếu như mode (theo định nghĩa) là một cấu trúc ngang bất biến khi lan truyền, thì sự chồng chập của hai mode lại không có tính chất này Ví dụ như cấu trúc

thu được từ sự chồng chập của các mode m = 1 và m = 2 là biến đổi tuần hoàn dọc theo hướng

2

λ

d Ent m

2

min =ν

≥

νmin được gọi là tần số cắt của mode m Vậy số mode trong linh kiện dẫn sóng tăng khi tần số

của sóng truyền qua tăng (hay khi bước sóng của sóng truyền qua giảm)

2 Linh kiện dẫn sóng điện môi phẳng đối xứng

Một linh kiện dẫn sóng điện môi phẳng được tạo bởi một lớp điện môi có chỉ số khúc

xạ n1 và độ dày d Nó được bao phủ bởi hai môi trường điện môi bán vô hạn (semi-infini), chất nền và lớp phía trên đều có chỉ số khúc xạ nhỏ hơn n1 Nếu hai môi trường này có cùng

một chiết suất n2 thì linh kiện dẫn sóng như vậy được gọi là đối xứng

Môi trường hỗn hợp như vậy là bất biến khi tịnh tiến theo các hướng x và z Nó có hai

“hố chiết suất” theo hướng y Các gương trong chương trước được thay thế bằng mặt phẳng

các lưỡng chất (dioptres) phân tách hai môi trường chất điện môi Ngược lại với trường hợp trước, các tính chất phản xạ của chúng phụ thuộc chặt chẽ vào góc tới của các tia sáng lên mặt phân cách này

2.1 Dẫn sóng bằng phản xạ toàn phần

Nếu góc θ giữa tia sáng và trục z lớn, ánh sáng sẽ được truyền qua một phần và phản

xạ một phần Ánh sáng không bị giam giữ trong môi trường có chiều dày d Điều kiện để

nhận được độ phản xạ toàn phần trên các mặt phân cách chính là điều kiện phản xạ toàn phần

Thông thường nó được biểu thị theo hàm của góc tới i Nhưng trong trường hợp các dẫn sóng

thì người ta thường biểu diễn theo hàm của góc θ như sau:

sin

n

n i

i c hoặc ≤ = − −  

1

2 1

Hình I-4 : Cấu trúc của linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng và các cách ký hiệu

2.2 Điều kiện dẫn sóng (đối với TE)

Điều kiện dẫn sóng có thể được thiết lập hoàn toàn tương tự như trong trường hợp trước Điều khác biệt duy nhất là ở chỗ độ lệch pha φr được đưa vào bởi sự phản xạ trên các

bề mặt phân cách bây giờ lại phụ thuộc vào góc tới và độ phân cực của sóng quang học Khi phân cực là phân cực điện ngang (sóng TE) thì độ lệch pha khi phản xạ được xác định khi

θ ≤ θc bởi:

2 / 1 2

2 2

/ 1 2

2

1sin

sin1

cos

cos2

2

1sin

sinsin

22tan = − 

Dẫn sóng Lớp trên

2.3 Các hằng số lan truyền và số lượng mode (đối với TE)

0

2k n

c

k

n10sin θ

0 m M

0

2k n

c

k

n10sin θ

0 m M

Hình I-5: Các mode TE của linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng Nghiệm hình học và sơ đồ

của các hằng số lan truyền

Đường biểu diễn hai vế trong phương trình (1.18) theo hàm sinθ cho phép biểu thị các

nghiệm theo hình học Vế trái là một chuỗi tuần hoàn (chu kỳ

d

λ ) các nhánh (branche) dương của hàm tan Vế phải là hàm nghịch biến được xác định trong khoảng 0≤θ≤θ c Chúng

ta lưu ý trên hình I-5, có ba điều khác so với linh kiện dẫn sóng trước:

- các giá trị của θm không còn cách đều nhau,

các hằng số lan truyền lại có tiếp 2 thành phần dọc và ngang:

m

m n k θ

β = 1 0cos và k ym =n1k0sinθm (1.20) với các điều kiện cho θm:

1cos

2/

sin1

n

n d

Ent d

Ent

λλ

- Mode m = 0 (mode cơ bản) luôn luôn tồn tại với bất kỳ bước sóng ánh sáng nào: tần

số cắt của mode cơ bản bằng không Linh kiện dẫn sóng là đơn mode (chỉ có duy nhất

mode m = 0) nếu:

2

0

N O

khi đưa vào khẩu độ số của sợi quang: 2

2

2 1

21

21

0

N O c

d Ent N

O

d Ent

Tần số cắt của mode m là:

1

2d O N

c m

m =

2.4 Phân bố của trường (đối với TE)

Cùng ý tưởng trong chương trước, ta có thể mô tả phân bố của trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng Tuy nhiên, cần phải mô tả một cách riêng biệt ba môi trường cấu thành linh kiện dẫn sóng

Trong linh kiện dẫn sóng (

22

d y

Trường là sự chồng chập của hai sóng phẳng lệch pha π tại y = 0:

Ta nhận thấy rằng số lượng cực trị của trường trong linh kiện dẫn sóng là m + 1

2sin

,

4,2,0sin

2cos

0 1 0 1

m n

m n

y u

d

m m

2 2

2 0 2

2 0

2 2

θ

θβ

≥

−

=

2/ykhi exp

2/ykhi exp'

d y

d y

y u

Hình I-6: Các ví dụ về cấu trúc của các mode

γm được gọi là hệ số dập tắt Đây là hàm nghịch biến của m, tức là trường càng trải rộng ra ngoài linh kiện dẫn sóng khi m càng lớn

Như vậy, một điều rất thú vị là chúng ta có thể thêm vào một đại lượng mới miêu tả chất lượng giam giữ (confinement) của trường bên trong linh kiện dẫn sóng Đó là hệ số giam

Γm Giá trị này chính là phần công suất được giam trong linh kiện dẫn sóng:

( ) ( )

( ) ( )

∞

−

−

∞ +

∞

−

=Γ

dy y u

dy y u dy

z y E

dy z y E

m

d

d m

x m

d

d

x m

m

2

2 / 2 / 2 2

) (

2 / 2 /

2 ) (

,,

(1.29)

2.5 Quan hệ của sự tán sắc và tốc độ nhóm

Điều kiện dẫn sóng cho phép ta nhận được hệ thức tán sắc Khi sử dụng:

ωβ

=θ

ta tìm được:

2 / 1

2 2

2 2 1 2

2 2 2 2 2

2

2 2 1

22

ωβ

πβ

ω

c

n m

c

n d

c Dạng chung của các nghiệm được biểu diễn trên

hình I-7-a Đặc biệt, hình vẽ cho thấy với một ω cho trước thì mode thấp nhất sẽ có vận tốc nhóm vào khoảng

ω < <

c

n c

ω < <

c

n c

φβ

φββ

ω ββ

ωβω

c n c

n d

2 2

2 2 1 2

2 1

(1.31)

Hai đại lượng đầu tiên của vế trái làm xuất hiện hai hàm đã biết trước của θm

g m

v t z v

1sin

1

1

Ta có thể biểu diễn vận tốc nhóm dưới dạng:

t c

n d

z d

v

m

m g

∆+

∆+

=

1

sin

cotθ

d v

m

m g

1 0

sin

cotθ

θ

=

là tốc độ nhóm trong linh kiện dẫn quang dùng gương có chiết suất n1 Vậy trong một chu kỳ

quỹ đạo của tia sáng, ta có thể biểu diễn (hình I-7-b) biểu thức của v g là kết quả của quãng đường trong linh kiện dẫn quang dùng gương được tăng thêm một quãng đường có chiều dài

∆z thực hiện được trong khoảng thời gian ∆t Vậy độ lệch pha khi phản xạ là bằng sự lan

z , tức là tốc độ lan truyền trong đường đi phụ này sẽ

càng lớn khi góc θ tăng

Chương II Trường điện từ trong linh kiện dẫn sóng phẳng

Ở đây ta nghiên cứu về linh kiện dẫn sóng phẳng (guide plan) dưới quan điểm trường điện từ bằng cách mô tả quá trình truyền sóng trong môi trường có chỉ số khúc xạ bất biến

theo các hướng y và z, nhưng lại thay đổi theo hướng x Đầu tiên, chúng ta xét trường hợp linh

kiện dẫn sóng phẳng đối xứng có hố chiết suất (saut indice) là linh kiện dẫn sóng đã được nghiên cứu đến ở chương trước, sau đó ta sẽ nghiên cứu linh kiện dẫn quang có tiết diện parabol Nghiên cứu này sẽ cho phép ta định nghĩa một cách chính xác hơn các khái niệm đã được đưa ra từ trước đến nay

1 Khái niệm chung

Với các điều kiện này, các phương trình Maxwell được viết như sau:

1.2 Phân bố ngang của trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng

Ta tìm nghiệm của các phương trình truyền của các trường lan truyền theo hướng z là

một trong các hướng mà cấu trúc bất biến theo hướng đó Vậy chúng có dạng:

z t i

e y x H t z y x

e y x E t z y x

β ω

β ω

−

−

=

=,,

,,

,,

,,

r

rH

E

β là hằng số lan truyền theo z Er( y x, )

và Hr( y x, )

là các phân bố ngang của trường được lan

truyền theo z, không bị biến dạng Sự bất biến của cấu trúc theo y khiến cho các phân bố này cũng bất biến theo y Như vậy, các thành phần của trường được viết như sau:

z y x j e

x E t z y x

z t i j j

z t i j j

,,,

,,

,,,

,,

β ω

H

E

(2.4)

1.3 Các mode TE và TM của linh kiện dẫn sóng

Khi thay thế các trường bởi các biểu thức của chúng trong (2.4) vào các phương trình:

ta nhận được 2 nhóm chứa 3 phương trình độc lập Nhóm thứ nhất mô tả các mode điện ngang

(mode TE), có nghĩa là các mode mà điện trường (E y) của chúng trực giao với phương truyền, giống như đối với trường hợp của một sóng phẳng:

( ) -c

b-

a-

-2 0 0

0

y

z x

z y

x y

E x n i x

H H i

H i x E

H i E i

ωεβ

ωµ

ωµβ

Nhóm thứ 2 liên kết thành phần H y của từ trường với các thành phần E x và E z của điện

trường Chúng mô tả các mode từ ngang (mode TM) mà từ trường (H y) của chúng trực giao với phương truyền:

( ) ( )

y

z x

z y

x y

H i x

E E i

E x n i x H

E x n i H i

0

2 0

2 0

ωµβ

ωε

ωεβ

2 Linh kiện dẫn sóng có hố chiết suất (guide à saut indice)

Đầu tiên, chúng ta sử dụng các kết quả này vào trong trường hợp linh kiện dẫn sóng

đối xứng có hố chiết suất (hình II-1) Linh kiện dẫn sóng có bề dày là d và chỉ số khúc xạ n1

đồng nhất, lớp nền và lớp phía trên đều là môi trường bán vô hạn và có cùng một chiết suất n2

nhỏ hơn n1

Hình II-1: Phân bố của chiết suất của linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng có hố chiết suất

Chúng ta sẽ diễn giải chi tiết các tính toán và các kết quả thu được trong trường hợp các mode TE, sau đó sẽ chỉ đưa ra kết quả đối với các mode TM

2.1 Phương trình truyền các mode TE

Các phương trình (2.5) trực tiếp cho chúng ta phương trình truyền của điện trường ngang:

( )

0 0 2 2

2

=

−+

ε

phương trình này tồn tại k0 =ω ε0η0 là hằng số lan truyền trong chân không, của sóng điện

từ có tần số góc là ω

Phương trình này sẽ thay đổi khác nhau tùy theo ở trong linh kiện dẫn sóng (chiết suất

n1) hay là ở ngoài linh kiện dẫn sóng (chiết suất n2) Điện trường tổng cần phải thỏa mãn hai phương trình sau:

2

=

−+

∂

∂

y y

E n

k x

2

=

−+

∂

∂

y y

E n

k x

E

Sau đó, các thành phần của từ trường được định nghĩa từ hai phương trình đầu tiên của (2.5)

Cuối cùng, các thành phần tiếp tuyến của hai trường (E y và H x) cần phải liên tục trên

các bề mặt Điều này làm cho các hàm E y (x) và

2 0

2 0 2

Sóng điện từ sẽ chỉ được dẫn khi hằng số lan truyền dọc β nằm trong khoảng các giá

trị của hằng số lan truyền tự do trong linh kiện dẫn sóng (k0n1) và trong chất nền (k0n2) Đó là trường hợp mà chúng ta sẽ giải các phương trình

2.2 Mode dẫn TE

1

2 0 2 2 2

2 2

2

=+

1

2 0

2 = −β ≥

α k n -a-

(2.9) (2.8)

2 2

2

2 0 2

2exp.2

2 1 0

d k

mà ta sẽ nhận thấy rằng các đại lượng này liên hệ với nhau bởi hệ thức:

2 2

2 v V

Vậy các phương trình (2.13) có nghiệm khi:

2 2

x > y = exp−κ

cần phải thỏa mãn các phương trình liên tục:

2

exp2

B α =− −κ và

2

exp2

- Tham số V gọi là tần số rút gọn (fréquence réduite) được xác định bởi các đặc trưng của linh kiện dẫn (bao gồm độ dày d và các chỉ số khúc xạ n1 và n2), và bởi bước sóng của ánh sáng trong chân không

- Tham số u xác định dạng của trường trong linh kiện dẫn sóng nhận được thông qua một trung gian α

Ta vẽ trên cùng một đồ thị hai hàm của u:

- Hàm V2−u2 biểu thị bằng một vòng cung tròn có bán kính V (đường chấm chấm trên đồ thị)

- Hàm u tan u (đường kẻ liền), các giao điểm của nó với đường trước sẽ xác định các mode đối xứng có thể

- Hàm –ucotu (đường chấm gạch), các giao điểm của nó với đồ thị thứ nhất sẽ xác định các mode bất đối xứng có thể

Cũng như vậy với mỗi giá trị của V, ta xác định số lượng các mode đối xứng và phản đối xứng có thể và các giá trị tương ứng của u Kết quả của cách giải này được đưa lên hình II-2 để cho ta các giá trị của u theo hàm của V Chúng ta nhận thấy rằng số lượng các mode là hàm đồng biến của V Đồ thị sẽ biểu thị với mỗi mode (được đánh số m) một tần số cắt V m

Từ các giá trị này của u chúng ta có thể dễ dàng tính được hằng số lan truyền β của mode tương ứng

10 5

10 5

2.4 Chiết suất hiệu dụng và hằng số lan truyền chuẩn hóa

Khái niệm chiết suất hiệu dụng cho thấy rằng nếu một sóng lan truyền trong chân không với hằng số k0 và chính sóng này lan truyền trong linh kiện dẫn sóng với hằng số lan truyền β thì chiết suất hiệu dụng được định nghĩa một cách tự nhiên là:

2 1

2 1

2

2 1

2 2 2 2

2

2 1

2 2

2 0

n

n n n

n

n k

2.5 Các mode TM của linh kiện dẫn sóng phẳng có hố chiết suất

Tương tự như phần trước, chúng ta có thể giải bài toán biểu diễn sự tồn tại của các mode dẫn sóng TM trong linh kiện dẫn sóng đối xứng có hố chiết suất Như vậy ta phải giải các phương trình định nghĩa các thành phần ngang của từ trường:

02

2 2

2

=+

1

2 0

α = n k −

02

2 2

2

2 0 2

2.6 Tính lưỡng chiết của linh kiện dẫn sóng phẳng hố chiết suất

Các kết quả tính toán chỉ ra rằng các hằng số lan truyền là khác nhau với các mode TE

và TM cùng bậc Điều này được thể hiện rất rõ trong hình II-4

Hình II-4: Độ nhạy của hằng số lan truyền rút gọn b khi phân cực; các mode TE được biểu diễn bằng

các đường kẻ liền, các mode TM được biểu diễn bằng đường chấm chấm

Một nhận xét nữa là một linh kiện dẫn sóng phẳng đơn mode sẽ có một mode TE và một mode TM Cả hai mode này đều có các hằng số lan truyền khác nhau, điều này tương ứng với tính lưỡng chiết

Ví dụ như chúng ta xét một linh kiện dẫn sóng có chiết suất n1 = 1,5 và độ dày

d = 0,555 µm, được đặt trong một môi trường có chiết suất n2 = 1 Chúng ta tìm cách cho một bước sóng λ0 = 1,3µm truyền qua linh kiện dẫn này

Trong trường hợp này, tần số rút gọn là V ≈ 3 Chúng ta có một linh kiện dẫn đơn mode: nó chỉ chứa một mode cơ bản và:

TE 0,6280 1,336

TM 0,4491 1,2495 Vậy ta có một lưỡng chiết ∆n ≈ 0,09 Độ lệch pha của các mode cơ bản TE và TM là π đối với một độ dài truyền:

2.7 Tính ngang của trường dẫn sóng

Như ta đã chỉ ra trong phần trước, chính xác thì điện từ trường tương ứng với một mode dẫn sóng không phải là trường ngang Ví dụ, ta xét một mode TE Điện trường theo định nghĩa là trường ngang Bây giờ chúng ta hãy tính các thành phần của từ trường Các hệ thức (2.5, a và b) cho phép tính tỉ lệ giữa thành phần dọc H z và thành phần ngang H x:

y

y x

z

E

x E H

x

z

H H

Định nghĩa α (α2 = k02n12 - β2) và điều kiện dẫn 2

1

2 0 2 2 2

2

0n k n

k <β < bắt buộc:

2 / 1

2 2

2 2

2 1 max

Khi các chiết suất n1 và n2 gần nhau, ta nói rằng ta đang ở gần đúng của dẫn sóng yếu Đây là trường hợp quan trọng mà chúng ta sẽ quay trở lại ở phần sợi quang học

2.8 Công suất được truyền tải (puissance transportée) bởi mode

Thông lượng công suất (flux de puissance) của một sóng điện từ là giá trị trung bình nhất thời Sr

của vectơ Poynting Sr Er Hr

×

Công suất truyền tải bởi sóng này chính là tích phân của thông lượng

Công suất trong một mode TE

Chúng ta kiểm tra dễ dàng rằng trong trường hợp này, các thành phần khác không của các trường là:

z t x

E

y z

y x

βωωµ

β

βωωµ

0

0

H H

và các giá trị trung bình nhất thời của các thành phần của vectơ Poynting được viết như sau:

2 0

2 0

11

22

12

d A

d A

P TE

ωµ

βκ

Công suất trong một mode TM

Tính toán giống như trên sẽ cho ta một biểu thức tính công suất truyền tải bởi một mode TM là:

1 2 4 2

2 2

2 1

2 0

2 2

2 1 2

0 2

β

n n

n n k n n d A

2.9 Kích thích các mode dẫn sóng

Chúng ta sẽ diễn giải ở đây, bằng cách nào mà tập hợp các mode (được dẫn và truyền qua) của một linh kiện dẫn sóng phẳng tạo thành một trục toạ độ mà ta có thể chiếu toàn bộ sóng lên toạ độ đó Ta sẽ có thể suy ra từ đó một cách đơn giản là công suất dẫn được bởi mỗi mode của một linh kiện dẫn quang khi nó được kích thích bởi bất kỳ một sóng quang học nào

đó

Tính trực giao của các mode dẫn

Gọi Φm(x) là một cấu trúc ngang của trường biểu diễn mode TE Nó thỏa mãn phương trình truyền:

0 2

2

=Φ

−+

dx

x d

m m

m m m

0 2

dx

x d

k m k k

m k

m

*

*

* 2

2 0 2

* 2

ΦΦ

=ΦΦ+

m k m m

x d dx

d

k m k m

k m

m k

m k

m λ

vế phải của phương trình này cần phải bằng 0 vì nếu Φm(x) biểu diễn mode dẫn sóng, giới hạn của nó sẽ bằng 0 khi x tiến đến ±∞ Vậy ta có:

nếu m ≠ k ∫−+∞∞ΦmΦ*k( )x dx=0 nếu m = k *

m

m λ

λ = ∫−+∞∞ΦmΦ*m( )x dx= A m >0 (2.35) Như vậy chúng ta có thể chuẩn hóa các hàm Φm sao cho các giá trị A m đều bằng 1, ta nhận được:

k

mΦ x dx=δΦ

∫−+∞∞

* δkm : ký hiệu của Kronecker (2.36) Tuy nhiên các hàm này không tạo được thành cơ sở trực giao chuẩn hóa hoàn toàn mà toàn bộ sóng có thể được được phân tích lên đó giống hệt nhau Để làm được điều đó thì phải thêm vào đó các mode chiếu sáng

Tính trực giao của các mode bức xạ

Các mode bức xạ tạo thành một continum (continuum)

Chiếu một sóng lên mode dẫn sóng

Chùm liên tục này khi được thêm vào các mode dẫn sóng rời rạc, có thể tạo thành một

cơ sở trực giao chuẩn hóa hoàn toàn Vậy một sóng bất kỳ φ(x) có thể được biểu diễn bằng một cách duy nhất:

m m

c

Công suất dẫn trong một mode

Xét một trường tới tại z = 0 và giá trị của nó tại z > 0:

m m m

2

m m

3 Linh kiện dẫn sóng chiết suất bậc bai

3.1 Mode của linh kiện dẫn sóng có chiết suất thay đổi thuần túy bậc hai

Ở đây ta xét một linh kiện dẫn sóng có chỉ số khúc xạ n(x) là hàm bậc hai khi

2

d

x < và

là hằng số ở ngoài vùng này

Hình II-5: Mặt cắt chiết suất thay đổi bậc hai và các ký hiệu thường dùng

Chúng ta giả sử ở đây rằng chiều dày d là lớn, và các mode được giam trong phần hình parabol Vậy phương trình truyền đối với E y , H x , H z được viết là:

2 2

1

2 0 2

2

=Φ

Φ

x d

x n

k dx

x

Khi thay vào đó các đại lượng:

2/

2

0 1

2 0

−Λ+

−

=

d k n m k

1 1

1 0

22

21

H

H H

(2.44)

H m đa thức bậc m

Chú ý:

- Mặt cắt chiết suất là đối xứng Như thế các mode hoặc là đối xứng (bậc m chẵn), hoặc phản đối xứng (bậc m lẻ)

- Mode m = 0 tương ứng với mode gauss

- Mode m biểu thị m bằng 0 theo x

- βm là phức khi giá trị của m lớn hơn

2

124

0

1 −

d

d k n

Điều này tương ứng với các mode bị mất (modes à pertes)

3.2 Kết hợp (couplage) của một sóng gauss

Để đơn giản, chúng ta sử dụng ở đây trường hợp một linh kiện dẫn sóng gauss để diễn giải các phép tính công suất truyền trong một mode Chúng ta xét một sóng gauss có cùng độ rộng với mode cơ bản của linh kiện dẫn sóng, nhưng lệch đi một bên:

1exp,

0

4 / 1

0 2 4

/ 1

0

2

1exp γ

và được viết là:

2 0 2 2

2 0

2 0

4

1exp2

!

m

E c

t H m t

t t

exp,

Vậy công suất tương đối được kết hợp trong mode m là:

2

exp2

!

0 2 2

0

m p

m m

≡

1

0 1 0

−

=

d k n m k

n

m

βChú ý rằng thông thường thì:

12

2 ∆ <<

d k

−

≈

d k n m k

n

m

tức là:

c

n d

k n

m c

n

1

0 1

Phương trình truyền của điện trường có thể nhận được khi sử dụng hệ thức vectơ sau:

[ ]RotE =grad( )divE −∆E

Ta thấy ngay rằng vế phải của hệ thức khác không do tính không đồng nhất của chỉ

số khúc xạ, tức là do cấu trúc của linh kiện dẫn sóng Vì vậy các hệ thức (2.1 và 2.2) sẽ dẫn đến phương trình sau:

E

2 grad n n

Vậy phương trình truyền của điện trường trong cấu trúc được viết là:

0

1

2

2 2 0 0 2

∆

t n n

grad n

t n Rot

n grad

0 0

2 2

+

n grad E

z y x n k

biến dạng, có hằng số lan truyền bằng β Vậy ta biểu diễn phương trình truyền bằng cách làm

xuất hiện các thành phần dọc và ngang (E z và E T) của trường Cũng như thế, ta sẽ đưa vào các thành phần dọc và ngang của toán tử Laplace:

2

2 2

2

dy

d dx

∆+

n grad E

E n

2 2

2 0

∆+

n grad E

E n

2 2

2 0

n

2 2

2

2

0

1β

2 2

2

2

0

rrr

n

4.3 Gần đúng của sự truyền dẫn yếu

Định nghĩa

Như vậy việc giải bài toán trở thành việc giải vế phải của phương trình truyền dọc Ta

có thể giải bằng cách tiếp cận khi giả sử rằng biến thiên của chỉ số khúc xạ là yếu, tức là chỉ

số khúc xạ n(x) biến đổi rất ít trong cấu trúc dẫn Như thế, ta có:

n , = 11−∆⋅ , với

1

2 1

n1 là chỉ số khúc xạ ở trung tâm của linh kiện dẫn sóng, n2 là chỉ số khúc xạ ở khoảng cách rất

xa với trung tâm và hàm f(x,y) là một hàm có các giá trị trong khoảng 0 và 1, biểu thị dạng

thay đổi của chiết suất

Trong trường hợp gần đúng được gọi là “dẫn yếu” (guidage faible), ta giả sử rằng sự biến đổi tương đối của chỉ số khúc xạ (∆) là rất nhỏ so với 1 đến mức mà khi giới hạn ở khai triển bậc nhất đối với ∆, ta có thể viết như sau: