Một số phương pháp lặp cho bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐOÀN THỊ HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐOÀN THỊ HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Chung ĐÀ NẴNG - NĂM 2021 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan kết trình bày luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi hồn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Chung Các kết luận văn chưa cơng bố cơng trình người khác Tác giả ĐOÀN THỊ HÀ LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập, nghiên cứu cuối thực hiện, hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ, nỗ lực, cố gắng thân tơi cịn có nguồn động lực giúp đỡ to lớn từ quý thầy cô, đồng nghiệp, gia đình bạn bè Lời đầu tiên, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Chung nhiệt tình, tận tâm giúp đỡ, hướng dẫn tơi hồn thành tốt luận văn thời gian qua Tôi xin gửi đến q Thầy, Cơ giáo Ban chủ nhiệm khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng lời cảm ơn sâu sắc truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu Cảm ơn anh, chị bạn lớp cao học Tốn giải tích khóa K39 chia sẻ nhiều kiến thức kinh nghiệm q giá cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, lãnh đạo Trường THPT Phan Châu Trinh, lãnh đạo tổ chun mơn Tốn Trường THPT Phan Châu Trinh - Đà Nẵng động viên tạo điều kiện thuận lợi để trình học tập nghiên cứu tơi hồn thành tốt đẹp Tôi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Đoàn Thị Hà TRAI\G THONG TrN LUAx vAx rnec si T6n d6 tdi: MQT SO pHrJoNG pHAp r-Ap CHO BAr TOAX pOxc Ngdnh: To6n Gi6i Tich OrpU BAT Kh6a: 39 Hg vd t6n hoc vi6n: DOAN THI HA Nguoi hu6ng d6n khoa hoc: PGS.TS Nguy6n Thdnh Chung Co so ddo tao: Trudng Eai hoc Su ph4m - Dai hoc Ed NEng T6m Nhfrng k6t tit: qui chfnh cria lu{n vin: oA tai nglriCn ciiu 1u6n vdn thac si khoa hoc "MQt so phuong ph6p lflp cho bdi to5n di6m b6t dQng" dd dpt duoc m6t sO k6t qu6 sau d6y: + Trinh bdy mQt sO t itin thirc chuAn bf 1i6n quan d6n gi6i tich hdm, c6c gian kh6ng Hilberl, kh6ng gian Banach, cdc lop 6nh xa co, 6nh xa kh6ng gidn, vd circ dang irnhx4 khSc 1i6n quan + Trinh bdy mQt sd phuong ph6p 15p thucnrg gip nghidn ciru di6m b6t dOng crta cdc 16p 6nh x4 kh6c nhau, bao g6m phuong ph6p ldp Picard, phuong ph6p lap Yffi, phucrng ph6p 14p Ishikawa Ddy ld nhfrng phucrng ph6p ldp cho clfng tak6tqu6 vO sp h6i tu y6y d6n di6m b6t dgng Ngodi-ra, luQn vancfrng x6t ddn cac phucrng ph6p lap cho ktit qri rd ,p h6i iui.a"i ia" aie* uaioO"g"J" phuong phSp ldp Helpern, phuongih6p lap cQ vd phucrn gphdp l[p Browder Y nghia khoa hgc vh thr;c ti6n cfra lu$n vin: C6c k6t qu6 luAn,vdn^giup ngudi doc nim bit duqc nhirng phucrng php l{p co b6n li thuy6t di6m bAt eEng Tir d6 co nhfrng nghien cuu phat tri6n cho c6c 16p kh6ng gian hdm kh6c cfrng nhu c6c lcrp 6nh xa kh6c .Lq0n vdn ld tdi liQu tham kh6o b6 fch cho c6c hoc vi6n, sinh vi6n nghiCn ciru vd eo tai di6m b6t cgng Ttr kh6a: Bdi to6n di6m b6t dong, phucrng ph6p ldp picard, phucrng ph6p lflp Mann, Phucrng phdp 16p Ishikawa, Phuong phdp l6p Helpern, phucrng ph6p lap CQ, Phuong ph6p l{p Browder X6c nhQn N)ffi, gi6o vi6n aL ,4, hufng d6n Ngudi thgc tri6n aC tiri INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: Some Iterative Methods for Fixed Point Problems Maj or: Mathematical analysis Full name of Master student: DOAN THI HA Supervisors: Associate Prof Dr NGUYEN THANH CHLTNG Training institution: The University of Danang, University of Education Summ arY * The main results of the thesis: The research topic of the master of science thesis "some Iterative Methods for Fixed Point Problems" has achieved the following results: * Introduce some preparatory knowledge related to functional analysis, Hilbert spaces, Banach spaces, contraction mapping classes, nonexpansive type mappings, and other related types of mapping; * Introduce some iterative methods when studying fixed points of different mapping classes, including Picard iteration method, Mann iteration method, Ishikawa iterative method These areiterative methods that give us results of weak convergence to a fixed point In addition, the thesis also considers the iterative methods that give results of strong convergence to fixed points such as the Helpern iterative method, thg CQ iterative method and the Browder iterative method * The applicability in practice and subsequent research of the thesis: The results in the thesis help readers grasp the basic iterative methods in fixed point theory Since then, there have been development studies for different function space classes as well as different mapping classes The thesis is a useful reference for students and researchers on the topic fixed points of Keywords: Fixed point problem, Picard iterative method, Mann iterative method, Ishikawa iterative method, Helpern iterative method, CQ iterative method, Browder iterative method Su s confirmation W* f,N"".* d^^'*y Student MỤC LỤC DANH SÁCH KÝ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm tính chất giải tích hàm 1.2 Tính chất LE tính chất điểm AF tốn tử phi tuyến tính 17 1.3 Ánh xạ gần Lipschitz 20 1.4 Ánh xạ k -giả co chặt tiệm cận theo nghĩa suy rộng 24 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP THƯỜNG DÙNG 28 2.1 Phương pháp lặp Picard 28 2.2 Phương pháp lặp Mann .32 2.3 Phương pháp lặp Ishikawa 36 2.4 Phương pháp lặp Helpern 40 2.5 Phương pháp lặp CQ 44 2.6 Phương pháp lặp Browder 49 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 DANH SÁCH KÝ HIỆU Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R T , tập số thực tốn tử phi tuyến tích vơ hướng xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn xn hội tụ yếu đến x x F ix(T ) ||x|| I PC (H) tập điểm bất động ánh xạ T chuẩn x ánh xạ đơn vị phép chiếu từ H lên C R(T ) tập giá trị toán tử T D(T ) tập xác định toán tử T inf cận lớn sup cận nhỏ LỜI NÓI ĐẦU Lí chọn đề tài Xét phương trình phi tuyến f (x) = ↔ f (x) + x = x ↔ T (x) = x (với T (x) = f (x) + x), T tốn tử xác định tập C không gian X thích hợp Giá trị x ∈ C cho x = T (x) gọi điểm bất động ánh xạ T Như vậy, việc tìm nghiệm phương trình phi tuyến đưa việc tìm điểm bất động cho ánh xạ phi tuyến Vấn đề đặt điều kiện T tồn điểm bất động, điểm bất động có phương pháp tìm điểm bất động gì? Lí thuyết điểm bất động công cụ hữu hiệu nghiên cứu phương trình phi tuyến, có nhiều ứng dụng ngành kỹ thuật nói chung lĩnh vực tốn học nói riêng, giải tốn tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân hay giải tích hàm phi tuyến Do có nhiều nhà tốn học nước giới quan tâm nghiên cứu lí thuyết điểm bất động Năm 1922, Stefan Banach lần phát biểu chứng minh kết ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Cụ thể, T ánh xạ co không gian metric đầy đủ X , theo nguyên lí ánh xạ co Banach T có điểm bất động Các kết kinh điển sau kể bao gồm kết nhà tốn học Browder, Schauder, Leray, Ở đó, điều kiện nhắc đến điều kiện compact miền xác định ánh xạ, điều đảm bảo cho tồn điểm bất động Một vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm ánh xạ T ánh xạ co (ánh xạ khơng giãn chẳng hạn) tốn tìm điểm bất động giải nào? Từ lí thuyết điểm bất động nghiên cứu ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực tốn học Chúng ta biết việc tìm điểm bất động ánh xạ T điều khó khăn Do hướng nghiên cứu tốn tìm điểm bất động tìm xấp xỉ (gần đúng) điểm bất động thông qua phương pháp lặp Phương pháp lặp để giải toán điểm bất động việc xây dựng dãy xn miền xác định C ánh xạ T cho hội tụ đến x∗ , với giá trị ban đầu x0 Dãy xn xác định cách tính giá trị xn+1 thơng qua xn Có nhiều phương pháp lặp nhà tốn học đề xuất để giải toán điểm bất động, chẳng hạn phương pháp lặp Picard, Mann, Ishikawa, Tùy cấu trúc toán mà cần đề xuất phương pháp lặp tương ứng Một vấn đề quan trọng nghiên cứu phương pháp lặp nghiên cứu hội tụ nó, phương pháp lặp tốt hay không tốt cho tốc độ hội tụ nhanh hay chậm Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp lặp này, với hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Chung, chọn nghiên cứu đề tài: “Một số phương pháp lặp cho toán điểm bất động” Mục tiêu nghiên cứu Giới thiệu phương pháp lặp phân tích hội tụ chúng cho xấp xỉ điểm bất động không gian Banach, không gian Hilbert Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Một số phương pháp lặp áp dụng cho tốn tìm điểm bất động khơng gian Banach, không gian Hilbert 3.2 Phạm vi nghiên cứu Một số kiến thức giải tích hàm, lí thuyết khơng gian Banach, khơng gian Hilbert Các phương pháp lặp đánh giá hội tụ chúng việc tìm xấp xỉ điểm bất động 53 KẾT LUẬN Trong luận văn này, dành thời gian nghiên cứu số phương pháp lặp tìm điểm bất động lớp ánh xạ khác không gian Hilbert không gian Banach Các phương pháp lặp khác cho kết hội tụ yếu hội tụ mạnh Cụ thể luận văn đạt kết sau + Trình bày số kiến thức chuẩn bị liên quan đến giải tích hàm, khơng gian Hilbert, khơng gian Banach, lớp ánh xạ co, ánh xạ không giãn, dạng ánh xạ khác liên quan + Trình bày số phương pháp lặp thường gặp nghiên cứu điểm bất động lớp ánh xạ khác nhau, bao gồm phương pháp lặp Picard, phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa Đây phương pháp lặp cho kết hội tụ yếu đến điểm bất động Ngoài ra, luận văn xét đến phương pháp lặp cho kết hội tụ mạnh đến điểm bất động phương pháp lặp Helpern, phương pháp lặp CQ phương pháp lặp Browder Các kết luận văn giúp người đọc nắm bắt phương pháp lặp lí thuyết điểm bất động Từ có nghiên cứu phát triển cho lớp không gian hàm khác lớp ánh xạ khác 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt G20 [1] Ngô Thị Giang (2020), Một số định lý hội tụ mạnh giải tốn khơng điểm chung tách tổng qt khơng gian Hilbert, Luận văn thạc sĩ tốn học, Đại học Thái Nguyên L15 [2] Nguyễn Đức Lạng (2015), Phương Pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ khơng giãn nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Thái Nguyên HT18 [3] Hoàng Tụy (2018), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Tiếng Anh AAK14 [4] S Almezel, Q.H Ansari, M.A Khamsi (2014), Topics in fixed point theory, Springer International Publishing, Switzerland APOS09 [5] Agerwal, R.P.,O’Regan, D.Sahu D.R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer, New York B78 [6] S.C Bose (1978), Weak convergence to the fixed of an asymptotically nonexpansive map Proc Amer Math Soc., 68, 305-308 BP67 [7] F.E Browder, W.V Petryshyn (1967), Construction of fixed points of nonlinear mapping, J Math Anal Appl 20, 197-228 CE98 [8] Chidume, C.E (1998), Global iteration schemes for strongly pseudocontractive maps, Proc Am Mat., Soc 126, 2641-2649 D96 [9] L Deng (1996), Convergence of the Ishikawa iteration process for nonexpansive mappings, J Math Anal Appl 199, 769-775 H67 [10] B Halpern (1967), Fixed points of nonexpansive maps, Bull Amer Math Soc 73, 957-961 55 I76 [11] S Ishikawa (1976), Fixed points and iteration of a nonexpansive mapping in a Banach space, Proc Amer Math Soc 59, 65-71 KX08 [12] T.H Kim, H.K Xu (2008), Convergence of the modified Mann’s iteration method for asymptotically strict pseudocontractions, Nonlinear Anal., 68, 2828-2836 LX94 [13] T.C Lim, H Xu (1994), Fixed point theorems for asymptotically nonexpansive mappings, Nonlinear Anal., 22, 1345-1355 M53 [14] W.R Mann (1953), Mean value methods in itertion, Proc Amer Math Soc., 4, 506-610 OA00 [15] M.O Osilike, S.C Aniagbosor (2000), Weak and strong convergence theorems for fixed points of asymptotically nonexpansive mappings, Math Comput Model., 32, 1181-1191 P90 [16] E Picard (1890), Mémoire sur la théorie des equations aux derivée partielles et la metode des approximations successives, J Math Pures Appl., 6, 145-210 S05 [17] D.R Sahu (2005), Fixed points of demicontinuous nearly Lipschizian mappings in Banach spaces, Comment Math Univ Carol 46, 653666 S11 [18] D.R Sahu (2011), Applications of the S-iteration process to constrained minimization problems and split feasibility problems, Fixed Point Theor., 12, 187-204 SXY09 [19] D.R Sahu, H.K Xu, J.C Yao (2009), Asymptotically strict pseudocontractive mappings in the intermediate sense, Nonlinear Anal.70, 3502-3511 SH57 [20] Schaefer, H (1957), Uber die methode sukzessiver Approximationen, Jber Deutch Math Verein 59, 131-140 56 S91 [21] Schu, J (1991), Weak and strong convergence of fixed points of asymptotically nonexpansive maps, Bull Aust Math Soc 43, 153-159 X02 [22] H.K Xu, (2002), Iterative algorithms for nonlinear operators, J Lond Math Soc 66, 240-256 )( l)A \A\(; TRt:i):!(; r) 11 llQ(l stf PH+M I) \l 1l( ('(.)\(; HOi \i H()l ( IIt \(;HiA \lET \.\\l ,I - ll nh hric t) cl Dit Ning trgirlJ( thtingA)ndm 2021 so,J45,rJu-utrsp QUYET DINH \'6 vi6c giao di I4:4E9L-!EE!L !"dmC 4!!-lgi n vin ih?c si HIEU TRU'ONC TRU.ONG DAI HQC STI PH4M DHDN Cnn Dqi hoc ci Nghi dinh st; 32/(P ttgi.\ I tt4 1994 cu't t-ltith phtr tti viac thinh liilt Di Ning, Ciut cli Qulit clinh ,,i :zaltgo-WOot't ngitl l l/8i2020 c'iu Chti rich hii dong Dtri hoc Di Nilry',i viQc Ban hitnh Qrq chi t6 chtic ir holtr tidng Dqi hoc Di Ning: Cdn cr Thdng u s6 t 5i20 t{/TT-BGDDT ngit l5/5i2014 cia 86 Gido dttc vit Dito teto ti t'ii