một số vấn đề về đường đi euler và chi trình euler

BÀ GIÁO D÷C VÀ TR◊ÕNG ÀO TĐO ĐI H≈C QUY NHÃN TRÜN TH¿ THANH NHI MÀT S» VáN ó Vó D◊ÕNG I EULER VÀ CHU TRÌNH EULER LN VãN THĐC Sû TỐN H≈C Bình ‡nh - 2021 BÀ GIÁO D÷C VÀ TR◊ÕNG ÀO TÑO ÑI H≈C QUY NHÃN TRÜN TH¿ THANH NHI MÀT S» VáN ó Vó D◊ÕNG I EULER VÀ CHU TRÌNH EULER Chun ngành: PH◊ÃNG PHÁP TỐN Sà CáP Mã sË: 8460113 LN VãN THĐC Sû TỐN H≈C Ng˜Ìi h˜Ĩng d®n: TS LÊ THANH BÍNH Bình ‡nh - 2021 Cơng trình ˜Ịc hồn thành t§i TR◊ÕNG ĐI H≈C QUY NHÃN Ng˜Ìi h˜Ĩng d®n: TS LÊ THANH BÍNH Ph£n biªn 1: TS LÂM TH¿ THANH TÂM Ph£n biªn 2: PGS.TS PHẹM TIũN SN Lun ềc bÊo vê tĐi Hẻi ng ỏnh giỏ lun thĐc sổ chuyờn ngnh Phẽng phỏp toỏn còp tĐi Trèng Đi hc Quy NhÏn, vào ngày 30 tháng n´m 2021 Có th∫ tỡm hiu lun tĐi: - Th viên, Trèng Đi hÂc Quy NhÏn - Khoa Tốn ThËng kê, Tr˜Ìng §i hÂc Quy NhÏn LÕI CAM OAN Tôi xin cam oan nẻi dung trỡnh by lun trung th¸c khơng trùng l∞p vĨi ∑ ti khỏc Tụi cng xin cam oan cỏc kt qu£ nêu lu™n v´n, tài liªu tham kh£o nẻi dung trớch dđn Êm bÊo tớnh trung thác, chớnh xác Bình ‡nh, tháng 07 n´m 2021 Tác gi£ Tr¶n Th‡ Thanh Nhi Mˆc lˆc M– ÜU 1 Ki∏n thc chuân b 1.1 Cỏc loĐi th 1.2 Nh˙ng thu™t ng˙ cÏ s v∑ Á th‡ 1.3 Tính liên thơng 12 ˜Ìng i Euler, chu trình Euler 18 2.1 ‡nh nghỉa 20 2.2 Chu trình ˜Ìng i Euler Á th‡ vơ h˜Ĩng 22 2.3 Chu trình ˜Ìng i Euler Á th‡ có h˜Ĩng 31 MỴt sË ˘ng dˆng 3.1 38 Ÿng dˆng cıa ˜Ìng i chu trình Euler mỴt sË tốn tìm ˜Ìng i 38 3.2 Ÿng dˆng chu trình Euler viªc xây dáng tòt cÊ cỏc th cú dóy bc cho tr˜Óc 3.3 43 Ÿng dˆng chu trình Euler gi£i trình t¸ gen 52 K∏t lu™n 57 TÀI LIõU THAM KHÉO 58 Danh sách hình v≥ 1.1 M§ng máy tính 1.2 MĐng mỏy tớnh cú nhiu èng iên thoĐi 1.3 MĐng mỏy tớnh cú cỏc èng nẻi bẻ 1.4 M§ng máy tính có ˜Ìng truy∑n mỴt chi∑u 1.5 MĐng mỏy tớnh vểi nhiu èng truyn mẻt chiu 1.6 Á th‡ vô h˜Óng G H 1.7 Á th‡ có h˜Ĩng G 11 1.8 Á th‡ Ïn 1.9 Á th‡ G1 G2 14 1.10 Á th‡ H thành ph¶n liên thơng H1 , H2 H3 15 1.11 Á th‡ G 13 16 1.12 Các Á th‡ có h˜Ĩng G H 17 2.1 B£y c¶u ca thnh phậ Kăonigsberg 18 2.2 Á th‡ minh hoĐ cho bÊy cõy cảu 19 2.3 Các Á th‡ vơ h˜Ĩng G1 , G2 G3 21 2.4 Các Á th‡ có h˜Ĩng H1 , H2 H3 21 2.5 Ba Á th‡ vơ h˜Ĩng 26 2.6 Á th‡ có chu trình Euler 27 2.7 Á th‡ minh ho§ cho chu trình Euler Á th‡ có h˜Ĩng 2.8 Á th‡ có h˜Ĩng có ˜Ìng i Euler 33 34 2.9 Á th‡ có h˜Ĩng có chu trình Euler 35 3.1 Á th‡ cıa toán Domino 39 3.2 Á th‡ G minh ho§ cho tốn ng˜Ìi ˜a th˜ Trung Hoa 3.3 Á th‡ GT sau bÍ sung c§nh 41 42 3.4 SÏ Á lâu ài 42 3.5 Á th‡ cıa sÏ Á lâu ài 43 3.6 Á th‡ có dãy b™c d = (2, 2, 2, 2, 1, 1) theo thu™t toán Hakimi 45 3.7 Phép toán gi˙a Á th‡ 46 3.8 MỴt chu trình Euler an màu H = (x1 , x2 , x3 , x4 , x2 , x5 , x1 ) 47 3.9 Á th‡ tô màu sinh bi G - G⇤ 47 3.10 T¯ G1 Íi màu c§nh cıa Á th cõn băng H thu ềc th G2 = G(H) 48 3.11 Tßt c£ Á th‡ có dãy b™c d = (2, 2, 2, 1, 1) 50 3.12 Các chu trình an màu 3.13 51 Á th‡ nh™n ˜Òc "nậi" cỏc cp chuẩi trựng mẻt k tá 54 M– ÜU Th∏ giĨi t¸ nhiên xung quanh ta l mẻt mún qu ca tĐo hoỏ m ngèi t¯ x˜a ∏n ang khơng ng¯ng khám phá, mỴt nh˙ng công cˆ mà s˚ dˆng ∫ nghiên c˘u chúng ó Tốn hÂc Tốn hÂc khơng chø l˛ thuy∏t khơ khan mà cịn b≠t ngn t¯ th¸c t∏, ó ph£i k∫ ∏n toỏn "BÊy cõy cảu Kă onigsberg" TĐi thnh phậ Kăonigsberg thuẻc Ph (nay l Kaliningrad thuẻc Cẻng ho Liờn bang Nga) có sơng Pregel bao quanh hai £o lĨn Hai £o ˜Ịc nËi vĨi vùng ßt cıa thành phË bi b£y c¶u C˜ dân thành phË t bi toỏn: cú th xuòt phỏt tĐi mẻt i∫m i qua b£y c¶u, mÈi c¶u ềc i qua ỳng mẻt lản v tr v im xuòt phỏt ềc khụng? õy l mẻt nhng vßn ∑ cÏ b£n cıa l˛ thuy∏t Á th‡ ˜Ịc xuòt t ảu th k XVIII V n nm 1736 báo cıa Euler ã ˜Ịc cơng bË liên quan ∏n lÌi gi£i tốn nÍi ti∏ng v∑ cõy cảu Kăonigsberg Theo ú Leonhard Euler (1707-1783), mẻt nhà tốn hÂc ng˜Ìi Thu Sỉ, ã tr£ lÌi trÂn vàn cho bi toỏn ny Ngèi ta ó lòy tờn cıa ơng ∫ ∞t cho tốn nÍi ti∏ng Cho tĨi ngày mËi quan tâm v∑ tốn v®n khơng h∑ suy gi£m L˛ cıa sá quan tõm òy chớnh l sá dng rẻng rói ca nú ròt nhiu lổnh vác khỏc Do ó, viªc nghiên c˘u tìm hi∫u sâu tính chßt cıa ˜Ìng i chu trình Euler vĨi ng dng ca chỳng mẻt sậ lổnh vác l h∏t s˘c ˛ nghỉa c¶n thi∏t Vì v™y, vĨi sá gềi ca thảy hểng dđn tụi ó chn ti "Mẻt sậ vòn v èng i Euler chu trình Euler" ∫ làm lu™n v´n tËt nghiêp ca mỡnh Ngoi phản M ảu, Kt lun v Ti liêu tham khÊo, nẻi dung chớnh ca lun ˜Ịc chia làm ba ch˜Ïng: Ch˜Ïng Ki∏n th˘c chu©n b‡ Trong ch˜Ïng này, chúng tơi nh≠c l§i khái niêm, kin thc cẽ bÊn cản thit lm nn tÊng cho nỴi dung ˜Ịc trình bày  ch˜Ïng sau Ch˜Ïng ˜Ìng i Euler, chu trình Euler Trong ch˜Ïng này, chúng tơi s≥ trình bày chi ti∏t hª thậng nhng tớnh chòt quan trng v mẻt sậ vòn ∑ có liên quan ∏n ˜Ìng i Euler, chu trình Euler Ch˜Ïng MỴt sË ˘ng dˆng Trong ch˜Ïng này, chỳng tụi s giểi thiêu mẻt sậ ng dng quan trÂng, thú v‡ cıa ˜Ìng i chu trình Euler mẻt sậ lổnh vác khỏc ca cuẻc sậng Lun ềc hon thnh dểi sá hểng dđn v giúp Ơ t™n tình cıa th¶y giáo TS LÊ THANH BÍNH, Khoa Tốn ThËng kê, Tr˜Ìng §i hÂc Quy NhÏn Tơi xin bày t‰ s¸ kính trÂng lịng bi∏t Ïn sâu s≠c ∏n Th¶y ng˜Ìi ã giúp Ơ tụi suật quỏ trỡnh thác hiên lun Qua ây, tơi cÙng xin g˚i lÌi c£m Ïn ∏n Tr˜Ìng Phịng §i hÂc Quy NhÏn, t§o Sau §i hÂc, Khoa Tốn ThËng kê qu˛ Th¶y, Cơ giáo giÊng dĐy lểp Cao hc Phẽng phỏp toỏn còp khúa 22 ó giỳp ễ v tĐo iu kiên thun lỊi cho tơi st q trình hÂc t™p nghiên c˘u Sau cùng, tơi dành lÌi c£m Ïn ∞c biêt n gia ỡnh ó quan tõm, ng hẻ tụi suËt thÌi gian qua M∞c dù b£n thân ã chm chứ, nẩ lác v lm viêc nghiờm tỳc suật quỏ trỡnh thác hiên lun vn, nhng khÊ nng, kinh nghiêm nghiờn cu cũn hĐn ch v thÌi gian có h§n nên khó tránh kh‰i nh˙ng thi∏u sót lu™n v´n Tơi rßt mong nh™n ˜Ịc nh˙ng gúp ca qu thảy, cụ v bĐn c lu™n v´n ˜Ịc hồn thiªn hÏn n˙a Bình ‡nh, tháng 07 n´m 2021 HÂc viên Tr¶n Th‡ Thanh Nhi 45 ønh x ˜Òc chÂn t™p ønh N (x) ønh s≥ nËi tĨi (dßu ⇥ bi∫u th‡ cho ønh ˜Òc chÂn) ønh B™c x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 2 1 N (x1 ) = {x2 , x3 } ⇥ 1 1 N (x4 ) = {x2 , x3 } 0 ⇥ 1 ⇥ N (x5 ) = {x6 } B£ng Xây d¸ng Á th‡ có dãy b™c d = (2, 2, 2, 2, 1, 1) theo thu™t tốn Hakimi Khi b£ng k∏t thúc, ta xây d¸ng th tẽng ng băng cỏch nậi cỏc ứnh x ˜Ịc chÂn vĨi ønh cıa t™p hỊp N (x) t˜Ïng ˘ng có Á th‡ t˜Ïng ˘ng, ˜Ịc bi∫u diπn Hình 3.6 Hình 3.6: Á th‡ có dãy b™c d = (2, 2, 2, 2, 1, 1) theo thu™t tốn Hakimi Các tác gi£ cıa [11] m rỴng k∏t qu£ theo cách t˜Ïng t¸, h tin tng thut toỏn sau cho ta tòt cÊ cỏc Á th‡ có dãy b™c cho tr˜Ĩc: ‡nh l˛ 3.2.3 (Hakimi - Havel m rỴng [11]) Cho d = {d1 , d2 , , dn }, dãy b™c không gi£m, j mỴt ønh cË ‡nh (có th∫ l¸a chÂn tùy ˛) Gi£ s˚ cho tr˜Ĩc mẻt hềp cỏc ứnh b còm khụng ềc chn lm lỏng ging ca j Thỡ tn tĐi mẻt Á th‡ có dãy b™c d ó j khơng nËi vĨi ønh b‡ cßm chø tn tĐi mẻt th vểi dóy bc d ó j ˜Ịc nËi vĨi tßt c£ ønh b™c cao nhßt sË ønh khơng b‡ cßm 46 Tuy nhiên tác gi£ không h∑ ch˘ng minh thu™t tốn m rỴng cıa có th∫ qt ˜Ịc h∏t Á th‡ ˘ng vÓi dãy b™c cho tr˜Óc Thu™t tốn áp dˆng ‡nh l˛ 3.2.3 có th∫ xây dáng mẻt th cho lỏng ging ca mỴt ønh ˜Ịc xác ‡nh nh˜ mong mn cıa ta, nh˜ng khó cho ta ˜Ịc h∏t Á th‡ c¶n tìm (vì có th∫ t™p láng gi∑ng cıa ønh khác khơng xác ‡nh nh˜ mong mn ˜Ịc) Ph¶n s≥ trình bày thu™t tốn gi£i quy∏t vßn cũn tn tĐi dáa trờn èng mẻt nột Euler an màu khép kín ta cÙng s≥ ch˘ng minh thut toỏn ny xỏc nh ềc tòt cÊ th‡ có dãy b™c cho tr˜Ĩc Tr˜Ĩc tiên, chúng tơi s nhc lĐi mẻt sậ khỏi niêm cẽ bÊn Cho tr˜Ĩc mỴt Á th‡ G = (X, E) mà X l ứnh, E l cĐnh Ta kớ hiêu uv c§nh nËi ønh u v MỴt Á th‡ G0 cıa G vĨi t™p ønh X ˜Ịc gÂi Á th‡ khung MỴt Á th‡ khung t¶m th˜Ìng cıa Á th‡ G = (X, E) Á th‡ khơng có c§nh G = (X, ;) Á th‡ bù cıa Á th‡ G = (X, E) ˜Ịc k˛ hiªu G = (X, E) Ta ‡nh nghỉa mỴt sË phép tốn hỊp, giao tr¯ vÓi Á th‡ nh˜ sau: VÓi G1 = (X1 , E1 ) G2 = (X2 , E2 ) G1 [ G2 Á th‡ G = (X1 [ X2 , E1 [ E ) ∞c biªt X1 = X2 = X ta k˛ hiªu G1 \ G2 Á th‡ G = (X, E1 \ E2 ) G1 A B := (A [ B) G2 Á th‡ G = (X, E1 (A \ B) (xem minh hÂa  Hình 3.7) Hình 3.7: Phép toán gi˙a Á th‡ E2 ),  ây 47 N∏u c§nh cıa Á th‡ ˜Ịc tơ màu hai màu xanh, ‰ c§nh ‰ ˜Ịc hi∫n th băng cỏc nột lin, cĐnh xanh hin th băng nét ˘t (nh˜ Hình 3.8) SË c§nh màu (xanh) xuòt phỏt t mẻt ứnh x ềc gi b™c ‰ (b™c xanh) cıa x Á th‡ có c§nh ˜Ịc tơ hai màu mà ønh tùy ˛ ca nú cú sậ cĐnh xanh băng sậ cĐnh ềc gi l th cõn băng (vớ d th‡ H Hình 3.8) Khi ó mÈi ønh ∑u cú bc chặn nờn th cõn băng cha chu trình Euler Chu trình Euler khơng chø có c§nh liờn tip khỏc mu m cÊ cĐnh xuòt phỏt k∏t thúc cÙng khác màu ˜Òc gÂi chu trình Euler an màu (nh˜ Hình 3.8) Hình 3.8: MỴt chu trình Euler an màu H = (x1 , x2 , x3 , x4 , x2 , x5 , x1 ) Cho tr˜Óc Á th‡ G, Á th‡ G [ G ta tơ màu c§nh cıa G bi màu ‰ c§nh cıa G bi màu xanh, gÂi Á th‡ ¶y ı thu ˜Ịc Á th‡ tơ màu sinh bi G, kí hiªu G⇤ (ví dˆ Á th‡ G⇤ Hình 3.9) Hình 3.9: Á th‡ tô màu sinh bi G - G⇤ 48 Sau ây, chúng tơi s≥ tÍng hỊp trình by lĐi mẻt sậ kt quÊ quan trng Ta k hiêu th gm cỏc cĐnh thu ềc t th G băng cỏch i mu cỏc cĐnh bi mẻt th H cõn băng ca nú bi G(H) (Hỡnh 3.10) D dng thòy nu i mu cỏc cĐnh ca mẻt th cõn băng thỡ bc ca cỏc ứnh vđn ềc gi nguyờn iu ngềc lĐi cng úng Hình 3.10: T¯ G1 Íi màu c§nh cıa th cõn băng H thu ềc th G2 = G(H) ‡nh l˛ 3.2.4 (xem [4]) Cho tr˜Óc Á th‡ G1 = (X, E1 ) Á th‡ G2 = (X, E2 ) có mỴt dãy b™c nh˜ G1 chø tÁn t§i Á th‡ khung cân băng H th tụ mu G1 sinh bi G1 cho Á th‡ tô màu sinh bi G⇤2 = G⇤1 (H) ‡nh l˛ v∑ chu trình i Euler ( ‡nh l˛ 2.2.1) s≥ giúp ta ch˘ng minh l˛ Ph¶n ch˘ng minh chi ti∏t T¯ ‡nh ‡nh l˛ tham khÊo tĐi [4] nh l 3.2.4, ta cú qu£ hi∫n nhiên sau: Hª qu£ 3.2.1 (xem [4]) SË Á th‡ có dãy b™c nh˜ Á th‡ G cho trểc l sậ th khung cõn băng ca Á th‡ tô màu G⇤ sinh bi G Nh˜ v™y, ∫ t§o Á th‡ có dãy b™c vĨi Á th‡ G cho tr˜Ĩc, ta c¶n có ph˜Ïng pháp xác ‡nh ˜Òc h∏t Á th‡ khung cõn băng ca th tụ mu G sinh bi G Ta lĐi cú hềp ca mẻt sậ tựy chu trình 49 an màu mỴt Á th‡ cõn băng nh l sau s cho ta thòy iu ng˜Ịc l§i cÙng úng ‡nh l˛ 3.2.5 (xem [4]) Á th H l th khung cõn băng ca mẻt Á th‡ tô màu G⇤ sinh bi Á th‡ G chø H hỊp cıa mỴt sË t chu trình an màu rÌi th tụ mu G sinh bi G Băng cỏch s˚ dˆng ch˘ng minh ‡nh l˛ v∑ chu trình Euler ( ‡nh l˛ 2.2.1) ta có th∫ ‡nh l˛ Phản chng minh chi tit nh l tham khÊo tĐi [4] Thu™t tốn (xem [4]): • B˜Ĩc Xác ‡nh mẻt chu trỡnh an mu bt ảu t ứnh cú chø sË thßp nhßt Á th‡ tơ màu G⇤ sinh bi G ã Bểc Quay lĐi Bểc thác hiên vểi th tụ mu thu ềc t¯ Á th‡ cho tr˜Ĩc b‰ i chu trình an màu (cùng ønh cıa nó) v¯a thu ˜Ịc • B˜Ĩc K∏t thúc khơng cịn ønh na Ta thu ềc mẻt th khung cõn băng ềc tĐo bi cỏc chu trỡnh an mu ny ã Bểc i mu tòt cÊ cỏc cĐnh ca th khung cõn băng thu ềc, ta s cú th‡ có dãy b™c vĨi Á th‡ G ‡nh l˛ 3.2.4 cho thßy thu™t tốn qu£ th™t cho ta tòt cÊ cỏc th cản tỡm nh l 3.2.5 cho ta bi∏t cách xây d¸ng Á th‡ khung cõn băng ny băng cỏc èng mẻt nột khộp kín an màu Ta có th∫ thêm i∑u kiªn an màu (c§nh chÂn ti∏p theo khác màu c§nh v¯a chÂn tr˜Ĩc nó) vào thu™t tốn quen thc (có ẻ phc tĐp thòp) xõy dáng cỏc chu trỡnh an màu Ta mơ t£ thu™t tốn qua mỴt Ví dˆ Ví dˆ 3.2.2 ChÂn dãy b™c d = (2, 2, 2, 1, 1), ta có mỴt Á th‡ G th‰a 50 mãn Á th‡ ˜Ìng i G = (x4 , x2 , x1 , x3 , x5 ), thu ềc nhè thác hiên thut toỏn Hakimi-Havel (xem B£ng 2) ønh B™c x1 x2 x3 x4 x5 2 1 N (x1 ) = {x2 , x3 } ⇥ 1 1 N (x3 ) = {x4 } ⇥ N (x2 ) = {x5 } ⇥ B£ng Xây d¸ng Á th‡ có dãy b™c d = (2, 2, 2, 1, 1) theo thu™t tốn Hakimi Hình 3.11: Tßt c£ Á th‡ có dãy b™c d = (2, 2, 2, 1, 1) 51 th khung cõn băng tảm thèng G = (X, ;) cho ta lĐi th‡ G Cịn có tßt c£ Á th‡ khung cõn băng khụng tảm thèng ca th tụ mu G⇤ sinh bi G (xem Hình 3.11) Hình 3.12: Các chu trỡnh an mu Cỏc th khung cõn băng khơng t¶m th˜Ìng ˜Ịc sinh bi chu trình an màu sau: (i) H1,1 = (x5 , x2 , x3 , x4 , x5 ) H1,2 = (x1 ) Á th‡ thu ˜Ịc t¯ G1 (ii) H2,2 = (x5 , x2 , x4 , x3 , x5 ) H2,1 = (x1 ) Á th‡ thu ˜Ịc t¯ G2 (iii) H3,1 = (x5 , x2 , x3 , x1 , x4 , x3 , x5 ) ho∞c H3,1 = (x5 , x2 , x3 , x4 , x1 , x3 , x5 ) Á th‡ thu ˜Ịc t¯ G3 (iv) H4,1 = (x4 , x3 , x2 , x1 , x5 , x2 , x4 ) ho∞c H4,1 = (x4 , x3 , x2 , x5 , x1 , x2 , x4 ) Á th‡ thu ˜Ịc t¯ G4 (v) H5,1 = (x5 , x2 , x3 , x1 , x5 ) H5,2 = (x4 ) Á th‡ thu ˜Ịc t¯ G5 (vi) H6,1 = (x4 , x3 , x2 , x1 , x4 ) H6,2 = (x5 ) Á th‡ thu ˜Ịc t¯ G6 52 3.3 Ÿng dˆng chu trình Euler gi£i trình t¸ gen Các k∏t qu£ mˆc ˜Òc tham kh£o t¯ tài liêu [2] GiÊi trỡnh tá gen cú ròt nhiu ng dˆng khác • Trong nghiên c˘u cÏ b£n, gi£i trình t¸ gen có th∫ hÈ trỊ xây d¸ng b£n Á nhiπm s≠c th∫, thu ˜Ịc thơng tin v∑ cßu trỳc, chc nng, hoĐt ẻng ca cỏc oĐn ADN, nh danh lồi • Trong khoa hÂc y t∏, gi£i trình t¸ ADN có th∫ ˜Ịc s˚ dˆng ∫ xác ‡nh gen ch‡u trách nhiªm cho rËi lo§n di truy∑n Khi có ı hi∫u bi∏t v∑ còu trỳc, chc nng ca cỏc oĐn ADN, chỳng ta cú th dá oỏn nguy cẽ phỏt sinh cỏc hẻi chng, bênh di truyn mẻt ngèi hay nh hểng phẽng phỏp iu tr băng viêc giÊi trỡnh tá gen ng˜Ìi ó • Trong khoa hÂc pháp y, ADN ˜Ịc xem nh˜ dßu vân tay phân t˚; ˜Ịc s˚ dˆng ∫ xác minh huy∏t thËng, i∑u tra tỴi phĐm v nhn dĐng cỏ nhõn ã Trong cỏc ngnh nơng nghiªp, viªc xác ‡nh lồi GMO có th∫ ềc thác hiên vểi sá trề giỳp ca cỏc phẽng phỏp giÊi trỡnh tá ADN Bòt k bin th nh no bẻ gen thác vt u cú th ềc phỏt hiên vểi sá trề giỳp ca trỡnh tá ADN Tuy nhiờn, giÊi trỡnh tá mẻt bẻ gen chỳng ta phÊi giÊi quyt mẻt sậ ro cÊn thác t ã Tr ngĐi lển nhòt l thác t l cỏc nh sinh hc vđn thiu cụng nghê c cỏc nucleotide ca bẻ gen t ảu n cuậi iu tật nhòt h cú th lm l c trỡnh tá cỏc o§n ADN ng≠n hÏn nhi∑u Tuy nhiên, ADN d§ng chi kép, ó khơng có cách bi∏t ˜Ịc chi o§n ADN mà ta nghiên c˘u b≠t nguÁn t¯ âu, l≠p ráp nh˜ th∏ • Khó kh´n th˘ hai máy gi£i trình t¸ gen hiên tĐi khụng hon hÊo v cỏc oĐn ADN ng≠n mà chúng t§o th˜Ìng có lÈi Các lÈi sp xp 53 trỡnh tá lm phc tĐp quỏ trỡnh l≠p ráp bỴ gen chúng ng´n ta xác ‡nh tòt cÊ cỏc oĐn ADN chng chộo ã Th ba mỴt sË vùng cıa bỴ gen có th∫ khơng ềc bao ph bi bòt k mẻt oĐn ADN no, khin cho viêc tỏi tĐo lĐi ca ton bẻ bẻ gen i∑u không th∫ Ph˜Ïng pháp truy∑n thËng ∫ gi£i trình t¸ gen s≥ nh˜ sau: Các nhà nghiên cu lòy mẻt mụ nh hoc mđu mỏu cha hng triªu t∏ bào có ADN giËng hªt nh˜ nhau, s˚ dˆng ph˜Ïng pháp sinh hóa ∫ b¥ gãy ADN thành cỏc oĐn v trỡnh tá ca cỏc oĐn ú tr thành mỴt chi ADN Các nhà nghiên c˘u khơng bi∏t chi ADN t¯ âu bỴ gen, v™y h ph£i s˚ dˆng nh˙ng chuÈi ADN chÁng chéo tỏi tĐo bẻ gen Cú cỏch tip cn ∫ l≠p ráp chuÈi ADN thành chuÈi gen li∑n k∑ dài hÏn là: • Cách ti∏p c™n l≠p ráp trình t¸ de novo, chi ADN ˜Ịc so sánh vĨi nhau, sau ó ˜Ịc chÁng lên ∫ xây d¸ng li∑n k∑ dài hÏn (khơng s˚ dˆng thêm kin thc no) ã Cỏch tip cn dáa trờn tham chi∏u liên quan ∏n viªc ∞t t˜Ïng ˘ng mÈi chuÈi tểi mẻt trỡnh tá bẻ gen tham chiu (s dng ki∏n th˘c d¸a tham chi∏u) Tr˜Ĩc giÊi quyt vòn tỏi tĐo chuẩi, hóy xem vớ dˆ sau v∑ chuÈi gÁm thành ph¶n : AAT , ATG , GTT, TAA, TGT Cách t¸ nhiên nhßt ∫ gi£i Bài tốn tái l™p chi "nËi" mẻt cp chuẩi nu chỳng trựng k tá Khi ó ta ˜Ịc Á th‡ nh˜ sau: N∏u có Á th‡ ∫ b≠t ¶u, ta s≥ c¶n ph£i tìm ˜Ìng i Á th‡ cho i qua mẩi nỳt chớnh xỏc mẻt lản Mẻt ˜Ìng nh˜ th∏ s≥ ˜a cho ta mỴt bỴ gen Viêc tỡm mẻt èng nh vy ròt khú khn nu cậ gng lp rỏp bẻ gen băng tay, nhiên, bi∫u Á cho mỴt cách 54 Hình 3.13: Á th‡ nh™n ˜Ịc "nËi" cp chuẩi trựng mẻt k tá hay hỡnh dung mËi quan hª chÁng chéo gi˙a chuÈi ADN Bây giè chỳng ta bit giÊi quyt vòn tái thi∏t chi, ang tìm ki∏m mỴt ˜Ìng d®n bi∫u Á chÁng chéo mà truy c™p xỏc mẩi nỳt mẻt lản Mẻt èng biu truy cp mẩi nỳt mẻt lản ềc gi l èng Hamilton Nh˜ng tốn Hamilton ch˜a có thu™t tốn hiêu quÊ giÊi giÊi quyt vđn ny, Nicolaas de Bruijn (mỴt nhà tốn hÂc ng˜Ìi Hà Lan) thay tìm ki∏m ˜Ìng i Hamilton Á th‡ khÍng lÁ, Nicolaas de Bruijn ã phát tri∫n mỴt cách hồn tồn khác ∫ bi∫u diπn thành phản chuẩi ADN băng cỏch s dng th Chúng ta s≥ tìm hi∫u cách ơng s˚ dˆng ph˜Ïng pháp ∫ xây d¸ng chi tÍng qt nh˜ sau Ta s˚ dˆng ví dˆ bỴ gen TAATGCCATGGGATGTT vĨi chi 3-thành ph¶n cıa nó: L¶n thay s˚ dˆng chi 3-thành ph¶n làm nút nh˜ tr˜Ĩc, ta s≥ dùng làm c§nh: 55 Vì mÈi c∞p c§nh liờn tip Đi diên cho nucleotide liờn tip xen phı nhau, s≥ g≠n nhãn mÈi nút cıa th ny băng 2-thnh phản Đi diên cho cỏc nucleotide chng chộo ềc chia sƠ bi cỏc cĐnh hai bên cıa nút Sau ó gỴp nỳt giậng hêt Hỡnh dểi ta gẻp cỏc AT thành mỴt Ta ti∏p tˆc gỴp nút TG thành nút CuËi cùng, dán hai nút có nhón GG, tĐo mẻt loĐi cĐnh c biêt gi vịng k∏t nËi GG cho SË l˜Ịng nút bi∫u Á k∏t qu£ (hi∫n th‡ bên ph£i bên d˜Ĩi) ã gi£m t¯ 16 xng cịn 11, sậ cĐnh vđn gi nguyờn th ny ềc gÂi Á th‡ De Bruijn cıa TAATGCCATGGGATGTT T¯ Á th‡ de Bruijn cıa TAATGCCATGGGATGTT, viªc gi£i Bài tốn tái thi∏t chi s≥ gi£m thành viªc tìm ˜Ìng Á th‡ de Bruijn mà truy c™p xác mÈi c§nh mẻt lản èng nh vy ềc gi l èng 56 i Euler Do ó, ∫ gi£i Bài tốn tái thi∏t chi có th∫ tìm mỴt ˜Ìng Euler Á th‡ de Bruijn Hãy xem xét bi∫u Á de Bruijn  bên trái hình bên d˜Ĩi, mà ã bi∏t có ˜Ìng i Euler, nh˜ng khơng có chu trình Euler nút TA TT khơng có b™c chỈn Tuy nhiên, có th∫ bi∏n i èng Euler ny thnh mẻt chu trỡnh Euler băng cỏch thờm mẻt cĐnh nhòt nậi TT v TA, nh˜ hình bên d˜Ĩi Trong hai th™p k ¶u tiên sau phát minh ph˜Ïng pháp gi£i trình t¸ ADN, nhà sinh hÂc ã t™p hỊp bẻ gen băng cỏch s dng th chng chộo, vỡ h khụng nhn cỏc cõy cảu Kăonigsberg (chính tốn c¶u nÍi ti∏ng) n≠m gi˙ chìa khóa ∫ l≠p ráp ADN Th™t v™y, nh thụng tin sinh hc ó mòt mẻt thèi gian tỡm biu de Bruijn, lản ảu tiờn ềc xõy dáng giÊi quyt mẻt vòn hồn tồn l˛ thuy∏t, có liên quan ∏n viªc l≠p ráp bỴ gen HÏn n˙a, Á th‡ de Bruijn ˜Ịc ˜a vào tin sinh hÂc, ˜Ịc coi mẻt khỏi niêm toỏn hc k lĐ vểi cỏc ng dng thác t hĐn ch Ngy nay, biu de Bruijn ã tr thành cách ti∏p c™n chı §o ∫ l≠p ráp bỴ gen 57 K∏t lu™n Trong lu™n v´n này, chúng tơi ã trình bày mỴt cách chi tit, thậng cỏc nẻi dung liờn quan n èng i chu trình Euler vĨi mỴt sË ˘ng dˆng cıa chúng Cˆ th∫, óng góp cıa tơi lu™n v´n nh˜ sau: • Trình bày chi tit v cú thậng nhng tớnh chòt quan trng cıa ˜Ìng i Euler, chu trình Euler, thu™t tốn tỡm èng i Euler ã Trỡnh by mẻt cỏch chi ti∏t ˘ng dˆng quan trÂng cıa ˜Ìng i chu trỡnh Euler mẻt sậ lổnh vác nh: giÊi quy∏t tốn tìm ˜Ìng i, tốn l˛ thuy∏t Á th‡, tốn gi£i mã trình t¸ gen, Trong t˜Ïng lai, s≥ cË g≠ng nghiên c˘u thêm ˘ng dˆng cıa ˜Ìng i Euler chu trình Euler nhi∑u lỉnh v¸c khác Ngồi ra, tụi cng muận tip tc tỡm hiu sá liờn gi˙a ˜Ìng i chu trình Euler vĨi mỴt sË loĐi èng i v chu trỡnh c biêt khỏc tìm hi∫u thêm tính ˘ng dˆng cıa chúng 58 Tài liªu tham kh£o [1] Hồng Chúng (1992), Graph gi£i tốn phÍ thơng, NXB Giáo dˆc [2] Nguyπn Ti∏n §t (16/05/2021), Tìm hi∫u v∑ gi£i trình t¸ gen (Genome sequencing), theo Viblo Asia [3] VÙ ình Hồ (2005), L˛ thuyt th, NXB Đi hc S phĐm H Nẻi [4] VÙ ình Hồ (2019), S˚ dˆng chu trình Euler xõy dáng tòt cÊ cỏc th cú dóy bc cho tr˜Óc, HNUE JOURNAL OF SCIENCE, Natural Sciences 2019, Volume 64, Issue 3, pp: 74-81 [5] Lê Minh Hoàng (1999-2002), Gi£i thu™t L™p trình, NXB §i hÂc S˜ ph§m Hà NỴi [6] ∞ng Huy Ru™n (2000), L˛ thuy∏t Á th‡ ˘ng dˆng, NXB Khoa hÂc Kæ thu™t [7] J.See Shields, Rob (2012), Cultural Topology: The Seven Bridges of Kă onigsburg 1736, Theory Culture and Society 29, pp.43-57 [8] Jack Edmonds, Ellis L Johnson (1973), Matching, Euler Tours, and the Chinese Postman, Mathematical Programming, North-Holland Publishing Company, pp:88-124 59 [9] Joseph Blitzstein, Persi Diaconis, (2010), A Sequential Importance Sampling Algorithm for Generating Rvàom Graphs with Prescribed Degrees Taylor and Francis Group, pp: 1542-7951 [10] Jonathan McLaughlin (2018), On connected degree sequences, Cornel University [11] Hyunju Kima, Zoltán Toroczkai, Istvỏn Miklús, Pộter L Erdăos, Lỏszlú A Szộkely (2008), On realizing all simple graphs with a given degree sequence, Preprint, submitted to Discrete Mathematics [12] Kenneth Rosen (2006), Discrete mathematics and its applications, McGraw Hill Higher Education [13] Lo, Andrew (2000), The Game of Leaves: An Inquiry into the Origin of Chinese Playing Cards, Bulletin of the School of Oriental and African Studies, University of London, Vol 63, No 3, pp: 389-406 [14] R Diestel (2000), Graph theory, Springer-Verlag, New York, second edition ... có chu trình Euler A, B, C, D, E, A Á th‡ H2 khơng có chu trình cÙng nh˜ ˜Ìng i Euler Á th‡ H3 khơng có chu trình Euler nh˜ng có ˜Ìng i Euler A, D, C, A, B, C 22 2.2 Chu trình ˜Ìng i Euler Á... trình Euler 2.1 ‡nh nghỉa ‡nh nghỉa 2.1.1 (xem [12]) Chu trình Ïn ch˘a tòt cÊ cỏc cĐnh ca th G ềc gi chu trình Euler ˜Ìng i Euler G ˜Ìng i Ïn ch˘a mÂi c§nh cıa G Chu trình Euler ˜Ìng i Euler. .. th‡ có chu trình Euler 27 2.7 Á th‡ minh ho§ cho chu trình Euler Á th‡ có h˜Ĩng 2.8 Á th‡ có h˜Ĩng có ˜Ìng i Euler 33 34 2.9 Á th‡ có h˜Ĩng có chu trình Euler