KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích hàm
1.2 Tính chất LE và tính chất điểm AF cho toán tử phi tuyến tính. 1.3 Ánh xạ gần Lipschitz.
1.4 Ánh xạ k-giả co chặt tiệm cận theo nghĩa suy rộng.
Chương 2 Một số phương pháp lặp thường dùng trong lí thuyết điểm bất động
CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích hàm
Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích hàm, đặc biệt liên quan đến lý thuyết điểm bất động Các không gian được đề cập bao gồm không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, và không gian Hilbert Bên cạnh đó, chúng tôi cũng sẽ thảo luận về các khái niệm liên quan như ánh xạ co, ánh xạ không giãn, và ánh xạ tựa không giãn Nội dung chương này chủ yếu dựa trên các tài liệu tham khảo [1, 2, 3].
X →R + := [0; +∞) thỏa mãn các điều kiện sau
(iii) d(x, y) ≥ d(x, z) +d(z, y), ∀x, y, z ∈ X được gọi là một metric trên X.
Tập X với metric d được gọi là không gian metric (X, d). vd1.1 Ví dụ 1.1 (i) Không gianX = R là một không gian metric với metric thông thường d(x, y) = |x−y|, x, y ∈ R.
Trường hợp tổng quát, không gian X = R n là một không gian mêtric với mêtric d(x, y) n
(ii) Xét X = C[a, b] là không gian các hàm số liên tục trên đoạn [a, b], d : X ×X → R xác định bởi d(x, y) = max t∈[a,b]|x(t)−y(t)|.
Trong không gian metric (X, d), một dãy {x_n} ⊂ X được coi là hội tụ đến điểm x ∈ X nếu khoảng cách d(x_n, x) tiến gần đến 0 khi n tiến tới vô cùng, tức là lim d(x_n, x) = 0 khi n → ∞ Điểm x được gọi là giới hạn của dãy {x_n}.
Như vậy, lim n→∞xn = x trong (X, d) có nghĩa là
∀ > 0,∃n 0 ∈ N ∗ : ∀n ∈ N ∗ , n ≥ n 0 ⇒d(x n , x) < ε. md1.1 Mệnh đề 1.1 Trong không gian metric (X, d) ta luôn có các khẳng định sau:
(i) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
(ii) Nếu một dãy {x n } hội tụ đến x thì mọi dãy con {x n k } của nó cũng hội tụ đến x.
Nếu lim n→∞{x n } = x và lim n→∞{y n } = y, thì lim n→∞d({x n },{y n }) = d(x, y), cho thấy rằng khoảng cách d(x, y) là một hàm số liên tục đối với x và y Ví dụ, sự hội tụ trên đường thẳng X = R được định nghĩa theo metric thông thường d(x, y) = |x−y|, với x, y thuộc X.
Trong không gian X = R k , xét dãy {x n } với x n = (x n 1 , x n 2 , , x n k ), n= 1,2, Trên R k xét metric d(x, y) v u u t k
Khi đó, dãy {x n } hội tụ về x 0 = (x 0 1 , x 0 2 , , x 0 k ) khi d(x n , x 0 ) → 0 khi n → ∞ Suy ra x i n → x i 0 với mọi i = 1,2, , k Như vậy sự hội tụ trong
R k là sự hội tụ theo từng thành phần.
(ii) Giả sử {x n } là một dãy trong không gian X = C[a, b] hội tụ đến điểm x ∈ C[a, b] theo metric d(x, y) = max t∈[a,b]|x(t)−y(t)|.
Khi d(xn, x0) = max t∈[a,b] |x n (t)−x0(t)| → 0 khi n→ ∞, điều này chứng tỏ sự hội tụ trong không gian X = C[a, b] theo metric là sự hội tụ đều Định nghĩa 1.3 đề cập đến một tập A bất kỳ trong không gian metric (X, d) và một điểm x ∈ X.
(i) x được gọi là một điểm trong của A nếu có một lân cận U(x) của x sao cho U(x) ⊂ A Một điểm trong của A luôn thuộc A.
(ii) x được gọi là một điểm ngoài của A nếu có một lân cận U(x) của x sao cho U(x)∩A = ∅ Một điểm ngoài của A sẽ không thuộc A.
(iii) x được gọi là một điểm biên của A nếu mọi lân cận U(x) của x ta đều có U(x)∩A 6= ∅ và U(x)∩(X\A) 6= ∅ Một điểm biên của A có thể thuộc A hay không thuộc A.
(iv) Tập A được gọi là tập mở trong X nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A Tập A được gọi là đóng nếu X\A là tập mở của X.
Để chứng minh một tập là tập đóng trong không gian metric, chúng ta thường áp dụng kết quả sau: Giả sử (X, d) là một không gian metric, thì tập A ⊂ X được coi là tập đóng khi và chỉ khi mọi dãy {x n } ⊂ A, nếu x n → x ∈ X thì x ∈ A.
Dãy Cauchy, hay còn gọi là dãy cơ bản, là dãy số thỏa mãn điều kiện lim d(x_n, x_m) = 0 khi n, m tiến tới vô cùng Cụ thể, với mọi ε > 0, tồn tại n_0 ∈ N* sao cho với mọi n, m ≥ n_0, ta có d(x_n, x_m) < ε Trong không gian metric (X, d), các khẳng định này luôn được áp dụng.
(i) Mọi dãy Cauchy đều bị chặn.
(ii) Mọi dãy hội tụ là đều dãy Cauchy.
Nếu dãy {x n} là dãy Cauchy và có dãy con hội tụ về x, thì dãy {x n} cũng hội tụ về x Một không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong không gian đó đều hội tụ đến một phần tử thuộc X.
Tính chất đầy đủ của không gian metric là yếu tố quan trọng trong nghiên cứu phương trình toán tử Ví dụ, không gian metric X = R với metric thông thường d(x, y) = |x−y| là một không gian metric đầy đủ Hơn nữa, không gian X = R^k với metric d(x, y) cũng thể hiện tính chất đầy đủ này.
|x i −y i | 2 , trong đó x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ X, là một không gian metric đầy đủ.
Nếu ta thay tập số thực R bởi tập các số hữu tỉ Q thì với các metric trên không gian metric X không đầy đủ.
(ii) Không gian metric X = C[a, b] là không gian đầy đủ với metric d : X ×X → R xác định bởi d(x, y) = max t∈[a,b]|x(t)−y(t)|, x, y ∈ X nhưng nó không phải là không gian metric đầy đủ với metric d(x, y) Z b a
Trong không gian metric (X, d), một tập A ⊂ X được coi là compact nếu mọi dãy {x_n} thuộc A đều có một dãy con {x_{n_k}} hội tụ đến một điểm x thuộc A Điều này có nghĩa là trong không gian metric, các dãy trong tập compact luôn có điểm giới hạn nằm trong chính tập đó.
(i) Mọi tập compact đều là tập đóng.
(ii) Mọi tập compact đều bị chặn.
Tập con đóng của một tập compact vẫn là tập compact Theo mệnh đề 1.5 trong không gian metric, một tập compact phải là tập đóng và hoàn toàn bị chặn Ngược lại, nếu một tập là đóng và hoàn toàn bị chặn trong không gian metric đầy đủ, thì nó cũng sẽ là tập compact Định nghĩa 1.7 giới thiệu hai không gian metric (X, dX) và (Y, dY) cùng với ánh xạ T: X → Y.
Ánh xạ T được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 (phụ thuộc vào ε và x0) sao cho với mọi x ∈ X thỏa mãn dX(x, x0) < δ thì dY(Tx, Tx0) < ε Điều này tương đương với việc Txn → Tx0 với mọi dãy {xn} ⊂ X thỏa mãn xn → x0 Do đó, ánh xạ T được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 ∈ X.
Ánh xạ T được gọi là liên tục đều trên không gian metric (X, d) nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 (phụ thuộc vào ε) sao cho với mọi x, y ∈ X thỏa mãn điều kiện d_X(x, y) < δ, thì có d_Y(T(x), T(y)) < ε.
X → X Ta nói điểm x ∈ X là một điểm bất động của ánh xạ T nếu
T x = x Tập các điểm bất động của ánh xạ T được kí hiệu là Fix(T), tức là
Từ Định nghĩa 1.8, việc tìm điểm bất động của ánh xạ T : X → X tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình toán tử
T x−x = 0. dn1.9 Định nghĩa 1.9 Giả sử (X, d) là một không gian metric Ánh xạ T :
X → X được gọi là ánh xạ Lipschitz, nếu tồn tại hằng số k ≥ 0 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có d(T x, T y) ≤ kd(x, y) (1.1) pt1.1
Hằng số k trong (1.1) được gọi là hằng số Lipschitz Nếu k nằm trong khoảng [0,1), ánh xạ T : X → X được xem là một ánh xạ co với hằng số co k Khi k = 1, tức là d(T x, T y) ≤ d(x, y) cho mọi x, y thuộc X, ta nói T là ánh xạ không giãn trên X.
Fix(T) 6= ∅ gọi là ánh xạ tựa không giãn. nx1.1 Nhận xét 1.1 Trong không gian metric X, một ánh xạ tựa không giãn là một ánh xạ không giãn.
Nguyên lý ánh xạ co Banach là một kết quả quan trọng trong lý thuyết điểm bất động, áp dụng cho không gian metric đầy đủ Cụ thể, nếu (X, d) là một không gian metric đầy đủ và T: X → X là ánh xạ co, thì tồn tại một điểm bất động duy nhất x∗ ∈ X sao cho T x∗ = x∗ Tuy nhiên, đối với ánh xạ không giãn, kết quả này không còn đúng; ví dụ, ánh xạ T: R → R với T x = x + 1 là ánh xạ không giãn nhưng không có điểm bất động.
K Hàm || ã || :X →R + thỏa món cỏc tiờn đề
(iii) ||x+ y|| ≤ ||x||+||y||, ∀x, y ∈ X, được gọi là một chuẩn trên X.
Không gian tuyến tính X có thể xác định một chuẩn || · || được gọi là không gian định chuẩn, ký hiệu (X, || · ||) Trong nhiều trường hợp, để đơn giản, người ta ký hiệu X thay vì (X, || · ||) Không gian định chuẩn (X, || · ||) là một không gian metric với metric được cho bởi d(x, y) = ||x - y||, với x, y ∈ X.
Ánh xạ k -giả co chặt tiệm cận theo nghĩa suy rộng
Chương 2 Một số phương pháp lặp thường dùng trong lí thuyết điểm bất động
CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích hàm
Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích hàm, liên quan đến lý thuyết điểm bất động cho chương sau Các không gian được đề cập bao gồm không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, cùng với các khái niệm như ánh xạ co, ánh xạ không giãn và ánh xạ tựa không giãn Kiến thức trong chương này chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [1, 2, 3].
X →R + := [0; +∞) thỏa mãn các điều kiện sau
(iii) d(x, y) ≥ d(x, z) +d(z, y), ∀x, y, z ∈ X được gọi là một metric trên X.
Tập X với metric d được gọi là không gian metric (X, d). vd1.1 Ví dụ 1.1 (i) Không gianX = R là một không gian metric với metric thông thường d(x, y) = |x−y|, x, y ∈ R.
Trường hợp tổng quát, không gian X = R n là một không gian mêtric với mêtric d(x, y) n
(ii) Xét X = C[a, b] là không gian các hàm số liên tục trên đoạn [a, b], d : X ×X → R xác định bởi d(x, y) = max t∈[a,b]|x(t)−y(t)|.
Trong không gian metric (X, d), một dãy {x n } ⊂ X được xem là hội tụ đến điểm x ∈ X nếu khoảng cách d(xn, x) tiến về 0 khi n tiến đến vô cùng, tức là lim n→∞ d(x n , x) = 0 Điểm x được gọi là giới hạn của dãy {x n }.
Như vậy, lim n→∞xn = x trong (X, d) có nghĩa là
∀ > 0,∃n 0 ∈ N ∗ : ∀n ∈ N ∗ , n ≥ n 0 ⇒d(x n , x) < ε. md1.1 Mệnh đề 1.1 Trong không gian metric (X, d) ta luôn có các khẳng định sau:
(i) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
(ii) Nếu một dãy {x n } hội tụ đến x thì mọi dãy con {x n k } của nó cũng hội tụ đến x.
Nếu lim n→∞{x n } = x và lim n→∞{y n } = y, thì lim n→∞d({x n },{y n }) = d(x, y), cho thấy khoảng cách d(x, y) là một hàm số liên tục đối với x và y Ví dụ, sự hội tụ trên đường thẳng X = R được định nghĩa là sự hội tụ của một dãy số theo metric thông thường d(x, y) = |x−y|, với x, y thuộc X.
Trong không gian X = R k , xét dãy {x n } với x n = (x n 1 , x n 2 , , x n k ), n= 1,2, Trên R k xét metric d(x, y) v u u t k
Khi đó, dãy {x n } hội tụ về x 0 = (x 0 1 , x 0 2 , , x 0 k ) khi d(x n , x 0 ) → 0 khi n → ∞ Suy ra x i n → x i 0 với mọi i = 1,2, , k Như vậy sự hội tụ trong
R k là sự hội tụ theo từng thành phần.
(ii) Giả sử {x n } là một dãy trong không gian X = C[a, b] hội tụ đến điểm x ∈ C[a, b] theo metric d(x, y) = max t∈[a,b]|x(t)−y(t)|.
Khi d(xn, x0) = max t∈[a,b] |x n (t)−x0(t)| tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng, điều này cho thấy sự hội tụ trong không gian X = C[a, b] theo metric đã cho là hội tụ đều Định nghĩa 1.3 đề cập đến một tập A bất kỳ trong không gian metric (X, d) và một điểm x thuộc X.
(i) x được gọi là một điểm trong của A nếu có một lân cận U(x) của x sao cho U(x) ⊂ A Một điểm trong của A luôn thuộc A.
(ii) x được gọi là một điểm ngoài của A nếu có một lân cận U(x) của x sao cho U(x)∩A = ∅ Một điểm ngoài của A sẽ không thuộc A.
(iii) x được gọi là một điểm biên của A nếu mọi lân cận U(x) của x ta đều có U(x)∩A 6= ∅ và U(x)∩(X\A) 6= ∅ Một điểm biên của A có thể thuộc A hay không thuộc A.
(iv) Tập A được gọi là tập mở trong X nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A Tập A được gọi là đóng nếu X\A là tập mở của X.
Trong không gian metric (X, d), một tập A ⊂ X được coi là tập đóng nếu với mọi dãy {x_n} ⊂ A, nếu dãy này hội tụ x_n → x ∈ X thì điểm giới hạn x cũng thuộc A Điều này có nghĩa là để chứng minh tính đóng của một tập, ta cần kiểm tra điều kiện hội tụ của các dãy trong tập đó.
Dãy Cauchy (dãy cơ bản) được định nghĩa là dãy X với điều kiện lim d(x_n, x_m) = 0 khi m, n → ∞, tức là với mọi ε > 0, tồn tại n_0 ∈ N* sao cho với mọi n, m ≥ n_0, ta có d(x_n, x_m) < ε Trong không gian metric (X, d), các khẳng định liên quan đến dãy Cauchy luôn được đảm bảo.
(i) Mọi dãy Cauchy đều bị chặn.
(ii) Mọi dãy hội tụ là đều dãy Cauchy.
Nếu dãy {x n } là dãy Cauchy và có dãy con hội tụ về x, thì dãy {x n } cũng hội tụ về x Một không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric đầy đủ khi mọi dãy Cauchy trong không gian đó đều hội tụ đến một phần tử thuộc X.
Tính chất đầy đủ của không gian metric là yếu tố quan trọng trong nghiên cứu phương trình toán tử Ví dụ, không gian metric X = R với metric thông thường d(x, y) = |x−y| là một không gian metric đầy đủ Hơn nữa, không gian X = R^k với metric d(x, y) cũng thể hiện tính đầy đủ này, cho thấy sự tổng quát trong các không gian metric.
|x i −y i | 2 , trong đó x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ X, là một không gian metric đầy đủ.
Nếu ta thay tập số thực R bởi tập các số hữu tỉ Q thì với các metric trên không gian metric X không đầy đủ.
(ii) Không gian metric X = C[a, b] là không gian đầy đủ với metric d : X ×X → R xác định bởi d(x, y) = max t∈[a,b]|x(t)−y(t)|, x, y ∈ X nhưng nó không phải là không gian metric đầy đủ với metric d(x, y) Z b a
Trong không gian metric (X, d), một tập A ⊂ X được gọi là compact nếu mọi dãy {x_n} ⊂ A đều có một dãy con {x_{n_k}} hội tụ đến một điểm x ∈ A Điều này có nghĩa là tập hợp compact đảm bảo rằng các dãy trong nó luôn có điểm hội tụ trong chính tập đó.
(i) Mọi tập compact đều là tập đóng.
(ii) Mọi tập compact đều bị chặn.
Tập con đóng của một tập compact luôn là tập compact Trong không gian metric, một tập compact được định nghĩa là tập đóng và hoàn toàn bị chặn Ngược lại, nếu một tập là đóng và hoàn toàn bị chặn trong không gian metric đầy đủ, thì nó cũng là tập compact Đối với hai không gian metric (X, d_X) và (Y, d_Y) cùng với ánh xạ T: X → Y, có nhiều khái niệm quan trọng liên quan đến chúng.
Ánh xạ T được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi sai số > 0, tồn tại một khoảng δ > 0 (phụ thuộc vào và x0) sao cho với mọi x ∈ X thỏa mãn khoảng cách dX(x, x0) < δ, thì khoảng cách dY(Tx, Tx0) < Điều này có nghĩa là T xn sẽ tiến gần đến Tx0 khi xn tiến gần đến x0, hay nói cách khác, T xn → Tx0 với mọi dãy {xn} ⊂ X thỏa mãn xn → x0 Khi ánh xạ T liên tục tại mọi điểm x0 ∈ X, thì nó được gọi là liên tục trên X.
Ánh xạ T được gọi là liên tục đều trên không gian metric (X, d) nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 (phụ thuộc vào ε) sao cho với mọi x, y ∈ X thỏa mãn d_X(x, y) < δ thì có d_Y(T(x), T(y)) < ε.
X → X Ta nói điểm x ∈ X là một điểm bất động của ánh xạ T nếu
T x = x Tập các điểm bất động của ánh xạ T được kí hiệu là Fix(T), tức là
Từ Định nghĩa 1.8, việc tìm điểm bất động của ánh xạ T : X → X tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình toán tử
T x−x = 0. dn1.9 Định nghĩa 1.9 Giả sử (X, d) là một không gian metric Ánh xạ T :
X → X được gọi là ánh xạ Lipschitz, nếu tồn tại hằng số k ≥ 0 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có d(T x, T y) ≤ kd(x, y) (1.1) pt1.1
Hằng số k trong (1.1) được gọi là hằng số Lipschitz Nếu k thuộc khoảng [0,1), ánh xạ T : X → X được xem là một ánh xạ co với hằng số co k Khi k = 1, tức là d(T x, T y) ≤ d(x, y) cho mọi x, y thuộc X, ta nói rằng T là ánh xạ không giãn trên X.
Fix(T) 6= ∅ gọi là ánh xạ tựa không giãn. nx1.1 Nhận xét 1.1 Trong không gian metric X, một ánh xạ tựa không giãn là một ánh xạ không giãn.
Nguyên lý ánh xạ co Banach là một kết quả quan trọng trong lý thuyết điểm bất động, áp dụng cho không gian metric đầy đủ Cụ thể, nếu (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ co, thì T có duy nhất một điểm bất động x∗ ∈ X sao cho T x∗ = x∗ Tuy nhiên, đối với ánh xạ không giãn, kết quả này không còn đúng; ví dụ, ánh xạ T : R → R với T x = x + 1 là một ánh xạ không giãn nhưng không có điểm bất động.
K Hàm || ã || :X →R + thỏa món cỏc tiờn đề
(iii) ||x+ y|| ≤ ||x||+||y||, ∀x, y ∈ X, được gọi là một chuẩn trên X.
Không gian tuyến tính X có thể xác định một chuẩn || · ||, được gọi là không gian định chuẩn, ký hiệu là (X, || · ||) Trong nhiều trường hợp, để đơn giản, người ta ký hiệu X thay cho (X, || · ||) Không gian định chuẩn (X, || · ||) là một không gian metric với metric được cho bởi d(x, y) = ||x−y||, với x, y ∈ X.
