(SKKN MỚI NHẤT) MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐẠI SỐ 8

1/15 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ===*****=== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐẠI SỐ 8” Mơn : Tốn Cấp học : Trung học Cơ sở Tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Đơn vị công tác : Trường THCS Liên Trung Chức vụ : Giáo viên Năm học : 2020 – 2021 MỤC LỤC 2/15 TT Nội dung Trang PHẦN I.ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lý chọn đề tài 2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài 3 Đối tượng nghiên cứu 4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu 5 Phương pháp nghiên cứu 6 Phạm vi kế hoạch nghiên cứu 7 Kết khảo sát trước thực PHẦN II –GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.Tên đề tài 2 Cơ sở lý luận 3 3.Thực trạng 4 Các nguyên nhân, yếu tố tác động 5 Giải pháp, biện pháp 4-6 6 Các ví dụ - 14 7 Kết khảo sát sau thực 14 PHẦN III.KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận 15 Khuyến nghị 15 3-4 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/15 PHẦN I.ĐẶT VẤN ĐỀ Mơn tốn mơn học phong phú đa dạng , niềm say mê người u thích tốn học Đối với học sinh để có kiến thức vững , đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện , học hỏi nhiều bền bỉ Đối với giáo viên : làm để trang bị cho em có đầy đủ kiến thức ? Đó câu hỏi mà giáo viên phải đặt cho thân Lý chọn đề tài Chuyên đề “Giải phương trình tích ”được học kỹ chương trình lớp , có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích vấn đề quan trọng Nắm tinh thần trình giảng dạy tốn tơi dày cơng tìm tịi ; nghiên cứu để tìm phương pháp giải phương trình tích đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho học sinh Trong SGK trình bày phương pháp phân tích vế trái thành tích đa thức phương pháp đặt nhân tử chung ; dùng đẳng thức; tách hạng tử ; phương pháp thêm bớt hạng tử ; phương pháp đặt ẩn phụ ; để làm số dạng tập giải phương trình tích Khi học chun đề học sinh thích thú , có ví dụ đa dạng , có nhiều vận dụng cách giải khác cuối đưa dạng tích từ giúp em học tập kiến thức giải số tốn khó Mục tiêu nhiệm vụ đề tài Trong nhiều năm phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy Tơi tích lũy nhiều kiến thức dạng tốn “ giải phương trình tích” dạng tập vận dụng đặc biệt hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết nên áp dụng phương pháp để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu ; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học mơn tốn cách giải tốn theo mạch kiến thức mang tính logic, phương pháp dạy học loại tập “ Giải dạng phương trình đưa dạng phương trình tích” Đổi phương pháp dạy học Nâng cao chất lượng dạy học bồi dưỡng học sinh đại trà học sinh giỏi Cụ thể : - Tìm hiểu thực trạng học sinh Những phương pháp thực Những chuyển biến sau áp dụng Rút học kinh nghiệm 2/15 Đối tượng nghiên cứu : Học sinh lớp 8B trực tiếp giảng dạy Giới hạn phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu giải phương trình tích tập vận dụng chương trình học kỳ II mơn đại số lớp Vận dụng phương pháp: Phân tích đa thức thành nhân tử; nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức học kì I Phương pháp nghiên cứu Phương pháp đọc sách tài liệu Phương pháp nghiên cứu sản phẩm Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Phương pháp thực nghiệm Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề Phạm vi kế hoạch nghiên cứu Thời gian nghiên cứu đề tài năm học 2020 – 2021 Đề tài thực học sinh đại trà học sinh giỏi khối lớp trường Trung học sở Kết khảo sát trước thực hiện: - Học lực môn toán năm học 2019 - 2020 Tổng số Giỏi Khá Trung bình Yếu học sinh 35 HS SL % SL % SL % SL % 4,3% 20% 15 42,9% 11 32,8% 3/15 PHẦN II –GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Tên đề tài: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐẠI SỐ 8” Cơ sở lý luận Trong hoạt động giáo dục đòi hỏi học sinh cần phải tự học ; tự nghiên cứu cao Tức đích cần phải biến trình giáo dục thành trình tự giáo dục Như học sinh phát huy lực sáng tạo ; tư khoa học từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội Một phương pháp để học sinh đạt điều mơn tốn ( cụ thể mơn đại số lớp ) khích lệ em sau tiếp thu thêm lượng kiến thức em cần khắc sâu tìm tịi tốn liên quan Để làm giáo viên cần gợi say mê học tập ; tự nghiên cứu , đào sâu kiến thức em học sinh Thực trạng : a)Thuận lợi : - Ban giám hiệu nhà trường đạo thường xuyên coi việc phát triển lực chuyên môn then chốt ; nhà trường phát động nhiều phong trào nhằm đẩy mạnh công tác chuyên môn Tạo điều kiện thuận lợi để thầy giáo có điều kiện học hỏi đúc rút nhiều kinh nghiệm cho thân - Đa số giáo viên nhiệt tình cơng tác giảng dạy ; học sinh ham học - Cơ sở vật chất nhà trường đầy đủ ; đồ dung học tập phong phú - Tài liệu tham khảo đa dạng ; đội ngũ giáo viên có lực vững vàng ,nhiệt tình - Đa số em ham học ; thích nghiên cứu nhận thức đắn ý thức học tập cần phải hăng say học tập - Học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống ; em nắm dạng tập phương pháp giải tập - Đã gợi say mê học tập em học sinh b) Khó khăn : - Lực học em không đồng Một số em học sinh tiếp thu cịn chậm khơng đáp ứng yêu cầu chương trình - Thời lượng thực giảng dạy hạn chế Một số em học sinh tiếp thu chậm - Thời gian thực tế lớp nên việc lồng ghép dạng tốn có liên quan cịn khó khăn có tốn học sinh cịn bỡ ngỡ chưa biết cách giải 4/15 -Một số em lười học, bị gốc nhiều dẫn đến trình biến đổi hay bị sai sót, khơng biết đâu, vận dụng chưa linh hoạt kiến thức liên quan vào giải phương trình -Nhiều em chưa biết xếp thời gian học cách khoa học nên học chưa hiệu v.v… 4.Các nguyên nhân ; yếu tố tác động - Xuất phát từ thực trạng nói nguyên nhân chủ yếu nhằm giúp cho em học sinh có ý thức học tập đắn ; tạo ham mê học tập giúp em có điều kiện lĩnh hội số kiến thức để em học tập sau tốt - Xuất phát từ ham học hỏi học sinh ham mê nghiên cứu lòng yêu nghề thân - Sự đạo sát cấp chuyên môn phát động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy Giải pháp , biện pháp a)Mục tiêu giải pháp , biện pháp - Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ phương pháp giải phương trình đưa dạng “ Phương trình tích ” Đồng thời vận dụng phương pháp để giải tốn hay khó - Giải phương trình sử dụng phương pháp tách hạng tử phân tích đa thức đưa dạng tích Giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích ? ” Và dạng tập vận dụng vận dụng Phân tích vế trái thành tích ( thừa số ) biến đổi vế trái thành tích đa thức ; đơn thức khác ẩn vế phải b)Điều kiện thực giải pháp ; biện pháp - Thực chuyên đề tổ,với đóng góp ý kiến đồng nghiệp - Thực q trình giảng dạy thơng qua tiết học lớp ; tiết giải tập số tiết dạy phụ đạo - Biện pháp tổ chức thực tập trung phân theo nhóm đối tượng học sinh c) Mối quan hệ giải pháp biện pháp Với phương pháp biến đổi giải phương trình tích đơn giản ; phương pháp tách hạng tử ; phương pháp đặt ẩn phụ ; phương pháp quy đồng mẫu khử mẫu ; phương pháp cộng vào hai vế ; nhóm quy đồng đưa hạng tử có tử giống để đặt nhân tử chung có mục đích chung đưa phương trình dạng phương trình tích 5/15 d) Nội dung phương pháp thực Để chuẩn bị tốt cho việc giải phương trình tích học kì II, học kì I tơi trọng rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho em Đối với em trung bình yếu tơi tập trung vào phương pháp phân tích đa thức làm làm lại tập đơn giản để em nắm phương pháp Ngoài để nâng cao chất lượng học sinh giỏi đưa thêm số phương pháp mở rộng phương pháp tách hạng tử, phương pháp thêm bớt phương pháp đặt biến phụ.Vì dạy phần phương trình tích thuận lợi nhiều.Khi vào giải phương trình tích tơi cho học sinh ôn lại tích không làm sau dạng phương trình tích Giáo viên đặt câu hỏi : Một tích ? Trong tích có thừa số tích ? - Cần cho học sinh thấy rõ : Một tích thừa số phải có thừa số Trong tích có thừa số tích Ví dụ : Giải phương trình : ( x − 3)( x + 1) = ( ) Phương pháp giải : Tính chất nêu phép nhân viết ab = ⇔ a = b = ( với a ; b số ) Đối với phương trình ta có : ( x − 3)( x + 1) = ⇔ 2x – = Hoặc x + = Do để giải phương trình ( ) ta phải giải hai phương trình 1/ 2x – = ⇔ 2x = ⇔ x = 1,5 2/ x + = ⇔ x = - Vậy phương trình cho có hai nghiệm : x = 1,5 x = - Và ta viết tập hợp nghiệm phương trình : S = { 1,5; −1} Giải phương trình gọi giải phương trình tích Giáo viên đưa dạng phương trình tích tổng qt GV? : Để giải phương trình tích : A(x ) A(x ) ……….A(x n ) = ( II ) ta cần giải phương trình ? HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải phương trình sau A( x ) = ( ) ; A( x ) = ( ) ;… ; A ( x n ) = ( n ) Nghiệm phương trình ( ) ; ( ) …….( n ) nghiệm phương trình ( II ).Với giá trị x thỏa mãn điều phương trình ( II ) Sau học sinh nắm kiến thức phương trình tích , luyện tập dạng tơi phân dạng tốn dựa vào kinh nghiệm nghiên cứu tài liệu để học sinh biết phương trình nên đưa dạng tích 6/15 cách phân tích dạng phương trình Và số ví dụ mà tơi áp dụng 6.Một số ví dụ áp dụng DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN Ví dụ 1: Giải phương trình ( x + 1)( x + 4) = ( − x )( + x ) Nhận xét: Ở phương trình có chứa dấu ngoặc chưa có nhân tử chung tích ta làm sau: Bước : Chuyển hạng tử vế phải vế trái đổi dấu hạng tử Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức đẳng thức A – B2 để bỏ dấu ngoặc , sau áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành tích Ta có : ( x + 1)( x + 4) = ( − x )( + x ) ⇔ ( x + 1)( x + 4) − ( − x )( + x ) = ⇔ x + x + x + − 2 + x = ⇔ x + x = ⇔ x ( x + 5) = Bước : Giải phương trình tích vừa tìm kết luận nghiệm x = x = ⇔ x ( x + 5) = ⇔  x = − x + =     5 2 Vậy tập nghiệm phương trình : S = 0;−  Ví dụ : Giải phương trình : ( − x )( x + 1) = Gợi ý: Đây phương trình tích dạng tắc thực cách giải thơng thường , 2; 3; coi hệ số thông thường Giải : Ta có ( )( ) − x 2x + =  x =  3−x =0 ⇔ ⇔  −1 2 x + = x = 2   −1    2 Vậy tập nghiệm phương trình : S =  ; Ví dụ 3: Giải phương trình : x − = x( 3x − ) Cách 1: Tương tự ví dụ ta thực phép chuyển vế ta có : 3 x − = x( x − ) ⇔ x − − x( x − ) = 7 7 ⇔  3 3 x − − x + x = ⇔  x − x  − (1 − x ) =  7 7 7/15 1 − x = x = 3   ⇔  x − ( − x ) = ⇔ ⇔  x = 7 x − =   7   7  3 Vậy tập nghiệm phương trình : S = 1;  Cách 2: chuyển hạng tử vế phải sang vế trái vế phải 0, quan sát hai hạng tử đầu vế trái đặt 1/7 xuất nhân tử chung, sử dụng đặt nhân tử chung đưa phương trình tích 3 1 x − = x( x − ) ⇔ x − − x ( 3x − ) = ⇔ ( 3x − ) − x ( 3x − ) = 7 7 7 1 − x = x = 1  ⇔ ⇔ ( 3x − ) ( − x ) = ⇔  x −1 = x = 7 7   7  3 Vậy tập nghiệm phương trình : S = 1;  Ví dụ 4: Giải phương trình : x − x + − = Gợi ý: biến đổi vế trái dựa vào đẳng thức Giải : Ta có x − x + − = ⇔ ( x − x + 1) − = ⇔ ( x − 1) − 2 = ⇔ ( x − − )( x − + ) = x − = x = ⇔ ⇔ ( x − 3)( x + 1) = ⇔  x + =  x = −1 Vậy tập nghiệm phương trình S = {-1; 3} Ví dụ 5: Giải phương trình : ( x − 1) + 2( x − 1)( x + 2) + ( x + 2) = Cách 1: học sinh sử dụng đẳng thức để bỏ dấu ngoặc thu gọn hạng tử phân tích vế trái thành nhân tử Cách 2: Gợi ý: nhận đẳng thức bình phương tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc nhân đa thức phân tích thành nhân tử Ta xem ( x- ) =A ; ( x + ) = B ⇒ phương trình có dạng ( A + B ) = Giải : Ta có ( x − 1) + 2( x − 1)( x + 2) + ( x + 2) = ⇔ [ ( x − 1)( x + ) ] = ⇔ [ ( x − 1)( x + 2) ] = ⇔ ( x − + x + 2) = ⇔ x + = ⇔ x = −  1  2 Vậy tập nghiệm phương trình : S =  −  DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 8/15 Ví dụ : Giải phương trình : x + 3x + x = Cách : Ta có : x + 3x + x = ⇔ x( x + x + 2) = ⇔ x ( x + x + x + ) = ( tách 3x = x + 2x ) [( ] ) ⇔ x x + x + ( x + 2) = ( nhóm hạng tử ) ⇔ x[ x( x + 1) + 2( x + 1) ] = ( đặt nhân tử chung cho nhóm ) ⇔ x( x + 1)( x + 2) = ( đặt nhân tử chung ) x = x =  ⇔  x + = ⇔  x = −1  x + =  x − Vậy tập nghiệm phương trình : S ={0; -1; -2} Cách 2: Đối với phương trình bậc cao f(x) = 0, tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ đa thức f(x) có nhân tử (x + 1), tách hạng tử để nhóm hạng tử xuất nhân tử chung x +1.còn tổng hệ số hạng tử có nhân tử x – 1.Ở ví dụ ta thấy 1+2 = Do ta làm sau : Ta có x + 3x + x = ⇔ x + x + x + x = ( tách 3x = x + x ) ( ) ( ) ⇔ x + x + x + x = ⇔ x ( x + 1) + x( x + 1) = ( ) ⇔ ( x + 1) x + x = ⇔ x( x + 1)( x + 2) = x = x =  ⇔  x + = ⇔  x = −1  x + =  x − Vậy tập nghiệm phương trình : S ={0; -1; -2} Ngồi ta thử số nghiệm nhỏ 0; 2; -2; 3; -3 vào phương trình có nghiệm ta thử tách hạng tử để làm xuất nhân tử chung chứa nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình : x − 19 x − 30 = Ở ta x = -3 nghiệm phương trình nên ta làm sau: Giải : Ta có : x − 19 x − 30 = ⇔ x − x − 10 x − 30 = ( ) ( ) ⇔ x − x − (10 x + 30 ) = ⇔ x x − − 10( x + 3) = ( ⇔ ( x + 3) [( x ) ( ) ⇔ ( x + 3) x − 3x − 10 = ⇔ ( x + 3) x − x + x − 10 = ) ] − x + ( x − 10 ) = ⇔ ( x + 3)[ x( x − 5) + 2( x − 5) ] = ⇔ ( x + 3)( x − 5)( x + 2) = 9/15 x + =  x = −3  ⇔  x − = ⇔  x =  x + =  x = −2 Vậy tập nghiệm phương trình : S ={- 3; - 2; 5} Ví dụ : Giải phương trình : x + x − =  ac = b1.b2 b = b1 + b2 Cách 1: tách hạng tử bx = b1 x + b2 x cách tính  ac = −6 b1 = ⇒ b = b2 = −1 Ở ví dụ ta có  Như phương trình biến đổi sau: x + x − = ⇔ 3x + x − x − = ⇔ ( 3x + x ) − ( x + ) = ⇔ 3x ( x + ) − ( x + ) = ⇔ ( x + ) ( 3x − 1) =  x = −2 x + = ⇔ ⇔ x = x − =   1  Vậy tập nghiệm phương trình : S = − 2;   3 Cách 2: Tách hạng tử 5x = 12x – 7x hạng tử -2 = 12-14 Sau nhóm để xuất nhân tử chung: x + x − = ⇔ ( x + 12x + 12 ) − ( 7x + 14 ) = ⇔ ( x + 4x + ) − ( x + ) = ⇔ ( x + ) − ( x + ) = ⇔ ( x + ) 3 ( x + ) −  = ⇔ ( x + ) ( 3x-1) =  x = −2 x + = Vậy tập nghiệm phương trình : S = ⇔ ⇔ x = 3 x − =  Ví dụ 4: Giải phương trình : x − 3x + = Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x Ta có : x − 3x + = ⇔ x − x − x + = ( ) ⇔ x − x − ( x − 2) = ⇔ x( x − 1) − 2( x − 1) = x − = x = ⇔ ⇔ ( x − 1)( x − ) = ⇔  x − = x = Vậy tập nghiệm phương trình : S = {1; 2} Cách : Tách hạng tử = - + 1  − 2;  3  10/15 Ta có : x − 3x + = ⇔ x − 3x − + = ( ) ⇔ x − − ( 3x − 6) = ⇔ ( x − )( x + 2) − 3( x − ) = x − = x = ⇔ ⇔ ( x − )( x − 1) = ⇔  x − = x = Vậy tập nghiệm phương trình : S = {1; 2} ;2= − 4 Ta có : x − 3x + = ⇔ x − 2.x + − = 4 Cách : Biến đổi -3x = -2.x ; 2 9  ⇔  x − 2.x +  − = ⇔  x −  −   = 4  2 2   1  ⇔  x − + ÷ x − − ÷ = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = 2  2  x − = x = ⇔ ⇔ x − = x = Vậy tập nghiệm phương trình : S = {1; 2} Ở dạng học sinh trung bình nên chọn cách dễ dàng thực Vì để tách hạng tử bx em sử dụng máy tính để tìm nghiệm phương trình ax2 +bx +c = sau tách hạng tử bx theo nghiệm tìm Qua ví dụ dạng giáo viên củng cố số kinh nghiệm đưa phương trình dạng tích - Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung ta biến đổi tích cách đặt nhân tử chung - Nếu nhận thấy hai vế phương trình có dạng đẳng thức ta sử dụng phương pháp dùng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử - Khi chuyển vế mà ta thấy phân tích vế trái thành nhân tử nên rút gọn tìm cách nhóm hạng tử để làm xuất tích - Nếu phương trình có vế tam thức bậc hai tách hạng tử bậc thành hai hạng tử nhóm làm xuất nhân tử chung DẠNG 3: BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN PHỤ Ví dụ 1: Giải phương trình : x − 13x + 36 = Gợi ý: đặt biến phụ sau tìm giá trị biến phụ ta lắp giá trị vào biểu thức liên quan ban đầu để tìm nghiệm Ở ta đặt x = a ta có cách giải sau Giải :Ta có : x − 13 x + 36 = ⇔ a − 13a + +36 = 11/15 ⇔ a − 4a − 9a + 36 = ⇔ ( a − 4a ) − ( 9a − 36) = a − = a = ⇔ ⇔ ( a − )( a − ) = ⇔  a − = a = x2 =  x = ±2 ⇔ ⇒ Vì ta đặt x = a   x =  x = ±3 Vậy tập nghiệm phương trình : S = { ± 2;±3} Ví dụ 2: Giải phương trình : x + x + = Gợi ý: ta biến đổi vế trái cách đặt ẩn phụ x = a để đưa dạng tích Giải :Ta có : x + x + = ⇔ 2a + 5a + = ⇔ 2a + a + a + = ⇔ ( a + a ) + ( a + ) = ⇔ 2a ( a + ) + ( a + ) = ⇔ ( 2a + 1)( a + ) = a = −2 a + = ⇔ ⇔ a = − a + =    x = −2 Vì ta đặt x = a ⇒  x =−  Điều khơng thể xảy x ≥ với giá trị x Vậy phương trình cho vơ nghiệm,tập nghiệm phương trình : S = ∅ Ví dụ 3: Giải phương trình : x − x − = Gợi ý: ta biến đổi vế trái cách đặt ẩn phụ x = a để đưa dạng tích Giải : Ta có : x − x − = ⇔ 2a − 7a − = ⇔ 2a − 8a + a − = ⇔ ( 2a − 8a ) + ( a − 4) = a = a − = ⇔ ⇔ ( 2a + 1)( a − ) = ⇔  a = − a + =   x2 = Vì ta đặt x = a ⇒  ⇒ x = ±2 x =−  Vậy tập nghiệm phương trình : S = { ± 2} Ví dụ 4: Giải phương trình: ( x − 3x − 1) − ( 2x − 3x − ) − 16 = Ở phương trình vế trái đa thức bậc ta sử dụng đặt biến phụ để đưa đa thức bậc hai biến đổi ta biến đổi sau: Đặt 2x − 3x − = y 2x − 3x − = y − Phương trình cho có dạng: y − ( y − ) − 16 = ⇔ ( y + 1) ( y − ) = 12/15  y +1 =  y = −1  2x − 3x − = −1  x ( 2x − 3) = ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ y −4 = y =  2x − 3x − = ( x + 1) ( 2x − ) =   Vậy tập nghiệm phương trình : s = −1; 0; ;  2  Ví dụ 5: Giải phương trình: x ( x − 1) ( x + ) ( x + ) = 84 phương trình ta nhận thấy tính tích x ( x + ) = x + 4x ( x − 1) ( x + ) = x + 4x − việc nhóm dễ dàng đặt biến phụ để đưa vế trái tam thức bậc hai ví dụ Ta làm sau: x ( x − 1) ( x + ) ( x + ) = 84 ⇔  x ( x + )  ( x − 1) ( x + )  − 84 = ⇔ ( x + 4x ) ( x + 4x − ) − 84 = Đặt: x + 4x = y ⇒ x + 4x − = y − Phương trình cho có dạng: y ( y − 5) − 84 = ⇔ y − y − 84 = ⇔ ( y + 7) ( ( x − ) ( x + ) =  x + 4x = 12 y +7 =  y = −7 y − 12 ) = ⇔  ⇔ ⇒ ⇔  y − 12 =  y = 12  x + 4x = −7  x + 4x + = Vì x + 4x + = ( x + ) + > nên tập nghiệm phương trình là: S = { −6; 2} DẠNG 4: BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Đây dạng phương trình mà giải ta cần phải tìm điều kiện xác định phương trình Điều kiện xác định phương trình tìm giá trị ẩn để mẫu thức khác không Sau số ví dụ dạng phương trình x+2 Ví dụ 1: Giải phương trình : x − − x = x( x − 2) ( x + 2) x − ( x − 2) = x( x − ) x( x − ) ⇒ ( x + 2) x − ( x − 2) = ⇔ x + x − x + = ( ) ĐKXĐ: x ≠ x ≠ Ta có ( ) ⇔ ⇔ x + x = ⇔ x( x + 1) = x = x = ⇔ ⇔ x + =  x = −1 Vì điều kiện xác định phương trình : x ≠ x ≠ Nên với x = loại Do tập nghiệm phương trình : S ={-1} Ví dụ 2: Giải phương trình : x−2 2( x − 11) − = (2) ĐKXĐ: x ≠ ±2 x+2 x−2 x −4 ( x − ) − 3( x + 2) 2( x − 11) = Ta có (2) ⇔ ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ⇒ ( x − 2) − 3( x + 2) = 2( x − 11) ⇔ x − x + 20 = 13/15 x − = x = ⇔ ⇔ ( x − )( x − 5) = ⇔  x − = x = Vì x = ; x = Thuộc tập xác định phương trình Vậy tập nghiệm phương trình : S ={4; 5} 2x − = − x (3) ĐKXĐ: x ≠ x−2 x−2 x − − x( x − ) = Ta có :(3) ⇔ x−2 x−2 Ví dụ : Giải phương trình : ⇒ = 2x − − x + 2x ⇔ x − 4x + = ⇔ ( x − ) = ⇔ x − = ⇔ x = (không thỏa mãn ĐKXĐ ) Vậy tập hợp nghiệm phương trình : S = ∅ x Ví dụ : Giải phương trình : x + = x + (4) ĐKXĐ: x ≠ x2 x3 + x x4 + Ta có: (4) ⇔ = x x ⇒ x3 + x = x4 + ⇔ x3 + x − x4 − = ( ) ( ) ⇔ x − x − (1 − x ) = ⇔ ( − x ) x − = ( ) ⇔ (1 − x )( x − 1) x + x + = 1  Vì ⇔ x + x + =  x +  + > 2  Nên ⇔ x − = ⇔ x = (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm phương trình : S = {1} DẠNG 5: MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC Tùy theo dạng phương trình mà ta có cách biến đổi khác Để đưa phương trình cho dạng phương trình tích Sau dạng phương trình đặc trưng Ví dụ 1: Giải phương trình : 2− x 1− x x −1 = − 2001 2002 2003 Gợi ý: ta cộng thêm vào hai vế phương trình biến đổi sau: 2− x x 2− x 1− x x  1− x    ⇔ +1 =  + 1 +  − + 1 −1 = − 2001 2001 2002 2003  2002   2003  ⇔ 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x = + ⇔ − − =0 2001 2002 2003 2001 2002 2003 1   ⇔ ( 2003 − x )  − −  = ⇔ 2003 − x = ⇔ x = 2003  2001 2002 2003  14/15 Vì 1 − − ≠0 2001 2002 2003 Vậy nghiệm phương trình : S = {2003} Ví dụ : Giải phương trình : x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 94 93 92 91 90 89 Cộng thêm vào hai vế phương trình ta  x +1   x +   x +   x +   x +   x +  + 1 +  + 1 +  + 1 =  + 1 +  + 1 +  + 1   94   93   92   91   90   89  x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 ⇔ + + = + + 94 93 92 91 90 89 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 ⇔ + + − − − =0 94 93 92 91 90 89 1 1 1  ⇔ ( x + 95)  + + − − − =0  94 93 92 91 90 89  1 1 1 + + − − − ≠0 ⇔ x + 95 = ⇔ x = −95 Vì 94 93 92 91 90 89 Vậy nghiệm phương trình : S ={- 95} Ví dụ 3: Giải phương trình : x − x − 15 x − 25 x − 1990 x − 1980 x − 1970 + + = + + 1990 1980 1970 15 25 Trừ đơn vị vào hai vế phương trình ta  x −   x − 15   x − 25   x − 1990   x − 1980   x − 1970  − 1 +  − 1 +  − 1 =  − 1 +  − 1 +  − 1   1990   1980   1970     15   25  x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 ⇔ + + − − − =0 1990 1980 1970 15 25 1 1   ⇔ ( x − 1995)  + + − − − =0  1990 1980 1970 15 25  1 1 1 + + − − − ≠0 ⇔ x − 1995 = ⇔ x = 1995 Vì 1990 1980 1970 15 25 Vậy nghiệm phương trình : S = {1995} Nhận xét: ví dụ dạng quy đồng mẫu thức khử mẫu việc giải phương trình phức tạp mẫu thức chung lớn gặp phương trình dạng ta nên cộng, trừ tử với mẫu phân thức thấy xuất biểu thức giống tìm cách cộng trừ thêm vào hạng tử số để quy đồng nhóm làm xuất tử giống áp dụng đặt nhân tử chung giải phương trình tốn trở nên đơn giản 7.Kết khảo sát sau thực Trên số kinh nghiệm việc dạy học mơn tốn giải phương trình tích.Được ứng dụng số phương pháp biến đổi khác trình 15/15 giải để đưa dạng phương trình tích qua việc thực kết đạt học sinh tiếp thu tốt nhiều so với chưa thực phương pháp Kết trước sau thực kinh nghiệm dạy phương trình tích khảo sát sau Khảo sát 35học sinh lớp 8B, kết đạt sau : Trước thực đề tài Sau thực đề tài Xếp loại Số lượng % Số lượng % Giỏi 4,3 14,3 Khá 20 14 40 TB 15 42,9 12 34,3 Yếu 11 32,8 11,4 PHẦN III.KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1.Kết luận Việc áp dụng phương pháp biến đổi phương trình để đưa dạng phương trình tích có hiệu Làm cho học sinh thay đổi tính tư ; nhận thức nhanh ; nhìn nhận vấn đề sâu rộng ; chắn học sinh biết phân tích biến đổi nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh khác Kết khảo sát cao nhiều so với chưa áp dụng phương pháp Trong trình thực thân tránh khỏi khiếm khuyết thiếu sót Tính lơgic hệ thống phương trình nên thân tơi mong đóng góp ý kiến q báu từ q thầy giáo nói chung q thầy giáo mơn tốn nói riêng Nhất đồng chí tổ chun môn để thân đúc rút nhiều kinh nghiệm q trình dạy học nói chung việc dạy học mơn tốn nói riêng có việc dạy học giải phương trình tích Bản thân xin chân thành cảm ơn! Khuyến nghị : - Cần tạo cho học sinh có nhiều quỹ thời gian để em tham dự chuyên đề rút từ kinh nghiệm - Nhà trường cần tạo điều kiện thuận lợi kinh phí để thực chun đề có tính chất liên quan - Trong q trình thực đề tài tơi ln nhận khích lệ, góp ý kịp thời ban giám hiệu đồng nghiệp trường Đó nguồn cổ vũ, động viên lớn, giúp thành công thực đề tài Tôi xúc động đón nhận lịng quan tâm thầy cô xin trân trọng cảm ơn 16/15 - Do lực hạn chế, kinh nghiệm chưa nhiều, chắn đề tài có thiếu sót Mong thầy cô giáo, anh chị em đồng nghiệp tham gia góp ý kiến để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 1/15 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa đại số tập II - Phan Đức Chính; Tơn Thân - Nhà xuất giáo dục Sách hướng dẫn giáo viên Đại số tập II - Nguyễn Huy Đoan - Nhà xuất giáo dục Đại số tập II; Sách tập đại số tập II - Lê văn Hồng - Nhà xuất giáo dục Ôn tập đại số - Vũ Hữu Bình - Nhà xuất giáo dục Các toán hay đại số - Lê Đình Phi - Đại học quốc gia Hà Nội Các toán chọn lọc (Bồi dưỡng học sinh ; giỏi ) - Nguyễn Ngọc Đạm; Nguyễn Quang Hanh; Ngô Long Hậu - Nhà xuất đại học sư phạm Hà Nội 405 Bài tập đại số - Nguyễn Đức Tấn; Phan Hồng Ngân; Nguyễn Anh Hồng - Nguyễn Đức Hịa -Nhà xuất đại học quốc gia ... 11 32 ,8% 3/15 PHẦN II –GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Tên đề tài: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐẠI SỐ 8? ?? Cơ sở lý luận Trong hoạt động giáo dục đòi hỏi học sinh cần phải tự học ;... hỏi : Một tích ? Trong tích có thừa số tích ? - Cần cho học sinh thấy rõ : Một tích thừa số phải có thừa số Trong tích có thừa số tích Ví dụ : Giải phương trình : ( x − 3)( x + 1) = ( ) Phương. .. nghiệm phương trình : S = {1} DẠNG 5: MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC Tùy theo dạng phương trình mà ta có cách biến đổi khác Để đưa phương trình cho dạng phương trình tích Sau dạng phương