Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán 2022

thuvienhoclieu.com TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 MƠN TỐN Chủ đề MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 I Cấp số cộng, cấp số nhân Cấp số cộng a Định nghĩa: (un ) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai) b Số hạng tổng quát: un = u1 + (n − 1)d với n  u +u c Tính chất số hạng: uk = k −1 k +1 với k  2 n(u1 + un ) n  2u1 + (n − 1)d  Tổng n số hạng đầu tiên: Sn = u1 + u2 + + un = = 2 Cấp số nhân Định nghĩa: (un ) cấp số nhân  un+1 = un q với n  N* (q: công bội) n −1 Số hạng tổng quát: un = u1.q , với n  Tính chất số hạng: uk2 = uk −1.uk +1 , với k   Sn = nu1 Tổng n số hạng đầu tiên:  u (1 − q n ) Sn =  1− q ,q =1 ,q 1 u1 − u3 + u5 = 10 u1 + u6 = 17 Ví dụ Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết:  u1 − u3 + u5 = 10 Hướng dẫn giải Ta có:  u1 + u6 = 17 u1 + 2d = 10 u = 16  2u1 + 5d = 17 d = −3  Ví dụ Một CSC có số hạng thứ 54 thứ - 61 64 Tìm số hạng thứ 23 u54 = u1 + 53d Hướng dẫn giải Ta có: un = u1 + ( n −1) d   u4 = u1 + 3d 143 33 Giải hệ phương trình, ta được: u1 = , d = −  u23 = u1 + 22d = 2 Ví dụ Tìm số hạng cấp số nhân (un ) có số hạng, biết: u3 = 3, u5 = 27 u1q2 = u3 =  Hướng dẫn giải Ta có:   u1 = , q = 3 u5 = 27 u1q = 27 1 Vậy có hai dãy số: ,1,3,9,27 , −1,3, −9,27 3 II Tổ hợp, xác suất công thức Nhị thức Niutơn Quy tắc đếm 1.1 Quy tắc cộng: Sử dụng cơng việc hồn thành hành động riêng lẻ Ví dụ Lớp 11A8 chia thành tổ Tổ có học sinh, tổ có học sinh, tổ có học sinh tổ có học sinh Hỏi có cách để chọn học sinh lớp 11 A8 tham gia vào đội Cờ đỏ nhà trường Giải: Tổ có cách chọn +…+ Tổ có = 33 cách chọn Ví dụ Giả sử từ Bồng Sơn đến Quy Nhơn loại phương tiện: Ô tô, tàu hỏa, tàu thủy máy bay Biết ngày có 10 chuyến tơ, chuyến tàu hỏa, chuyến tàu thủy chuyến máy bay từ Phù Mỹ đến Quy Nhơn Hỏi có cách lựa chọn từ Phù Mỹ đến Quy Nhơn ngày Giải: Đi tơ có 10 cách+…+1 cách máy bay = 18 cách lựa chọn 1.2 Quy tắc nhân: Sử dụng công việc hoàn thành hành động liên tiếp thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ví dụ Nam có áo màu hai quần kiểu khác Hỏi Nam có cách chọn quần áo Giải: Dùng quy tắc nhân, ta 3.2 = quần áo Ví dụ An muốn qua nhà Bình để Bình đến chơi nhà Cường Biết từ nhà An đến nhà Bình có đường, từ nhà Bình đến nhà Cường có đường Hỏi An có cách chọn đường đến nhà Cường Giải: Dùng quy tắc nhân, ta 4.6 = 24 đường Ví dụ Có số chẵn có chữ số tạo thành từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 cho a) Các chữ số giống b) Các chữ số khác Giải: a) Đặt chữ số cần tìm có dạng abcd Vì abcd chẵn nên d 0, 2, 4,6 a số nên Trường hợp Nếu d = d có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Theo quy tắc nhân có 1.6.7.7 = 294 cách Trường hợp Nếu d  d có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Theo quy tắc nhân có 3.6.7.7=882 cách Vậy có 294+882=1176 cách b) Đặt chữ số cần tìm có dạng abcd Vì abcd chẵn nên d 0, 2, 4,6 a số nên Trường hợp Nếu d = d có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Theo quy tắc nhân có 1.6.5.4 = 120 cách Trường hợp Nếu d  d có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Theo quy tắc nhân có 3.5.5.4 = 300 cách Vậy có 120+300=420 cách Hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp 2.1 Hoán vị: Sự xếp thứ tự n phần tử tập hợp gồm n phần tử Công thức: Pn = n! = n ( n −1)( n − 2)( n − 3) 3.2.1 Ví dụ Có cách xếp cho ba bạn An, Bình, Cường vào bàn học sinh gồm ba chỗ Giải: P3 = 3! = 3.2.1 = (Có thể dùng quy tắc nhân) Ví dụ Trong thi thể thao có đội tham gia A, B, C, D có bốn giải nhất, nhì, ba khuyến khích Có khả để đội đoạt giải Giải: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 (Có thể dùng quy tắc nhân) n! 2.2 Chỉnh hợp: Chọn k phần tử khác (có thứ tự) từ n phần tử tập hợp ( k  n ): Ank = ( n − k )! n! 2.3 Tổ hợp: Chọn k phần tử (không thứ tự) từ n phần tử tập hợp ( k  n ): Cnk = k !( n − k )! Ví dụ Tổ lớp 11A8 có học sinh Giáo viên chủ nhiệm chọn ba học sinh từ tổ để quét lớp, lau bảng xếp bàn ghế Hỏi GVCN có cách chọn (HDG A53 = 60 ) Ví dụ Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua loạt đá luân lưu 11m HLV đội cần phải trình với trọng tài danh sách (sắp thứ tự) năm cầu thủ số 11 cầu thủ để đá luân lưu 11m Hỏi HLV đội có cách chọn (HDG A115 = 55.440 ) Ví dụ Trong thi Maraton có 50 người tham gia có ba giải nhất, nhì, ba Có cách để chọn người đoạt giải nhất, giải nhì, giải ba (HDG A503 = 117.600 ) Ví dụ Có số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số1,2,3,4,5,6,7,8,9(HDG A95 = 15.120 ) Ví dụ Có bao cách chọn học sinh đội tuyển gồm học sinh giỏi môn văn lớp 12 trường để dự thi cấp tỉnh Biết em có lực (HDG C83 = 56 ) Ví dụ Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm điểm, khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có tam giác có đỉnh thuộc P (HDG C73 = 35 ) Ví dụ Trong lớp học có 20 học sinh nam 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn học sinh nam học sinh nữ tham gia chiếu dịch “mùa hè xanh” đồn TNCS Hồ Chí Minh Hỏi có cách chọn (HDG C204 C153 = 4845.455 = 2204475 ) Xác suất biến cố thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com n A Xác suất biến cố A tính theo cơng thức P ( A) = ( ) n () Trong đó: n ( A) số phần tử biến cố A; n (  ) số phần tử không gian mẫu Ví dụ Một hộp đựng 12 viên bi có viên bi đỏ, bi xanh Lấy ngẫu nhiên lần viên bi Tính xác suất để: a) Lấy viên bi đỏ b) Lấy hai viên bi màu đỏ Giải: Số phần tử không gian mẫu n (  ) = C123 = 220 n A a) XS bc A P ( A ) = ( ) = 35 = n () 220 n () 220 44 b) XS bc B P ( B ) = n ( B ) = 140 = 11 Ví dụ Một khách sạn có phịng đơn Vào buổi sáng có 10 khách đến th phịng lúc có nam nữ Người quản lý khách sạn chọn ngẫu nhiên người Tính XS để: a) Có khách nam khách nữ b) Có khách nữ Giải: Số phần tử không gian mẫu n (  ) = C106 = 210 a) XS bc A P ( A ) = n ( A) n () = 90 = 220 b) Gọi B biến cố có khách nữ Có khả xảy sau: + Hai nữ, nam: C42 C64 + Ba nữ, nam: C43 C63 + Bốn nữ, nam: C44 C62 Suy số phần tử biến cố B C42 C64 + C43 C63 + C44 C62 =185 n B Vậy XS bc B P ( B ) = ( ) = 185 = 37 n () 210 42 Ví dụ Trong 100 vé xổ số kiến thiết có vé trúng 100 nghìn đồng, vé trúng 50 nghìn đồng 10 vé trúng 10 nghìn đồng Một người mua ngẫu nhiên vé Tính xác suất để: a) Người mua trúng thưởng 30 nghìn đồng b) Người mua trúng thưởng 200 nghìn đồng Giải: Số phần tử khơng gian mẫu n (  ) = C100 a) P ( A) = n ( A) n () = C103 = C100 2695 b) P ( B ) = n ( B) n () = C11.C52 = C100 156200 Ví dụ Trong hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi chọn có màu n A 60 Giải: Số phần tử không gian mẫu n ( ) = C123 = 220 P ( A ) = ( ) = 3.4.5 = = n () C12 220 11 Ví dụ Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số chia hết cho 5 n A 10 20 Giải: Số phần tử không gian mẫu n ( ) = C30 P ( A) = ( ) = C10 C n () C12 Ví dụ Cho tập F = 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 Lấy ngẫu nhiên phần tử F Tính xác suất để số lấy chẵn tổng chúng nhỏ (HDG : P ( A ) = n ( A) n () = ) 45 Gọi A biến cố số lấy chẵn tổng chúng nhỏ Tập A bao gồm pần tử: 0, 2, 0, 4, 0,6, 2, 4 Khi Nhị thức Newton + Với hai số thực a b, ta có (a + b)n = Cn0 a n + Cn1a n- 1b + + Cnn- 1ab n- + Cnnb n = n å Cnk a n- k b k k= + Một số hạng tổng quát vị trí thứ k + Cnk a n − k b k thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = u2 = Công sai cấp số cộng cho A −6 B C 12 D Câu Số cách chọn học sinh từ học sinh A B A72 C C72 D Câu Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên khác từ 25 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 313 13 12 A B C D 625 25 25 Câu Số cách chọn học sinh từ học sinh A B 25 C C52 D A52 Câu Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = u2 = Công sai cấp số cộng cho A B −6 C 10 D Câu Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 27 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 365 14 13 A B C D 729 27 27 Câu Số cách chọn học sinh từ học sinh A A62 B C62 C D 62 Câu Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = u2 = Công sai cấp số cộng cho A B −4 C D Câu Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 21 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 10 221 11 A B C D 441 21 21 Câu 10 Số cách chọn học sinh từ học sinh A C82 B 82 C A82 D 28 Câu 11 Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = u2 = Công sai cấp số cộng cho A B C −3 D Câu 12 Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 23 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 265 12 11 A B C D 529 23 23 Câu 13 Với k n hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k  n Mệnh đề ? k !( n − k )! n! n! n! A Cnk = B Cnk = C Cnk = D Cnk = k! k !( n − k )! n! ( n − k )! Câu 14 Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = công sai d = Giá trị u4 A 22 B 17 C 12 D 250 Câu 15 Có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ba ghế Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm nam nữ, ngồi vào hai dãy ghế cho ghế có học sinh ngồi Xác suất để học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ A B C D 10 5 20 Câu 16 Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 34 học sinh? A 234 B A342 C 34 D C342 Câu 17 Từ hộp chứa 11 cầu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 4 24 33 A B C D 455 165 455 91 Câu 18 Hệ số x khai triển nhị thức x ( x − 1) + ( x − 1) A −13368 B 13368 C −13848 D 13848 Câu 19 Ba bạn A , B , C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn 1;17 Xác suất để ba số viết có tổng chia hết cho 1637 1079 1728 23 A B C D 4913 4913 4913 68 (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 43 Mã đề 101) Giải: Khơng gian mẫu có số phần tử 173 = 4913 Lấy số tự nhiên từ đến 17 ta có nhóm số sau: + Số chia hết cho : có số thuộc tập 3;6;9;12;15 + Số chia cho dư : có số thuộc tập 1;4;7;10;13;16 + Số chia cho dư : có số thuộc tập 2;5;8;11;14;17 Ba bạn A , B , C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn 1;17 thỏa mãn ba số có tổng chia hết cho khả xảy sau: TH1: Ba số chia hết cho có 53 = 125 cách; TH2: Ba số chia cho dư có 63 = 216 cách TH3: Ba số chia cho dư có 63 = 216 cách TH4: Một số chia hết cho , số chia cho dư , chia cho dư có 5.6.6.3! = 1080 cách Vậy xác suất cần tìm 125 + 216 + 216 + 1080 = 1637 Chọn D 4913 4913 Câu 20 Với n số nguyên dương thỏa mãn Cn1 + Cn2 = 55 , số hạng không chứa x khai triển n   thức  x +  x   A 322560 B 3360 Giải: Điều kiện n  n Z D 13440 C 80640 10 Ta có Cn1 + Cn2 = 55  n = 10 Với n = 10 ta có khai triển  x +   Số hạng tổng quát khai triển C10k x3(10− k )  x  k  = C10k 2k x 30−5 k , với  k  10  x   Số hạng không chứa x ứng với k thỏa 30 − 5k =  k = Vậy số hạng không chứa x C106 26 = 13440 Chọn D Chủ đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Khối đa diện Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc (a, b, c kích thước) Thể tích khối lập phương cạnh a : V = a3 Thể tích khối lăng trụ: V = B.h (B diện tích đáy, h chiều cao) Thể tích khối chóp: V = Chú ý: Tỉ số thể tích B.h (B diện tích đáy, h chiều cao) VS.A' B'C ' VS.ABC = SA' SB ' SC ' SA SB SC M Kiến thức liên quan * Tỉ số lượng giác góc nhọn: • sin  = MH OM • cos  = OH MH • tan  = OM OH • cot  = thuvienhoclieu.com OH MH α O H Trang thuvienhoclieu.com * Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho ABC vng A • Định lý Pitago: BC = AB2 + AC hay a2 = b2 + c2 • BA2 = BH BC; CA2 = CH CB hay b = a.b ', c = a.c ' • AB AC = BC AH hay bc = ah • 1 1 1 = + = + hay AH AB AC h2 b2 c2 A * Hệ thức lượng tam giác thường • Định lý cơsin: a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A • Định lý sin: b c h b' c' a b c = = = 2R sin A sin B sin C B H a M C * Các cơng thức tính diện tích a Cơng thức tính diện tích tam giác 1 a.ha = bhb = chc 2 1 • S = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 abc • S= , S = pr 4R • S= • S= p( p − a)( p − b)( p − c) với p = a+b+c (Công thức Hê-rông) a2 • Đặc biệt: ABC vuông A: S = AB AC , ABC cạnh a: S = b Diện tích hình vng cạnh a: S = a c Diện tích hình chữ nhật: S = a.b 1 d Diện tích hình thoi: S = m.n e Diện tích hình thang: S = h ( a + b ) 2 * Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng • Đường chéo hình vng cạnh a d = a • Đường cao tam giác cạnh a h = a II Góc khoảng cách Góc: + Góc hai đường thẳng chéo nhau: Là góc hai đường thẳng qua điểm song song với hai đường thẳng + Góc đường thẳng mặt phẳng: Là góc đường thẳng với hình chiếu mặt phẳng + Góc hai mặt phẳng ( ) (  ) : ▪ Bước 1: Xác định giao tuyến  hai mặt phẳng ( ) (  ) ▪ Bước 2: Trên  lấy điểm O Qua O vẽ tia Ox vng góc với  ( ) vẽ tia Oy vng góc với  (  ) Khi đó: Góc hai mặt phẳng ( ) (  ) góc tia Ox tia Oy hay xOy Khoảng cách: + Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Là khoảng cách từ điểm đến hình chiếu mặt phẳng + Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng + Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com + Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: ▪ Cách 1: Xác định đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo Khi đó, khoảng cách cần tìm độ dài đoạn vng góc chung ▪ Cách 2: Dựng mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng lại Khi đó, khoảng cách hai đường thẳng chéo quy khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song ▪ Cách 3: Dựng hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Khi đó, khoảng cách hai đường thẳng chéo quy khoảng cách hai mặt phẳng song song III Khối nón, Khối trụ, Khối cầu Khối nón: Cho khối nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l chiều cao h Khi đó: l = r + h + Diện tích xung quanh: S xq =  rl ; + Diện tích tồn phần: Stp =  rl +  r + Thể tích: V =  r h Khối trụ: Cho khối trụ có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l chiều cao h Khi đó: l = h + Diện tích xung quanh: S xq = 2 rl ; + Diện tích tồn phần: Stp = 2 rl + 2 r + Thể tích: V =  r h Khối cầu: Cho khối cầu có bán kính R + Diện tích mặt cầu: S MC = 4 R + Thể tích khối cầu: VKC =  R Ví dụ Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD có độ dài tất cạnh a Giải Gọi H tâm hình vng Vì S.ABCD hình chóp nên SH ⊥ ( ABCD ) Vì ABCD hình vng nên S ABCD = AB = a (đvdt) S Ta có SA2 + SC = AB2 + BC = AC = 2a2 SAC vuông S, mà H trung điểm AC nên SH =  VS ABCD AC a = 2 B C H 1 a 2 = SH S ABCD = a = a (đvtt) 3 A D Ví dụ Tính thể tích khối chóp tam giác biết cạnh đáy a cạnh bên hợp đáy góc 600 Giải S Gọi H tâm tam giác ABC , M trung điểm BC S.ABC hình chóp nên SH ⊥ ( ABC ) ABC tam giác nên AM ⊥ BC Trong tam giác vuông ACM  AM =  S ABC = a AM BC = a (đvdt) A B 600 H M C Ta lại có AM ⊥ BC , SH ⊥ BC nên SM ⊥ BC  ( ( SBC ),(ABC) ) = ( SM , AM ) = SMA = 60 AM = a SH a  SH = HM tan 600 = Trong tam giác vuông SHM , tan SMH = HM Do H trọng tâm tam giác ABC nên HM = thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 1 a 3  VS ABC = SH S ABC = a = a (đvtt) 3 24 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải S ( SAB) ⊥ ( ABCD )  Ta có: ( SAD ) ⊥ ( ABCD )  SA ⊥ ( ABCD )  ( SAB )  ( SAD ) = SA Do đó, VS ABCD = SA.S ABCD Diện tích đáy ABCD là: S ABCD = AB.BC = 2a B 600 A D C AC hình chiếu SC lên mp ( ABCD ) nên ( ( SC ),( ABCD ) = ( SC , AC ) = SCA = 600 Ta có: AC = AB + BC = a  SA = AC.tan SCA = a 5.tan 600 = a 15 2a3 15 Vậy thể tích khối chóp là: VS ABCD = (đvtt) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a Các cạnh bên SA = SB = SC = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC Gọi H hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) S Giải Ta có: SA = SB = SC nên HA = HB = HC Do đó, H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Mà ABC vuông A nên H trung điểm BC B =a a2 = AB AC = (đvdt) 2 SBC cạnh 2a  SH = 2a AC = a  S ABC C H A Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a Giải Vì SH ⊥ ( ABCD ) nên S VS CDMN = SH SCDMN = SH ( S ABCD − S BCM − S AMN ) 5 3 = a a2 = a 24 M A N B H D C Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng A với AC = a, ACB = 60 , biết BC' hợp với ( AA ' C ' C ) góc 300 Tính AC' thể tích khối lăng trụ Giải o Ta có ABC tam giác vuông A với AC = a, ACB = 60  AB = AC.tan 60 = a thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ta có: AB ⊥ AC ; AB ⊥ AA  AB ⊥ ( AACC ) nên AC' hình chiếu BC' ( AA ' C ' C ) Vậy góc BC’ mặt phẳng ( AA ' C ' C ) góc AC ' B = 300  AC  = AB = 3a A' tan 30o C' AC ' A' vuông A’  AA ' = AC '2 − A ' C '2 = 8a = 2a ABC vuông A, tan ACB = B' AB =  AB = a AC 300 a2  S ABC = AB AC = (đvdt) 2 Vậy VABC A ' B ' C ' = AA '.S ABC = a3 (đvtt) a 600 A C B Ví dụ Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 600 , biết AB' hợp với đáy ( ABCD ) góc 300 Tính thể tích khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Giải Vì ABD cạnh a nên: B' C' D' A' a2 a2 S ABD =  S ABCD = 2S ABD = ABB vuông B  BB = AB tan 30o = a B C 30 3a3  V = S BB = Vậy ABCD A ' B ' C ' D ' (đvtt) 60 ABCD A D Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC A' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ 0 Giải Ta có CH ⊥ ( ABC )  CH hình chiếu CC' (ABC) A' Nên góc CC’ mp ( ABC ) 600  C H = CC .sin 600 = S ABC = a a 3a Vậy V = S ABC C  H = A 3a B' C' 600 B C Ví dụ Trong không gian cho tam giác vuông OIM vuông I,góc IOM 30 độ cạnh IM=a.Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón trịn xoay a)Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay đó? b)Tính thể tích khối nón trịn xoay tạo hình nón trịn xoay nói trên? Giải a)Ta có S xq =  rl * Bán kính hình nón : r=IM=a * Xét tam giác OIM vng I ta có sin 300 = IM  OM = IM = a = 2a Vậy Sxq =  a.2a = 2 a2 OM b) Tacó sin 30 1/ 1 V = Bh =  r h * Bán kính hình nón : r = IM = a a * h=OM= a Vậy V =  a a = 3 3 Ví dụ Trong khơng gian cho h ình vng ABCD cạnh a,gọi I,H trung điểm cạnh AB CD.Khi quay hình vng quanh trục IH tạo thành hình trụ trịn xoay a)Tính diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay đó? b)Tính thể tích khối trụ trịn xoay nói trên? Hướng dẫn giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a) Ta có S xq = 2 rl : * Bán kính đáy : r = a/2; * Đường sinh : l = a Vậy S xq = 2 a a =  a a  a3 b) Thể tích V =  r h =  ( ) a = (đvtt) Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu đó? Hướng dẫn giải Gọi O,O’ tâm hai tam giác ABC A’B’C’.Ta có OO’ trục hai tam giác đáy.Suy tâm I mặt cầu ngoại tiếp trung điểm OO’ với bán kính 2  a   a  a 21 R = IA = AO + OI =   +   =   2 2 Diện tích mặt cầu S = 4 R2 = 4  7a  = 7 a ; Thể tích khối cầu V =  R3 = 7 a 21  12  3 54 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng đỉnh B , AB = a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) Hướng dẫn giải Trong tam giác SAB, kẻ AH vng góc với SB H: AH ⊥ SB (1) Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA nên suy BC ⊥ ( SAB)  BC ⊥ AH hay AH ⊥ BC (2) Từ (1) (2), ta có: AH ⊥ ( SBC )  d ( AH , ( SBC )) = AH Tam giác SAB vuông A, có AH đường cao nên 1 1 a2 a a 2 = + = + =  AH =  AH = = 2 2 2 AH AS AB a a a 2 Ví dụ 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng Hướng dẫn giải Nhận thấy AC hình chiếu SC lên ( ABCD) nên góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy ( ABCD) SCA Vì ABCD hình vng cạnh a nên độ dài đường chéo AC = a Tam giác SAC vuông cân A nên SCA = 450 IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính r A r h B r h C r h D 2r h 3 Câu Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h A 3Bh B Bh C Bh D Bh 3 Câu Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC vuông B , AB = a BC = a Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) A 90 B 45 C 30 D 60 Câu Cho khối lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a AA ' = 3a Thể tích lăng trụ cho a3 a3 3a 3a A B C D 4 Câu Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1, 2m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự dịnh làm gần với kết đây? A 1,8m B 1, m C 2, 2m D 1, 6m Câu Cho hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 30 Diện tích xung quanh hình trụ A 10 3 B 39 C 20 3 D 10 39 thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho A B C Câu 26 Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu f  ( x ) sau: D Hàm số y = f ( − x ) đồng biến khoảng đây? A ( 3; ) C ( − ; − 3) B ( 2;3) Câu 27 Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f  ( x ) liên tục D ( 0; ) có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f ( x )  2x + m ( m tham số thực) nghiệm với x  ( 0;2 ) A m  f ( 0) B m  f ( 2) − C m  f ( 0) D m  f ( 2) − Câu 28 Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên? A y = x3 − 3x + B y = −2 x + x + C y = x − x + Câu 29 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: D y = −2 x3 + 3x + Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A ( 0;1) B (1; + ) Câu 30 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: C ( −1;0 ) D ( 0; + ) Hàm số cho đạt cực tiểu A x = −2 C x = D x = B x = Chủ đề HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LƠGARÍT (GIẢI TÍCH 12) Cơng thức lũy thừa: Cho a  0, b  m, n  Khi đó: am an = a m+n am = a m−n n a ( a m ) n = a m.n thuvienhoclieu.com (ab) n = a n b n Trang 18 thuvienhoclieu.com m a a   = m b b m n a =a m m n a −n = n a a = −n a n n a b   =  b a −n Công thức lôgarit: Với điều kiện thích hợp ta có: + Định nghĩa: loga b =   a = b loga b + Tính chất: loga = 0; loga a = 1; a = b; loga ( a ) =  • loga (b1 bn ) = loga b1 + + loga bn + Quy tắc: b = loga b − loga c , loga = − loga b b c • loga b =  loga b , loga n b = loga b n logc b + Đổi số: loga b = hay logc a.loga b = logc b logc a • loga • Tổng quát: loga a2.loga a3 loga • Đặc biệt: loga b = n−1 an = loga an 1 , loga b = loga b  logb a + Lôgarit thập phân: lga = log a = log10 a + Lơgarit tự nhiên: ln a = loge a Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: a) A = a a a b) B = 93+ 2.31− 2.3−4−  a2 a.5 a4  1 + c) C = d) D = log a     log a ab log b ab a   Ví dụ 2: a) Cho a = log 5, b = log Tính log 450 theo a, b b) Cho a = log2 5, b = log3 Hãy biểu diễn log 75 theo a, b Đạo hàm hàm số mũ hàm số logarit  • ( ex ) = ex ;   → ( eu ) = eu u • ( ax ) = ax ln a → ( au ) = au ln a.u • ( ln x ) = u → ( ln u) = u • ( loga x ) = x  u → ( loga u) = u ln a x ln a Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số sau: a) y = (1 − x) − e) y = log2 (2x + 1) b) y = (2 − x ) f) y = log3( x2 − 3x + 2) Ví dụ 2: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = 2xex + 3xe b) y = 5x2 − 2x cosx d) y = x +1 x e) y = log( x2 + x + 1) c) y = ( x2 − 1)−2 g) y = ln −x − x −1 d) y = ( x2 − x − 2) h) y = lg( x2 + x + 1) c) y = 3x2 − ln x + 4sin x f) y = log3 x x Phương trình mũ: + Phương pháp giải: Đưa số, đặt ẩn phụ, lơgarit hóa Phương trình lơgarít: + Phương pháp giải: Đưa số, đặt ẩn phụ, mũ hóa Bất phương trình mũ: b  Phương trình vơ số nghiệm   b  thuvienhoclieu.com Trang 19 thuvienhoclieu.com a a f ( x)  f ( x)  log a b a  Phương trình : a f ( x )  b    f ( x)  log a b  a  Phương trình vơ nghiệm  f ( x)  log a b a  Phương trình : a f ( x )  b    f ( x)  log a b  a  b b    b  Bất phương trình lơgarít: b a f ( x )  b  a  f ( x)  a b a  log a f ( x)  b   b  f ( x)  a  a  , Điều kiện f ( x)  b  f ( x)  a b a  log a f ( x)  b   b  f ( x)  a  a  , Điều kiện f ( x)  Ví dụ 1: Giải phương trình, bất phương trình mũ: 2x − x+8 = 41−3x 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = −x 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = − 22 + x − x = 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = ( − ) x + ( + ) x = 2x 2.22 x − 9.14 x + 7.7 x = 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20 10 x + 2.71− x −  11 22 x + + x +7 − 17 = x 13 (2 + 3) + (2 − 3) − = x x 14 2.4 + = x log x log ( 3x − )  = 12 2.16 x − 15.4 x −  x 15 1 − 2   3 x2 −2 x x − x2 3 Ví dụ 2: Giải phương trình, bất phương trình lơgarít: 1) log5 x = log5 ( x + 6) − log5 ( x + ) 2) log x + log 25 x = log 0,2 3) log ( x –1) + log ( x –1) = 25 4) log x = 3 + 3log x + 5) log x + 2log ( x − 1) + log  6) log x   + log x  2 ( ) (  x 8 ) 7) log − log 2.5x − = ( x ( x 9) log x log3 – 72 ))  8) 2log5 x − log x 125  ( ) ( ) 10) log 5x − log 2.5x − = BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Với a số thực dương tùy, log a B + log5 a A 2log5 a x−1 Câu Nghiệm phương trình = 27 A x = B x = x −3 x Câu Cho hàm số y = có đạo hàm C + log a 2 log a D x = C x = A (2 x − 3).2x −3 x.ln B 2x −3 x.ln C (2 x − 3).2x Câu Cho a b hai số thực dương thỏa mãn a 4b = 16 Giá trị 4log a + log b A B C 16 Câu Nghiệm phương trình log3 ( x + 1) + = log3 ( x + 1) D −3 x D ( x2 − 3x).2x −3 x −1 D A x = B x = −3 C x = D x = Câu Cho phương trình log9 x − log3 ( 3x −1) = − log3 m ( m tham số thực) Có tất giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm A B C D Vô số Câu Với a số thực dương tùy ý, log a thuvienhoclieu.com Trang 20 thuvienhoclieu.com 1 A log a B + log a C + log5 a D 3log5 a 3 x+1 Câu (Nghiệm phương trình = 27 A x = B x = C x = D x = Câu Nghiệm phương trình log2 ( x + 1) = + log ( x −1) là: A x = B x = −2 C x = D x = Câu 10 Cho a b số thực dương thỏa mãn a b = 32 Giá trị 3log a + 2log b A B C 32 D Câu 11 Hàm số y = 3x x A ( x − 3) −3 x có đạo hàm −3 x B 3x C ( x2 − 3x ) 3x −3 x ln −3 x −1 x D ( x − 3) −3 x ln Câu 12 Cho phương trình log9 x2 − log3 ( x −1) = − log3 m (m tham số thực) Có tất giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm? A B C Vô số D x−1 Câu 13 Nghiệm phương trình = A x = B x = C x = D x = 2 Câu 14 Với a số thực dương tùy ý, log a A 3log a Câu 15 Hàm số y = x log a có đạo hàm B A ( x − x ) x −x − x −1 x B ( x − 1) C −x + log a C x − x.ln D + log2 a x −x D ( x − 1) ln Câu 16 Cho a ; b hai số thực dương thỏa mãn a 2b3 = 16 Giá trị 2log a + 3log b A B 16 C D Câu 17 Nghiệm phương trình log2 ( x + 1) + = log (3x −1) A x = B x = C x = −1 D x = Câu 18 Cho phương trình log9 x − log3 ( 5x −1) = − log3 m ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm A Vơ số B Câu 19 Nghiệm phương trình 22 x −1 = 32 17 A x = B x = Câu 20 Với a số thực dương tùy ý, log a bằng? A 2log3 a B + log a 2 Câu 21 Hàm số y = x − x có đạo hàm A 3x − x.ln B ( x − 1) 3x − x D C C x = C D x = log a D + log3 a ( D ( x − 1) 3x − x.ln ) C x − x 3x − x −1 Câu 22 Nghiệm phương trình log3 ( x + 1) = + log3 ( x −1) A x = B x = −2 C x = D x = Câu 23 Cho a , b hai số thực dương thỏa mãn ab = Giá trị log a + 3log b A B C D Câu 24 Cho phương trình log9 x − log3 ( x −1) = − log3 m (m tham số thực) Có tất giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm? A B C Vô số D Chủ đề NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG (GIẢI TÍCH 12) thuvienhoclieu.com Trang 21 thuvienhoclieu.com I Kiến thức Công thức nguyên hàm Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm mở rộng  dx = x + C  a.dx = ax + C, a  x +1  x dx =  + + C,   −1 dx  x = ln x + C , x  x x  e dx = e + C (ax + b) +1  (ax + b) dx = a  + + C dx =  ax + b a ln ax + b + C ax +b ax + b  e dx = a e + C a x+   x+  a dx =  ln a + C  cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C  sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C 1  cos2 (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C 1  sin (ax + b) dx = − a cot (ax + b) + C  ax  a dx = ln a + C  cos xdx = sin x + C x  sin xdx = − cos x + C  cos x x  sin dx = tan x + C dx = −cotx + C  Cơng thức tính tích phân b F(x) nguyên hàm hàm số f(x) đoạn [a;b]  f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a ) a II Phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến số b * Dạng 1: Tính I =  f  ( x) ( x)dx ' a ' + Đặt t =  ( x)  dt =  ( x).dx + Đổi cận : x = a  t =  (a) , x = b  t =  (b) ,  (b )  I=   (a) f (t ).dt = F (t )  (b)  (a) b * Dạng 2: Tính I =  f ( x)dx cách đặt x =  (t ) a    a − x : Đặt x = asint, t  − ;  (a > 0)  2     − ;  (a > 0) Dạng chứa 2 : Đặt x = atant, t  a +x  2 Dạng chứa Phương pháp tích phân phần b * Cơng thức tính :  a  u = du = dx   v = dv =  Đặt  b b f ( x)dx =  udv = uv a −  vdu b a a (lay dao (lay nguyen ham) ham) Ta thường gặp hai loại tích phân phần sau: thuvienhoclieu.com Trang 22 thuvienhoclieu.com    P( x).sin f ( x).dx,  P( x).cos f ( x).dx  a * Loại 1:  a  u = P( x), P( x) đa thức bậc n b  P( x).e f ( x ) dx  a b b b * Loại 2:  P( x).ln f ( x).dx  u = ln f ( x) a 1.5 Tính chất tích phân a i)  a f ( x)dx = ii)  b a b iii) a  b b  f ( x)dx   g ( x)dx a a a iv) [f ( x)  g ( x)]dx = b b f ( x)dx = − f ( x)dx , v) b  k f ( x)dx = k. f ( x)dx, k  a a3 a2 a3 a1 a1 a2 , a  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx III Ứng dụng tích phân Tính diện tích hình phẳng * Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục [a; b] Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số b y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a x = b là: S =  f ( x) dx a * Dạng 2: Cho hai hàm số y = f (x) y = f (x) liên tục [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn b đồ thị hàm số f (x), f (x) đường thẳng x = a, x = b là: S =  f1 ( x) − f ( x) dx a Tính thể tích vật thể trịn xoay Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y = f(x), trục Ox hai b  đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: V =  f ( x)dx a BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Biết  f ( x ) dx = −2  g ( x ) dx = 3,   f ( x ) − g ( x ) dx A −5 B C −1 Câu Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + D A x2 + 5x + C B x2 + 5x + C C x2 + C D x2 + C Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục R Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , y = 0, x = −1 x = (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? A S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx −1 −1 1 −1 B S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx C S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx 1 −1 D S = −  f ( x ) dx −  f ( x ) dx Câu Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2x −1 ( x + 1) ( −1; + ) thuvienhoclieu.com Trang 23 thuvienhoclieu.com +C x +1 C 2ln ( x + 1) − +C x +1 A 2ln ( x + 1) + B 2ln ( x + 1) + + C x +1 D 2ln ( x + 1) − + C x +1  Câu Cho hàm số f ( x ) Biết f ( 0) = f  ( x ) = 2cos2 x + , x  ,  f ( x ) dx  + 14 2 +4 A B 16 16 Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  xf ( x ) dx = , C  + 16 + 16 Biết f ( 4) = D 16  x f  ( x ) dx 31 B −16 C Câu Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + A A x + x + C Câu Biết  + 16 + 16 C x + x + C B 2x + C 1 0  f ( x ) dx =  g ( x ) dx = −4 D 14 D x + C   f ( x ) + g ( x )  dx A −7 B Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục C −1 D Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , y = , x = −1 x = (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? 1 −1 −1 1 −1 B S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx A S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx 1 −1 D S = −  f ( x ) dx −  f ( x ) dx C S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx  Câu 10 Cho hàm số f ( x ) Biết f ( ) = f '( x) = 2cos x + 3, x  ,  f ( x)dx A 2 +2 B  + 8 + 8 C Câu 11 Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x) =  + 8 +  + 6 + D 3x − (1; + ) ( x − 1) + C B 3ln( x − 1) + +C x −1 x −1 + C D 3ln( x − 1) + +C C 3ln( x − 1) − x −1 x −1 A 3ln( x − 1) − Câu 12 Biết f ( x ) có đạo hàm liên tục R, f ( 5) = B 23 A 15 Câu 13 Biết  f ( x ) dx =  xf ( 5x ) dx = ,  x f  ( x ) dx 0 C 123 D −25  g ( x ) dx = ,   f ( x ) − g ( x ) dx 1 thuvienhoclieu.com Trang 24 thuvienhoclieu.com A B −8 C Câu 14 Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + D −4 A 2x + C B x + 3x + C C x + 3x + C D x + C Câu 15 Cho hàm số f ( x ) liên tục Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , y = 0, x = −1, x = (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? −1 1 −1 A S = − f ( x ) dx − f ( x ) dx   −1 1 −1 B S = − f ( x ) dx + f ( x ) dx   C S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx D S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Câu 16 Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2x +1 ( x + 2) ( −2; + ) là: A ln ( x + ) + + C B 2ln ( x + ) − + C C ln ( x + ) − + C D 2ln ( x + ) + + C x+2 x+2 x+2 x+2  Câu 17 Cho hàm số f ( x ) Biết f ( ) = f  ( x ) = 2sin x + 1, x  ,  f ( x ) dx A  + 15 16 B  + 16 − 16 16 Câu 18 Biết f ( x ) có đạo hàm liên tục C f ( ) =  + 16 − 16 D 1 Câu 20 Biết  0 D −36 C x + C D 2x + C 1   f ( x) + g ( x)dx 0 f ( x)dx = 2;  g ( x)dx = −4 Khi  x f ( x) d x 107 B 34 C 24 Câu 19 Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + B x + x + C 16  xf ( x ) d x = , A A x + x + C 2 −4 A B -6 C −2 D Câu 21 Cho hàm số f ( x ) liên tục R Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , y = 0, x = −2 x = (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? −2 −2 1 −2 3 −2 A S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx B S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx D S = −  f ( x ) dx −  f ( x ) dx C S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx  Câu 22 Cho hàm số f ( x ) Biết f (0) = f '( x) = 2sin x + 3, x  ,  f ( x)dx A  −2  + 8 − B C 3 + 2 − 8 thuvienhoclieu.com  + 8 − 2 2 D Trang 25 thuvienhoclieu.com Câu 23 Họ tất nguyên hàm hàm số f (x) = 3x - 22 (2;+ ¥ ) (x - ) A 3ln (x - 2)+ C 3ln (x - 2)- + C x- D 3ln (x - 2)- + C x- + C x- B 3ln (x - 2)+ + C x- Câu 24 Biết f ( x ) có đạo hàm liên tục f ( 3) =  xf ( 3x ) d x = , A C −9 B Chủ đề SỐ PHỨC (GIẢI TÍCH 12) 1.Tổng quan số phức: + Số phức z biểu thức có dạng z = a + bi ( a, b  R, i  x f ( x) d x D 25 = −1) Phần thực z a , phần ảo z b i gọi đơn vị ảo + Số phức z = a + bi ( a, b  R ) biểu diễn điểm M ( a; b ) mặt phẳng tọa độ + Số phức liên hợp z z = a + bi = a − bi + Mô đun số phức z z = OM = a + b 2.Số phức Cho hai số phức z1 = a + bi , z2 = c + di a = c b = d ( a, b, c, d  ) Khi đó: z1 = z2   Phép cộng, phép trừ phép nhân, phép chia số phức: Cho hai số phức : z1 = a + bi ( a, b  ) z2 = c + di ( c, d  ) + z1 + z2 = ( a + c ) + ( b + d ) i + z1 − z2 = ( a − c ) + ( b − d ) i + + z1.z2 = ( a + bi )( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i z1 z1.z2 ( a + bi )( c − di ) = = z2 z2 z2 c2 + d i = Lũy thừa i : i1 = i , i = −1, i = −i, i n+ = −1, i n = 1, i n+3 = −i i n+1 = i , Phương trình bậc hai a Căn bậc hai số thực âm + Cho số z , có số phức w cho w2 = z ta nói w bậc hai z + Mọi số phức z  có hai bậc hai Tổng quát, bậc hai số thực a âm i a b Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, a, b, c  , a  + Tính  = b − 4ac + Áp dụng công thức nghiệm  = 0: phương trình có nghiệm thực x = − b 2a   : phương trình có hai nghiệm thực xác định công thức: x1,2 = thuvienhoclieu.com −b   2a Trang 26 thuvienhoclieu.com   : phương trình có hai nghiệm phức xác định công thức: x1,2 = −b  i |  | 2a BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho số phức z = − 4i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực − phần ảo 3i B Phần thực phần ảo − C Phần thực − phần ảo D Phần thực phần ảo − 4i Câu 2: Số phức liên hợp số phức z = − 2i A z = + 2i B z = − i Câu 3: Căn bậc hai số −4 A −2;2 B 2i C z = −1 + 2i D z = −1 − 2i C −2i, 2i D.khơng có Câu 4: Điểm M hình vẽ bên biểu thị cho số phức A + 2i B − 3i C −2 + 3i D − 2i Câu 5: Cho số phức z thỏa (1 + i ) z − − 4i = Tìm số phức liên hợp z y M x O A z = + i B z = − i C z = − 2i D z = + 2i Câu 6: Cho hai số phức z1 = + 2i z2 = − 4i Số phức z1 + 3z2 − z1 z2 số phức sau đây? A 10i B −10i Câu7: Cho số phức z = + i Tính mơđun số phức w = A w = B w = C 11 + 8i D 11 −10i z + 2i z −1 C w = D w = Câu 8: Với số phức z , z 1, z tùy ý, khẳng định sau sai? A z z = z B z 1.z = z z C z + z = z + z D z = z Câu 9: Cho A , B , C tương ứng điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z1 = + 2i , z2 = −2 + 5i , z3 = + 4i Số phức z biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A −1 + 7i C + 5i B + i D + 5i  + 6i  Câu 10: Cho z =   , n nguyên dương Có giá trị n1;50 để z số ảo?  3−i  A 26 B 25 C 24 D 50 n Câu 11: Gọi z1 z2 nghiệm phương trình z2 − 4z + = Gọi M , N điểm biểu diễn z1 z2 mặt phẳng phức Khi độ dài MN là: A MN = B MN = C MN = −2 D MN = 2018 Câu 12: Cho z số phức khác 1, thỏa mãn z 2019 = Tính giá trị biểu thức T = + z + z + + z A T = B T = C T = 2019 D T = 2018 Câu 13: Cho số phức z = (1 + i ) A −21009 2019 Phần thực z B 22019 C −22019 D 21009 Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z − 2.i.z = + 3i Tính | z | thuvienhoclieu.com Trang 27 thuvienhoclieu.com B z = 65 C z = 97 A z = 97 D z = 65 Câu 15: Gọi z1 , z , z3 , z bốn nghiệm phương trình 4z + mz + = Tìm tất giá trị m để ( z12 + )( z 22 + )( z32 + )( z 42 + ) = 324 A m = m = −35 C m = −1 m = 35 B m = −1 m = −35 D m = m = 35 Câu 16: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2i = z + A Tập hợp điểm B Tập hợp điểm C Tập hợp điểm D Tập hợp điểm Câu 17: Cho số phức A z M đường thẳng có phương trình 4x + 2y + = M đường thẳng có phương trình 4x − 2y + = M đường thẳng có phương trình 2x + y − = M đường thẳng có phương trình 2x + y + = thoả z − + 4i = w = 2z + − i Khi w có giá trị lớn là: 16 + 74 + 130 B C + 74 D + 130 Câu 18: Gọi T tổng phần thực, phần ảo số phức w = i + 2i + 3i + + 2020i 2020 Tính T A T = B T = −1 C T = 2020 D T = −2020 1+ i số thực z − = m với m Gọi S tập hợp số thực z m cho với m  S có số phức thoả mãn tốn Tính tổng phần tử tập S A B C + D Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn ( z + 2)i + + ( z − 2)i − = Gọi M , m giá trị lớn Câu 19: Cho số phức z thoả mãn nhỏ z Tính tổng S = M + m A S = 5−2 B S = −1 C S = D S = −2 Chủ đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (GIẢI TÍCH 12) Hệ trục tọa độ khơng gian 1.1 Định nghĩa: Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vng góc với đơi chung điểm gốc O Gọi i, j , k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ không gian 2 * Chú ý: i = j = k = i j = i.k = k j = 1.2 Tọa độ vectơ: a) Định nghĩa: u = ( x; y; z )  u = xi + y j + zk b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k  • a  b = (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) • ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 = b1  • a = b  a2 = b2 a = b  3 • = (0;0;0), i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1) • a phương b (b  0)  a = kb (k  ) • a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 thuvienhoclieu.com Trang 28 thuvienhoclieu.com • a ⊥ b  a1b1 + a2b2 + a3b3 = • a = a12 + a22 + a32 • a = a12 + a22 + a22 • cos(a , b ) = a.b a b = a1b1 + a2b2 + a3b3 a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 (với a , b  ) 1.3 Tọa độ điểm a) Định nghĩa: M ( x; y; z )  OM = x.i + y j + z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: • M  ( Oxy )  z = 0; M  ( Oyz )  x = 0; M  ( Oxz )  y = • M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = b) Tính chất: Cho A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) • AB = ( xB − xA ; yB − yA ; zB − z A ) • AB = ( xB − xA )2 + ( yB − y A )2 + ( zB − z A )2  x + x y + yB z A + z B  ; • Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB : M  A B ; A   2   x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC  ; • Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC : G  A B C ; A  3   1.4 Tích có hướng hai vectơ a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a = (a1; a2 ; a3 ) , b = (b1; b2 ; b3 ) Tích có hướng hai vectơ a b, kí hiệu  a, b  , xác định  a a3 a3 a1 a1 a2   a , b  =  ; ;  = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) b b b b b b 3 1   Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất: • [a, b] ⊥ a; [a, b] ⊥ b; a, b  = − b, a  • i , j  = k ;  j , k  = i ; k , i  = j • [a, b] = a b sin ( a, b ) • a, b phương  [a, b] = • a, b, c đồng phẳng  [a, b] c = c) Ứng dụng tích có hướng: • Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b c đồng phẳng  [a, b].c = • Diện tích hình bình hành ABCD : S ABCD =  AB, AD  • Diện tích tam giác ABC : S ABC =  AB, AC  • Thể tích khối hộp ABCDABCD : VABCD A' B 'C ' D ' = [ AB, AD] AA • Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = [ AB, AC ] AD Phương trình mặt phẳng  • Phương trình mp() qua M(xo ; yo ; zo ) có vtpt n = (A;B;C): A(x – xo ) + B(y – yo ) + C(z – zo ) =  • Phương trình tổng quát () : Ax + By + Cz + D = , có VTPT n = (A; B; C) • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn qua A(a;0;,0), B(0;b;0), C(0;0;c) thuvienhoclieu.com x y z + + =1 a b c Trang 29 thuvienhoclieu.com • Vị trí tương đối hai mp (1 ) (2 ) : ° ( ) cắt (  )  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 ° ( ) / / (  )  A1 B1 C1 D1 = =  A2 B2 C2 D2 ° ( )  (  )  A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 ° ( ) ⊥ (  )  A1 A2 + B1B2 + C1C2 = • Khoảng cách từ M(x0; y0 ; z0 ) đến (): Ax + By + Cz + D = 0: Ax o + Byo + Cz o + D d (M , ) = A + B2 + C • Góc hai mặt phẳng: Cho mp (1 ) ( ) có VTPT n1, n2 ( ) n1 n2 Ta có: cos(1, ) = cos n1, n2 = n1 n2 Phương trình đường thẳng: Cho đường thẳng d qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a = (a1; a2 ; a3 )  x = x0 + a1t  • Phương trình tham số đường thẳng d :  y = y0 + a2t z = z +a t  x − x0 y − y0 z − z0 = = • Phương trình tắc d: a1 a2 a3 • Góc đường thẳng: Gọi  góc d d ’: cos = ad ad / ad a d / (0    90 ) Phương trình mặt cầu • Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình: 2 ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R2 • Phương trình có dạng: x2 + y2 + z2 –2ax – 2by – 2cz + d = 0, (a2 + b2 + c2 – d > 0) phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R = a2 + b2 + c2 − d • Vị trí tương đối mặt phẳng ( ) mặt cầu S(I,R): ° ( ) (S) không giao  d ( I ; )  R ° ( ) tiếp xúc ( S ) ° ( ) cắt (S)  d ( I ; ) = R ( ) gọi tiếp diện (S)  d ( I ; )  R Bán kính đường trịn giao r = R −  d ( I ; )  BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm A biết OA = 2i − j + k Khi đó, điểm A có tọa độ là: A A(–2; 3; –1) B A(2; –3; 2) C A(2; –3; 1) D A(–3; 2; 1) Câu 2: Khoảng cách d từ điểm M(1; –2; 3) đến mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – = : A d = B d = C d = D d = Câu 3: Cho hai vectơ a = ( 5; −3;2 ) , b = ( 2;2; −3) Tọa độ vectơ u = 2b − a là: A u = ( −1;7; −8 ) B u = (1; −7;4 ) C u = ( −1;7;8 ) thuvienhoclieu.com D u = (1; −7;8 ) Trang 30 thuvienhoclieu.com Câu 4: Phương trình mặt cầu (S) qua điểm A(3; 2; 1) có tâm I(5; 4; 3) là: A x + y + z − 10 x − y − z − 38 = B x + y + z − 10 x − y − z + 16 = C x + y + z − 10 x − y − z + 32 = D x + y + z − 10 x − y − z + 38 = ( ) ( ) Câu 5: Cho mặt phẳng P : x – 2y + 2z – = Q : mx + y – 2z + = Với giá trị m hai mặt phẳng vng góc với nhau? A m = B m = C m = - D m = - Câu 6: Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB biết A(1; –3; 5), B(3; 1; –3) A x + y − z − 15 = B x + y − z + 13 = C x + y − z + = D x + y − z − 11 = Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; – 2; 4) mặt phẳng (P): 2x – 3y + z + = Lập phương trình đường thẳng d qua A vng góc với (P) x −1 y + z − x +1 y − z + = = = = A d : B d : 2 −3 −3 1 x − y + z −1 = = C d : D d: 2x – 3y + z – 12 = −2 Câu 8: Có giá trị nguyên m để: x + y + z − 4mx + ( m − 1) y − 6mz + 15m − = phương trình mặt cầu? A B C D Câu 9: Trong không gian Oxyz cho M(–3; 2; 4), gọi A, B, C hình chiếu M Ox, Oy, Oz Viết phương trình mặt phẳng(ABC) là: A 4x – 6y –3z –12 = B 4x – 6y –3z + 12 = C 6x – 4y –3z – 12 = D 3x – 6y – 4z + 12 = Câu 10: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC biết A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6) có bán kính R là: A R = B R = C R = 14 D R = 15 Câu 11: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P) : ( m + 3) x + y + ( m − 1) z − = (Q) : ( n + 1) x + y + (3n −1) z + n − = song song với Khi giá trị biểu thức m + n bằng: A B – C D – Câu 12: Cho hai điểm A(1; –1; 2), B(2; 0; 1) mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – = Tìm tọa độ giao điểm M đường thẳng AB mặt phẳng (P) A M(1; 2; 0) B M(–1; –3; 4) C M(3; 1; 0) D M(2; 2; –2) Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; −1) , B(2; −1;3) , C (−2;3;3) Điểm M ( a; b; c ) đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM Khi P = a + b − c có giá trị A 43 B 44 C 42 D 45 x+ y- z+ = = mặt cầu ( S ) : x2 + y + z + z − 21 = cắt hai điểm A, B Tính độ dài đoạn thẳng AB A AB = B AB = C AB = D AB = 10 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 2;1; −2) , B ( 4; −1;1) , C ( 0; −3;1) Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Đường thẳng d qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mặt phẳng ( ABC ) có phương trình x = + t  x = −2 + t x = + t x = + t     A  y = −1 − 2t B  y = −1 − 2t C  y = − 2t D  y = + 2t  z = −2t  z = −2t  z = −2t  z = 2t     thuvienhoclieu.com Trang 31 thuvienhoclieu.com Câu 16: Mặt phẳng (P) qua điểm M(1; 1; 3) cắt trục tọa độ A( a;0;0) , B ( 0; b;0) C ( 0;0; c ) , ( a  0, b  0, c  0) cho thể tích tứ diện OABC nhỏ Khi giá trị biểu thức P = 9a + 3b + c bằng: A 25 B 27 C D 45 x − y −1 z = = Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Viết phương trình −1 mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A B cho đường thẳng AB vng góc với d A ( P ) : x − y − = B ( P ) : x + y + 5z − = C ( P ) : x + y − z − = D ( P ) : x + y + 5z − = Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−2; −2; 1), B (1; 2; − 3) đường thẳng x +1 y − z = = Tìm vectơ phương u đường thẳng  qua A, vng góc với d đồng thời cách 2 −1 điểm B khoảng bé d: C u = (25; −29; −6) B u = (2; 2; −1) A u = (2;1;6) D u = (1;0; 2) Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;5; 0) , B ( 3;3;6) đường thẳng  có  x = −1+ 2t  phương trình tham số  y = 1− t Một điểm M thay đổi đường thẳng  cho chu vi tam giác   z = 2t MAB đạt giá trị nhỏ Tọa đô điểm M chu vi P tam giác ABC A M (1; 0;2) ; P = ( 11 + 29 ) B M (1;2;2) ; P = 20: Trong không gian 11 + 29 ) D M (1;2;2) ; P = 11 + 29 C M (1; 0;2) ; P = 11 + 29 Câu ( Oxyz, cho hai điểm A (10;6; −2) , B (5;10; −9 ) mặt phẳng (  ) : 2x + 2y + z −12 = Điểm M di động mặt phẳng (  ) cho MA, MB tạo với (  ) góc Biết M ln thuộc đường trịn ( ) cố định Hồnh độ tâm đường tròn ( ) A B C 10 thuvienhoclieu.com D −4 Trang 32 ... số1,2,3,4,5,6,7,8,9(HDG A95 = 15.120 ) Ví dụ Có bao cách chọn học sinh đội tuyển gồm học sinh giỏi môn văn lớp 12 trường để dự thi cấp tỉnh Biết em có lực (HDG C83 = 56 ) Ví dụ Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm... chia hết cho 1637 1079 1728 23 A B C D 4913 4913 4913 68 (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 43 Mã đề 101) Giải: Không gian mẫu có số phần tử 173 = 4913 Lấy số tự nhiên từ đến 17 ta... PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN (GIẢI TÍCH 12) Hệ trục tọa độ không gian 1.1 Định nghĩa: Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với đơi chung điểm gốc O Gọi i, j , k vectơ đơn vị,