13 các bài toán số phức chọn lọc số 01(trang 444 467)

BIÊN SOẠN THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED VN|1 CHINH PHỤC VD VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHINH PHỤC VD VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHƯƠNG 4 CÁC BÀI TOÁN SỐ PHỨC CHỌN LỌC I CÁC BÀI TOÁN SỐ PHỨC CHỌN LỌC SỐ 01 ĐỀ BÀI Câu 1 Cho số phức , thỏa mãn là số thực và Đặt Mệnh đề nào sau đây đúng? A B C D Câu 2 Xét hai số phức thỏa mãn và Giá trị lớn nhất của bằng A B C D Câu 3 Cho hai số phức thỏa mãn , Giá trị lớn nhất của bằng A B C 8 D 24 Câu 4 Xét các số phức thỏa mãn.

CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: CHƯƠNG 4: CÁC BÀI TOÁN SỐ PHỨC CHỌN LỌC I CÁC BÀI TOÁN SỐ PHỨC CHỌN LỌC SỐ 01 ĐỀ BÀI Câu 1: Cho số phức z  a  bi , z  1 i z  3i  z   2i  thỏa mãn z số thực Đặt T  a  b Mệnh đề sau đúng? A Câu 2: T   4;8  A  19 Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: T   8;9  C T   11;14  D T   17; 20  B  19 C 5  19 D  19 z  wz  Cho hai số phức z , w thỏa mãn | z | , | w   2i | Giá trị lớn A 16 Câu 4: B z  1, z2  z z  Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn Giá trị lớn z1  z2  5i Câu 3: B 18 C D 24 z  2w  3z  w  5 z  3w  i Xét số phức z, w thỏa mãn Khi đạt giá trị nhỏ nhất, z  w 1 tính giá trị 17 170 A B C D z  (1  i)  z  (2  i) z  2i Tìm số phức z thõa mãn đạt giá trị nhỏ 1 1 z z z i z i 2 A B C D Có số phức z thỏa mãn hiệu bình phương phần thực phần ảo z  z i   z  1  z  i A B C D   z  z2  6i  z ,z Cho hai số phức cho , Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z1`   z2   6i  z1  z2 ? 36 A B C 10 D 24  z   2i    z   2i  z   2i z Cho số phức thỏa mãn:  S Gọi diện tích phần mặt phẳng chứa điểm biểu diễn số phức z Tính S Tuyển chọn tốn VD-VDC | 444 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC B S  2 A S   Câu 9: CHUYÊN ĐỀ: Cho số phức z thỏa mãn z   5i  C S  Biết số phức tập hợp điểm biểu diễn thuộc đường tròn A 20 B 100 D S    w    i 2021  z  3i  2021  C  Tính bán kính  C  C 220 có D 36  z1  z2   12i   z   20i   z2 z z Câu 10: Cho hai số phức ; thỏa mãn:  Gọi M , m giá trị lớn 2 P  z1  z2  12  15i nhất, nhỏ biểu thức Tính M  m A 450 B 675 C 451 D 225 z1 , z2 hai số số phức thỏa mãn z   2i  z1  z2  Biết tập hợp điểm w  z1  z2 đường trịn Tính bán kính đường trịn biểu diễn số phức Câu 11: Gọi A B C D z  i  z  z  3i Câu 12: Biết số phức z thỏa mãn z  z có phần ảo không âm Phần mặt phẳng chứa điểm biểu diễn cho số phức z có diện tích 5 A 12 5 B 5 C 5 D z2i Câu 13: Xét số phức z thoả mãn  z  z i  số thực Tập hợp điểm biểu diễn số phức 2z parabol có toạ độ đỉnh I  a; b  Tính S  a  b ? A B 1 C 2 D 3   z1  z1  z1  i  z  a  bi,  a, b  R  z ,  z  z  z2   5i Câu 14: Cho số phức thỏa mãn  Với biểu thức P  z1  z2 đạt giá trị nhỏ Khi giá trị 2a  3b A 2a  3b  Câu 15: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 giá trị m để A m  1 B 2a  3b  C 2a  3b  D 2a  3b  z    m  z  4m  nghiệm phức phương trình Tìm tất z1  z  z3  z4  B m  2 C m  3 D m  1 z   m  1 z   m   mi  z   mi  Câu 16: Cho phương trình z  £ , m tham số thực Số giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phức phân biệt cho điểm biểu diễn nghiệm mặt phẳng phức tạo thành tam giác cân A B C D Tuyển chọn toán VD-VDC | 445 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: A  1;1 , B  1;  , C  3; 1 Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 Tìm mơ đun số phức z thỏa mãn z  46  40i  929 2 P  z  z1  z  z2  z  z3 A z  129 B Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn A 1  M  đạt giá trị nhỏ z  29 z3  B C z  929 D z  929 1 2 M  max z  z z Khẳng định sau đúng? 2M  Câu 19: Có giá trị nguyên C m  m  0 1 M  D M  M  M  để tồn số phức z thỏa mãn  z   2i     z   2i  m  2  z  2m   m  m   i  z  2m    m  m   i A B D C Câu 20: Chọn hai số phức số phức có phần thực phần ảo số nguyên thỏa mãn điều z   4i   3i  z   4i kiện Xác suất để hai số chọn có số phức có phần thực lớn 27 34 A 110 B 55 C D z2  2z  Câu 21: Cho số phức z số thực z  z  số thực Có số phức z thoả mãn A z  z  z  z  z2 B D C Câu 22: Có tất số nguyên dương m để có tất bốn số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: A z m z  z  z  z  20 ? B D C u = v =10 3u - 4v = 50 M = 4u + 3v Câu 23: Cho hai số phức u , v thỏa mãn Tính A 30 B 40 C 50 D 60 z2 1  z , gọi z1 z2 số phức có mơđun nhỏ lớn Khi mơđun số phức w  z1  z2 có giá trị nhỏ Câu 24: Trong số phức z thỏa mãn A w 2 446 | Phan Nhật Linh B w 2 C w D w  1 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Câu 25: Xét số phức z  a  bi  a, b  ¡  CHUYÊN ĐỀ: thoả mãn     z  z  15i  i z  z  2z 1 i đạt giá trị nhỏ Tính P  a  b A P  B Câu 26: Xét số phức z thỏa  z 2 A Câu 27: P 19 C z 1  z  i  2 B z 2 P 19 D P  Mệnh đề 1 z   z  2 C D z   m  1 z  m  5m  m ( tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị ngun m để phương trình có nghiệm z0 thỏa mãn Trên tập hợp số phức, xét phương trình z  z0  A Tổng phần tử tập S B C Câu 28: Trong tập số phức, cho phương trình D z   m  1 z  m  3m   0, m  ¡ Có 0; 2021 giá trị ngun m đoạn  để phương trình có nghiệm phân biệt z1 ; z2 thỏa z  z2 mãn ? A 2016 Câu 29: B 202 C 202 D 2017 z i  iz   P  z1  3z Cho hai số phức z1 , z2 thỏa Khi biểu thức đạt giá trị nhỏ A z1  z2 B D C z  wz  z  iw   5i  Câu 30: Xét số phức z , w thỏa mãn , Khi đạt giá trị nhỏ zw A  B  1  C  D  z  iw   8i Câu 31: Xét số phức z , w thỏa mãn | z | | w | Khi đạt giá trị nhỏ nhất, zw A 29 B 221 Câu 32: Trên tập hợp số phức, xét Phương trình C z   m  1 z  m  D ( m tham số thực) Có z 7 z giá trị m để phương trình có nghiệm thỏa mãn ? A B C D Tuyển chọn toán VD-VDC | 447 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: 1 i z  3i  z   2i  thỏa mãn z số thực Đặt Cho số phức z  a  bi , z  T  a  b Mệnh đề sau đúng? A T   4;8  Vì 1 i z B T   8;9  số thực với C Lời giải z  a  bi T   11;14  Thế  1 vào  2 D  a  3 T   17; 20  k  k  0 nên tồn số thực a  k  ab z  k   i   a  bi  k  ki b  k z  3i  z   2i   a   b  3  cho:  1   b  2   2 ta được: b   b  3   b  3   b     b   b  3   2  b  3   b  2  2b  6b    2b  10b  13  2b  10b  13  4b   2b  10b  13 b   b  b    2   b     2b  10b  13 b  6b   b   b   a   T  32  32  18 Chọn đáp án D Câu 2: Xét hai số phức z1  z2  5i A  19 448 | Phan Nhật Linh z1 , z2 thỏa mãn z1  1, z2  z1  z2  Giá trị lớn B  19 C 5  19 Lời giải D  19 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: Giả sử M , N , K điểm biểu điễn z1 , z2 , z3  5i M   C1  O  0;0  Theo giả thiết ta có tâm bán kính r1  N   C2  O  0;0  MN  z1  z2  bán kính r2  uuuur uuur uuur T  3z1  z2  5i  3OM  ON  OK Đặt uuur uur r uur uuur Gọi I điểm thỏa mãn IM  IN   IN  3IM  IN  3IM , I  MN tâm   19 19 OI  OM  IM      OI      14 Ta có OMN vng M , suy 2 19 Suy I tâm O bán kính uuuu r uuur uuur uur uuur uuur uuur T  3z1  z2  5i  3OM  ON  OK  4OI  OK  OE  OK  KE Khi uuur uur O  0,  C  r  19 OE  OI Với suy E thuộc đường tròn tâm bán kính C  thuộc đường tròn r3  Suy Tmax  KEmax  KO  r4   19 Câu 3: z  2wz  Cho hai số phức z, w thỏa mãn | z | , | w   2i | Giá trị lớn A 16 B 18 C Lời giải D 24 Tuyển chọn toán VD-VDC | 449 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC  z  a  bi ,  a, b, c, d  ¡  w  c  di  Giả sử Theo ta có: CHUYÊN ĐỀ:  | z |  a  bi   a  b   a  b  I  0;0  Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm , bán kính R  | w   2i |  c  di   2i    c     d   i    c  3   d    2 I  3;   Do tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm , bán kính R  Đặt T  z  wz  , ta có: T  z  wz-z z  z z  z  2w  a  bi  a  bi  2w  bi  w A  0;b  điểm biểu diễn số phức bi ; N điểm biểu diễn số phức w uuu r uuur T  bi  w  OA  ON  AN  T  AN max max Khi Gọi 2 P  0;   Q  0;  Do a  b   2  b  Suy tập hợp A đoạn PQ với , Dựa vào hình vẽ ta thấy AN max  A  Q AN max  QI  R2    Vậy Tmax  AN max  4.6  24 Câu 4: z  2w  3z  w  5 z  3w  i Xét số phức z , w thỏa mãn Khi đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị 17 A 450 | Phan Nhật Linh z  w 1 B C Lời giải D 170 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: Đặt w1  z  4w, w2  3z  w Gọi M , N , P  0;1 điểm biểu diễn w1 , w2 , i  w1  z  w   w  3 z  w  Theo giả thiết ta có  nên tập hợp điểm M biểu diễn w1 đường tròn tâm O , bán kính R1  , tập hợp điểm N biểu diễn w2 đường tròn tâm O , bán kính R2  uuuu r uuur uuur uuuur uuur uuuur uuu r A  z  3w  i  w1  w2  i  OM  ON  OP  NM  OP  NM  OP     Ta có 6i  z   w1  z  4w  8i  uuuur uuu r  NM  OP  M  0; 8  , N  0; 5    w  3 z  w  5i       w  17i    NM  Dấu "  " xảy  z  w 1  Vậy Câu 5: 6i 17i 170  1  7 A  z  3w  i đạt giá trị nhỏ z  w 1  z  (1  i )  z  (2  i ) Tìm số phức z thõa mãn 1 z z 2 A B Gọi z  x  yi  x, y  R  ; 170 z  i z i C Lời giải đạt giá trị nhỏ z i D z  (1  i )  z  (2  i )   x  1   y  1   x      y   x  y   (d ) M  x; y  2 A  2;1 z  2  i biểu diễn số phức z , M  d biểu diễn số phức Giả sử MA nhỏ  M hình chiếu vng góc A lên d Tuyển chọn toán VD-VDC | 451 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ:  x    4  2  x     y    x  y  2     z  x  y   x  y   y     Vậy số phức Câu 6: Có số phức z thỏa mãn hiệu bình phương phần thực phần ảo   z  z i   z  1  z  i A Ta có B    D C Lời giải  z  z i   z  1  z  i  z  3i   z  1   z  1 i  z   z  1   z  1 Đặt z  t, t  2t   t  1   t  1 , phương trình trở thành: t    4t   t  1   t  1  t  2t    t  3 Þ t = Gọi z  x  yi , với x, y Ỵ ¡ 2 2  x   x  y      2  y2  x  y  z   x2  y    Ta có , kết hợp giả thiết ta có hệ phương trình  2   i z  2    i z  2    z    i  x    2     y   z  i    2   i 2 thỏa mãn đề Thử lại ta thấy có số phức Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu toán z Câu 7: Cho hai số phức z1 , z2 cho z1  P  z1`   z2   6i  z1  z2 A Gọi z2  6i  , ? B 36 C 10 Lời giải z1  x1  y1i , z2  x2  y2i  x1 , x2 , y1 , y2  ¡ phẳng phức biểu diễn số phức 452 | Phan Nhật Linh Tìm giá trị nhỏ biểu thức z1 z2  hai điểm D 24 M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  mặt CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC z1   x12  y12  CHUYÊN ĐỀ: z2  6i   x2   y2   i   x22   y2    Ta có Ta xét biểu thức z1`   x1   y1i   x1    y12  x12  y12  x1  16  x12  y12  x1  16   x12  y12   12  x12  x1   y12 6  x1  1  y12  6MA , với điểm A  1;0  z2   6i  x2    y2   i   x2     y2    x22  y22  18 x2  12 y2  177 2  x22  y22  18 x2  12 y2  177   x22   y2     72  x22  x2   y22  12 y2  36   6  x2  1   y2    NB z1  z2  Lúc  x1  x2  , với điểm   y1  y2   MN Câu 8: uuur AB   0;6   AB  P  z1`   z2   6i  z1  z2  AM  NB  6MN   AM  MN  NB   AB  36 Vậy B  1;6  Pmin  36 Dấu "  " xảy A , M , N , B thẳng hàng   z   2i    z   2i  z   2i z Cho số phức thỏa mãn:  Gọi S diện tích phần mặt phẳng chứa điểm biểu diễn số phức z Tính S A S   Giả sử z  x  yi Khi Và B S  2 C Lời giải S  D S   x, y  ¡  z   2i    x  1   y   i   z   2i  z   2i   x  1  x  1   y  2  2   y      x  1   y     x  3 2   y  2 2 Tuyển chọn toán VD-VDC | 453 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: z ,z Gọi A , B điểm biểu diễn số phức z   2i  I  1;   z ,z Do thỏa mãn nên A, B thuộc đường trịn tâm , bán kính R  z z 8 Mà suy AB  2 2 Gọi E trung điểm AB Ta có IE  IA  EA     C  thỏa mãn AB  E thay đổi đường tròn  C1  Như A, B thay đổi R  IE  tâm I bán kính uuur uuu r uuur uuur w  z1  z2  OF  OA  OB  2OE Gọi F điểm biểu diễn số phức w Ta có Suy F ảnh E qua phép vị tự V tâm O tỉ số k  C  Do E chạy đường trịn F chạy đường tròn qua phép vị tự V tâm O tỉ số k   C   ảnh  C  1 R  C Gọi I  tâm bán kính đường trịn uuur uur  I   2;    OI   2OI    R  R1  R1   Ta có  Vậy tập hợp điểm F biểu diễn số phức w đường trịn có bán kính z  i  z  z  3i Câu 12: Biết số phức z thỏa mãn z  z có phần ảo khơng âm Phần mặt phẳng chứa điểm biểu diễn cho số phức z có diện tích 5 A 12 Gọi z =x +yi ( x; y Ỵ ¡ 456 | Phan Nhật Linh 5 B ) 5 C Lời giải 5 D CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: z  i  z  z  3i Û x +( y - 1) £ ( y - 3) Ta có: 2 Û 4é x +( y - 1) ù £ ( y - 3) ê ú ë û Û x +4 y - y +4 £ y - 12 y +9 Û y £ - x +5 Û y £ - x + ( 1) Û y ³ ( 2) Số phức z - z =2 yi có phần ảo khơng âm Từ ( ) ( ) ta suy phần mặt phẳng chứa điểm biểu diễn cho số phức z hình phẳng giới hạn Parabol ( P) : y =- x + trục hồnh ( Phương trình hồnh độ giao điểm P) 5 - x + =0 Û x =± trục hoành 5 Gọi S diện tích cần tìm ỉ x3 5 ổ 5ử ỗ- + x ữ = ữ ị S =2.ũ ỗ x + d x = ỗ ữ ỗ ữ 4ứ è è ø0 z 2i Câu 13: Xét số phức z thoả mãn parabol có toạ độ đỉnh A  z  z i  I  a; b  số thực Tập hợp điểm biểu diễn số phức 2z Tính S  a  b ? B 1 z 2i Giả sử z  x  yi   x, y  ¡  Khi D 3 C 2 Lời giải  z  z i   x    y  1 i  x    y  1 i    xi    xi   x2  x   x  y  1    x  x    y  1 i  1 x2  z 1  i  z  z  i  số thực   x  x    y    y  x  y  x  2.2 x   2x 1 M  x; y  Số phức 2z có điểm biểu diễn  quỹ tích điểm M parabol có phương trình y x  2x  2 Tuyển chọn toán VD-VDC | 457 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: I  2; 4  Tập hợp điểm biểu diễn số phức 2z parabol có toạ độ đỉnh  S       2 Câu 14: Cho số phức P  z1  z2 z1 , z2   z1  z1  z1  i  z  a  bi,  a, b  R   z  z2   5i thỏa mãn  Với biểu thức đạt giá trị nhỏ Khi giá trị 2a  3b A 2a  3b  Đặt z1  x  yi,  x, y  R  B 2a  3b  C 2a  3b  Lời giải D 2a  3b  z ,z Gọi M , N điểm biểu diễn hình học hai số phức M  x; y  , N  a; b  Ta có   x  1  y   y  1   z1  z1  z1  i  y  x2  x    2 2 b  a   z2  z2   5i  a  b   a     b   Khi tốn trở thành tìm M parabol  P  : y  x2  x N đường thẳng d : y  x  cho P  z1  z2  MN đạt giá trị nhỏ  P  cho tiếp tuyến với parabol M có hệ số góc Khi M điểm parabol y  1   x    x  Ta có M  1;  Suy Khi điểm N hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d : y  x   d Đường thẳng MN qua M vng góc với đường thẳng Ta có MN : y   x   y  x 5  x3   N  MN  d nên tọa độ điểm N thỏa hệ  y   x   y  2 N  3; 2  z   2i Khi hay 458 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Vậy Câu 15: Gọi 2a  3b  2.3   2   CHUYÊN ĐỀ: z    m  z  4m  nghiệm phức phương trình Tìm tất giá z1 , z2 , z3 , z4 z  z  z3  z  trị m để A m  1 B m  2 C m  3 Lời giải D m  1  z  4  1 z    m  z  4m    z    z  m      z  m   Ta có: Ta có: zn  z 2 n z1 ; z2 nghiệm phương trình  1 Ta có: z1  z2  4  z3 ; z4 nghiệm phương trình   Ta có: z3  z4  Theo đề ta có: Kết luận m  1 z1  z2  z3  z4   m    m m 1 m 1 z   m  1 z   m   mi  z   mi  Câu 16: Cho phương trình z  £ , m tham số thực Số giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phức phân biệt cho điểm biểu diễn nghiệm mặt phẳng phức tạo thành tam giác cân A B C D Lời giải Xét phương trình: z   z   m  1 z   m   mi  z   mi   z  mz   mi  z  z  z   2    z  i  z  i   z  i  m    z  i   mz  mi    z  m  i A  1;0  B  0;1 C  m; 1 Đặt , , điểm biểu diễn nghiệm z  , z  i , z  m  i mặt phẳng phức uuu r uuu r uuu r AB   1;1 AC   m  1; 1 BC   m; 2  Ta có: , , AB  , BC  m  , AC   m  1 1 uuu r uuu r Ba điểm A , B , C tạo thành tam giác AB AC không phương hay m  m 1 1      AC  AB   m   m      BC  AB  m  2m    m   2    m  1   m   AC  BC  m  1  2m   ABC Tam giác cân Tuyển chọn toán VD-VDC | 459 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: m   0; 1 Kết hợp với điều kiện m  ta Vậy có hai giá trị m thỏa mãn đề A  1;1 , B  1;  , C  3; 1 Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm điểm biểu diễn số z1 , z2 , z3 Tìm mơ đun số phức phức 2 P  z  z1  z  z2  z  z3 z  129 A thỏa mãn z  46  40i  929 đạt giá trị nhỏ z  29 B z z  929 C Lời giải D z  929 M  x; y  Gọi điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy Khi đó, 2 z  46  40i  929   x  46    y  40   929  C  tâm H  46; 40  bán kính R  929 Tập hợp điểm M nằm đường tròn 2 P  z  z1  z  z2  z  z3  P  3MA2  5MB  MC uu r Gọi I uu r uur r điểm thỏa mãn: 3IA  IB  IC  uuur uur uuur uur uuur uur r  OA  OI  OB  OI  OC  OI        uur uuu r uuu r uuur  OI  3OA  5OB  7OC  Tọa độ điểm I  23; 20  u r uuur uur uuur uur uuur uuur uuur uuuur2  u IA  IM  IB  IM  IC  IM P  3MA  5MB  MC Khi đó: uuur uur uur uur  IM  IM 3IA  IB  IC  3IA2  IB  IC 2 2   Do đó, P IM Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn 1  M  B   C suy IM đạt giá trị nhỏ 2M  1 M  C Lời giải 3 1 1     z    z    z z z   Mặt khác, 1 1    z  z   z  z       1   z   3 z   z z   460 | Phan Nhật Linh M trùng I 1 2 M  max z  z z Khẳng định sau đúng? D M  M  M  1 1  1 1    3  z    z   z   z   z    z   z z z z z z    Ta có:   z3   đạt giá trị nhỏ I  23; 20  z3    IM  3IA  5IB  IC thuộc đường tròn z  929 Suy z  23  20i Vậy A   đạt giá trị nhỏ Nhận thấy   * 1  z  z   z  z   t  z Đặt 1 1   z  z   z  z      ,  t  0 z CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Bất phương trình  * trở thành: CHUYÊN ĐỀ: t  3t     t    t  1   t   z  2 z  M  Dấu xảy z  z  1 Câu 19: Có giá trị nguyên m  m  0 để tồn số phức z thỏa mãn  z   2i     z   2i  m  2  z  2m   m  m   i  z  2m    m  m   i A B D C Lời giải  z   2i   1    2  z   2i  m  2 *  z  2m   m  m   i  z  2m    m  m   i  Đặt hệ Gọi M  x; y  Từ  1 Từ  2 Đặt ta có ta có điểm biểu diễn cho số phức z thỏa yêu cầu M thuộc đường tròn  C1  tâm I1  1;  , bán kính R  M thuộc đường tròn  C2  tâm I  2;  , bán kính R  m với m  A  2m; m2  m   Ta có  3 ,  3  MA  MB B  2m  2; m  m   nên tập hợp M đường trung trực d đoạn AB Đường trung trực d có vectơ pháp tuyến qua trung điểm I  2m  1; 2  uuu r AB   2; 2m2  2m  hay ur n '   1; m  m  AB x   m  m  y  2m   d  có phương trình  * Tồn số phức z thỏa mãn hệ  tồn   C1  tiếp xúc M điểm chung  C1  ,  C2  d  C2  C  C  d tiếp tuyến chung , Tuyển chọn toán VD-VDC | 461 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: 3   m  I1 I  R1  R2  m  1      C1  tiếp xúc  C2    I1I  R1  R2 3   m  m  5   C   C  E  1;  F  3;  I1I // Ox nên Quan sát đồ thị ta thấy tiếp xúc F  3;   C1   C2  E  1;  d tiếp tuyến chung  m  m   1  2m     m  0; m  1   m  1  m     m  m    3  2m     5       5 ta nhận m  1 thỏa yêu cầu đề Từ Vậy có giá trị nguyên m   d // Oy   E  d   d // Oy    F  d Câu 20: Chọn hai số phức số phức có phần thực phần ảo số nguyên thỏa mãn điều kiện z   4i   3i  z   4i phần thực lớn 27 A 110 Xác suất để hai số chọn có số phức có 34 B 55 C D Lời giải Giả sử số phức thỏa mãn u cầu tốn có dạng z  x  yi, x  ¡ , y  ¡ Ta có: z   4i   3i  z   4i  z   4i  z   4i  10  z    4i   z    4i   10 Gọi M  x, y  F  2;  , F2  2; 4  điểm biểu diễn cho số phức z biểu diễn cho z    4i   z    4i   10  MF1  MF2  10 số phức  4i;  4i Khi ta có: F  2;  , F2  2; 4  Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình Elip nhận tiêu điểm, tiêu cự F1 F2  2c  , trục lớn có độ dài 2a  10 trục bé có độ dài 2b  Như hình vẽ sau: 462 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC M  x, y  x y CHUN ĐỀ: thuộc hình elip nói x  ¢ , y  ¢ nên có 45 điểm thỏa mãn Cụ thể sau: 1; 0; 1 ; 0;  1;  2;  0;  1;  2;  3;  0;  1;  2;  3;  4;  Gọi  không gian mẫu phép thử chọn hai số phức số phức có phần thực phần ảo số nguyên thỏa mãn điều kiện n    C 45 z   4i   3i  z   4i Ta có Gọi A biến cố: “Trong hai số chọn số phức có phần thực lớn 2” A biến cố: “Trong hai số chọn khơng có số phức có phần thực lớn 2” Ta có   n A  C282 C282 21  C 45 55 Suy 21 34 P  A    55 55 Vậy   P A  z2  2z  Câu 21: Cho số phức z số thực z  z  số thực Có số phức z thoả mãn z  z  z  z  z2 A B D C Lời giải z2  2z  z  2z  z  2z  w ¡  w  w   z  z  z  2z  z  z  Ta có     z  z  z.z   z.z  z   1 Mà Gọi z  x  yi  x, y  ¡  Khi  1  x  y    z  z  z  z  z  x  y   x  y   3 Từ   ,  3 ta có hệ phương trình Tuyển chọn toán VD-VDC | 463 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ:  x  y   z  2i   x ; y     0;2  ;  0;   ;  2;0  ;  2;0    2 z¡    x  y   z  2i Vì Câu 22: Có tất số nguyên dương m để có tất bốn số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: z m z  z  z  z  20 ? C D Lời giải z  x  yi  x, y  ¡  Gọi M điểm biểu diễn số phức Theo ta có hệ phương trình: 2  x  y  m  x  y  m 3 x  y  10  1    2  x  y  m   3 x  yi  x  yi  x  yi  x  yi  20 6 x  y  20 A B Tập hợp điểm M thỏa mãn  1  10    A  ;0 , B 0; , hình thoi ABCD với     5  10   C   ;0 , D 0;   2      đường tròn  C  tâm O  0;  , R  m  m   Tập hợp điểm M thỏa mãn  C  có điểm chung với cạnh hình thoi Có số phức thỏa mãn đề  C  đường trịn nội tiếp hình thoi Trường hợp 1: R  d  O, AB   m  Khi ta có  C  nằm hai đường tròn: đường tròn đường kính BD đường trịn đường Trường hợp 2: BD AC 10 R  m 2 Do m nguyên dương nên m  kính AC Khi ta có Vậy có tất số nguyên thỏa mãn u = v =10 3u - 4v = 50 M = 4u + 3v Câu 23: Cho hai số phức u , v thỏa mãn Tính A 30 B 40 C 50 D 60 Lời giải QuangPhi 464 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC z = z.z Ta có Đặt T = 3u - 4v T = ( 3u - 4v) ( 3u - 4v) = u +16 v - 12 ( uv + vu ) 2 Khi CHUYÊN ĐỀ: Tương tự ta có ( M +T = 25 u + v Do M = ( 4u + 3v ) ( 4u + 3v) = 16 u + v +12 ( uv + vu ) 2 2 ) = 5000 2 Suy M = 5000 - T = 5000 - 50 = 2500 Vậy M = 50 z2 1  z z z Câu 24: Trong số phức z thỏa mãn , gọi số phức có mơđun nhỏ w  z1  z2 có giá trị nhỏ nhất lớn Khi mơđun số phức A w 2 Gọi z  x  yi Ta có B w 2 C Lời giải w D   w  1  x; y  ¡   z   z  x  y   xyi  x  yi  x  y   x y  x  y   x2  y   y   2 2 2 2  x4  y  2x2 y  x2  y     x  y    x  y    y  x  y   2 y  x2  y2  y 1   2  x  y  y 1   C  : x   y  1  có tâm I  0;1 bán Khi điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn  C   : x   y  1  có tâm I   0; 1 bán kính R  kính R  Với vẽ  A 0;1  Suy  , B  0;1   , A  0; 1   , B  0; 1   max z    z1     1 i thuộc đường trịn hình z    z2     1 i Tuyển chọn toán VD-VDC | 465 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC z1  z2  2 Vậy Câu 25: Xét số phức z1  z2  z  a  bi  a, b  ¡  CHUYÊN ĐỀ: nên giá trị nhỏ thoả mãn   w 2   z  z  15i  i z  z  2z 1 i đạt giá trị nhỏ Tính P  a  b A P    P B   19 C Lời giải P 19 D P  z  z  15i  i z  z    a  bi  a  bi   15i  i  a  bi  a  bi  1  8bi  15i  i  2a  1  8b  15   2a  1 Ta có 8b  15   b  với z   i  2a  2bi   i   2a  1   2b  1 i   2a  1 2 15   2b  1  8b  15  4b  4b   4b  12b  14 Xét g  b   4b  12b  14 g '  b   8b  12  0, b  có 15 nên hàm số g  b   4b  12b  14 361 361  15  361 15   g  b  g    2z 1 i    ;   16    16 đồng biến 361 15 b a b  15  a    mà nên  2z 1 i có GTNN 15 19 P  ab    8 Vậy z 1  z  i  2 Câu 26: Xét số phức z thỏa Mệnh đề 1  z 2 z   z  z  2 A B C D Lời giải A  1;0  B  0;1 M  x; y  Xét điểm , với M điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Ta có: z 1  z  i   x  1  y  x   y  1  2MA  3MB Ta có: MA  3MB   MA  MB   MB  2  MB  2 Suy z 1  z  i  2  M  B  M  0;1 Câu 27: Dấu "  " xảy M thuộc đoạn AB MB  Khi z 1 z   m  1 z  m  5m  m Trên tập hợp số phức, xét phương trình ( tham số thực) z0  z0  z Gọi S tập hợp giá trị ngun m để phương trình có nghiệm thỏa mãn Tổng phần tử tập S A 466 | Phan Nhật Linh B C D CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: Lời giải z  z0 Do nên z0  z0   z0  z0    z0    (m  1)2  m2  5m  3m  Trường hợp 1: Nếu Khi    3m    m   z   z  2 , phương trình có nghiệm thực m  m  9m      TM  z  m   Thay vào phương trình ta được: m  m2  m     TM  z   m   Thay vào phương trình ta được:    3m    m   , phương trình có nghiệm phức z1 , z2 Trường hợp 2: Nếu thỏa mãn Vậy z2  z1 , z1  z2  S   0;1;8 Khi z1.z2  z1  m  5m   m   41 Suy tổng Câu 28: Trong tập số phức, cho phương trình z   m  1 z  m  3m   0, m  ¡ Có giá  0; 2021 để phương trình có nghiệm phân biệt z1; z2 thỏa mãn trị nguyên m đoạn z1  z2 ? A 2016 B 202 C 202 Lời giải D 2017 Phương trình có nghiệm phân biệt m      m  4m     m  1 Trường hợp 1: Phương trình cho có nghiệm thực phân biệt z1 , z2  z1  z2    m  1   z1 z2  m  3m  Theo định lí Vi-ét ta có: z  z2  z1   z2  z1  z2     m  1   m  Theo đề ta có: m  0  m  1 Trường hợp 2: z  z2 Phương trình ln có nghiệm phức z1 , z2 thỏa mãn Vậy có 2017 giá trị m thỏa mãn Câu 29: Cho hai số phức nhỏ A z1 , z2 thỏa iz1   z2  i  Khi biểu thức P  z1  3z đạt giá trị z1  z2 B C D Tuyển chọn toán VD-VDC | 467 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: Lời giải Ta có: iz1    i z1    z1  i   z1  2i  i I  ;  2 R  Gọi M điểm biểu diễn số phức 2z1  Tập hợp M thuộc đường tròn tâm , Ta có: z2  i   z2  i   3 z2  3i  , Gọi N điểm biểu diễn số phức 3z2  Tập hợp N thuộc đường tròn tâm I   0;   , R  Suy ra: P  z1  3z  MN uuur uur  Pmin  MN  M , N , I , I  thẳng hàng ( M nằm N I ) MN  IM  2 II  , M trung điểm NI  Từ ta tính M  0;  , N  0;3   z1  0,  z2  3i Khi đó, z1  z2  2i Vậy z1  z2  z  wz  z  iw   5i  Câu 30: Xét số phức z , w thỏa mãn , Khi đạt giá trị nhỏ zw A  468 | Phan Nhật Linh B  1  C  Lời giải D  CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Ta có: Ta có: Đặt iw   5i   i w  2  5i   w   2i  i T  z  wz   z  wz  z z  a  bi,  a, b  ¡ CHUYÊN ĐỀ:  , suy  z  wz  z.z  z z  w  z  z  w  z z  z  2bi Vì z   2  b  Gọi A, B điểm biểu diễn w, 2bi nên: A thuộc đường tròn tâm I  5; 2  ; R  , B thuộc trục Oy 4  xB   T  AB  2MN  2.4  Dấu "  " xảy A  M  4; 2   w  4  2i  w  B  N  0; 2   2bi  2i  b  1  z  a  i  z   a2 1   a2   a    z    i  z  z1  z2  Vậy z  w  22 75 5629  i  13 13 13 z  iw   8i Câu 31: Xét số phức z , w thỏa mãn | z | | w | Khi đạt giá trị nhỏ nhất, zw A 29 B 221 C D Lời giải Áp dụng bất đẳng thức mô-đun ta có z  iw   8i   8i  z  iw  10  z  iw  Đẳng thức xảy tồn số thực k  m  cho Với Với z  miw  z  m  w m   z  iw  k   8i    z  miw  z  1; w   iw 2 z z  iw  k   8i   3z  k   8i   z  10 k  k  10 z  i w  z  2iz   i 5 i 5 Suy Vậy z  iw   8i đạt giá trị nhỏ Câu 32: Trên tập hợp số phức, xét Phương trình zw  29 z   m  1 z  m  m ( tham số thực) Có bao z 7 z nhiêu giá trị m để phương trình có nghiệm thỏa mãn ? A B C D Tuyển chọn toán VD-VDC | 469 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: Lời giải Ta có:    2m  Trường hợp 1:    m  1  z0  z0    z  z0  7 Khi phương trình cho có nghiệm thực thỏa mãn  m   14  n  49  14  m  1  m2     m   14  n  z 7 Với thay vào phương trình ta có Với z  7 thay vào phương trình ta có Trường hợp 2: z0    m  49  14  m  1  m   VN  1 Khi phương trình có nghiệm phức z0 z0 m   l    49  z0 z0  49  m  49  m  7  n  Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề 470 | Phan Nhật Linh ... hai số chọn có số phức có phần thực lớn 27 34 A 110 B 55 C D z2  2z  Câu 21: Cho số phức z số thực z  z  số thực Có số phức z thoả mãn A z  z  z  z  z2 B D C Câu 22: Có tất số. ..   F  d Câu 20: Chọn hai số phức số phức có phần thực phần ảo số nguyên thỏa mãn điều kiện z   4i   3i  z   4i phần thực lớn 27 A 110 Xác suất để hai số chọn có số phức có 34 B 55 ... gian mẫu phép thử chọn hai số phức số phức có phần thực phần ảo số nguyên thỏa mãn điều kiện n    C 45 z   4i   3i  z   4i Ta có Gọi A biến cố: “Trong hai số chọn số phức có phần thực