Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH PHÚ THỌ TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG PHẠM CAO CƯỜNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Lí luận phương pháp dạy học mơn Tốn Phú Thọ, năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH PHÚ THỌ TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG PHẠM CAO CƯỜNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Lí luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 8140111 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS TS Bùi Văn Nghị Phú Thọ, năm 2021 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực chƣa cơng bố cơng trình khác Việt Trì, tháng năm 2021 Tác giả luận văn Phạm Cao Cường ii LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Giảng viên, Khoa Khoa học Tự nhiên trƣờng Đại học Hùng Vƣơng tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu thực đề tài Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo em học sinh trƣờng THPT Tam Nơng, THPT Hƣng Hóa, THPT Mỹ Văn tỉnh Phú Thọ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS TS Bùi Văn Nghị - ngƣời tận tình hƣớng dẫn, bảo giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Tôi xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến gia đình, ngƣời thân, bạn đồng nghiệp, ngƣời ln động viên, khuyến khích giúp đỡ mặt để tơi hồn thành cơng việc nghiên cứu Việt Trì, tháng năm 2021 Tác giả luận văn Phạm Cao Cường iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC BẢNG v DANH MỤC BIỂU ĐỒ vi DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT vii MỞ ĐẦU .1 Lí chọn đề tài Tổng quan nghiên cứu .3 Mục đích nghiên cứu .4 Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Giả thuyết khoa học Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Phƣơng pháp tiến hành nghiên cứu Những đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .7 1.1 Kỹ kỹ giải toán .7 1.1.1 Khái niệm kỹ năng, kỹ giải toán 1.1.2 Phân loại kỹ năng, hình thành kỹ giải toán 1.1.3 Điều kiện để có kỹ 1.1.4 Các mức độ kỹ giải toán 1.2 Dạy học giải toán 1.2.1 Vị trí vai trị tập toán .9 1.2.2 Phƣơng pháp giải toán .10 1.3 Giải toán phƣơng pháp hàm số 11 1.3.1 Mục tiêu nhiệm vụ dạy học giải toán phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12 THPT .11 1.3.2 Phƣơng pháp giải toán hàm số .12 iv 1.4 Khảo sát thực tiễn dạy học giải toán phƣơng pháp hàm số 13 1.4.1 Mục đích, đối tƣợng, hình thức, nội dung khảo sát 13 1.4.2 Kết khảo sát giáo viên 13 1.4.3 Kết khảo sát 100 học sinh 17 1.4.4 Một số khó khăn sai lầm học sinh giải toán lớp 12 20 Chƣơng 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH BẰNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ 24 2.1 Định hƣớng .24 2.2 Biện pháp rèn luyện 24 2.3 Nội dung rèn luyện .25 2.3.1 Rèn luyện kỹ giải toán phƣơng trình (tìm điều kiện có nghiệm, biện luận số nghiệm phƣơng trình) phƣơng pháp hàm số 25 2.3.2 Rèn luyện kỹ tìm GTLN – GTNN biểu thức đại số hình học phƣơng pháp hàm số 39 2.3.3 Rèn luyện kỹ giải bất phƣơng trình, điều kiện có nghiệm bất phƣơng trình phƣơng pháp hàm số 68 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 83 3.1 Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm 83 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sƣ phạm .83 3.1.2 Nội dung thực nghiệm sƣ phạm 83 3.2 Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm 83 3.2.1 Thời gian thực nghiệm sƣ phạm .83 3.2.2 Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm 83 3.3 Đề kiểm tra sau thực nghiệm .84 3.4 Kết thực nghiệm sƣ phạm 88 3.4.1 Đánh giá định tính 88 3.4.2 Đánh giá định lƣợng 92 3.4.3 Đánh giá chung kết thực nghiệm 94 KẾT LUẬN .96 v DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1 Kết điều tra nhận thức GV ý nghĩa tầm quan trọng việc rèn luyện kỹ giải toán .13 Bảng 1.2 Điều tra tính hiệu sử dụng “phƣơng pháp hàm số” để giải dạng tốn có liên quan .15 Bảng 1.3 Tổng hợp nhận thức HS vai trị, tác dụng rèn luyện kỹ giải tốn .17 Bảng 1.4 Những khó khăn HS học tập giải toán phƣơng pháp hàm số 19 Bảng 3.1 So sánh mức độ học lực hai lớp (kiểm tra học kì I năm học 2020-2021)84 Bảng 3.2 Kết kiểm tra trƣớc thực nghiệm (kết thi học kì I) 93 Bảng 3.3 Kết kiểm tra sau thực nghiệm (kết kiểm tra 45 phút) .93 vi DANH MỤC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 1.1 Tần suất vận dụng phƣơng pháp hàm số vào giải tốn q trình giảng dạy GV 14 Biểu đồ 1.2 mức độ hiệu sử dụng “phƣơng pháp hàm số” để giải toán 16 Biểu đồ 1.3 Mức độ cần thiết việc rèn luyện kỹ giải toán phƣơng pháp hàm số .18 Biểu đồ 1.4 Khả vận dụng phƣơng pháp hàm số để giải toán HS 18 Biểu đồ 1.5 Những khó khăn HS học tập giải toán phƣơng pháp hàm số 19 Biểu đồ 3.1: Kết kiểm tra trƣớc thực nghiệm .93 Biểu đồ 3.2 Kết kiểm tra sau thực nghiệm 94 vii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết đầy đủ Viết tắt GV Giáo viên HS Học sinh THPT Trung học phổ thông ĐH Đại học ĐHSP Đại học sƣ phạm GTLN – GTNN Giá trị lớn – Giá trị nhỏ SBT Sách tập GT Giải tích PT Phƣơng trình BPT Bất phƣơng trình BĐT Bất đẳng thức TN Thực nghiệm ĐC Đối chứng TNSP Thực nghiệm sƣ phạm TTCM Tổ trƣởng chuyên môn TTN Trƣớc thực nghiệm STT Sau thực nghiệm SL Số lƣợng MĐ Mức độ HKI Học kì I HT Học tập XH Xã hội MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Yêu cầu giáo dục giai đoạn Một mục tiêu quan trọng giáo dục phổ thông trang bị tri thức, rèn luyện kỹ năng, phát triển tƣ cho học sinh “Giáo dục phổ thơng nhằm phát triển tồn diện cho người học đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ, kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo; hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho người học tiếp tục học chương trình giáo dục đại học, giáo dục nghề nghiệp tham gia lao động, xây dựng bảo vệ Tổ quốc” (Luật giáo dục số 43/2019/QH14 Quốc hội Việt Nam) Đặc biệt, mục tiêu giáo dục trung học phổ thông “Nhằm trang bị kiến thức công dân; bảo đảm cho học sinh củng cố, phát triển kết giáo dục trung học sở, hồn thiện học vấn phổ thơng có hiểu biết thơng thường kỹ thuật, hướng nghiệp; có điều kiện phát huy lực cá nhân để lựa chọn hướng phát triển, tiếp tục học chương trình giáo dục đại học, giáo dục nghề nghiệp tham gia lao động, xây dựng bảo vệ Tổ quốc.” (Điều 29) Nhằm phát triển giáo dục với mục tiêu đào tạo ngƣời Việt Nam phát triển tồn diện, có tri thức, phẩm chất tốt, Đảng Nhà nƣớc nhiều chủ trƣơng, sách để giáo dục nƣớc nhà có chuyển biến đáp ứng đƣợc với kì vọng nhân dân 1.2 Mục tiêu đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thông Trong sống phải đối đầu với nhiều vấn đề thực tế mà đòi hỏi phải dùng kiến thức kỹ Toán học để giải quyết, ứng thực tế toán học mà ngƣời giải đƣợc điều để góp phần thúc đẩy xã hội phát triển Mơn Tốn trƣờng trung học phổ thơng góp phần hình thành phát triển phẩm chất chủ yếu, lực chung lực Toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kỹ then chốt tạo hội để học sinh đƣợc trải nghiệm Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phƣơng trình cho vô nghiệm  m  Bài Giải biện luận GV: Ẩn phụ? phƣơng trình HS: Đặt t  x2  2mx  phƣơng trình trở thành 5x 2 mx2  2 x2 4 mxm2 t 2t  m2  2t  m  (1)  x2  2mx  m  t  GV: Nhận hàm số? HS: Vế trái f t vế phải f 2t m GV: Khảo sát hàm số? HS: Xét hàm số f  t   5t  t + Miền xác định D=R + Đạo hàm: f '  5t.ln   0, x  D  hàm số tăng D Vậy (1)  f  t   f  2t  m  2  t  2t  m   t  m    x2  2mx  m  (2) Xét phƣơng trình (2) ta có:  '  m2  m + Nếu  '   m2  m    m  Phƣơng trình (2) vơ nghiệm  phƣơng trình (1) vô nghiệm + Nếu m  '   m Với m phƣơng trình có nghiệm kép x Với m phƣơng trình có nghiệm kép x m  phƣơng trình (2) có m  + Nếu  '    nghiệm phân biệt x1,2  m  m  m nghiệm kép (1) Kết luận: Với m phƣơng trình có nghiệm kép x Với m phƣơng trình có nghiệm kép x Với m phƣơng trình vơ nghiệm Với m m x1,2 m2 m phƣơng trình có nghiệm m Hoạt động vận dụng, tìm tịi mở rộng: Mục tiêu: Học sinh vận dụng đƣợc phƣơng pháp hàm số để giải tốn liên quan có mức độ vận dụng, vận dụng cao Nội dung phương thức tổ chức hoạt Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động học tập học sinh động Bài Có cặp số nguyên + Điều kiện: x  y   x ; y  thoả mãn x  y  0;  20  x  20 + Ta có: x  y  nên log x log  x  y   x  y  3xy  x  y  log x x2 x2 2y y2 y2 log x log x 3xy 3xy y2 y 3xy y log x x y y x2 3xy x x y2 3xy y Xét hàm số: f  t   log t  t , ta có: f ' t 1 t t ln 0; nên hàm số f  t  đồng biến  ;    Do đó: f x2 y2 3xy y2 3xy x x2 f x y y   x  y  x  y  1   x   y x y nên x y y + Do 20  x  20 suy + Do y  nên y 19 y 9; 8; ; 1;0 , với giá trị y cho ta giá trị x thoả mãn YCBT Vậy có 10 cặp số nguyên  x ; y  thoả mãn YCBT Giáo án Ngày soạn: 12/02/2021 Tiết 3: BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT I Mục tiêu học Về kiến thức: + Học sinh biết giải bất phƣơng trình mũ, bất phƣơng trình lơgarit phƣơng pháp hàm số + Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số Về kỹ năng: - Kỹ sử dụng công thức mũ, lơgarit - Kỹ biến đổi bất phƣơng trình tƣơng đƣơng - Kỹ sử dụng hàm số vào giải bất phƣơng trình - Kỹ vẽ đồ thị hàm số Thái độ: - Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập tƣ - Say sƣa, hứng thú học tập, tìm tịi - Bồi dƣỡng tinh thần trách nhiệm, kiên trì, vƣợt khó Các lực hƣớng tới hình thành phát triển học sinh: - Phát triển lực hoạt động nhóm, khả diễn thuyết độc lập - Năng lực giải vấn đề II Chuẩn bị học sinh giáo viên: Giáo viên: - Soạn kế hoạch giảng, soạn giáo án - Chuẩn bị phƣơng tiện dạy học: thƣớc kẻ, máy chiếu… - Giao trƣớc cho học sinh số nhiệm vụ nhà phải đọc trƣớc Học sinh: - Đọc trƣớc nhà - Nghiên cứu để thuyết trình vấn đề học trƣớc lớp III Chuỗi hoạt động học Hoạt động khởi động - Qua việc giải tập nhà, HS cho biết có phƣơng pháp giải bất phƣơng trình mũ, bất phƣơng trình lơgarit? Gợi ý: Phƣơng pháp đƣa số, phƣơng pháp đặt ẩn phụ, phƣơng pháp lơgarit hóa, mũ hóa, phƣơng pháp hàm số Hoạt động hình thành kiến: giải bất phƣơng trình, điều kiện có nghiệm bất phƣơng trình phƣơng pháp hàm số a) Tiếp cận kiến thức: + Chuyển giao nhiệm vụ: Gọi học sinh nhắc lại số tính chất hàm số mũ, hàm số lôgarit + Thực nhiệm vụ: Học sinh trả lời câu hỏi cách giơ tay phát biểu ý kiến Các học sinh khác theo dõi nhận xét + Báo cáo kết quả: GV: Gọi học sinh trả lời câu hỏi, nhận xét tính đúng-sai HS: Trả lời câu hỏi, nhận xét câu trả lời bạn b) Hình thành kiến thức: - Bất phƣơng trình mũ f x g x + Nếu a  a    a    f  x   g  x  f x g x + Nếu  a  a    a    f  x   g  x  + Nếu a chứa ẩn a f  x  a g  x   a  1  f  x   g  x   - Bất phƣơng trình lơgarit + Nếu a  loga f  x   log a g  x   f  x   g  x  + Nếu  a  loga f  x   log a g  x   f  x   g  x  log a B    a  1 B  1  + Nếu a chứa ẩn  log a A    A  1 B  1   log a B - Tính đơn điệu hàm số + y  f  x  đồng biến D thì: f  u   f  v   u  v + y  f  x  nghịch biến D thì: f  u   f  v   u  v + f ' x có tối đa n nghiệm K f x có tối đa n nghiệm K c) Củng cố * Mục tiêu: - Học sinh biết giải bất phƣơng trình, điều kiện có nghiệm bất phƣơng trình mũ, bất phƣơng trình lơgarit phƣơng pháp hàm số - Học sinh biết khảo sát hàm số * Nội dung, phương thức tổ chức: - Chuyển giao: + Lần Các em quan sát lên chiếu, theo dõi đề Ví dụ Gợi ý Nội dung Ví dụ Giải bất phƣơng trình 1) x 2) log3 x x 4 x Đồ thị 3.1 x a) Vẽ đồ thị hàm số y y x đƣờng thẳng hệ trục tọa độ Oxy ta thấy chúng cắt điểm có hồnh độ x Từ đồ thị ta thấy: x đƣờng cong y y x x nằm phía dƣới đƣờng thẳng nên suy x x x Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình cho 1; b) Vẽ đồ thị hàm số y thẳng y log3 x đƣờng x hệ trục tọa độ Oxy ta thấy chúng cắt điểm nhât có hồnh độ x Đồ thị 3.2 Từ đồ thị ta thấy đƣờng cong y phía đƣờng thẳng y log3 x nằm x x Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình cho 3; + Lần 2: Lớp chia thành bốn nhóm (nhóm có đủ đối tƣợng học sinh, khơng chia theo lực học) giải ví dụ 1; Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ - Thực hiện: + Nhóm 1, nhóm thảo luận đƣa phƣơng án giải ví dụ 1; viết kết vào bảng phụ + Nhóm 2, nhóm thảo luận đƣa phƣơng án giải ví dụ 2; viết kết vào bảng phụ + Giáo viên quan sát, theo dõi nhóm - Báo cáo, thảo luận: + Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho câu hỏi + HS quan sát phƣơng án trả lời nhóm bạn + GV quan sát, lắng nghe - Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: + GV nhận xét thái độ làm việc, phƣơng án trả lời nhóm, ghi nhận tuyên dƣơng nhóm có câu trả lời tốt Động viên nhóm cịn lại tích cực, cố gắng hoạt động học * Sản phẩm: Các phiếu kết ví dụ 1; nhóm Hoạt động luyện tập * Mục tiêu : Học sinh ghi nhớ, vận dụng phƣơng pháp hàm số giải bất phƣơng trình, tìm điều kiện có nghiệm bất phƣơng trình mũ, lôgarit Nội dung phương thức tổ chức Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động hoạt động học tập học sinh Bài Giải bất phƣơng trình: log x log3 x Xét hàm số f x f' x log x x f' x log3 x ln 0, x x với x ln Hàm số f x đồng biến Suy f x f x 6; Mà f Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình cho 2; Bài Giải bất phƣơng trình a) x 5x x b) 2 9x 2x 2.3x x 512 3x log x 2x a) Chia hai vế BPT cho x ta đƣợc x x x 7 Xét hàm số x f x x x Vì ln 0, ln nên f ' x 3 ln 7 với x x x 5 ln 7 f' x x x 0, ln 3 ln 7 x Hàm số f x nghịch biến Ta lại có f f x nên BPT có dạng f x Vậy tập nghiệm BPT cho b) Điều kiện x x 22 x x x 22 x x ;2 log x 2x log x 9x 2x 512 x 9x 512 x Xét hàm số f x với x x 22 x x , ta có log x 2x 9x 512 x x ln f' x x ln Nên 2 22 512 x2 hàm số y x 2x ln x x ln f x đồng biến khoảng 0; Vì f x nên BPT f x có nghiệm Vậy tập nghiệm BPT cần tìm 2; Bài Tìm m để bất phƣơng trình sau nghiệm với x0 x 2 x m.9  (2m  1).3 2m   x 2 x Đặt t  3x 2 x Xét hàm số g ( x)  x  x với x  g ' x   2x    x  Suy g  x   g 1  1 nên t  0;  BPT cho trở thành: mt  (2m  1)t  2m   + Cô lập tham số?  m(t  2t  2)   t m 3t  f (t ) t  2t  + Phát biểu toán với ẩn phụ mới? u cầu tốn trở thành tìm m để bất phƣơng trình f (t )  m với t  f 't   t  6t   t  2t  2 , t   17 f '  t    t  6t     t   17 Bảng biến thiên t f '(t)   17   24 25 f (t)  17 Vậy m  24 25 Hoạt động vận dụng, tìm tịi mở rộng: Mục tiêu: Học sinh vận dụng đƣợc phƣơng pháp hàm số để giải tốn liên quan có mức độ vận dụng, vận dụng cao Nội dung phương thức tổ chức hoạt Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động học tập học sinh động Bài Tìm giá trị nguyên dƣơng log  x2    log  mx2  x  m  m để bất phƣơng trình sau có nghiệm với x log  x    log  mx  x  m  7 x   mx  x  m    mx  x  m    m   x  x  m     mx  x  m  7 x  x   m  x  1    m  x  1  4 x  x2  4x  m  x   m  4 x  x2  4 x 4 x   7  x   m m   x    (*) m  4 x m  4 x 2 x 1 x 1   4 x x2  Xét hàm số g ( x)  4( x  1)  x( x  1) x  g '( x)   ( x  1)2 ( x  1)2  x  1 g '( x)    x  Bảng biến thiên x  g'    0 g m   2  2m5 m  Vậy đk (*)   Do m nên m3; 4;5 PHỤ LỤC ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Phần I Trắc nghiệm 10 B A C A D A C A C A Phần II Tự luận Câu 1.a Đáp án Điểm Tìm giá trị lớn hàm số y  3x  đoạn  0; 2 x 3 Trên đoạn  0; 2 ta ln có y    x  3   x   0;  ( đạo hàm vô nghiệm (0; 2)) 0,5 0,5 3 Vì y    , y     nên M  max y  1.b 0;2 Tìm m để tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y xm đoạn 1; 2 ( m tham số thực) x 1 Ta có: y  1 m  x  1 0,25 0,25 - Nếu m   y  (loại) 0,25 - Nếu m  1khi y  0,  x  1; 2 y  0,  x  1; 2 nên hàm số đạt giá trị lớn nhỏ x  1, x  0,25 Theo max y  y   y 1  y    1;2 2.a 1;2 Giải phƣơng trình log3 x 1 m  m 41    m   8;10  x 11 Xét hàm số f x Hàm số f x log3 x với x log3 x đồng biến với hàm số g x 2.b x 11 0, x x 11 nghịch biến với x g x mà f hàm số g x nghiệm phƣơng trình 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho phƣơng trình x  2x1    2x1  x Tính tổng nghiệm phƣơng trình x  x 1    x 1  x  x.2 x 1  4.2 x 1  x  x  Ta có  x 1 ( x  4)  x( x  4)   ( x  4)(2 x 1  x)  x   x   x () 0,25 Giải phƣơng trình (*): Xét hàm số f ( x)  2x  x có f '( x)  2x ln  2; f ''( x)  2x ln 2  Suy phƣơng trình f '( x)  có nghiệm, suy phƣơng trình f ( x)  có nhiều hai nghiệm 0,25 0,25 0,25 Mà ta thấy f (1)  f (2)  nên phƣơng trình (*) có nghiệm x  1; x  Vậy tổng nghiệm phƣơng trình Tìm số nguyên m nhỏ để bất phƣơng trình log3  x  x  1  x3  3x  log3 x  m  (ẩn x ) có hai nghiệm phân biệt log3  x2  x  1  x3  3x  log3 x  m  1 Điều kiện x  0,25  x  x 1    x  3x  m  x   1  log3  1   log3 1  x    x3  3x  m  x    1 Xét f  x   log3 1  x    x3  3x , với x  x  0,25 x2 f  x   6x2  6x ; f   x   x    1  x   ln x   1 0,25 Với x   0;1  f   x   ; với x  1;    f   x   0,25 Vậy bất phƣơng trình có hai nghiệm  m 1   m  Vậy m  ... - Cụ thể hóa kỹ cần thiết giải toán lớp 12 phƣơng pháp hàm số nhằm rèn luyện cho học sinh - Xây dựng đƣợc số biện pháp rèn luyện kỹ giải toán phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12 8.2 Về thực... ? ?rèn luyện kỹ giải toán phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12? ?? Rèn luyện kỹ giải toán giúp cho học sinh phát triển tƣ sáng tạo, tự giác, tích cực hoạt động + Về cần thiết việc ? ?rèn luyện kỹ giải. .. học sinh kỹ giải toán + Về khó khăn giảng dạy phương pháp hàm số Khi đƣợc hỏi trình ? ?rèn luyện kỹ giải toán phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12? ?? gặp khó khăn Câu hỏi [Phụ lục 1], 100% GV cho