Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 21 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Cấu trúc
.Facebook: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC. Admin: Nguyễn Văn Quý - THPT Chuyên Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh
. Facebook: Tổ 4 - Strong Team. Admin: Nguyễn Việt Hải - THPT Chuyên Quang Trung, tỉnh Bình Phước.
. Nguồn Internet khác.
Nội dung
Phần MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong kỳ thi THPT Quốc gia trước kì thi TNTHPT, mơn Tốn chuyển từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm việc giải toán khoảng thời gian định, đáp ứng tốn khó giải thi trắc nghiệm “bài tốn thời gian” khơng đơn giản học sinh không học phân loại chi tiết dạng toán, kể dạng thường gặp q trình giải tốn Việc giải nhanh xác 50 câu hỏi thời gian 90 phút áp lực không nhỏ với thí sinh, đơi lúc cần chút bối rối bị “tâm lí phịng thi” làm cho chất lượng thi bị ảnh hưởng Xuất phát từ câu hỏi vậy, mạnh dạn tìm hiểu viết lên sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng tốn cực trị hình học giải tích Oxyz ” nhằm phân loại chi tiết dạng toán này, giúp em học sinh bạn đồng nghiệp học tập nghiên cứu dạng toán cách đơn giản 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hướng tiếp cận đơn giản hiệu đến dạng toán Rèn luyện kỹ thực hành, hoạt động nhóm cho học sinh Rèn luyện khả nghiên cứu khoa học cho thân, qua tăng khả xử lí tình giảng dạy đời sống ngày 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Là giáo viên dạy Toán trường THPT Bá Thước, học sinh trường THPT Bá Thước Quá trình dạy học mơn Tốn trường THPT Bá Thước Các phương pháp kỹ thuật dạy học theo hướng phát triển lực, kỹ thực hành vận dụng kiến thức học tập liên hệ thực tiễn mơn Tốn Đối tượng sử dụng đề tài: Học sinh THPT giáo viên dạy mơn Tốn THPT 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Các tài liệu lí luận dạy học, phương pháp kĩ thuật dạy học theo hướng phát triển lực mơn Tốn Nghiên cứu thực trạng dạy học mơn Tốn trường THPT Bá Thước Liệt kê số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ góc khoảng cách hình học giải tích khơng gian Oxyz Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu sở lí luận việc đổi chương trình giáo dục mơn Tốn Nghiên cứu chương trình chuẩn kiến thức, kĩ năng, mục tiêu chương trình mơn Tốn THPT để xây dựng hệ thống “Bài tốn cực trị hình học giải tích khơng gian Oxyz ” phát huy tính tích cực, chủ động tư duy, kĩ thực hành cho học sinh nhằm tăng hứng thú, say mê học tập môn Nghiên cứu trình dạy học trường THPT Bá Thước Phần NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI BÀI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Hệ trục toạ độ khơng gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vng góc với đơi r r r chung điểm gốc O Gọi i, j, k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc không gian rr rr r r r2 r r Chú ý: i j k i j i.k k j Toạ độ vectơ r r r r r 2.1 Định nghĩa: u x; y; z u xi y j zk r r 2.2 Tính chất: Cho a ( a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ), k ¡ r r a b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 ) r ka (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 b1 r r a b a2 b2 a b 3 r r r r (0;0;0), i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1) r r r r r r a phương b (b 0) a kb (k ¡ ) a1 kb1 a a a a2 kb2 , (b1 , b2 , b3 0) b1 b2 b3 a kb 3 r r rr a.b a1.b1 a2 b2 a3.b3 a b a1b1 a2b2 a3b3 r2 r 2 a a1 a2 a3 a a12 a22 a22 rr a.b a1b1 a2b2 a3b3 r r r r r cos(a , b ) r r (với a , b 0) a b a12 a22 a32 b12 b22 b32 Tọa độ điểm uuuu r r r r 3.1 Định nghĩa: M ( x; y; z ) OM x.i y j z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: M Oxy z 0; M Oyz x 0; M Oxz y M Ox y z 0; M Oy x z 0; M Oz x y 3.2 Tính chất: Cho A( xA ; y A ; z A ), B ( xB ; yB ; zB ) uuu r AB ( xB x A ; yB y A ; z B z A ) AB ( xB xA )2 ( yB y A ) ( zB z A ) x xB y A yB z A zB ; ; Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB : M A 2 Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC x xB xC y A y B yC z A z B zC G A ; ; 3 Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD : x xB xC xD y A yB yC yD z A zB zC z D G A ; ; 4 4 Tích có hướng hai vectơ r r 4.1 Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a ( a1; a2 ; a3 ) , b (b1 ; b2 ; b3 ) r r r r Tích có hướng hai vectơ a b vectơ kí hiệu a, b , xác định r r a a3 a3 a1 a1 a2 a , b ; ; a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 b b b b b b 3 1 Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số 4.2 Tính r r chất: r r r r [a, b] a; [a, b] b r r r r a , b b , a r r r r r r [a, b] a b sin a , b r r r r r a, b phương [a, b] (chứng minh điểm thẳng hàng) 4.3 Ứng dụng tích có hướng: (Chương r rtrình r nâng cao) r r r Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b, c đồng phẳng [a, b].c uuu r uuur Diện tích hình bình hành ABCD : SWABCD AB, AD r uuur uuu ABC S AB Diện tích tam giác : , AC ABC uuu r uuur uuur Thể tích khối hộp ABCDABC D : VABCD A ' B 'C ' D ' [ AB, AD ] AA r uuur uuur uuu VABCD [ AB, AC ] AD Thể tích tứ diện ABCD : Phương trình mặt cầu 5.1 Định nghĩa: Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I , bán kính R Kí hiệu: S I ; R S I ; R M / IM R 5.2 Phương trình mặt cầu Dạng 1: Phương trình tắc Dạng 2: Phương trình tổng quát 2 Mặt cầu (S) có tâm I a; b; c , bán kính ( S ) : x y z 2ax 2by 2cz d Điều kiện để phương trình (2) phương R , có pt S : x a y b z c R2 2 trình mặt cầu: a b c d (S) có tâm I a; b; c (S) có bán kính R a b c d 5.3 Vị trí tương đối điểm mặt cầu Cho mặt cầu S I ; R điểm A đó: IA R A nằm ngồi mặt cầu IA R A nằm mặt cầu IA R A nằm mặt cầu 5.4 Vị trí tương đối hai mặt cầu Cho hai mặt cầu S1 I1 ; R1 S2 I ; R2 Khi Nếu hai mặt cầu cắt R1 R2 I1I R1 R2 Nếu hai mặt cầu tiếp xúc với nhau: Hai mặt cầu tiếp xúc với I1 I R1 R2 Hai mặt cầu tiếp xúc với I1 I R1 R2 Nếu hai mặt cầu không giao nhau: Hai mặt cầu I1 I R1 R2 Hai mặt cầu lồng I1 I R1 R2 Hai mặt cầu đồng tâm I1 I BÀI : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến mặt phẳng r r r Vectơ n vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng ( ) giá n vng góc với mặt phẳng ( ) Chú ý: r r Nếu n VTPT mặt phẳng ( ) kn (k 0) VTPT mặt phẳng ( ) Một mặt phẳng xác định biết điểm mà mặt phẳng qua VTPT mặt phẳng r r Nếu u , v khơng phương, có giá song song nằm mặt phẳng ( ) r r r n u, v VTPT ( ) Phương trình tổng quát mặt phẳng Trong không gian Oxyz , mặt phẳng có dạng phương trình: Ax By Cz D với A2 B C Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình Ax By Cz D có VTPT r n A; B; C r Phương trình mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 nhận vectơ n A; B; C r khác VTPT là: A x x0 B y y0 C z z0 Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D với A2 B C Nếu D mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ O Nếu A 0, B 0, C mặt phẳng ( ) song song chứa trục Ox Nếu A 0, B 0, C mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oy Nếu A 0, B 0, C mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oz Nếu A B 0, C mặt phẳng ( ) song song trùng với Oxy Nếu A C 0, B mặt phẳng ( ) song song trùng với Oxz Nếu B C 0, A mặt phẳng ( ) song song trùng với Oyz Chú ý: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : x y z Ở ( ) cắt a b c trục tọa độ điểm a;0;0 , 0; b;0 , 0;0;c với abc Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho điểm M x0 ; y0 ; z0 : Ax By Cz D mặt phẳng Khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính cơng thức: d M ; | Ax0 By0 Cz0 D | A2 B C Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng : A1 x B1 y C1 z D1 : A x B y C z D uu r uu r Góc bù với góc hai VTPT n , n Tức là: 2 cos , 2 uu r uu r n n uu r uu r cos n , n uu r uu r n n A1 A2 B1 B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 BÀI : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình đường thẳng: ur Cho đường thẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 nhận vectơ a a1; a2 ; a3 với a12 a2 a3 làm vectơ phương Khi có phương trình tham số : x x0 a1t y y0 a2 t ; t ¡ z z a t ur Cho đường thẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 nhận vectơ a a1; a2 ; a3 cho a1a2 a3 làm vectơ phương Khi có phương trình tắc : x x0 y y0 z z0 a1 a2 a3 Góc 2.1 Góc hai đường thẳng: ur uu r 1 có vectơ phương a1 ; có vectơ phương a2 ur uu r a1.a2 r Gọi góc hai đường thẳng 1 Ta có: cos ur uu a1 a2 2.2 Góc đường thẳng uu r mặt phẳng: uu r có vectơ phương a ; có vectơ phương n uu r uu r a n r uu r Gọi góc hai đường thẳng ( ) Ta có: sin uu a n Khoảng cách: 3.1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : uu r uuuuur a , M M uu r uu r qua điểm M có vectơ phương a , d M , a 3.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéournhau: 1 qua điểm M có vectơ phương a1 ; qua điểm N có vectơ ur uu r uuuu r a1 , a2 MN uu r ur uu r phương a2 ; d 1 , = a1 , a2 Vị trí tương đối: 4.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho đường thẳng: x x0 a1t x x0 b1t u r uu r d1 : y y0 a2t qua M , có VTCP u1 ; d : y y0 b2t qua M , có VTCP u2 z z a t z z b t ur uu r a1 a2 a3 u1 / / u2 b1 b2 b3 + d1 trùng d M d M d ur uu r r ur uu r a1 a2 a3 u1 , u2 u / / u b1 b2 b3 + d1 / / d ur uuuuuur r M d u1 , M 1M M d ur uu r r u1 , u2 + d1 cắt d ur uu r uuuuuur u1 , u2 M 1M ur uu r uuuuuur + d1 chéo d u1 , u2 M 1M 4.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: x x0 a1t Cho đường thẳng: d : y y0 a2t mp ( ) : Ax By Cz D z z a t x x0 a1t y y a t Xét hệ phương trình: z z0 a3t Ax By Cz D (*) có nghiệm d cắt ( ) (1) (2) (*) (3) (4) (*) vô nghiệm d // ( ) (*) vô số nghiệm d ( ) 4.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho mặt cầu ( S ) có tâm I , bán kính R đường thẳng Để xét vị trí tương đối ( S ) ta tính d I , so sánh với bán kính R Nếu d I , R khơng cắt ( S ) Nếu d I , R tiếp xúc với ( S ) Nếu d I , R cắt ( S ) hai điểm phân biệt 2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Với lượng kiến thức trên, việc tiếp thu ghi nhớ không khó với học sinh Nhưng vấn đề đặt vận dụng kiến thức việc giải toán? Đặc biệt toán liên quan đến cực trị khơng phải lúc dễ dàng Để giúp bạn đọc có nhìn tổng qt số dạng tốn hình học liên quan đến giá trị lớn – nhỏ nhất, sau xin nêu vài dạng để tìm hiểu xây dựng 2.3 CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 2.3.1 Giải pháp chung Từ vấn đề nêu ta thấy, việc giải tốn hình học liên quan đến giá trị lớn – nhỏ giải trực tiếp phương pháp hình học chuyển sang tốn khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn – nhỏ biểu thức liên quan Ở đây, chìa khóa tốn việc học sinh tìm hiểu định lựa chọn phương pháp cho phù hợp với dạng tốn vơ quan trọng Sau tơi xin giới thiệu số dạng tốn ví dụ mẫu để bạn đọc hình thành phương pháp 2.3.2 Phân loại dạng tốn 2.3.2.1 Tìm điểm thuộc mặt phẳng cho hệ thức liên quan độ dài đoạn thẳng véctơ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Bài toán Cho điểm A , B , C mặt phẳng P Tìm M P cho uuur uuur uuur aMA bMB cMC đạt giá trị nhỏ Phương pháp giải : uu r uur uur r Bước 1: Tìm điểm I thoả mãn: aIA bIB cIC Bước 2: Phân tích uuur uuur uuur uuu r uu r uur uur aMA bMB cMC a b c MI aIA bIB cIC a b c MI uuur uuur uuur Bước 3: aMA bMB cMC đạt giá trị nhỏ MI đạt giá trị nhỏ M hình chiếu I P Bài toán Cho điểm A , B , C mặt phẳng P Tìm M P cho T aMA2 bMB cMC đạt giá trị nhỏ a b c giá trị lớn a b c 0 Phương pháp giải : uu r uur uur r Bước 1: Tìm điểm I thoả aIA bIB cIC 2 2 2 Bước 2: Phân tích T aMA bMB cMC a b c MI aIA bIB cIC Bước 2: T aMA2 bMB cMC đạt giá trị nhỏ a b c lớn a b c MI đạt giá trị nhỏ M hình chiếu I P Bài toán Cho điểm A , B mặt phẳng P Tìm M P cho MA MB đạt giá trị nhỏ Phương pháp giải: Bước 1: Xét vị trí tương đối điểm A , B với mặt phẳng P Bước 2: Nếu A , B khác phía P MA MB AB nên MA MB đạt giá trị nhỏ M AB P Nếu A , B phía P ta tìm A đối xứng A qua P Khi ta có MA MB MA MB AB nên MA MB đạt giá trị nhỏ M AB P Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0;1 , B 2;1;2 , C 1; 7;0 Tìm tọa độ điểm M trục Oy cho uuur uuur uuur MA 2MB 3MC có giá trị nhỏ Lời giải uu r uur uur r 23 Gọi I điểm thỏa: IA IB 3IC Khi I 4; ; 2 uuur uuur uuur uuu r uu r uuu r uur uuu r uur uuu r MA 2MB 3MC = MI IA MI IB MI IC 2MI 2MI nhỏ 23 M hình chiếu vng góc I lên trục Oy hay M 0; ;0 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;1;2 , B 1;0;4 , C 0; 1;3 điểm M thuộc mặt cầu S : x y z 1 Tính độ đài đoạn AM biểu thức MA2 MB MC đạt giá trị nhỏ Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có G 0;0;3 G S uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur Khi đó: MA2 MB MC MG GA MG GB MG GC uuuu r uuu r uuu r uuur 3MG MG GA GB GC GA2 GB GC 3MG 2 Do MA MB MC MG ngắn Ta lại có, mặt cầu S có bán kính R tâm I 0;0;1 thuộc trục Oz , S qua O Mà G Oz nên MG ngắn M Oz S Do M 0;0;2 Vậy MA Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A 1;2;2 , B 3;0;4 M điểm di động mặt phẳng Oxy Tính giá trị nhỏ biểu thức MA MB Lời giải Vì z A 0, z B nên hai điểm A, B nằm phía với mặt phẳng Oxy Gọi A điểm đối xứng với A qua mặt phẳng Oxy A 1;2; 2 Khi đó: MA MB MA MB AB 56 Dấu " " xảy M AB Oxy 2.3.2.2 Mặt phẳng qua điểm A cách B khoảng lớn Bài toán Cho hai điểm phân biệt A B Viết phương trình mặt phẳng qua A cách B khoảng lớn Phương pháp giải: Gọi H hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng , tam giác ABH vng H khoảng cách d B, BH AB Vậy d B, lớn AB A H , mặt phẳng qua A vng góc với AB 10 Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ;1; , B 1; ; 3 Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm A cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng P lớn Lời giải Ta có d B, P AB Do khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng P lớn d B, P AB xảy AB P Như mặt phẳng P cần tìm mặt uuu r phẳng qua A vng góc với AB Ta có AB 3 ; 1; véctơ pháp tuyến P Vậy phương trình mặt phẳng P : x y 1 z hay x y z 17 Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm M ; 1; N 1;1; 3 Viết phương trình mặt phẳng P qua hai điểm M , N cho khoảng cách từ điểm K ; ; đến mặt phẳng P lớn Lời giải Mp P có dạng Ax B y 1 C z Ax By Cz B 2C N 1;1; 3 P A B 3C B 2C A B C P : B C x By Cz B 2C Khi d K , P B B 2C BC + Nếu B d K , P (loại) + Nếu B d K , P C 1 B Dấu " " xảy B C 11 Chọn B 1, C 1 ta có phương trình mặt phẳng P : x y z 2.3.2.3 Mặt phẳng qua điểm M, cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C liên quan đến thể tích Phương pháp giải: Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng qua M, cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B ,C Bước 2: Sử dụng BĐT AM-GM để tìm giá trị nhỏ thể tích tứ diện OABC Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A a ;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c , a , b , c Viết phương trình mặt phẳng ABC qua điểm I 1;2;3 cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ Lời giải x y z Ta có ABC : Do I ABC a b c a b c 1 abc 162 Suy VOABC abc 27 Ta có 3 a b c abc 1 Dấu xảy a 3; b 6; c a b c x y z Vậy ABC : Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M 1;1;1 Mặt phẳng P qua M cắt chiều dương trục Ox , Oy , Oz điểm A , B , C thỏa mãn OA 2OB Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện OABC Lời giải Giả sử A a ;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c với a, b, c x y z 1 Khi mặt phẳng P có dạng Vì P qua M nên a b c a b c 2b 1 c Mặt khác OA 2OB nên a 2b nên 2b c 2b 1 Thể tích khối tứ diện OABC V abc b c b 2c 81 3 9 16b 2c 3 27 Ta có 3 16 2b c 4b 4b c 16b 2c 16b 2c 12 Vmin a 81 1 b 16 4b c c 2.3.2.4 Mặt phẳng cắt mặt cầu S tạo thành đường trịn có bán kính lớn nhỏ Phương pháp giải: Bài toán Mặt phẳng cắt mặt cầu S tạo thành đường trịn có bán kính lớn Xác định tâm I bán kính R mặt cầu S Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo đường trịn có bán kính lớn mặt phẳng P qua tâm I mặt cầu Bài toán Mặt phẳng cắt mặt cầu S tạo thành đường trịn có bán kính nhỏ Xác định tâm I bán kính R mặt cầu S Bán kính đường trịn giao tuyến r R d I , P Để rmin d I , P max 2 Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x y z x y z mặt phẳng P : x y z m Tìm tất m để P cắt S theo giao tuyến đường trịn có bán kính lớn Mặt cầu S có tâm I 1;1; 2 Lời giải Để P cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường trịn có bán kính lớn P qua tâm I mặt cầu S Do I P nên 3. 2 m m 7 Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A mặt cầu S : x y z 1 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm cầu S theo đường trịn có bán kính nhỏ 2 A cắt mặt Lời giải Mặt cầu ( S ) có tâm I 0;2;1 , bán kính R Vì IA nên điểm A nằm mặt cầu 13 Mặt phẳng P qua A cắt mặt cầu S theo đường trịn Bán kính đường trịn giao tuyến r R d I , P Để r nhỏ d I ;( P) lớn d I ;( P ) IA IA ( P) uu r Khi đó: P qua A 1;2;3 , có VTPT IA 1;0;2 nên P có phương trình: 1 x 1 y z 3 x z 2.3.2.5 Góc hai mặt phẳng lớn nhất, nhỏ Phương pháp giải: Bước 1: Xét trường hợp đặc biệt, ví dụ góc hai mặt phẳng đạt GTNN 00 , đạt GTLN 900 , tồn kết luận cho tốn Nếu khơng tồn tại, chuyển sang bước Bước 2: Xác định vectơ hai mặt phẳng tính góc hai mặt phẳng uu r uu r n n uu r uu r A1 A2 B1 B2 C1C2 r uu r công thức: cos , cos n , n uu n n A12 B12 C12 A22 B22 C22 Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức phương pháp khảo sát hàm số để tìm GTLNGTNN giá trị cos , Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng P chứa trục Ox tạo với mặt phẳng Q : x y z góc lớn Lời giải Góc hai mặt phẳng P Q lớn P Q Viết phương trình mặt phẳng P chứa trục Ox vng góc với Q uuur r uuu r r uuur Ta có: i 1;0;0 ; n( Q ) 1; 2;2 n( P ) i ; n(Q) 0; 2; 2 Mặt phẳng P qua gốc tọa độ O nên có phương trình: 2 y z y z Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x y z 0, (Q) : x my (m 1) z 2022 ( m tham số) Xác định phương trình mặt phẳng Q biết Q tạo với P góc nhỏ Lời giải Gọi góc hai mặt phẳng P Q Khi đó: cos 1.1 2.m 2.(m 1) 12 22 (2) 12 m2 ( m 1) 3 2m2 2m 1 2 m 2 14 Góc nhỏ cos lớn m 1 Khi m Q : x y z 2022 2 2.3.2.6 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đạt giá trị lớn nhất; khoảng cách hai đường thẳng song song đạt giá trị lớn Phương pháp giải: Nếu đường thẳng qua điểm M cách điểm A khoảng lớn uuuu r AM Đường thẳng cắt mặt cầu S hai điểm phân biệt A, B cho độ dài đoạn thẳng AB lớn (nhỏ nhất) đường thẳng cách tâm mặt cầu khoảng nhỏ (lớn nhất) Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng a qua M 4; 2; 1 , song song với mặt phẳng ( ) : x y z 12 cách A 2; 5; khoảng lớn nhất? Lời giải r uuuu r AM 6; 7;1 , vectơ pháp tuyến n (3; 4;1) Gọi H hình chiếu vng góc A a d A ; a AH AM 86 d A ; a lớn H M Khi a đường thẳng qua M , song song với vng góc với AM r r u n r r Gọi u vectơ phương a r uuuu u AM r uuuu r r u AM , n 3; 3; 3 3 1;1;1 ur Đường thẳng a qua M 4; 2; 1 có vectơ phương u1 1;1;1 có phương x 4t trình: y 2 t z 1 t x y 1 z điểm 1 A 2;1;2 Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc với d cho khoảng cách d lớn nhất? Lời giải Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : 15 Gọi P mặt phẳng qua A, vng góc với d P : x y z Suy P Gọi I d P I 1;1;1 , H hình chiếu vng góc I lên Ta có d d ; IH IA Dấu xảy H A uu r uu r d có VTCP ud 1;2;1 , IA 1;0;1 r uu r uu r Vậy max d d , IA có VTCP u ud , IA (2;2; 2) ur A 2;1;2 có vectơ phương u1 1;1; 1 có phương trình : Đường thẳng qua x t y 1 t z t Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3;3; 3 , thuộc mặt phẳng : x y z 15 mặt cầu S : x y 3 z 100 Viết phương trình đường thẳng qua A , nằm cắt S hai điểm B ,C cho độ dài BC lớn ? Lời giải Mặt cầu S có tâm I 2;3;5 bán kính R 10 Gọi H hình chiếu I mặt phẳng , Khi đó, BC lớn đường kính đường tròn giao tuyến tâm H BC qua A , H 16 x 2t Phương trình IH qua I vng góc y 2t thay vào z t t 2 H 2;7;3 uuur x3 y3 z 3 Ta có: AH 1;4;6 Vậy phương trình 2.3.2.7 Bài tập áp dụng Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A 1; 2;3 ; B 2;2;4 ; C 3; 3;2 uuur uuur uuur Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (Oxy) cho: MA MB MC ngắn nhất? Câu 2: Cho mặt cầu S : x 1 y z điểm A 3;0;0 , B 4;2;1 Gọi M điểm thuộc S Tính giá trị nhỏ MA MB ? Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1; mặt phẳng P : m 1 x y mz , với m đến mặt phẳng P lớn tham số Tìm m biết khoảng cách từ điểm A Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2;1;1 Viết phương trình mặt phẳng P qua M cắt ba tia Ox , Oy , Oz điểm A , B , C khác gốc O cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ 2 Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng P qua hai điểm A 1;0;1 , B 1;1;2 cắt mặt cầu S theo đường trịn có bán kính lớn Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 2; 2;1 , x 1 y z A 1;2; đường thẳng d : Viết phương trình tham số 2 1 đường thẳng qua điểm M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé Câu 7: (Tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm E 2;1;3 , mặt phẳng P : x y z mặt cầu S : x 3 y z 36 2 Gọi đường thẳng qua E , nằm P cắt S hai điểm có khoảng cách nhỏ Lập phương trình Câu 8: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1;0;2 qua điểm A 0;1;1 Xét điểm B , C , D thuộc S cho AB , AC , AD đơi vng góc với Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD 17 Câu 9: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai 2 điểm A 3; 2;6 , B 0;1;0 mặt cầu S : x 1 y z 3 25 Mặt phẳng P : ax by cz qua A, B cắt S theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T a b c Câu 10: (Đề tham khảo lần 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt 2 phẳng P : x y z mặt cầu S : x y z x y z r uuuu r Giả sử M P N S cho MN phương với vectơ u 1;0;1 khoảng cách M N lớn Tính MN Đáp án: Câu 1: M 2; 1;0 Câu 2: Câu 3: m Câu 4: x y z Câu 5: x y z x 2 s Câu 6: : y 2 , s ¡ z 2s x t Câu 7: y t z Câu 9: T Câu 10: MN 3 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Qua hai năm học 2019 - 2020; 2020 - 2021, giáo viên mơn Tốn trường THPT Bá Thước sau tiếp cận với sáng kiến khơng cịn thấy khó khăn việc giảng dạy cho học sinh dạng tốn này.Về phía học sinh, thời gian đầu tiếp cận mơ hồ dạng toán, nhiên với nổ lực thân hướng dẫn nhiệt tình thầy cô giáo tổ môn, kết thu tích cực, cụ thể sau: * Năm học: 2020 - 2021: Câu 8: Lớp chưa triển khai dạy chi tiết dạng toán Lớp 12A2 12A6 Sĩ số 36 37 Giỏi (%) 2.8 2.7 Khá (%) Trung bình ( %) 10 27.8 25 69.4 10 27.0 25 67.6 Yếu (%) 0.0 00 01 2.7 Lớp triển khai dạy chi tiết dạng toán Lớp 12A1 12A8 Sĩ số 41 37 Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) 12.2 25 61 11 26.8 10.8 17 45.9 16 54.1 Yếu (%) 0.0 0.0 0.0 0.0 18 * Năm học: 2021 - 2022: Lớp chưa triển khai dạy chi tiết dạng toán Lớp 12A3 12A5 Sĩ số 41 38 Giỏi (%) 00 0.0 00 0.0 Khá (%) Trung bình ( %) 21.9 26 63.4 21.1 21 55.3 Lớp triển khai dạy chi tiết dạng toán Lớp Sĩ số Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) 12A1 38 05 13.2 16 42.1 17 44.7 12A9 30 08 26.7 10 33.3 12 40 Yếu (%) 14.6 23.7 Yếu (%) 0 01 3.3 19 Phần KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 3.1 Kết luận Hình học giải tích không gian Oxyz nội dung quan trọng chương trình hình học 12, chiếm tỉ trọng lớn tồn chương trình khối Việc viết lên sáng kiến kinh nghiệm góp phần khơng nhỏ việc làm vững thêm tảng kiến thức giảng dạy giáo viên học tập học sinh, từ làm tăng kĩ giải tốn thực hành tốn học Tuy nhiên khn khổ viết nhỏ nên chưa thể bao quát hết tất dạng tốn cực trị hình học Vì tơi mong đóng góp chân thành từ thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp đọc giả khác Và sau nhận ý kiến đóng góp, tơi tiếp tục hồn thiện phát triển mở rộng đề tài 3.2 Đề xuất 3.2.1 Đối với nhà trường Nhà trường trang bị thêm tài liệu giảng dạy học tập toán Trang bị thêm thiết bị dạy học Tổ chức buổi trao đổi, thảo luận phương pháp dạy học 3.2.2 Đối với Sở Giáo dục đào tạo Thanh Hóa Cấp thêm thiết bị cho trường Tổ chức chuyên đề, hội thảo để giáo viên có điều kiện trao đổi học tập chuyên môn - nghiệp vụ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Bá Thước, ngày 20 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép người khác NGƯỜI VIẾT Nguyễn Bá Hiệp 20 Phần TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa hình học 12 - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) 2 Các đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn năm học 2017, 2018, 2019; 2020; 2021 đề minh họa thi TN THPT mơn Tốn năm 2017, 2018, 2019; 2020; 2021 3 Facebook: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Admin: Nguyễn Văn Quý THPT Chuyên Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh 4 Facebook: TỐN THPT THANH HĨA Admin: Trần Đức Nội - THPT Đơng Sơn 1, tỉnh Thanh Hóa 5 Facebook: Tổ - Strong Team Admin: Nguyễn Việt Hải - THPT Chuyên Quang Trung, tỉnh Bình Phước 6 Nguồn Internet khác 21 ... Qua hai năm học 2019 - 2020; 2020 - 2021, giáo viên mơn Tốn trường THPT Bá Thước sau tiếp cận với sáng kiến khơng cịn thấy khó khăn việc giảng dạy cho học sinh dạng tốn này.Về phía học sinh, thời... tài liệu giảng dạy học tập toán Trang bị thêm thiết bị dạy học Tổ chức buổi trao đổi, thảo luận phương pháp dạy học 3.2.2 Đối với Sở Giáo dục đào tạo Thanh Hóa Cấp thêm thiết bị cho trường Tổ chức... Năm học: 2020 - 2021: Câu 8: Lớp chưa triển khai dạy chi tiết dạng toán Lớp 12A2 12A6 Sĩ số 36 37 Giỏi (%) 2.8 2.7 Khá (%) Trung bình ( %) 10 27.8 25 69.4 10 27.0 25 67.6 Yếu (%) 0.0 00 01 2.7 Lớp