Skkn khai thác, xây dựng và sử dụng kênh hình trong dạy học chương cảm ứng điện từ vật lý lớp 11 ở trường thpt bá thước

Phần MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong kỳ thi THPT Quốc gia trước kì thi TNTHPT, mơn Tốn chuyển từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm việc giải toán khoảng thời gian định, đáp ứng tốn khó giải thi trắc nghiệm “bài tốn thời gian” khơng đơn giản học sinh không học phân loại chi tiết dạng toán, kể dạng thường gặp q trình giải tốn Việc giải nhanh xác 50 câu hỏi thời gian 90 phút áp lực không nhỏ với thí sinh, đơi lúc cần chút bối rối bị “tâm lí phịng thi” làm cho chất lượng thi bị ảnh hưởng Xuất phát từ câu hỏi vậy, mạnh dạn tìm hiểu viết lên sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng tốn cực trị hình học giải tích ” nhằm phân loại chi tiết dạng tốn này, giúp em học sinh bạn đồng nghiệp học tập nghiên cứu dạng toán cách đơn giản 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hướng tiếp cận đơn giản hiệu đến dạng toán Rèn luyện kỹ thực hành, hoạt động nhóm cho học sinh Rèn luyện khả nghiên cứu khoa học cho thân, qua tăng khả xử lí tình giảng dạy đời sống ngày 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Là giáo viên dạy Toán trường THPT Bá Thước, học sinh trường THPT Bá Thước Quá trình dạy học mơn Tốn trường THPT Bá Thước Các phương pháp kỹ thuật dạy học theo hướng phát triển lực, kỹ thực hành vận dụng kiến thức học tập liên hệ thực tiễn mơn Tốn Đối tượng sử dụng đề tài: Học sinh THPT giáo viên dạy mơn Tốn THPT 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Các tài liệu lí luận dạy học, phương pháp kĩ thuật dạy học theo hướng phát triển lực mơn Tốn Nghiên cứu thực trạng dạy học mơn Tốn trường THPT Bá Thước Liệt kê số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ góc khoảng cách hình học giải tích khơng gian Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu sở lí luận việc đổi chương trình giáo dục mơn Tốn Nghiên cứu chương trình chuẩn kiến thức, kĩ năng, mục tiêu chương trình mơn Tốn THPT để xây dựng hệ thống “Bài tốn cực trị hình học giải tích khơng gian ” phát huy tính tích cực, chủ động tư duy, kĩ thực hành cho học sinh nhằm tăng hứng thú, say mê học tập mơn Nghiên cứu q trình dạy học trường THPT Bá Thước skkn Phần NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI BÀI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ trục toạ độ không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ vng góc với đôi chung điểm gốc Gọi vectơ đơn vị, tương ứng trục Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian Chú ý: Toạ độ vectơ 2.1 Định nghĩa: 2.2 Tính chất: Cho      phương       (với Tọa độ điểm 3.1 Định nghĩa: cao độ) Chú ý:   3.2 Tính chất: Cho  ) (x : hồnh độ, y : tung độ, z : skkn   Toạ độ trung điểm  Toạ độ trọng tâm đoạn thẳng tam giác  Toạ độ trọng tâm tứ diện : Tích có hướng hai vectơ 4.1 Định nghĩa: Trong khơng gian Tích có hướng hai vectơ cho hai vectơ , vectơ kí hiệu , xác định Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số 4.2 Tính chất:     phương (chứng minh điểm thẳng hàng) 4.3 Ứng dụng tích có hướng: (Chương trình nâng cao)  Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: đồng phẳng   Diện tích hình bình hành  Diện tích tam giác :  Thể tích khối hộp  Thể tích tứ diện : : : Phương trình mặt cầu 5.1 Định nghĩa: Cho điểm cố định số thực dương điểm không gian cách khoảng gọi mặt cầu tâm , bán kính Kí hiệu: A Tập hợp tất I R B skkn 5.2 Phương trình mặt cầu Dạng 1: Phương trình tắc Mặt cầu (S) có tâm Dạng 2: Phương trình tổng qt , bán kính , có pt Điều kiện để phương trình (2) phương trình mặt cầu: (S) có tâm (S) có bán kính 5.3 Vị trí tương đối điểm mặt cầu Cho mặt cầu điểm đó:  nằm ngồi mặt cầu  nằm mặt cầu  nằm mặt cầu 5.4 Vị trí tương đối hai mặt cầu Cho hai mặt cầu Khi  Nếu hai mặt cầu cắt  Nếu hai mặt cầu tiếp xúc với nhau:  Hai mặt cầu tiếp xúc với  Hai mặt cầu tiếp xúc với  Nếu hai mặt cầu khơng giao nhau:  Hai mặt cầu ngồi  Hai mặt cầu lồng  Hai mặt cầu đồng tâm BÀI : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến mặt phẳng  Vectơ vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  Chú ý: giá skkn  Nếu VTPT mặt phẳng VTPT mặt phẳng  Một mặt phẳng xác định biết điểm mà mặt phẳng qua VTPT mặt phẳng  Nếu khơng phương, có giá song song nằm mặt phẳng VTPT Phương trình tổng quát mặt phẳng  Trong không gian , mặt phẳng có dạng phương trình: với  Nếu mặt phẳng có phương trình có VTPT  Phương trình mặt phẳng qua điểm khác VTPT là:  Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng  Nếu mặt phẳng  Nếu  Nếu  Nếu nhận vectơ : qua gốc tọa độ mặt phẳng mặt phẳng mặt phẳng với song song chứa trục song song chứa trục song song chứa trục  Nếu mặt phẳng song song trùng với  Nếu mặt phẳng song song trùng với  Nếu mặt phẳng song song trùng với skkn Chú ý:  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Ở trục tọa độ điểm , , với Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trong không gian , cho điểm Khi khoảng cách từ điểm cắt mặt phẳng đến mặt phẳng tính cơng thức: Góc hai mặt phẳng Trong khơng gian , cho hai mặt phẳng Góc và bù với góc hai VTPT Tức là: BÀI : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình đường thẳng:  Cho đường thẳng qua điểm nhận vectơ làm vectơ phương Khi  Cho đường thẳng qua điểm cho làm vectơ phương Khi với có phương trình tham số : nhận vectơ có phương trình tắc : skkn Góc 2.1 Góc hai đường thẳng: có vectơ phương ; có vectơ phương Gọi góc hai đường thẳng Ta có: 2.2 Góc đường thẳng mặt phẳng: có vectơ phương ; có vectơ phương Gọi góc hai đường thẳng Khoảng cách: 3.1 Khoảng cách từ điểm qua điểm Ta có: đến đường thẳng có vectơ phương : , 3.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: qua điểm có vectơ phương ; qua điểm phương ; có vectơ Vị trí tương đối: 4.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho đường thẳng: qua + + , có VTCP ; qua , có VTCP trùng skkn + cắt + chéo 4.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng: mp Xét hệ phương trình:  (*) có nghiệm   (*) vơ nghiệm  cắt //  (*) vô số nghiệm   4.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho mặt cầu có tâm , bán kính Để xét vị trí tương đối  Nếu và đường thẳng ta tính so sánh với bán kính khơng cắt  Nếu tiếp xúc với  Nếu cắt hai điểm phân biệt 2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Với lượng kiến thức trên, việc tiếp thu ghi nhớ khơng q khó với học sinh Nhưng vấn đề đặt vận dụng kiến thức việc giải toán? Đặc biệt toán liên quan đến cực trị khơng phải lúc dễ dàng Để giúp bạn đọc có nhìn tổng qt số dạng tốn hình học liên quan đến giá trị lớn – nhỏ nhất, sau xin nêu vài dạng để tìm hiểu xây dựng 2.3 CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 2.3.1 Giải pháp chung Từ vấn đề nêu ta thấy, việc giải tốn hình học liên quan đến giá trị lớn – nhỏ giải trực tiếp phương pháp hình học chuyển sang tốn khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn – nhỏ biểu thức liên quan Ở đây, chìa khóa tốn việc học sinh tìm hiểu định lựa chọn phương pháp cho phù hợp với dạng skkn tốn vơ quan trọng Sau tơi xin giới thiệu số dạng tốn ví dụ mẫu để bạn đọc hình thành phương pháp 2.3.2 Phân loại dạng tốn 2.3.2.1 Tìm điểm thuộc mặt phẳng cho hệ thức liên quan độ dài đoạn thẳng véctơ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ  Bài toán Cho điểm , , mặt phẳng Tìm cho đạt giá trị nhỏ Phương pháp giải : Bước 1: Tìm điểm thoả mãn: Bước 2: Phân tích Bước 3: hình chiếu đạt giá trị nhỏ đạt giá trị nhỏ  Bài toán Cho điểm , , mặt phẳng Tìm cho đạt giá trị nhỏ giá trị lớn Phương pháp giải : Bước 1: Tìm điểm thoả Bước 2: Phân tích Bước 2: đạt giá trị nhỏ lớn đạt giá trị nhỏ hình chiếu  Bài toán Cho điểm , mặt phẳng Tìm cho đạt giá trị nhỏ Phương pháp giải: Bước 1: Xét vị trí tương đối điểm , với mặt phẳng Bước 2: Nếu , khác phía nên đạt giá trị nhỏ Nếu , phía ta tìm đối xứng qua Khi ta có nên đạt giá trị nhỏ Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ cho điểm Tìm tọa độ điểm trục cho có giá trị nhỏ Lời giải skkn Gọi điểm thỏa: Khi = nhỏ hình chiếu vng góc lên trục hay Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho ba điểm điểm biểu thức Gọi thuộc mặt cầu đạt giá trị nhỏ Lời giải trọng tâm tam giác Ta có , , Tính độ đài đoạn Khi đó: Do ngắn Ta lại có, mặt cầu có bán kính tâm thuộc trục , Mà nên ngắn Do Vậy Ví dụ 3: Trong khơng gian , cho điểm , điểm di động mặt phẳng Tính giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Vì nên hai điểm nằm phía với mặt phẳng Gọi điểm đối xứng với qua mặt phẳng qua Khi đó: Dấu xảy 2.3.2.2 Mặt phẳng qua điểm cách khoảng lớn  Bài toán Cho hai điểm phân biệt Viết phương trình mặt phẳng qua cách khoảng lớn Phương pháp giải: Gọi hình chiếu vng góc lên mặt phẳng , tam giác vng lớn vng góc với khoảng cách , Vậy mặt phẳng qua 10 skkn B α Ví dụ 1: Trong khơng gian phương trình mặt phẳng phẳng lớn , cho hai điểm , qua điểm cho khoảng cách từ Lời giải Do khoảng cách từ điểm Ta có xảy phẳng qua A H đến mặt phẳng Như mặt phẳng vng góc với Viết đến mặt lớn cần tìm mặt Ta có véctơ pháp tuyến Vậy phương trình mặt phẳng : hay Ví dụ 2: Trong khơng gian phương trình mặt phẳng đến mặt phẳng Mp , cho hai điểm qua hai điểm , lớn Lời giải Viết cho khoảng cách từ điểm có dạng Khi + Nếu + Nếu Dấu xảy (loại) 11 skkn Chọn ta có phương trình mặt phẳng 2.3.2.3 Mặt phẳng qua điểm M, cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C liên quan đến thể tích Phương pháp giải: Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng qua M, cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B ,C Bước 2: Sử dụng BĐT AM-GM để tìm giá trị nhỏ thể tích tứ diện OABC Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , , , , , Viết phương trình mặt phẳng qua điểm cho thể tích khối tứ diện đạt giá trị nhỏ Lời giải Ta có Do Ta có Suy Dấu xảy Vậy Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ , cho điểm Mặt phẳng qua cắt chiều dương trục , , điểm , thỏa mãn Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện Lời giải Giả sử , , với Khi mặt phẳng Mặt khác Thể tích khối tứ diện có dạng nên Vì qua nên nên , Ta có 12 skkn 2.3.2.4 Mặt phẳng cắt mặt cầu tạo thành đường tròn có bán kính lớn nhỏ Phương pháp giải:  Bài toán Mặt phẳng cắt mặt cầu tạo thành đường trịn có bán kính lớn  Xác định tâm bán kính  Mặt phẳng cắt mặt cầu mặt phẳng qua tâm theo đường trịn có bán kính lớn mặt cầu  Bài toán Mặt phẳng nhỏ  Xác định tâm mặt cầu cắt mặt cầu bán kính tạo thành đường trịn có bán kính mặt cầu  Bán kính đường trịn giao tuyến  Để Ví dụ 1: Trong khơng gian , cho mặt cầu mặt phẳng Tìm tất m để tuyến đường trịn có bán kính lớn cắt theo giao Lời giải Mặt cầu Để có tâm cắt mặt cầu qua tâm Do theo giao tuyến đường trịn có bán kính lớn mặt cầu nên Ví dụ 2: Trong không gian cho điểm mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng qua điểm cầu cắt mặt theo đường trịn có bán kính nhỏ Lời giải 13 skkn Mặt cầu có tâm mặt cầu Mặt phẳng qua , bán kính Vì cắt mặt cầu nên điểm nằm theo đường trịn Bán kính đường trịn giao tuyến Để nhỏ Khi đó: lớn qua , có VTPT nên có phương trình: 2.3.2.5 Góc hai mặt phẳng lớn nhất, nhỏ Phương pháp giải: Bước 1: Xét trường hợp đặc biệt, ví dụ góc hai mặt phẳng đạt GTNN , đạt GTLN , tồn kết luận cho tốn Nếu khơng tồn tại, chuyển sang bước Bước 2: Xác định vectơ hai mặt phẳng tính góc hai mặt phẳng cơng thức: Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức phương pháp khảo sát hàm số để tìm GTLNGTNN giá trị Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ chứa trục tạo với mặt phẳng Góc hai mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng , viết phương trình mặt phẳng góc lớn Lời giải lớn chứa trục vng góc với Ta có: Mặt phẳng qua gốc tọa độ O nên có phương trình: Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ phương trình mặt phẳng biết Gọi góc hai mặt phẳng Khi đó: tạo với Lời giải , cho hai mặt phẳng ( tham số) Xác định góc nhỏ 14 skkn Góc Khi nhỏ lớn 2.3.2.6 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đạt giá trị lớn nhất; khoảng cách hai đường thẳng song song đạt giá trị lớn Phương pháp giải:  Nếu đường thẳng qua điểm cách điểm khoảng lớn  Đường thẳng cắt mặt cầu hai điểm phân biệt cho độ dài đoạn thẳng lớn (nhỏ nhất) đường thẳng cách tâm mặt cầu khoảng nhỏ (lớn nhất) Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng qua , song song với mặt phẳng cách khoảng lớn nhất? Lời giải , vectơ pháp tuyến Gọi hình chiếu vng góc lớn Khi Gọi đường thẳng qua , song song với vuông góc với vectơ phương Đường thẳng qua có vectơ phương có phương trình: 15 skkn Ví dụ 2: Trong khơng gian cho đường thẳng Viết phương trình đường thẳng qua khoảng cách lớn nhất? Lời giải Gọi mặt phẳng qua Gọi Ta có điểm vng góc với vng góc với Suy hình chiếu vng góc Dấu xảy có VTCP lên , Vậy Đường thẳng cho qua có VTCP có vectơ phương có phương trình : Ví dụ 3: Trong khơng gian , cho điểm mặt cầu phương trình đường thẳng qua cho độ dài lớn ? , nằm , thuộc mặt phẳng Viết cắt hai điểm , Lời giải Mặt cầu Gọi có tâm hình chiếu bán kính mặt phẳng , 16 skkn Khi đó, qua , lớn đường kính đường trịn giao tuyến tâm Phương trình qua vng góc Ta có: thay vào Vậy phương trình 2.3.2.7 Bài tập áp dụng Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (Oxy) cho: ngắn nhất? Câu 2: Cho mặt cầu Gọi điểm điểm thuộc Tính giá trị nhỏ Câu 3: Trong không gian đến mặt phẳng , ? , cho điểm mặt phẳng , với tham số Tìm biết khoảng cách từ điểm lớn Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm Viết phương trình mặt phẳng qua cắt ba tia , , điểm khác gốc cho thể tích khối tứ diện nhỏ Câu 5: Trong không gian , cho mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng cầu qua hai điểm , , , cắt mặt theo đường tròn có bán kính lớn Câu 6: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ đường thẳng đường thẳng qua điểm khoảng bé , cho hai điểm Viết phương trình tham số , vng góc với đường thẳng Câu 7: (Tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian mặt phẳng , đồng thời cách điểm , cho điểm mặt cầu Gọi đường thẳng qua , nằm cách nhỏ Lập phương trình , cắt hai điểm có khoảng Câu 8: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong khơng gian có tâm qua điểm Xét điểm , , cho mặt cầu , thuộc 17 skkn cho , khối tứ diện , đôi vng góc với Tìm giá trị lớn thể tích Câu 9: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ tọa độ điểm mặt cầu phẳng có bán kính nhỏ Tính qua cắt , cho hai Mặt theo giao tuyến đường tròn Câu 10: (Đề tham khảo lần 2017) Trong không gian với hệ tọa độ phẳng mặt cầu Giả sử cách Đáp án: Câu 1: Câu 4: và cho lớn Tính phương với vectơ Câu 2: cho mặt khoảng Câu 3: Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: Câu 9: Câu 10: 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Qua hai năm học 2019 - 2020; 2020 - 2021, giáo viên mơn Tốn trường THPT Bá Thước sau tiếp cận với sáng kiến khơng cịn thấy khó khăn việc giảng dạy cho học sinh dạng tốn này.Về phía học sinh, thời gian đầu tiếp cận mơ hồ dạng toán, nhiên với nổ lực thân hướng dẫn nhiệt tình thầy cô giáo tổ môn, kết thu tích cực, cụ thể sau: * Năm học: 2020 - 2021: Lớp chưa triển khai dạy chi tiết dạng toán Lớp 12A2 12A6 Sĩ số 36 37 Giỏi (%) 2.8 2.7 Khá (%) Trung bình ( %) 10 27.8 25 69.4 10 27.0 25 67.6 Yếu (%) 0.0 00 01 2.7 Lớp triển khai dạy chi tiết dạng toán Lớp 12A1 12A8 Sĩ số 41 37 Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) 12.2 25 61 11 26.8 10.8 17 45.9 16 54.1 Yếu (%) 0.0 0.0 0.0 0.0 18 skkn * Năm học: 2021 - 2022: Lớp chưa triển khai dạy chi tiết dạng toán Lớp 12A3 12A5 Sĩ số 41 38 Giỏi (%) 00 0.0 00 0.0 Khá (%) Trung bình ( %) Yếu (%) 21.9 26 63.4 14.6 21.1 21 55.3 23.7 Lớp triển khai dạy chi tiết dạng toán Lớp Sĩ số Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) 12A1 38 05 13.2 16 42.1 17 44.7 12A9 30 08 26.7 10 33.3 12 40 Yếu (%) 0 01 3.3 19 skkn Phần KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 3.1 Kết luận Hình học giải tích khơng gian nội dung quan trọng chương trình hình học 12, chiếm tỉ trọng lớn tồn chương trình khối Việc viết lên sáng kiến kinh nghiệm góp phần khơng nhỏ việc làm vững thêm tảng kiến thức giảng dạy giáo viên học tập học sinh, từ làm tăng kĩ giải toán thực hành toán học Tuy nhiên khn khổ viết cịn nhỏ nên chưa thể bao quát hết tất dạng tốn cực trị hình học Vì tơi mong đóng góp chân thành từ thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp đọc giả khác Và sau nhận ý kiến đóng góp, tơi tiếp tục hồn thiện phát triển mở rộng đề tài 3.2 Đề xuất 3.2.1 Đối với nhà trường Nhà trường trang bị thêm tài liệu giảng dạy học tập toán Trang bị thêm thiết bị dạy học Tổ chức buổi trao đổi, thảo luận phương pháp dạy học 3.2.2 Đối với Sở Giáo dục đào tạo Thanh Hóa Cấp thêm thiết bị cho trường Tổ chức chuyên đề, hội thảo để giáo viên có điều kiện trao đổi học tập chuyên môn - nghiệp vụ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Bá Thước, ngày 20 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép người khác NGƯỜI VIẾT Nguyễn Bá Hiệp 20 skkn Phần TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học 12 - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) Các đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn năm học 2017, 2018, 2019; 2020; 2021 đề minh họa thi TN THPT môn Toán năm 2017, 2018, 2019; 2020; 2021 .Facebook: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Admin: Nguyễn Văn Quý THPT Chuyên Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh Facebook: TỐN THPT THANH HĨA Admin: Trần Đức Nội - THPT Đông Sơn 1, tỉnh Thanh Hóa Facebook: Tổ - Strong Team Admin: Nguyễn Việt Hải - THPT Chuyên Quang Trung, tỉnh Bình Phước Nguồn Internet khác 21 skkn ... vài dạng để tìm hiểu xây dựng 2.3 CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 2.3.1 Giải pháp chung Từ vấn đề nêu ta thấy, việc giải tốn hình học liên quan đến giá trị lớn – nhỏ giải trực tiếp phương pháp hình học. .. Qua hai năm học 2019 - 2020; 2020 - 2021, giáo viên mơn Tốn trường THPT Bá Thước sau tiếp cận với sáng kiến khơng cịn thấy khó khăn việc giảng dạy cho học sinh dạng tốn này.Về phía học sinh, thời... 12 40 Yếu (%) 0 01 3.3 19 skkn Phần KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 3.1 Kết luận Hình học giải tích không gian nội dung quan trọng chương trình hình học 12, chiếm tỉ trọng lớn tồn chương trình khối Việc viết