tuyến tính
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm quan trọng liên quan đến lí thuyết điểm bất động của ánh xạ phi tuyến tính, xem [18].
dn1.21 Định nghĩa 1.21. Cho X là một không gian định chuẩn, C là một
tập con lồi khác rỗng của X, T : C → C là một ánh xạ với F ix(T) 6= ∅ và dãy {xn} ⊂ C. Ta có các khái niệm sau
LE) đối với ánh xạ T nếu giới hạn lim
n→∞||xn−p|| tồn tại ∀p ∈ F ix(T). (D2) Ta nói dãy {xn} có tính chất xấp xỉ điểm bất động (gọi tắt là tính chất điểm AF) đối với ánh xạ T nếu lim
n→∞||xn−T xn|| = 0.
(D3) Ta nói dãy {xn} có tính chất điểm LEAF nếu {xn} có cả hai tính chất (D1) và (D2), tức là {xn} có tính chất LE và tính chất điểm AF.
dn1.22 Định nghĩa 1.22. Giả sử X là một không gian Banach và T là một
ánh xạ với miền xác định D(T) và miền giá trị R(T) trong X. Khi đó, ánh xạ T được gọi là nửa đóng tại điểm p ∈ R(T) nếu với mọi dãy {xn} ⊂ D(T) hội tụ yếu về điểm x ∈ D(T) và {T xn} hội tụ mạnh về p ta luôn có T x = p.
Mệnh đề sau đây là một trong những kết quả quan trọng trong lí thuyết điểm bất động liên quan đến lớp các ánh xạ không giãn.
md1.16 Mệnh đề 1.16 (Nguyên lí nửa đóng). Cho X là không gian Banach
thỏa mãn điều kiện Opial. Gọi C là một tập con đóng yếu khác rỗng của X và T : C → C là một ánh xạ không giãn. Khi đó ánh xạ I −T là nửa đóng tại 0.
Chứng minh. Giả sử rằng {xn} là một dãy trong C thỏa mãn xn * x và {xn} có tính chất điểm AF đối với ánh xạ T. Giả thiết phản chứng rằng x 6= T x. Khi đó, bởi điều kiện Opial (xem Nhận xét 1.4) ta có
lim sup n→∞ ||xn−x|| < lim sup n→∞ ||xn −T x|| ≤lim sup n→∞ (||xn −T x||+||T xn−T x||) ≤lim sup n→∞ ||xn−x||, mâu thuẫn. Từ đó suy ra (I −T)x = 0.
Một đặc trưng quan trọng của dãy có tính chất điểm AF đối với một ánh xạ bất kì T là mọi giới hạn riêng yếu của nó đều là một điểm bất động của T nếu I −T là nửa đóng tại 0.
md1.17 Mệnh đề 1.17. Cho X là một không gian Banach thỏa mãn điều kiện
ánh xạ sao cho (i) F ix(T) 6= ∅,
(ii) I −T là nửa đóng tại 0,
giả thiết rằng dãy {xn} ⊂ C sao cho {xn} có tính chất LEAF. Khi đó, {xn} hội tụ yếu đến một điểm bất động nào đó của T.
Chứng minh. Chúng ta sử dụng kí hiệu sau
wω({xn}) = {x : ∃xnj * x biểu thị giới hạn riêng yếu của {xn}}. Vì C là một tập compact yếu nên {xn} có dãy con {xnj} hội tụ yếu. Giả sử xnj * p. Do {xnj} ⊂ C và C là tập đóng yếu nên ta có p ∈ C.
Lại có
lim
n→∞||xn−T xn|| = 0
và I −T là nửa đóng tại 0 nên (I −T)p = 0 và do đó p ∈ F ix(T).
Để kết thúc chứng minh Mệnh đề 1.17 chúng ta sẽ chỉ ra rằng {xn} hội tụ yếu đến một điểm bất động của ánh xạ T.
Từ lập luận trên, chúng ta chỉ cần chỉ ra tập các giới hạn riêng yếu của dãy {xn} là wω({xn}) chỉ chứa đúng một điểm p.
Thật vậy, giả sử rằng tồn tại một dãy con khác {xnk} 6= {xnj} mà xnk * q 6= p. Lập luận tương tự trên suy ra q ∈ C và q ∈ F ix(T). Vì dãy {xn} có tính chất điểm LEAF nên có tính chất LE, tức là các giới hạn
lim
n→∞||xn −p|| và lim
n→∞||xn−q|| tồn tại.
Mặt khác, không gian Banach X thỏa mãn điều kiện Opial nên ta có các đánh giá lim n→∞||xn−p|| = lim j→∞||xnj −p|| < lim j→∞||xnj −q|| = lim n→∞||xn−q||, và lim n→∞||xn −q|| = lim k→∞||xnk −q|| < lim k→∞||xnk −p|| = lim n→∞||xn −p||, mâu thuẫn. Từ đó, p = q và {xn} * p. Như vậy, wω({xn}) = {p}, tức là dãy {xn} hội tụ yếu về p∈ F ix(T).