B˜Óc 1: Xußt phát t¯ ønh Acó th∫ i theo c§nh (A, B) ho∞c (A, F), gi£ s˚ là c§nh (A, B) (xóa c§nh (A, B)).
B˜Óc 2:T¯ ønhBcó th∫ i qua mÎt trong các c§nh(B, C),(B, E),(B, F), gi£ s˚ là c§nh (B, C) (xóa c§nh (B, C)).
B˜Óc 3: Ti∏p tˆc, t¯ ønh C có th∫ i qua mÎt trong các c§nh (C, D),
(C, H), (C, G), gi£ s˚ là c§nh (C, D) (xóa c§nh (C, D)).
B˜Óc 5: Vì (G, F) là c§nh b≠c c¶u nên có th∫ i theo mÎt trong hai c§nh
(G, C),(G, H), gi£ s˚ là c§nh (G, C) (xóa c§nh (G, C)).
B˜Óc 6: i theo (C, H) (xóa c§nh (C, H) và ønh C).
B˜Óc 8: Ti∏p tˆc i theo c§nh (G, F) (xóa c§nh (G, F) và ønh G).
B˜Óc 9: Vì (F, A) là c§nh b≠c c¶u nên i theo c§nh (F, B) ho∞c (F, E), gi£ s˚ i theo c§nh (F, B) (xóa c§nh (F, B)).
B˜Óc 11: Theo c§nh (E, F) (xóa c§nh (E, F) và ønh E).
B˜Óc 12: CuËi cùng i theo c§nh (F, A) (xóa c§nh (F, A), ønhF và ønh
A). Nh˜ v™y, trong Ví dˆ trên chúng ta ã tìm ˜Òc mÎt chu trình Euler:
A, B, C, D, G, C, H, G, F, B, E, F, A
.
2.3 Chu trình và ˜Ìng i Euler trong Á th‡ có h˜Óng
Ta m rÎng khái niªm ã xét trên cho tr˜Ìng hÒp Á th‡ có h˜Óng. Khi ó, ta có ˜Òc ‡nh l˛ sau.
‡nh l˛ 2.3.1 (xem [6], [7]). a Á th‡ có h˜Óng G = (X, U) không có
ønh cô l™p luôn tÁn t§i chu trình Euler khi và chø khi Á th‡ là liên thông y∏u Áng thÌi b™c ra và b™c vào cıa mÈi ønh là b¨ng nhau.
• i∑u kiªn c¶n.
N∏u a Á th‡ G có chu trình Euler ↵ thì ↵ ph£i i qua tßt c£ các c§nh, nên G không th∫ ch˘a quá mÎt thành ph¶n liên thông có c§nh. M∞t khác, vì ↵ ph£i i qua mÈi c§nh úng mÎt l¶n, nên mÈi khi qua mÎt ønh nào ó, ↵ i vào b¨ng mÎt c§nh, i ra b¨ng mÎt c§nh khác và không bao giÌ ˜Òc l∞p l§i, nên sË c§nh i vào t§i mÈi ønh ph£i b¨ng sË c§nh i ra kh‰i ønh này.
• i∑u kiªn ı.
Xußt phát t¯ ønh x0 tu˝ ˛ i theo h˜Óng bßt k˝, ta không i qua c§nh nào hai l¶n và mÈi khi tÓi mÎt ønh mà có c§nh ta ch˜a i qua thì i ti∏p cho tÓi khi g∞p ønh không còn c§nh nào ∫ i ti∏p. ønh này là x0 và ta ˜Òc mÎt vòng Ïn kí hiªu là . Có th∫ ch˜a i qua h∏t các c§nh cıa
G. V™y ph¶n còn l§i là mÎt Á th‡ con vÓi mÈi ønh có b™c vào b¨ng b™c ra.
Gi£ s˚ C1, C2, . . . , Ck là các thành ph¶n liên thông cıa G có ch˘a ít nhßt mÎt c§nh. Theo gi£ thi∏t quy n§p, C1, C2, . . . , Ck ã có các chu trình Euler ˜Òc kí hiªu l¶n l˜Òt là 1, 2, . . . , k.
Á th‡ là thành ph¶n liên thông duy nhßt cıa G ã là liên thông nên l¶n l˜Òt g∞p Ci(1 i k) t§i các ønh t˜Ïng ˘ng
x1 2 C1, x2 2 C2, . . . , xk 2 Ck
ThËng nhßt các chu trình , 1, 2, . . . , k thành chu trình Ïn i qua tßt c£ các c§nh cıa Á th‡ b¨ng cách: t¯ x0 i theo ∏n x1, sau ó i theo 1 tr v∑ x1, rÁi l§i theo sang x2. . . c˘ ti∏p tˆc i nh˜ v™y cho ∏n khi ∏n xk. Sau ó i theo k ∫ xk tr l§i ønh x1 theo .
Chu trình chính là mÎt chu trình Euler cıa Á th‡ G. Ví dˆ 2.3.1. Trên Hình 2.7 ta có:
Hình 2.7: Á th‡minh ho§cho chu trình Euler trong Á th‡có h˜Óng.Á th‡ G1 có chu trình Euler: A, B, C, A, D, C, A.