MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học cơ bản, toán học xuất hiện ngay trong đời sống hàng ngày, tác dụng của toán học rất rộng lớn, từ những việc nhỏ như việc tính tiền đi mua hàng, hay những việc lớn như để thiết kế nên những ngôi nhà cao tầng, các công trình xây dựng…. tất cả đều phải dựa vào Toán học. Ngay từ bậc học Mầm non các em đã làm quen với các con số 1, 2, 3,… Đến khi lên các cấp cao hơn các em được tìm hiểu rất nhiều vấn đề khác nhau của Toán học. Qua quá trình tìm hiểu chương trình Toán học ở THCS nói riêng và bằng thực tế tôi thấy đại số là một phần rất khó, đòi hỏi phải có sự phân tích tổng hợp, suy luận chính xác chặt chẽ và chính xác. Bên cạnh nhu cầu học tập môn Toán ngày càng tăng, các bạn học sinh, sinh viên với tư duy ngày càng nhanh nhạy, ham mê khám phá những kiến thức mới, những bài toán khó. Hệ phương trình là một trong những nội dung không chỉ quan trọng với các bạn trong các cấp học mà nó còn là đề tài rất hay để các nhà nghiên cứu tìm hiểu. Để giải một hệ phương trình có rất nhiều cách khác nhau, có người chọn đường vòng có người chọn đường thẳng, tuy nhiên kết quả chỉ có một, điều chúng ta cần nắm được là biết ứng dụng từng phương pháp vào những bài toán thích hợp. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính đã được biết đến từ rất lâu. Tuy nhiên do nhu cầu thực tiễn nhiều bài toán thực tế hay của chính toán học, phương pháp khử Gauss nói riêng và các phương pháp giải hệ phương trình đại số nói chung vẫn được quan tâm nghiên cứu nhiều. Thuật toán Gauss có thể dùng được trên mọi hệ phương trình. Phương pháp Gauss là công cụ đắc lực trong việc giải các hệ phương trình tuyến tính ngoài ra nó còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong Toán học như sau: Tìm hạng của ma trận, tìm hạng của hệ vectơ, tìm ma trận nghịch đảo, tìm định thức. biểu diễn vectơ, xét sự độc lập tuyến tính... Là một sinh viên trường Đại học Thủ đô Hà Nội, tôi thấy việc nghiên cứu đề tài “ Phương pháp khử Gauss – Joordan và ứng dụng” là rất quan trọng, đề tài này không chỉ giúp tôi nâng cao kiến thức mà còn trang bị cho bản thân tôi những kĩ năng, hiểu sâu hơn về kiến thức làm hành trang sau khi ra trường.
MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học bản, tốn học xuất đời sống hàng ngày, tác dụng toán học rộng lớn, từ việc nhỏ việc tính tiền mua hàng, hay việc lớn để thiết kế nên nhà cao tầng, cơng trình xây dựng… tất phải dựa vào Toán học Ngay từ bậc học Mầm non em làm quen với số 1, 2, 3,… Đến lên cấp cao em tìm hiểu nhiều vấn đề khác Tốn học Qua q trình tìm hiểu chương trình Tốn học THCS nói riêng thực tế tơi thấy đại số phần khó, địi hỏi phải có phân tích tổng hợp, suy luận xác chặt chẽ xác Bên cạnh nhu cầu học tập mơn Tốn ngày tăng, bạn học sinh, sinh viên với tư ngày nhanh nhạy, ham mê khám phá kiến thức mới, tốn khó Hệ phương trình nội dung không quan trọng với bạn cấp học mà cịn đề tài hay để nhà nghiên cứu tìm hiểu Để giải hệ phương trình có nhiều cách khác nhau, có người chọn đường vịng có người chọn đường thẳng, nhiên kết có một, điều cần nắm biết ứng dụng phương pháp vào tốn thích hợp Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính biết đến từ lâu Tuy nhiên nhu cầu thực tiễn nhiều tốn thực tế hay tốn học, phương pháp khử Gauss nói riêng phương pháp giải hệ phương trình đại số nói chung quan tâm nghiên cứu nhiều Thuật tốn Gauss dùng hệ phương trình Phương pháp Gauss công cụ đắc lực việc giải hệ phương trình tuyến tính ngồi cịn có nhiều ứng dụng quan trọng Tốn học sau: Tìm hạng ma trận, tìm hạng hệ vectơ, tìm ma trận nghịch đảo, tìm định thức biểu diễn vectơ, xét độc lập tuyến tính Là sinh viên trường Đại học Thủ đô Hà Nội, thấy việc nghiên cứu đề tài “ Phương pháp khử Gauss – Joordan ứng dụng” quan trọng, đề tài không giúp nâng cao kiến thức mà cịn trang bị cho thân tơi kĩ năng, hiểu sâu kiến thức làm hành trang sau trường Mục đích nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu phương pháp khử Gauss ứng dụng Tập trung nghiên cứu ứng dụng phương pháp Gauss giải hệ phương trình toán liên quan Đối tượng nghiên cứu Khóa luận tập trung nghiên cứu lí thuyết phương pháp khử Gauss, ứng dụng phương pháp Gauss tìm hạng ma trận, hạng hệ vectơ, tính định thứ, tìm ma trận nghịch đảo, độc lập tuyến tính hệ vectơ, biểu diễn tuyến tính hệ vectơ Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số toán để thấy ứng dụng phương pháp khử Gauss công cụ đắc lực Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kiến thức phương pháp khử Gauss ứng dụng Hệ thống số tập để làm bật phương pháp khử Gauss Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu LỜI CẢM ƠN Trên thực tế khơng có thành cơng mà khơng gắn liền với hỗ trợ, giúp đỡ dù nhiều hay ít, dù trực tiếp hay gián tiếp người khác Trong suốt thời gian bắt đầu học tập trường nay, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ quý thầy cô, gia đình, bạn bè Với long biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi đến quý Thầy Cô khoa Khoa Học Tự Nhiên – Trường Đại học Thủ đô Hà Nội với tri thức tâm huyết để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em suốt thời gian học trường Và đặc biệt, học kì này, khơng có lời hướng dẫn, dạy bảo thầy em nghĩ đề tài em khó thực Một lần em xin cám ơn thầy Bước đầu vào thực tế em cịn hạn chế nhiều bỡ ngỡ Do vậy, không tránh khỏi thiếu sót điều chắn, em mong nhạn lời đóng góp quý báu quý Thầy Cô để kiến thức em lĩnh vực hoàn thiện Em xin gửi lời cảm ơn trân thành tri ân sâu sắc thầy cô trường Đại học Thủ đô Hà Nội, đặc biệt thầy cô khoa Khoa Học Tự Nhiên tạo điều kiện cho em để em hồn thành tốt đề tài Và em xin chân thành cám ơn thầy Hoàng Ngọc Tuyến nhiệt tình hướng dẫn em thực đề tài Trong q trình thực đề tài, khó tránh khỏi sai sót, mong thầy bỏ qua cho em Đồng thời trình độ lý luận kinh nghiệm thực tiễn hạn chế nên đề tài em thực tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy để em có them nhiều kinh nghiệm cho thân Em xin chân thành cám ơn ! CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khái quát hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử 1.1 1.1.1 Gauss Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình có dạng: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + K + a1n xn = b1 a x + a x + a x + K + a x = b 2n n 21 22 23 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + K + a3 n xn = b3 am1 x1 + am x2 + am x3 + K + amn xn = bm Trong x1, x2 ,K , xn ( 1) aij , b j ẩn số, gọi hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số Ma trận Ma trận a11 a12 a a22 A = 21 M M am1 am a11 a12 a a22 A = 21 M M am1 am a1n a2 n O M amn gọi ma trận hệ số hệ (1) a1n b1 a2 n b2 O M M amn bm ma trận hệ số mở rộng hệ (1) Nhận xét: Một hệ phương trình hồn tồn xác định ta biết ma 1.1.2 trận hệ số mở rộng Cột b1 b 2 M bm gọi cột tự hệ (1) Hệ (1) viết lại dạng x1 b1 x b 2 A = M M xn bm với A ma trận hệ số hệ (1) Khi ta thực phép biến đổi sơ cấp dòng hệ phương trình tuyến tính ta hệ tương đương với hệ cho Ta nói (c1 ; c2 ; ; cn ) nghiệm hệ (1) thay xj = cj tất phương trình hệ (1) thỏa mãn Nếu X = ( x1 x2 xn ) T B = ( b1 b2 bm ) T hệ phương trình viết dạng: AX = B 1.1.3 Ví dụ: Hệ phương trình 2 x1 − x2 + x3 = 1; x1 + x2 + x3 = 4; x − x − x = −3, hệ phương trình tuyến tính ẩn R Hệ phương trình cịn viết dạng −1 x1 1 1 x = 2 1 −1 −2 x3 −3 −1 1 1 1 1 −1 −2 −3 Trong 1.1.4 (1, 2,1) ∈ R nghiệm hệ phương trình Một vài hệ phương trình đặc biệt 1.1.4.1 Hệ Crame (hệ khơng suy biến) Hệ phương trình tuyến tính (1) gọi hệ Cramer m = n (tức số phương trình số ẩn) ma trận hệ số A không suy biến (hay det A ≠ 0) Ví dụ 1.1 + x3 = x1 2 x1 − x2 + 3x3 = 4 x + x + x = 3 Hệ phương trình hệ Cramer 1.1.4.2 Hệ phương trình tuyến tính Nếu cột tự hệ (tức b1 = b2 = = ) hệ phương trình tuyến tính (1) gọi hệ phương trình tuyến tính Hệ gọi hệ liên kết với hệ phương trình (1) Nhận xét: Hệ phương trình tuyến tính ln có nghiệm ( x1 , x2 , , xn ) = (0, 0, , 0) nghiệm gọi nghiệm tầm thường hệ Định lý: Đối với hệ phương trình tuyến tính có ba trường hợp nghiệm xảy là: - Có nghiệm nhất; - Vơ nghiệm; - Có vơ số nghiệm Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm tầm thường có vơ số nghiệm Ví dụ 1.2 Để giải hệ phương trình x1 − x2 + x3 = 1; x1 + x2 + x3 = 4; x − x − x = −3, ta tiến hành ma trận hóa sử dụng phép biến đổi sơ cấp dịng để đưa ma trận hóa dạng đơn giản −1 1 −3 −1 −7 0 −7 −7 0 1 −1 d1 d1 − d2 d3 − d1 → 1 1 → 1 → 1 0 d3 − d d − d3 d2 − 3d1 1 −1 −2 −3 0 −2 −3 −7 d1 +3d3 0 −2 d3 + d1 0 Vậy hệ cho tương đương với 0 x1 + x2 + x3 = 1; x1 + x2 + x3 = 1; 0 x + x + x = x1 = ⇔ x2 = x = Điều kiện có nghiệm (Định lí Kronerker – Capelli) 1.2 Cho hệ phương trình tuyến tính a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + K + a1n xn = b1 a x + a x + a x + K + a x = b 2n n 21 22 23 a x + a x + a x + K + a x = b 31 32 33 3n n am1 x1 + am x2 + am3 x3 + K + amn xn = bm ( 1) Định lí Crơnecke Capelli ( 1) Hệ phương trình truyến tính A A i) Nếu ii) Nếu có nghiệm hạng (A) = hạng ( ma trận hệ số ma trận hệ số mở rộng Khi đó: rankA < rank A hệ (1) vơ nghiệm; rankA = rank A = r hệ (1) có nghiệm Hơn nữa: Nếu r = n hệ (1) có nghiệm Chứng minh uu r uur uur Α = α1,α ,K ,α n Ta kí hiệu { } hệ vectơ cột ma trận A, A ) uu r uur uur ur Β = α1,α ,K ,α n , β { phương trình } ( 1) A hệ , U không gian sinh hệ vectơ A, W không gian sinh hệ vectơ B Vì ⇒ hệ vectơ cột ma trận bổ sung Giả sử hệ có nghiệm A⊂ B nên ( c1, c2 ,K , cn ) U⊂ Khi W ur uu r uur uur β = c1α1 + c2α + K + cn α n có nghĩa ta thêm vào vào hệ A vectơ ur β Điều tổ hợp tuyến tính hệ A để hệ B Theo mệnh đề ta có hạng (A) = hạng (A) = hạng (B) = hạng ( ⇐ A ) A Giả sử hạng (A) = hạng ( ) Thế hạng (A) = hạng (B) Suy dimU = U⊂ dimW Vì W nên theo định lí ta có U = W ur β ∈U Do Vì tồn n số ur uu r uur uur c , c , K , c ( 1) (1 β = c1α1 + c2α + K + cn α n n) cho Vậy hệ có nghiệm 1.3 1.3.1 Giải hệ phương trình tuyến tính Hệ khơng suy biến (Hệ Cramer) Nội dung phương pháp định lý sau: 1.3.1.1 Định lý: Cho hệ Cramer a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x = b 21 22 2n n an1 x1 + an x2 + + ann xn = bn a11 a12 a a A = 21 22 M M an1 an Nếu - det A ≠ a1n a2 n O M ann (2) ma trận hệ số Khi đó, hệ phương trình có nghiệm xác định cơng thức sau: xj = det A j det A , i cột hệ số tự Ai ma trận thu ma trận A cách thay cột b1 b 2 M bn Nếu detA = tồn - j ∈ {1, 2, , n} | Aj |≠ cho hệ phương trình vơ nghiệm | Aj |= 0, ∀j = 1, n Nếu detA = - hệ phương trình khơng có nghiệm (nghĩa vơ nghiệm vơ số nghiệm) Nếu xảy trường hợp ta dùng phương pháp Gauss (được nêu phần tiếp theo) để giải hệ phương trình 1.3.1.2 Hệ quả: 10 ⇔ ( 2, −5,0,0 ) = k ( 1,0,0,0 ) + r ( 0,1,0,0 ) ⇔ ( 2, −5,0,0 ) = ( k ,0,0,0 ) + ( 0, r ,0,0 ) ⇔ ( 2, −5,0,0 ) = ( k , r ,0,0 ) k = r = −5 ⇒ 0 = = Hay ur uu r ur r 2ε1 − 5ε − α = thị tuyến tính qua , nghĩa hệ { ur uu r ur ε1 , ε , α } phụ thuộc tuyến tính ur uu r ε1 , ε ur ur { ε ,α } Bây ta xét hệ vectơ Giả sử ur uu r ur r1ε1 + r2 ε = 0, nghĩa là: r1 ( 1,0,0,0 ) + r2 ( 0,1,0,0 ) = ( 0,0,0,0 ) Suy ra: r1 + 2r2 = −5r2 = r1 = 0, r2 = r1 , r2 Hệ phương trình hai ẩn có nghiệm ur ur ε1 ,α Vậy hệ hai vectơ độc lập tuyến tuyến uu r ur uu r uu r ε ,α ε , ε Tương tự ta xét tính độc lập, phụ thuộc hệ , { } { }{ Cho hệ vectơ không gian chiều X1 = ( 1,3, −2,5 ) , X = ( 3, −2,1, ) , X = ( −1,8, −5,6 ) 46 } ur α biểu Muốn biết hệ vectơ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính ta xét hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số: −1 1 −2 ÷ ÷ B= −2 −5 ÷ ÷ 6 Nhân dòng thứ với ( −3) , 2, ( −5 ) cọng vào dòng thứ nhất, dòng thứ ba, dòng thứ tư 1 −11 B = 0 −11 Nhân dòng thứ với ( −1) −1 11 ÷ ÷ −7 ÷ ÷ 11 cộng vào dịng thứ tư −1 −11 11 ÷ ÷ B = −7 ÷ ÷ 0 0 Nhân dòng thứ hai với 11 cộng vào dòng thứ ba −1 −11 11 ÷ ÷ B= 0 0÷ ÷ 0 0 47 Q trình khử phương pháp Gauss kết thúc dạng hình thang, ma trận B ma trận bổ sung hệ phương trình tuyến tính Tồn k1, k2 , k3 ∈ R cho: k1 +3k2 −11k2 − k3 =0 +11k3 =0 k1 = k3 − 3k2 ⇔ k2 = k3 Với k3 tùy ý hệ có vơ số nghiệm Theo định nghĩa độc lập tuyến tính hệ vectơ cho phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 2.12 Cho hệ vectơ khơng gian chiều X1 = ( −2, 2,3, ) , X = ( 3, −2,3,5 ) , X = ( 4,1,6, −3) Lời giải Muốn biết hệ vectơ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính ta xét hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số: −2 −2 ÷ ÷ B= 3 6÷ ÷ −3 Nhân dòng thứ hai với 3, nhân dòng thứ ba với 48 −2 B= Nhân dòng thứ ba với ( −1) 4 3÷ ÷ 12 ÷ ÷ −3 cộng vào dòng thứ hai, nhân dòng thứ với cộng vào dòng thứ ba −2 0 9÷ ÷ B= 15 24 ÷ ÷ −3 Nhân dòng thứ với cộng vào dòng thứ tư −2 0 9÷ ÷ B= 15 24 ÷ ÷ 11 Nhân dòng thứ ba với −11 15 cộng vào thứ tư −2 0 ÷ ÷ B = 15 24 ÷ ÷ 0 −63 ÷ ÷ 25 Nhân dòng thứ hai với 25 cộng vào dòng thứ tư 49 −2 0 9÷ ÷ B= 15 24 ÷ ÷ 0 0 Đổi chỗ dòng thứ hai dòng thứ ba −2 15 24 ÷ ÷ B= 0 9÷ ÷ 0 0 Quá trình khử Gauss kết thúc dạng tam giác, ma trận B ma trận bổ sung hệ phương trình tuyến tính Tồn số α1,α ,α ∈ R cho thỏa mãn hệ: −2α1 + 3α + 4α = α1 = 15α + 24α = ⇔ α = α = 9α = Hệ phương trình có nghiệm ( α1,α ,α3 ) = ( 0,0,0 ) Theo định nghĩa độc lập tuyến tính nên hệ vectơ cho độc lập tuyến tính 2.6 Biểu thị tuyến tính hệ vectơ Ví dụ 2.13 50 R4 Trong khơng gian vectơ cho hệ vectơ: uu r uur uu r α1 = ( 1,1,1,1) ,α = ( 2,2,2,2 ) ,α = ( 3,0, −1,1) ur α = ( −12,3,8, −2 ) Hãy biểu thị vectơ qua hệ vectơ cho ur uu r uur uur α = kα1 + lα + mα ( k , l , m ∈ R ) Giả sử Khi đó: ( −12,3,8, −2 ) = k ( 1,1,1,2 ) + l ( 2,2,2,2 ) + m ( 3,0, −1,1) ⇔ ( −12,3,8, −2 ) = ( k , k , k , 2k ) + ( 2l , 2l ,2l ,2l ) + ( 3m,0, −m, m ) ⇔ ( −12,3,8, −2 ) = ( k + 2l + 3m, k + 2l , k + 2l − m,2k + 2l + m ) k + 2l + 3m = −12 k + 2l = ⇒ ( 1) k + l − m = 2k + 2l + m = −2 Giải hệ ( 1) : 1 B= 1 2 −12 ÷ ÷ −1 ÷ ÷ −2 Nhân dòng thứ với 1 0 1 2 ( −1) −3 −1 cộng vào dịng thứ hai: −12 15 ÷ ÷ ÷ ÷ −2 51 Cộng dòng thứ ba vào dòng thứ tư nhân dòng thứ với thứ tư: 1 0 3 0 −3 0 −4 −12 15 ÷ ÷ ÷ ÷ 20 Cộng dòng thứ hai vào dòng thứ tư: −12 ÷ 0 −7 35 ÷ 3 ÷ Nhân dòng thứ với ( −3) cộng vào dòng thứ ba: −12 ÷ 0 −7 35 ÷ −2 −9 42 ÷ Ma trận ma trận bổ sung hệ: k 0 k 0 k Giải hệ ta được: +2l +3m = −12 +0l −7m = 35 −2l −9m = 42 k = l = m = −5 52 ( −1) cộng vào dịng Khi đó: ur uu r uur uu r α = 0α1 + α − 5α Ví dụ 2.14 Trong khơng gian R biểu thị tuyến tính vectơ uu r X = ( 16,7, −1) qua vectơ uur uuu r uuu r X1 = ( 1, −1,3) , X = ( 2,1,1) , X = ( 5,3, −1) Lời giải uu r uur uuu r uuu r X = α1 X1 − α X + α3 X Giả sử Khi đó: ( 16,7, −1) = α1 ( 1, −1,3) + α ( 2,1,1) + α ( 5,3, −1) ⇔ ( 16,7, −1) = ( α1, −α1,3α1 ) + ( 2α ,α ,α ) + ( 5α3 ,3α3 , −α3 ) ⇔ ( 16,7, −1) = ( α1 + 2α + 5α3 , −α1 + α + 3α ,3α1 + α − α ) α1 +2α ⇒ −α1 +α 3α +α Bộ số α1,α ,α +5α +3α −α = 16 = = nghiệm hệ phương trình có ma trận mở rộng: 16 ÷ B = −1 ÷ −1 −1÷ Lấy dịng thứ cộng vào dòng thứ hai: 53 16 ÷ B = 23 ÷ −1 −1÷ Nhân dịng thứ hai với −2 ÷ cộng vào dòng thứ nhất: 1 B = 0 3 −1 −1 2 3÷ ÷ 23 ÷ −1÷ ÷ Nhân dòng thứ ba với cộng vào dòng thứ nhất: −1 ÷ B = 23 ÷ −1 −1÷ Nhân dịng thứ với ( −1) cộng vào dòng thứ ba: −1 ÷ B = 23 ÷ −3 ÷ Ma trận ma trận bổ sung hệ: 54 3α1 ⇒ +3α +α uu r X Vậy −α +8α α1 = = 23 ⇔ α = −3 = −3 α = = 16 biểu thị qua hệ: uu r uur uuu r uuu r X = X1 − X + X 55 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Giải hệ phương trình sau: a, c, e, 5 x1 −3x2 x1 +5 x2 6 x +2 x +3x3 = 15 − x3 =7 +2 x3 = 22 x1 +2 x2 3x + x 3x1 +2 x2 4 x1 −4 x2 +3x3 −2 x4 =6 + x3 −5 x4 = 14 − x3 +2 x4 =4 −2 x4 =0 +3x2 +2 x3 +2 x4 −2 x5 =5 +2 x2 + x3 + x4 −3 x5 = −2 +2 x2 +3x3 +3 x4 +7 x5 = 30 +5 x2 +4 x3 +4 x4 4 x1 3 x x1 6 x1 f, x1 − x2 4 x − x x1 +2 x2 5 x1 +4 x2 4 x1 + x2 x1 + x2 7 x + x b, d, x1 x x1 2 x1 + x4 −2 x5 =0 + x3 + x4 −3x5 =1 −2 x3 −2 x4 +3x5 =1 −4 x3 −4 x4 +5 x5 =3 a, +7 x3 +2 x4 =2 − x2 +3x3 +5 x4 =2 − x2 + x3 +2 x4 =4 −3 −1 −3 −6 −4 − −4 −6 56 = −7 − x2 b, +8 x3 =2 = −1 +2 x4 10 −4 −1 +2 x3 +3x3 Bài Tính định thức sau: = −2 −5 x2 = 19 + x3 +4 x3 −1 −3 −2 −4 3 −3 6 −3 −2 4 3 −4 c, d, x x x −1 0 x −x x x −1 x x x −x x −1 x x x −x 0 −1 e, f, Bài Tìm ma trận nghịch đảo c111ác ma trận sau: a, 2 6 ÷ ÷ −2 −3 ÷ 1 −1 0 1 ÷ ÷ 0 ÷ c, e, 1 0 0 0 4 1 −1 ÷ ÷ 1÷ ÷ 0 1 2 3 −1 ÷ ÷ −1 ÷ b, d, 1 1 1 −1 −1÷ ÷ −1 −1÷ ÷ −1 −1 f, −2 −1 ÷ ÷ −2 ÷ Bài Dùng hệ phương trình tuyến tính định nghĩa hệ vectơ phụ thuộc độc lập tuyến tuyến tính Xét tính độc lập, phụ thuộc hệ vectơ sau: uu r uur uu r uur α1 = ( 3,2,4,7 ) ,α = ( 4, −3,11, ) ,α = ( −5,3, −13,1) ,α = ( 7, −2,16,3 ) a, 57 uu r uur uu r uur β1 = ( 1,7,3,5 ) , β = ( 4, −3,11,2 ) , β3 = ( 1, −1, −1,1) , β = ( 1,5,2, ) b, ur uu r uu r ε1 = ( 2, −1,3) , ε = ( −3,1, −2 ) , ε = ( 0,4,5 ) c, Bài Hãy biểu diễn vectơ cho qua hệ vectơ lại: ur α = ( 5,7, −12,9 ) a, qua hệ vectơ uu r uur uu r uur α1 = ( 2,5,3,9 ) ,α = ( −1,6, 2,3) ,α = ( 1, −9,7,4 ) , α = ( 0,0,1,5 ) ur β = ( 1, 2,6,0 ) b, qua hệ vectơ uu r uur uu r uur β1 = ( 0, 2,0,2 ) , β = ( 1,0, −5,4 ) , β3 = ( 1, −8,5,3 ) , β = ( −2,8,5,1) (ε) c, Tìm tọa độ vectơ sở : ur ur u r α = ( 0, −5, 4,1) , β = ( 2,7,0,9 ) , δ = ( 4,0,1,2 ) ur ur ur ur r ur ur ur ur ur ur ur χ = 3α − β + 5δ ,ν = −α + 4β + 2δ , µ = 4α − 7β + 6δ Bài Tìm hạng ma trận sau: 0 1 A= 0 2 1 −1 0÷ ÷ 0 2÷ ÷ 1 1 1 0 B= 2 −1 58 0 −1÷ ÷ 0÷ ÷ 1 0 KẾT LUẬN Hệ phương trình có vị trí quan trọng Tốn học, gặp hệ phương trình ta có nhiều cách làm, nhiên phương pháp Gauss công cụ đắc lực để giải hệ phương trình Ngồi phương pháp khử Gauss cịn sử dụng nhiều tốn cao cấp, toán ứng dụng,… Và thường xun gặp tốn hệ phương trình kì thi học sinh giỏi, thi Olympic tốn học trường phổ thơng Trong khn khổ thời gian có hạn tài liệu chưa thật đầy đủ nên khóa luận cịn tồn nhiều hạn chế Đây trải nghiệm ban đầu nghiên cứu khoa học giúp em hình thành kĩ nghiên cứu đề tài khoa học nói chung đề tài Tốn học nói riêng Vì em mong nhận đóng góp ý kiến dẫn quý báu thầy cô giáo, bạn sinh viên, từ em rút kinh nghiệm hồn thành tốt đề tài Để hồn thiện khóa luận em xin chân thành cảm ơn thầy Hồng Ngọc Tuyến – người tận tình bảo, giúp đỡ em suốt trình làm đề tài Cuối , em xin chân thành cảm ơn thầy giáo tổ chun mơn Tốn, thầy giáo tổ chun mơn Tốn tận tình giúp đỡ em năm học vừa qua Em xin chân thành cảm ơn! 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Thuận Đại số tuyến tính Nhà xuất Đại học Sư phạm năm 2003 [2] Ngô Thúc Lanh Đại số tuyến tính Nhà xuất Đại học Trung học Chuyên nghiệp [3] Dương Quốc Việt (chủ biên), Nguyễn Cảnh Lương Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật năm 2003 [4] Nguyễn Cao Thắng Đại số tuyến tính (tốn cao cấp A3 dùng cho đại học kỹ thuật) Nhà xuất Giáo dục năm 1999 [5] Lê Tuấn Hoa Đại số tuyến tính qua ví dụ tập Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2002 [6] Nguyễn Xuân Sính, Trần Phương Dung Bài tập đại số tuyến tính Nhà xuất Giáo dục năm 2001 60 ... toán để thấy ứng dụng phương pháp khử Gauss công cụ đắc lực Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kiến thức phương pháp khử Gauss ứng dụng Hệ thống số tập để làm bật phương pháp khử Gauss Phương pháp nghiên... đích nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu phương pháp khử Gauss ứng dụng Tập trung nghiên cứu ứng dụng phương pháp Gauss giải hệ phương trình tốn liên quan Đối tượng nghiên cứu Khóa luận tập trung... biến (số phương trình < số ẩn, số phương trình số ẩn detA ≠0 )khi công thức Caremer không áp dụng Để giải hệ ta dùng phương pháp định thức phương pháp khử Gauss – Joordan (hay phương pháp Gauss)