Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Microsoft Word thuvienhoclieu TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 MÔN TOÁN Chủ đề 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 I Cấp số cộng, cấp số nhân 1 Cấp số cộng a Định nghĩa (un) l[.]

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 MÔN TOÁN Chủ đề MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 I Cấp số cộng, cấp số nhân Cấp số cộng a Định nghĩa: (un) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai) b Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d với n  u u với k  c Tính chất số hạng: uk  k 1 k 1 n(u1  un ) n  2u1  (n  1)d  d Tổng n số hạng đầu tiên: Sn  u1  u2   un  = 2 Cấp số nhân Định nghĩa: (un) cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q: công bội) n 1 Số hạng tổng quát: un  u1.q , với n  Tính chất số hạng: uk2  uk 1.uk 1 , với k   S n  nu1 Tổng n số hạng đầu tiên:  u (1  q n ) Sn   1 q ,q 1 ,q 1 u1  u3  u5  10 u1  u6  17 Ví dụ Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết:  u1  2d  10 u  16 u  u  u  10 Hướng dẫn giải Ta có:    u1  u6  17 2u1  5d  17  d  3 Ví dụ Một CSC có số hạng thứ 54 thứ - 61 64 Tìm số hạng thứ 23 u54  u1  53d Hướng dẫn giải Ta có: un  u1   n  1 d   u4  u1  3d 143 33 Giải hệ phương trình, ta được: u1  , d    u23  u1  22d  2 Ví dụ Tìm số hạng cấp số nhân (un ) có số hạng, biết: u3  3, u5  27 u1q2  u  Hướng dẫn giải Ta có:   u1  , q  3  u5  27 u1q  27 1 Vậy có hai dãy số: ,1,3,9,27 , 1,3, 9,27 3 II Tổ hợp, xác suất công thức Nhị thức Niutơn Quy tắc đếm 1.1 Quy tắc cộng: Sử dụng cơng việc hồn thành hành động riêng lẻ Ví dụ Lớp 11A8 chia thành tổ Tổ có học sinh, tổ có học sinh, tổ có học sinh tổ có học sinh Hỏi có cách để chọn học sinh lớp 11 A8 tham gia vào đội Cờ đỏ nhà trường Giải: Tổ có cách chọn +…+ Tổ có = 33 cách chọn Ví dụ Giả sử từ Bồng Sơn đến Quy Nhơn loại phương tiện: Ơ tơ, tàu hỏa, tàu thủy máy bay Biết ngày có 10 chuyến tơ, chuyến tàu hỏa, chuyến tàu thủy chuyến máy bay từ Phù Mỹ đến Quy Nhơn Hỏi có cách lựa chọn từ Phù Mỹ đến Quy Nhơn ngày Giải: Đi ô tô có 10 cách+…+1 cách máy bay = 18 cách lựa chọn 1.2 Quy tắc nhân: Sử dụng cơng việc hồn thành hành động liên tiếp Ví dụ Nam có áo màu hai quần kiểu khác Hỏi Nam có cách chọn quần áo Giải: Dùng quy tắc nhân, ta 3.2 = quần áo Ví dụ An muốn qua nhà Bình để Bình đến chơi nhà Cường Biết từ nhà An đến nhà Bình có đường, từ nhà Bình đến nhà Cường có đường Hỏi An có cách chọn đường đến nhà Cường Giải: Dùng quy tắc nhân, ta 4.6 = 24 đường Ví dụ Có số chẵn có chữ số tạo thành từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 cho a) Các chữ số giống b) Các chữ số khác Giải: a) Đặt chữ số cần tìm có dạng abcd Vì abcd chẵn nên d  0, 2, 4, 6 a số nên Trường hợp Nếu d = d có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Theo quy tắc nhân có 1.6.7.7 = 294 cách Trường hợp Nếu d  d có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Theo quy tắc nhân có 3.6.7.7=882 cách Vậy có 294+882=1176 cách b) Đặt chữ số cần tìm có dạng abcd Vì abcd chẵn nên d  0, 2, 4, 6 a số nên Trường hợp Nếu d = d có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Theo quy tắc nhân có 1.6.5.4 = 120 cách Trường hợp Nếu d  d có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Theo quy tắc nhân có 3.5.5.4 = 300 cách Vậy có 120+300=420 cách Hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp 2.1 Hoán vị: Sự xếp thứ tự n phần tử tập hợp gồm n phần tử Công thức: Pn  n !  n  n  1 n   n  3 3.2.1 Ví dụ Có cách xếp cho ba bạn An, Bình, Cường vào bàn học sinh gồm ba chỗ Giải: P3  3!  3.2.1  (Có thể dùng quy tắc nhân) Ví dụ Trong thi thể thao có đội tham gia A, B, C, D có bốn giải nhất, nhì, ba khuyến khích Có khả để đội đoạt giải Giải: P4  4!  4.3.2.1  24 (Có thể dùng quy tắc nhân) n! 2.2 Chỉnh hợp: Chọn k phần tử khác (có thứ tự) từ n phần tử tập hợp ( k  n ): Ank   n  k ! n! k ! n  k  ! Ví dụ Tổ lớp 11A8 có học sinh Giáo viên chủ nhiệm chọn ba học sinh từ tổ để quét lớp, lau bảng xếp bàn ghế Hỏi GVCN có cách chọn (HDG A53  60 ) Ví dụ Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua loạt đá luân lưu 11m HLV đội cần phải trình với trọng tài danh sách (sắp thứ tự) năm cầu thủ số 11 cầu thủ để đá luân lưu 11m Hỏi HLV đội có cách chọn (HDG A115  55.440 ) Ví dụ Trong thi Maraton có 50 người tham gia có ba giải nhất, nhì, ba Có cách để chọn người đoạt giải nhất, giải nhì, giải ba (HDG A503  117.600 ) Ví dụ Có số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số1,2,3,4,5,6,7,8,9(HDG A95  15.120 ) Ví dụ Có bao cách chọn học sinh đội tuyển gồm học sinh giỏi môn văn lớp 12 trường để dự thi cấp tỉnh Biết em có lực (HDG C83  56 ) Ví dụ Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm điểm, khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có tam giác có đỉnh thuộc P (HDG C73  35 ) Ví dụ Trong lớp học có 20 học sinh nam 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn học sinh nam học sinh nữ tham gia chiếu dịch “mùa hè xanh” đồn TNCS Hồ Chí Minh Hỏi có cách chọn (HDG C204 C153  4845.455  2204475 ) Xác suất biến cố 2.3 Tổ hợp: Chọn k phần tử (không thứ tự) từ n phần tử tập hợp ( k  n ): Cnk  Xác suất biến cố A tính theo cơng thức P  A  n  A n   Trong đó: n  A  số phần tử biến cố A; n    số phần tử khơng gian mẫu Ví dụ Một hộp đựng 12 viên bi có viên bi đỏ, bi xanh Lấy ngẫu nhiên lần viên bi Tính xác suất để: a) Lấy viên bi đỏ b) Lấy hai viên bi màu đỏ Giải: Số phần tử không gian mẫu n     C123  220 a) XS bc A P  A  n  A n   35  220 44 b) XS bc B P  B   n  B   140  n  220 11 Ví dụ Một khách sạn có phịng đơn Vào buổi sáng có 10 khách đến th phịng lúc có nam nữ Người quản lý khách sạn chọn ngẫu nhiên người Tính XS để: a) Có khách nam khách nữ b) Có khách nữ Giải: Số phần tử không gian mẫu n     C106  210 a) XS bc A P  A   n  A n    90  220 b) Gọi B biến cố có khách nữ Có khả xảy sau: + Ba nữ, nam: C43 C63 + Bốn nữ, nam: C44 C62 + Hai nữ, nam: C42 C64 Suy số phần tử biến cố B C42 C64 + C43 C63 + C44 C62 =185 n B Vậy XS bc B P  B      185  37 n  210 42 Ví dụ Trong 100 vé xổ số kiến thiết có vé trúng 100 nghìn đồng, vé trúng 50 nghìn đồng 10 vé trúng 10 nghìn đồng Một người mua ngẫu nhiên vé Tính xác suất để: a) Người mua trúng thưởng 30 nghìn đồng b) Người mua trúng thưởng 200 nghìn đồng Giải: Số phần tử không gian mẫu n     C100 a) P  A   n  A n   C103  2695 C100 b) P  B   n B n   C11.C52  C100 156200 Ví dụ Trong hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi chọn có màu n A 60 Giải: Số phần tử không gian mẫu n     C123  220 P  A      3.4.5   n  220 C12 11 Ví dụ Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số chia hết cho 5 n A 10 20 Giải: Số phần tử không gian mẫu n     C30 P  A      C10 C n  C12 Ví dụ Cho tập F  0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Lấy ngẫu nhiên phần tử F Tính xác suất để số lấy n  A )  n    45 Gọi A biến cố số lấy chẵn tổng chúng nhỏ Tập A bao gồm pần tử: 0, 2 , 0, 4 , 0, 6 ,2, 4 Khi chẵn tổng chúng nhỏ (HDG : P  A   Nhị thức Newton n + Với hai số thực a b, ta có a  b n  C n0 a n  C n1 a n1b   C nn1ab n1  C nn b n   C nk a n k b k k 0 + Một số hạng tổng quát vị trí thứ k + Cnk a n  k b k BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho cấp số cộng  un  với u1  u2  Công sai cấp số cộng cho A 6 B Câu Số cách chọn học sinh từ học sinh A 27 B A72 C 12 D C C72 D Câu Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên khác từ 25 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 13 12 313 A B C D 25 25 625 Câu Số cách chọn học sinh từ học sinh A 52 B 25 C C52 D A52 Câu Cho cấp số cộng  un  với u1  u2  Công sai cấp số cộng cho A B 6 C 10 D Câu Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 27 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 13 14 365 A B C D 27 27 729 Câu Số cách chọn học sinh từ học sinh A A62 B C62 C D Câu Cho cấp số cộng  un  với u1  u2  Công sai cấp số cộng cho A B 4 C D Câu Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 21 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 11 221 10 A B C D 21 441 21 Câu 10 Số cách chọn học sinh từ học sinh A C82 B 82 C A82 D 28 Câu 11 Cho cấp số cộng  un  với u1  u2  Công sai cấp số cộng cho A B C 3 D Câu 12 Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 23 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 11 265 12 A B C D 23 529 23 Câu 13 Với k n hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k  n Mệnh đề ? k ! n  k  ! n! n! n! A Cnk  B Cnk  C Cnk  D Cnk  k ! n  k  ! k! n!  n  k ! Câu 14 Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  công sai d  Giá trị u4 A 22 B 17 C 12 D 250 Câu 15 Có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ba ghế Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm nam nữ, ngồi vào hai dãy ghế cho ghế có học sinh ngồi Xác suất để học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ A B C D 20 10 Câu 16 Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 34 học sinh? A 234 B A342 C 342 D C342 Câu 17 Từ hộp chứa 11 cầu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh 4 24 33 A B C D 455 165 455 91 Câu 18 Hệ số x khai triển nhị thức x  x  1   x  1 A 13368 B 13368 C 13848 D 13848 Câu 19 Ba bạn A , B , C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn 1;17  Xác suất để ba số viết có tổng chia hết cho 1728 1079 23 1637 A B C D 4913 4913 68 4913 (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 43 Mã đề 101) Giải: Khơng gian mẫu có số phần tử 173  4913 Lấy số tự nhiên từ đến 17 ta có nhóm số sau: + Số chia hết cho : có số thuộc tập 3;6;9;12;15 + Số chia cho dư 1: có số thuộc tập 1;4;7;10;13;16 + Số chia cho dư : có số thuộc tập 2;5;8;11;14;17 Ba bạn A , B , C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn 1;17 thỏa mãn ba số có tổng chia hết cho khả xảy sau: TH1: Ba số chia hết cho có 53  125 cách; TH2: Ba số chia cho dư có 63  216 cách TH3: Ba số chia cho dư có 63  216 cách TH4: Một số chia hết cho , số chia cho dư 1, chia cho dư có 5.6.6.3!  1080 cách Vậy xác suất cần tìm 125  216  216  1080  1637 Chọn D 4913 4913 Câu 20 Với n số nguyên dương thỏa mãn Cn1  Cn2  55 , số hạng không chứa x khai triển n   thức  x3   x   A 322560 B 3360 Giải: Điều kiện n  n   C 80640 Ta có Cn1  Cn2  55  n  10 Với n  10 ta có khai triển  x  x  k Số hạng tổng quát khai triển C10k x310 k     C10k 2k x 305 k , với x  Số hạng không chứa x ứng với k thỏa 30  5k   k  Vậy số hạng không chứa x C106 26  13440 Chọn D D 13440 10     k  10 Chủ đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Khối đa diện Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc (a, b, c kích thước) Thể tích khối lập phương cạnh a : V = a3 Thể tích khối lăng trụ: V = B.h (B diện tích đáy, h chiều cao) Thể tích khối chóp: V = Chú ý: Tỉ số thể tích B.h (B diện tích đáy, h chiều cao) VS.A' B 'C ' VS.ABC  SA ' SB ' SC ' SA SB SC M Kiến thức liên quan * Tỉ số lượng giác góc nhọn: OH MH OH  tan    cot   OM OH MH * Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho ABC vuông A 2 2 2  Định lý Pitago: BC  AB  AC hay a  b  c  sin   MH OM  cos   2  BA  BH BC; CA  CH CB hay b  a.b ', c  a.c '  AB AC  BC AH hay bc  ah α O H  1 1 1 hay     2 AH AB AC h b c A * Hệ thức lượng tam giác thường  Định lý côsin: a  b  c  2bc.cos A  Định lý sin: c a b c    2R sin A sin B sin C B h c' H a M b b' C * Các cơng thức tính diện tích a Cơng thức tính diện tích tam giác 1 a.ha  bhb  chc 2 1  S  ab sin C  bc sin A  ca sin B 2 abc  S , S = pr 4R  S  S p ( p  a )( p  b)( p  c ) với p   Đặc biệt: ABC vuông A: S  b Diện tích hình vng cạnh a: S  a d Diện tích hình thoi: S  m.n abc (Công thức Hê-rông) a2 AB AC , ABC cạnh a: S  c Diện tích hình chữ nhật: S  a.b e Diện tích hình thang: S  h  a  b  * Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng  Đường chéo hình vng cạnh a d  a  Đường cao tam giác cạnh a h  a II Góc khoảng cách Góc: + Góc hai đường thẳng chéo nhau: Là góc hai đường thẳng qua điểm song song với hai đường thẳng + Góc đường thẳng mặt phẳng: Là góc đường thẳng với hình chiếu mặt phẳng + Góc hai mặt phẳng      : ▪ Bước 1: Xác định giao tuyến  hai mặt phẳng      ▪ Bước 2: Trên  lấy điểm O Qua O vẽ tia Ox vng góc với    vẽ tia Oy vng góc với      Khi đó: Góc hai mặt phẳng      góc tia Ox tia Oy hay xOy Khoảng cách: + Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Là khoảng cách từ điểm đến hình chiếu mặt phẳng + Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng + Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng + Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: ▪ Cách 1: Xác định đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo Khi đó, khoảng cách cần tìm độ dài đoạn vng góc chung ▪ Cách 2: Dựng mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng cịn lại Khi đó, khoảng cách hai đường thẳng chéo quy khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song ▪ Cách 3: Dựng hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Khi đó, khoảng cách hai đường thẳng chéo quy khoảng cách hai mặt phẳng song song III Khối nón, Khối trụ, Khối cầu Khối nón: Cho khối nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l chiều cao h Khi đó: l  r  h + Diện tích xung quanh: S xq   rl ; + Diện tích tồn phần: Stp   rl   r + Thể tích: V   r h Khối trụ: Cho khối trụ có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l chiều cao h Khi đó: l  h + Diện tích xung quanh: S xq  2 rl ; + Diện tích tồn phần: Stp  2 rl  2 r + Thể tích: V   r h Khối cầu: Cho khối cầu có bán kính R + Diện tích mặt cầu: S MC  4 R + Thể tích khối cầu: VKC   R Ví dụ Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD có độ dài tất cạnh a Giải Gọi H tâm hình vng Vì S ABCD hình chóp nên SH   ABCD  Vì ABCD hình vng nên S ABCD  AB  a (đvdt) S Ta có SA2  SC  AB  BC  AC  2a SAC vuông S, mà H trung điểm AC nên SH   VS ABCD AC a  2 B 1 a 2  SH S ABCD  a  a (đvtt) 3 C H A D Ví dụ Tính thể tích khối chóp tam giác biết cạnh đáy a cạnh bên hợp đáy góc 60 Giải S Gọi H tâm tam giác ABC , M trung điểm BC S ABC hình chóp nên SH   ABC  ABC tam giác nên AM  BC Trong tam giác vuông ACM  AM   S ABC a  AM BC  a (đvdt) A B 600 H C M   600 ( SBC ),(ABC)    SM , AM   SMA Ta lại có AM  BC , SH  BC nên SM  BC   AM  a   SH  SH  HM tan 600  a Trong tam giác vuông SHM , tan SMH HM 1 a 3  VS ABC  SH S ABC  a  a (đvtt) 3 24 Do H trọng tâm tam giác ABC nên HM  Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải S ( SAB )   ABCD   Ta có:  SAD    ABCD   SA   ABCD    SAB    SAD   SA B A 600 Do đó, VS ABCD  SA.S ABCD D C Diện tích đáy ABCD là: S ABCD  AB.BC  2a   600 AC hình chiếu SC lên mp  ABCD  nên  ( SC ),( ABCD    SC , AC   SCA   a 5.tan 600  a 15 AB  BC  a  SA  AC.tan SCA 2a 15 Vậy thể tích khối chóp là: VS ABCD  (đvtt) Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB  a, BC  a Các cạnh bên SA  SB  SC  2a Tính thể tích khối chóp S ABC Ta có: AC  Gọi H hình chiếu S mặt phẳng  ABC  S Giải Ta có: SA  SB  SC nên HA  HB  HC Do đó, H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Mà ABC vuông A nên H trung điểm BC B a a2  AB AC  (đvdt) 2 SBC cạnh 2a  SH  2a AC  a  S ABC C H A Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH S = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a Giải Vì SH   ABCD  nên VS CDMN  SH SCDMN  SH  S ABCD  S BCM  S AMN  M A N B H D 5 3  a a2  a 24 C Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng A với AC = a,  ACB  600 , biết BC' hợp với  AA ' C ' C  góc 300 Tính AC' thể tích khối lăng trụ Giải A' C' B' 300 a 600 A B Ta có ABC tam giác vng A với AC = a,  ACB  600  AB  AC tan 60o  a C Ta có: AB  AC ; AB  AA  AB  ( AAC C ) nên AC' hình chiếu BC'  AA ' C ' C  Vậy góc BC’ mặt phẳng  AA ' C ' C  góc  AC ' B  300  AC   AB  3a tan 30o AC ' A ' vuông A’  AA '  AC '2  A ' C '2  8a  2a AB ABC vuông A, tan  ACB    AB  a AC a2  S ABC  AB AC  (đvdt) 2 Vậy VABC A ' B ' C '  AA '.S ABC  a (đvtt)   600 , biết Ví dụ Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD AB' hợp với đáy  ABCD  góc 30 Tính thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Giải Vì ABD cạnh a nên: B' C' D' A' a2 a2  S ABCD  S ABD  ABB vuông B  BB  AB tan 30 o  a B C 30 3a Vậy VABCD A ' B ' C ' D '  S ABCD BB  (đvtt) 60 A D Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ S ABD  0 Giải Ta có C H  ( ABC )  CH hình chiếu CC' (ABC) A' Nên góc CC’ mp  ABC  600 a 3a  C H  CC .sin 600  2 3a 3 a Vậy V  S ABC C  H  S ABC  A B' C' 600 B C Ví dụ Trong không gian cho tam giác vuông OIM vuông I,góc IOM 30 độ cạnh IM=a.Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón trịn xoay a)Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay đó? b)Tính thể tích khối nón trịn xoay tạo hình nón trịn xoay nói trên? Giải a)Ta có S xq   rl * Bán kính hình nón : r=IM=a * Xét tam giác OIM vng I ta có sin 300  IM  OM  IM  a  2a Vậy S xq   a.2a  2 a OM b) Tacó V  Bh   r h sin 30 1/ * Bán kính hình nón : r = IM = a * h=OM= a Vậy V   a a   a3 3 Ví dụ Trong khơng gian cho h ình vuông ABCD cạnh a,gọi I,H trung điểm cạnh AB CD.Khi quay hình vng quanh trục IH tạo thành hình trụ trịn xoay a)Tính diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay đó? b)Tính thể tích khối trụ trịn xoay nói trên? Hướng dẫn giải a) Ta có S xq  2 rl : * Bán kính đáy : r = a/2; * Đường sinh : l = a Vậy S xq  2 a a   a a  a3 b) Thể tích V   r h   ( ) a  (đvtt) Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu đó? Hướng dẫn giải Gọi O,O’ tâm hai tam giác ABC A’B’C’.Ta có OO’ trục hai tam giác đáy.Suy tâm I mặt cầu ngoại tiếp trung điểm OO’ với bán kính  a   a 2 a 21 R  IA  AO  OI          2 2 Diện tích mặt cầu S  4 R  4  7a   7 a ; Thể tích khối cầu V   R  7 a 21  12  3 54 Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông đỉnh B , AB  a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA  a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Hướng dẫn giải Trong tam giác SAB, kẻ AH vng góc với SB H: AH  SB (1) Ta có BC  AB, BC  SA nên suy BC  ( SAB )  BC  AH hay AH  BC (2) Từ (1) (2), ta có: AH  (SBC )  d ( AH , ( SBC ))  AH Tam giác SAB vng A, có AH đường cao nên 1 1 a2 a a 2       AH   AH   2 2 2 AH AS AB a a a 2 Ví dụ 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng Hướng dẫn giải Nhận thấy AC hình chiếu SC lên ( ABCD ) nên góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy ( ABCD) S C A Vì ABCD hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo AC = a Tam giác SAC vuông cân A nên S C A  450 IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính r A r h B r h C r h D 2r h 3 Câu Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h A 3Bh B Bh C Bh D Bh 3 S ABC SA SA  a Câu Cho hình chóp có vng góc với mặt phẳng  ABC  , , tam giác ABC vuông B , AB  a BC  a Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABC  A 90 B 45 C 30 D 60 Câu Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a AA '  3a Thể tích lăng trụ cho 3a 3a a3 a3 A B C D 4 Câu Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1, 2m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự dịnh làm gần với kết đây? A 1,8m B 1,4m C 2, 2m D 1,6m Câu Cho hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 30 Diện tích xung quanh hình trụ Câu 24 Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1 , x   Số điểm cực trị hàm số cho A B Câu 25 Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: C Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho A B C Câu 26 Cho hàm số f  x  , bảng xét dấu f   x  sau: D D Hàm số y  f   x  đồng biến khoảng đây? A  3;  B  2;3 C   ;  3 D  0;  Câu 27 Cho hàm số f  x  , hàm số y  f   x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f  x   x  m ( m tham số thực) nghiệm với x   0;  A m  f   B m  f    C m  f  0 D m  f    Câu 28 Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên? A y  x  x  B y  2 x  x  C y  x  x  Câu 29 Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A  0;1 B 1;   D y  2 x3  x  C  1;  D  0;   C x  D x  Câu 30 Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: Hàm số cho đạt cực tiểu A x  2 B x  Chủ đề HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LƠGARÍT (GIẢI TÍCH 12) Công thức lũy thừa: Cho a  0, b  m, n   Khi đó: am  a mn n a a m a n  a mn m am a    bm b n m a a ( a m ) n  a m n m n a n (ab) n  a n b n  n a a  n a n Công thức lôgarit: Với điều kiện thích hợp ta có: n a b     b a + Định nghĩa: loga b    a  b loga b + Tính chất: loga  0; loga a  1; a + Quy tắc:  b; loga ( a )    loga ( b1 bn )  loga b1   loga bn b  loga b  loga c , loga   loga b c b  loga b   loga b , loga n b  loga b n logc b + Đổi số: loga b  hay logc a.loga b  logc b logc a  loga  Tổng quát: loga a2 loga a3 loga  Đặc biệt: loga b  n1 an  loga an 1 , log  b  loga b a  logb a + Lôgarit thập phân: lga  log a  log10 a + Lôgarit tự nhiên: ln a  loge a Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: a) A = a a a b) B  93 31 34  a2 a a4  1 d) D  log a  c) C      log a ab log b ab a   Ví dụ 2: a) Cho a  log 5, b  log Tính log 450 theo a, b b) Cho a  log2 5, b  log3 Hãy biểu diễn log 75 theo a, b Đạo hàm hàm số mũ hàm số logarit     ex   ex ;    eu   eu u   ax   ax ln a   au   au ln a.u   ln x   u   ln u  u   loga x   x Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số sau: a) y  (1  x)  e) y  log2 (2x  1) b) y  (2  x ) f) y  log3 ( x2  3x  2) Ví dụ 2: Tính đạo hàm hàm số sau: b) y  5x2  2x cos x a) y  xex  3xe d) y  x 1 3x e) y  log( x2  x  1)  u   loga u  x ln a u ln a c) y  ( x2  1)2 g) y  ln x 1 x 1 d) y  ( x2  x  2) h) y  lg( x2  x  1) c) y  3x2  ln x  4sin x f) y  log3 x x Phương trình mũ: + Phương pháp giải: Đưa số, đặt ẩn phụ, lơgarit hóa Phương trình lơgarít: + Phương pháp giải: Đưa số, đặt ẩn phụ, mũ hóa n Bất phương trình mũ: a Phương trình vơ số nghiệm b    b  a f (x)  b   f ( x)  log a b Phương trình : a f ( x )  b    f ( x)  log a b Phương trình vô nghiệm b   b a b  b  Bất phương trình lơgarít:  f ( x)  log a b Phương trình : a f ( x )  b    f ( x)  log a b f ( x)  f ( x)  ab log a f ( x)  b   b  f ( x)  a  f ( x)  ab log a f ( x)  b   b  f ( x)  a a b x , a   a  , Điều kiện f ( x )  Điều kiện f ( x )  6.9 x  13.6 x  6.4 x   22  x  x  (  ) x  (  ) x  x 2.2 x  9.14 x  7.7 x  12.3x  3.15 x  x1  20 10 x  2.71 x   11 2 x   x   17  x x 13 (2  3)  (2  3)   a   a  a   a  Ví dụ 1: Giải phương trình, bất phương trình mũ: 2 x  x 8  413 x 32 x 8  4.3x   27  x a   a  1 x 14 2.4   3.8 x  4.12 x  18 x  2.27 x  log x  log  3x     12 2.16 x  15.4 x   x 15 1  2   3 x2 2 x Ví dụ 2: Giải phương trình, bất phương trình lơgarít: 1) log x  log  x    log  x   2) log x  log 25 x  log 0,2 3) log  x – 1  log  x –1  25 4) log 32 x  3  3log x  5) log x  2log  x  1  log  6) log x    log x  2     9) log x log3 x – 72    8) log x  log x 125   B  log5 a Câu Nghiệm phương trình 32 x1  27 A x  B x  Câu Cho hàm số y  2 x 3 x    10) log x  log 2.5 x   BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Với a số thực dương tùy, log a A log a 3  x 8 7) log  log 2.5 x    x x  x2 C  log a D C x  log a D x  có đạo hàm A (2 x  3).2 x 3 x.ln B x 3 x.ln C (2 x  3).2 x Câu Cho a b hai số thực dương thỏa mãn a 4b  16 Giá trị 4log a  log b A B C 16 Câu Nghiệm phương trình log3  x  1   log3  x  1 3 x D ( x  3x).2 x 3 x 1 D A x  B x  3 C x  D x  Câu Cho phương trình log x  log  x  1   log m ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm ... số1,2,3,4,5,6,7,8,9(HDG A95  15.120 ) Ví dụ Có bao cách chọn học sinh đội tuyển gồm học sinh giỏi môn văn lớp 12 trường để dự thi cấp tỉnh Biết em có lực (HDG C83  56 ) Ví dụ Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm... )( p  b)( p  c ) với p   Đặc biệt: ABC vuông A: S  b Diện tích hình vng cạnh a: S  a d Diện tích hình thoi: S  m.n abc (Công thức Hê-rông) a2 AB AC , ABC cạnh a: S  c Diện tích hình... Công thức: Pn  n !  n  n  1 n   n  3 3.2.1 Ví dụ Có cách xếp cho ba bạn An, Bình, Cường vào bàn học sinh gồm ba chỗ Giải: P3  3!  3.2.1  (Có thể dùng quy tắc nhân) Ví dụ Trong thi