CHƯƠNG 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1 Biến cố ngẫu nhiên 2 Xác suất của biến cố 3 Các định lý xác suất 4 Xác suất của biến cố Chương 1 Chương 1 §1 BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1 1 Chỉnh hợp Định nghĩa Cho n phần tử a1, a2, an Mỗi nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau (0≤ k ≤ n) được lấy từ n phần tử đã cho được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử • Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu Akn • Chú ý )( )1) (2)(1( kn n knnnnAkn nPA n n n.
CHƯƠNG BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Chương BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Biến cố ngẫu nhiên Xác suất biến cố Các định lý xác suất Xác suất biến cố Chương §1 BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1 Chỉnh hợp Định nghĩa: Cho n phần tử: a1, a2,…an Mỗi nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác (0≤ k ≤ n) lấy từ n phần tử cho gọi chỉnh hợp chập k n phần tử • Số chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu Akn n! A n(n 1)(n 2) (n k 1) (n k )! k n • Chú ý: Ann Pn n! Chương §1 BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.2 Hốn vị Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n phần tử: a1, a2,…an Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự định gọi hoán vị n phần tử • Số hốn vị n phần tử kí hiệu Pn Pn =1.2…n = n! • Chú ý: P0 = 0! = Chương §1 BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.3 Tổ hợp Định nghĩa: Cho n phần tử: a1, a2,…an Mỗi nhóm khơng kể đến thứ tự gồm k phần tử khác (0≤ k ≤ n) lấy từ n phần tử cho gọi tổ hợp chập k n phần tử • Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu Ckn : n! C (n k )!k! k n • Chú ý: C n0 C nn Cnk C nn k Chương §1 BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.4 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Cho n phần tử: a1, a2,…an Mỗi nhóm có thứ tự gồm k phần tử (0≤ k ≤ n) lấy từ n phần tử cho, nhóm phần tử có mặt khơng q k lần gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử ~ k A • Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử kí hiệu: n ~ Ank n.n n n k • Chú ý: k lớn n Chương §2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 2.1 Phép thử biến cố • Phép thử thí nghiệm hay quan sát mà ta quan tâm • Phép thử gọi ngẫu nhiên ta khơng dự đốn kết xảy • Trong phép thử ngẫu nhiên có kết đơn giản kết phức hợp Chương §2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 2.1 Phép thử biến cố • Các kết cục phép thử gọi biến cố Phân loại biến cố • Biến cố chắn(U): biến cố định xảy phép thử thực Chương §2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 2.1 Phép thử biến cố • Biến cố khơng thể có (V): biến cố xảy phép thử thực • Biến cố ngẫu nhiên: biến cố xảy khơng xảy phép thử thực Biến cố ngẫu nhiên kí hiệu chữ hoa A,B,C… Chương §2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 2.2 Mối quan hệ biến cố 2.2.1 Biến cố đồng khả năng: Các biến cố A1, A2, … An biến cố đồng khả có sở nói khả xảy khơng xảy biến cố • Ví dụ: Gọi S biến cố: “ Mặt sấp xuất hiện” Gọi N biến cố: “ Mặt ngửa xuất hiện” gieo đồng xu đồng chất hai mặt Chương §3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ • Ví dụ: tung 100 lần đồng xu thấy có 52 lần mặt sấp xuất Ta có fn(A)=52/100 Số lần tung (n) Số lần xuất Tần suất fn(A) mặt sấp (nA) Buffon 4040 2048 0.5069 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 Chương §3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Nhận xét: Khi số phép thử n nhỏ fn(A) thay đổi rõ rệt cịn n lớn tần suất fn(A) dao động n đủ lớn fn(A) dao động xung quanh vị trí cân p khơng đổi Chương §3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 3.2 Định nghĩa Xác suất biến cố A phép thử giá trị cân p không đổi số phép thử tăng lên vô hạn Chú ý: Khi n đủ lớn ta lấy: p = P(A) ≈ fn(A) Chương §3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 3.2.2 Nguyên lý xác xuất nhỏ, xác suất lớn • Nguyên lý xác suất nhỏ: biến cố có xác suất nhỏ (gần 0) biến cố hầu khơng xảy lần thực phép thử • Nguyên lý xác suất lớn: biến cố có xác suất lớn (gần 1) biến cố hầu chắn xảy lần thực phép thử Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 4.1 Định lý nhân xác suất 4.1.1 Xác suất có điều kiện Xác suất biến cố A tính sau biến cố B xảy ra, gọi xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra, ký hiệu P(A/B) Cơng thức tính P ( AB ) P( A / B) P( B) với P(B) > Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 4.1.1 Xác suất có điều kiện Ví dụ: Một kiện hàng có phẩm phế phẩm Lấy khơng hồn lại sản phẩm Tìm xác suất để lần thứ lấy phẩm (biến cố A) biết lần đầu lấy phẩm (biến cố B) Khi biến cố B xảy kiện hàng cịn phẩm phế phẩm Do n=9, m=7 ta có P(A/B) = 7/9 Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 4.1.2 Tính độc lập biến cố Định nghĩa 1: Hai biến cố A B gọi độc lập với xuất hay không xuất biến cố không làm ảnh hưởng đến xác suất biến cố P ( A / B ) P ( A / B ) P ( A) P ( B / A) P ( B / A) P ( B ) với P(A)>0, P(B)>0 Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 4.1.2 Tính độc lập biến cố Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 4.1.3 Định lý nhân xác suất Định lý 1: Cho hai biến cố A B Ta có: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B) Hệ 1: Nếu hai biến cố A B độc lập Ta có: P(AB)=P(A).P(B) Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 4.1.3 Định lý nhân xác suất Mở rộng: Cho n biến cố A1, A2,…, An ta có: P(A1.A2…An)=P(A1) P(A2/A1)… P(An/A1 A2… An-1) Hệ 2: Nếu n biến cố A1, A2,…, An độc lập toàn phần : P(A1.A2…An)=P(A1) P(A2)… P(An) Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 4.2 Định lý cộng xác suất Định lý 1: Cho hai biến cố A B Ta có: P(A+B)=P(A)+P(B) - P(A.B) Hệ 1: Nếu hai biến cố A B xung khắc, ta có: P(A+B)=P(A)+P(B) Hệ 2: P ( A) P ( A) P ( A) P ( A) Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 4.2 Định lý cộng xác suất Mở rộng: Cho n biến cố A1, A2,…, An ta có: n n P ( Ai ) P ( Ai ) P ( Ai A j ) i 1 i 1 i j P( A A A ) i j k i j k ( 1) n 1 P ( A1 A2 An ) Hệ 3: Nếu n biến cố A1, A2,…, An xung khắc đơi, ta có: P(A1+A2+…+An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An) Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 4.3 Công thức xác suất đầy đủ Bayes Cho hệ đầy đủ biến cố H1, H2,…, Hn Nếu biến cố A xảy đồng thời với biến cố hệ đầy đủ ta có: n P ( A) P ( H i ).P ( A / H i ) i 1 Được gọi công thức xác suất đầy đủ Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT P( H i ).P( A / H i ) P( H i ).P( A / H i ) P(H i / A ) n P(A) P(H i ).P(A / H i ) i 1 vói i 1, n Được gọi công thức Bayes Chú ý: Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes H1, H2,…, Hn xung khắc đôi Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT Chú ý: Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes H1, H2,…, Hn xung khắc đôi ... thực phép thử Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 4 .1 Định lý nhân xác suất 4 .1. 1 Xác suất có điều kiện Xác suất biến cố A tính sau biến cố B xảy ra, gọi xác suất có điều kiện biến cố A với điều... P(AB)=P(A).P(B) Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 4 .1. 3 Định lý nhân xác suất Mở rộng: Cho n biến cố A1, A2,…, An ta có: P(A1.A2…An)=P(A1) P(A2/A1)… P(An/A1 A2… An -1) Hệ 2: Nếu n biến cố A1, A2,…, An... P(B)>0 Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 4 .1. 2 Tính độc lập biến cố Chương §4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 4 .1. 3 Định lý nhân xác suất Định lý 1: Cho hai biến cố A B Ta có: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B) Hệ 1: