(SKKN 2022) CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA    - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Họ tên: Lê Thị Lam Chức vụ :Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực mơn: Tốn PHẦN 1: MỞ ĐẦU PHẦN 2: NỘI DUNG .3 Lời giải sai lầm tìm cực trị Ví dụ 1: Cho hàm số y=+mx Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x=0 .9 Phân tích sai lầm Lời giải PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 17 PHẦN 1: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài : Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy em học sinh lớp 12 trường hay gặp sai lầm giải toán khảo sát hàm số ứng dụng đạo hàm Những sai lầm em khơng tự khắc phục khơng có hướng dẫn thầy giáo Nhất kỳ thi, kỳ thi tuyển sinh đại học, tốt nghiệp trung học phổ thơng hay chí kiểm tra học kỳ Dựa thực trạng học sinh kinh nghiệm mà tơi tích góp từ nhiều năm dạy Tơi thực đề tài để góp thêm phần kinh nghiệm nhỏ công tác giảng dạy Nhằm giúp học sinh tránh sai sót, nắm kiến thức đạo hàm, có kỹ ứng dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến khảo sát hàm số lí tơi chọn đề tài " “Các sai lầm thường gặp học sinh khảo sát hàm số giải tốn ứng dụng đạo hàm’’ II Mục đích nghiên cứu -Góp phần đổi phương pháp dạy học mơn tốn nói chung mơn Giải tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo - Gây hứng thú học tập mơn tốn cho học sinh, khơng giúp học sinh lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học mà giúp em củng cố khắc sâu tri thức Chỉ cho học sinh thấy sai lầm thường mắc phải Qua học sinh hiểu chất vấn đề -Chia sẻ kinh nghiệm giảng dạy với đồng nghiệp, góp phần trau dồi trình độ chun mơn phương pháp giảng dạy thân III Nhiệm vụ nghiên cứu -Tìm hiểu thực trạng học sinh lớp 12 - Đánh giá thực tế q trình vận dụng giải tập tốn lên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, toán liên quan (Chương trình Giải tích 12 – Ban bản) để có giải tốn hồn chỉnh xác IV Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 12, sách hướng dẫn giáo viên Sách tham khảo, báo, tạp chí giáo dục Các toán liên quan đến đạo hàm ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - Chương I, giải tích lớp 12 Đối tượng Học sinh lớp phụ trách 12 C8 (tổng số học sinh 35) trường THPT Thiệu Hóa năm học 2021– 2022 kinh nghiệm số năm học trước V Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo Nghiên cứu thực tế - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài Phương pháp điều tra Phương pháp đối chứng PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ PHÁP LÝ CỦA ĐỀ TÀI I Cơ sở lý luận Vị trí mơn Tốn nhà trường Mơn tốn mơn học khác cung cấp tri thức khoa học, nhận thức giới xung quanh nhằm phát triển lực nhận thức, hoạt động tư bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp người Ở trường THPT tốn mơn độc lập, chiếm phần lớn thời gian chương trình học học sinh Nó mơn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên người, có khả giáo dục lớn việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lơgíc, thao tác tư cần thiết để người phát triển tồn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động thời đại Đặc điểm tâm sinh lý học sinh THPT Hiếu động, ham hiểu biết mới, thích tự tìm tòi, sáng tạo nên dạy học giáo viên phải lọc đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh Các em Học sinh THPT có trí thơng minh nhạy bén sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú Đó tiền đề tốt cho việc phát triển tư toán học dễ bị phân tán, rối trí bị áp đặt, căng thẳng, tài, chưa cẩn thận giải toán dẫn đế thường mắc sai lầm Chính nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi điều xem nhẹ Nhu cầu đổi phương pháp dạy học Muốn học có hiệu địi hỏi người giáo viên phải đổi phương pháp dạy học tức kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, sở hoạt động em Kiểu dạy người giáo viên phải thật người “đạo diễn” đầy nghệ thuật, người định hướng, tổ chức tình học tập kích thích óc tị mị tư độc lập, phải biết thiết kế giảng cho hợp lý, gọn nhẹ II Cơ sở thực tiễn Sai sót thường gặp giải tốn Sai sót tốn xét tính đơn điệu hàm số, Sai sót tốn chứng minh bất đẳng thức, khơng nhớ xác tính đơn điệu hàm số để vận dụng vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến Sai sót việc giải toán liên quan tới đạo hàm, vận dụng sai cơng thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực Sai sót việc giải tốn liên quan tới cực trị hàm số, vận dụng sai điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng (a;b) Sai sót việc giải tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D, chuyển đổi tốn khơng tương đương Sai sót việc giải tốn viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) hàm số Sai sót vẽ đồ thị hàm số, xác hóa đồ thị hàm số II Cơ sở pháp lý - Dựa khái niệm, định nghĩa, định lý học chương I "ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số " Dựa khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới trình giải tập ứng dụng đạo hàm - Dựa kết đắn chân lý hiển nhiên hay chứng minh, thừa nhận CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Trong thực tế, học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải khó khăn sau: - Khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số khoảng, không hiểu xác định nghĩa điểm tới hạn hàm số - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0 - Không nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số - Không nắm vững chất khác tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ qua điểm đến đồ thị hàm số cho CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI I Biện pháp thực Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt (Giải pháp khắc phục) Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, trước tiên, giáo viên cần bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt Cụ thể, cần phân tích, mổ xẻ khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí đó; Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí; so sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng; sai lầm mà học sinh dễ mắc phải Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: phương pháp giải toán Đổi phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm) Việc đổi phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm) vô quan trọng Người thầy cần sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hồn cảnh thực tế Từ đó, tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, có điều kiện sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới giảng Đổi phương pháp kiểm tra, đánh giá - Kết hợp tự luận trắc nghiệm khách quan với mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng – vận dụng mức độ cao - Giáo viên đánh giá học sinh - Học sinh đánh giá học sinh Giáo viên đổi phương pháp dạy học, hình thức dạy học cho phù hợp với loại đối tượng học sinh, cho học sinh sai làm thường mắc phải giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, số toán liên quan Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập Phân loại tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức Phân dạng tập phương pháp giải - Đưa tập tương tự, tập nâng cao - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết mới, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo II Nghiên cứu thực tế, phân tích sai sót thơng qua số ví dụ Sai sót hướng khắc phục vẽ đồ thị + Đối với hàm số bậc ba, có hai cực trị khơng có cực trị Hơn hàm số bậc ba khơng có cực trị bảng biến thiên hồn tồn đồng biến nghịch biến Có thể đồ thị hàm số loại khơng đẹp, lại lạ so với hầu hết Do mà cần phân biệt cẩn thận + Đối với hàm số bậc bốn có ba cực trị có cực trị ln ln có cực trị nằm trục tung Khi hàm số bậc bốn có cực trị đồ thị trở thành Parabol Dĩ nhiên lạ so với hầu hết + Đối với hàm số phân thức khơng có cực trị mà thêm vào quan trọng tiệm cận Và hàm số đồng biến nghịch biến khoảng xác định Khi vẽ đồ thị em tuyệt đối khơng để đồ thị cắt đường tiệm cận mà áp sát mà Đối với dáng đồ thị hàm số phải có dáng trùng với dáng mũi tên bảng biến thiên Bởi toán khảo sát hàm số tất có mối liên hệ chặt chẽ với Nó thực hữu ích biết để tự kiểm tra xem có hay khơng Điều đơi ngược lại phải xem sai chổ nảo Khơng tô đồ thi thành nhiều đường, phép vẽ đường Học sinh bỏ qua việc tìm thêm điểm đặc biệt lân cận điểm cực trị, điểm vơ định Khơng tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ, lúc tìm giao điểm với trục Ox dễ dàng Vẽ gấp khúc vẽ đồ thi cắt tiệm cận Lưu ý khơng tìm giao điểm với Ox, cần lấy thêm vài giá trị x để xác hóa điểm đồ thị qua Sai sót xét tính đơn điệu hàm số Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu hàm số học sinh quên điều kiện đủ điều kiện cần Quy tắc:  y ' > , " x Ỵ (a; b) Þ hàm số đồng biến khoảng (a;b)  y ' < , " x ẻ (a; b) ị hàm số nghịch biến khoảng (a;b) Điều ngược lại nói chung khơng Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x - mx + x - đồng biến ¡ Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = ¡ y ' = 3x2 - 2mx + Hàm số đồng biến ¡ ìï a > >0 ïì Û y ' > , " x Ỵ ¡ Û ïí Û ïí ïïỵ D ' < ïïỵ m - < Û - 0, ∀x ∈ D Hàm số đồng biến (- ¥ ;- 1) È (- 1; +¥ ) Phân tích: Lời giải đúng, ta không ý đến kết luận toán Chú ý rằng: hàm số y = f(x) đồng biến tập D với x1, x2 thuộc D, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Trong kết luận toán, ta lấy x1 =- 2 Ỵ D x = 0 Ỵ D x1 < x2 f(x1) = > - = f(x2) Lời giải đúng: Tập xác định: D = ¡ \ { - 1} y' = > 0, ∀x ∈ D Hàm số đồng biến khoảng (- ¥ ;- 1) (x + 1) (- 1; +¥ ) * Nhiều em khơng ý đến điểm tới hạn hàm số, việc xét dấu đạo hàm y' bị sai Ví dụ 3: Xét tính đơn điệu hàm số: y = f (x) = − x + x − Học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = [- 2; 2] ⇔ 4−x = x ⇔ 4−x = x 2 Ta x y ' = 1− có: 4−x ; y ' = ⇔ 1− x − x2 =0 x = − ⇔  x = Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) giữ nguyên dấu, f '(0) > nên ta có bảng biến thiên sau: -2 x y' - - + -3 Y 2 - 2- -1 Suy ra: hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) nghịch biến khoảng 2) ( 2; 2) (- 2; - Phân tích: Nếu để ý bảng biến thiên ta thấy điều vô lý đoạn é- 2; ê ë 2ù ú û giá trị hàm số giảm từ –3 xuống – Thực - điểm tới hạn hàm số Lời giải đúng: Tập xác định: D = [- 2; 2] y ' = ⇔ 1− Ta có: y ' = − x − x2 x ≥ = ⇔ − x2 = x ⇔  2 4−x 4 − x = x x ⇔x= Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) giữ nguyên dấu, f '(0) > nên ta có bảng biến thiên sau: x y' Y -2 2 + - 2- -3 Suy ra: hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) nghịch biến khoảng ( 2; 2) Lời giải sai lầm tìm cực trị Ví dụ 1: Cho hàm số y= x +mx Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x=0 Khi gặp toán dạng nhiều bạn học sinh thực cách giải sau: TXĐ: D=R y′=4 x +m; y′′=12 x Hàm số đạt cực tiểu x=0 {y′(0)=0, y′′(0)>0 (∗) Bạn tính được: y′(0) = 0⇔4.0+m=0⇔m=0, y′′(0)=0 Bạn thấy điều kiện (2) khơng thỏa mãn hệ (∗) y′′(0)=0 yêu cầu hệ y′′(0)>0 Kết luận: Vậy hàm số khơng có cực tiểu x=0 Nhưng thực chất m=0 hàm số có cực tiểu x=0 Phân tích sai lầm Trong lời giải bạn học sinh sử dụng tính chất này: x=0 điểm cực tiểu suy {y′(0)=0y′′(0)>0 coi (Đây hệ (*) mà bạn lập trên)Bạn sai chỗ, bạn thừa nhận mệnh đề: "Hàm số có điểm cực tiểu x=x0 {y′(x0)=0y′′(x0)>0 "Định lý thứ hai không sử dụng "khi chi" mà sử dụng "nếu thì" mệnh đề Tức mệnh đề với chiều thuận, ngược lại tức "mệnh đề đảo" khơng khẳng định Theo bạn học sinh hiển nhiên coi mệnh đề đảo mệnh đề áp dụng bình thường Chính mà dẫn tới sai lầm đáng tiếc tìm điều kiện tham số m toán cực trị Vậy đưa khẳng định sau: Không sử dụng mệnh đề sau (mệnh đề đảo mệnh đề 2) vào tìm cực trị Nếu x0 điểm cực đại {y′( x0 )=0, y′′( x0 )>0 Nếu x0 điểm cực tiểu {y′( x0 )=0, y′′( x0 ) y′(0)=0⇔4.0+m=0⇔m=0 Bước 3: Với m=0 ta có y′=4x3;y′=0⇔x=0 Với x=0⇒y=0 Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu x=0; y(ct)=0 Kết luận: Vậy với m=0 hàm số đạt cực tiểu x=0 Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị hàm số, nhiều học sinh quên điều kiện đủ khơng phải điều kiện cần ìï f '(x ) = ìï f '(x ) = 0 Þ x điểm cực tiểu + ïí Þ x điểm cực đại Quy tắc: + ïíï ïïỵ f ''(x ) < ïỵ f ''(x ) > Điều ngược lại nói chung khơng Do tìm điểm x , cần thử lại Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x = ? Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx ìï 4.03 +3m.0 = ìïï f '(0) = Û ïí Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x = là: íï ïï 12m.02 + 6m.0 > f ''(0) > ïỵ ỵ hệ vô nghiệm m Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = Lời giải đúng: Xét trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0) + m = 0: Ta có y = x4 + có y ' = 4x3 , y ' = Û x = Bảng biến thiên: x y' Y - ¥ +¥ +¥ - + +¥ Suy hàm số đạt cực tiểu x = 10 + m > 0: Ta có y ' = x 2(4x + 3m) , y ' = Û x = x = - 3m Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = + m < 0: Ta có y ' = x 2(4x + 3m), y ' = Û x = x = - 3m Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = Sai sót chứng minh bất đẳng thức *Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm khơng nhớ xác định nghĩa tính đơn điệu hàm số để vận dụng Ví dụ1: (Bài5/10,SGK 12 CB) Chứng minh rằng: tanx > x, với " x ẻ ổ pử ỗ 0; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ Mt s hc sinh trỡnh by sau: ỉ pư ÷ ÷ Xét hàm số f(x) = tanx - x, vi x ẻ ỗỗỗố0; ứ 2ữ Ta có: f '(x) = khoảng - = tan x > , " x Ỵ cos x ổ pử ỗ 0; ữ ữ ỗ ữ, suy hm s f(x) ng bin ỗ ố 2ứ ổ pử ỗ ữ ỗ ỗ0; ữ ữ è ø Từ x > Þ f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - hay tanx > x, vi " x ẻ ổ pử ỗ 0; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ Phõn tớch: Li giải đúng, sai lầm khó để phát khơng chặt chẽ Sau kết luận f(x) đồng biến khoảng ỉ pư ç 0; ÷ ç ÷thì ç è 2÷ ứ ổ pử 0; ữ t x > ị f(x) > f(0) Sai lầm Ï ç ç ÷ ç è 2÷ ø Nhớ rằng: f(x) đồng biến đoạn [ a; b ] (tức f(x) liên tục [ a; b ] f '(x)> với " x Ỵ ( a; b) ) với " x1 , x Ỵ [ a; b ] , x1 > x Þ f (x1 ) > f (x ) é pö 0; ÷ Lời giải đúng: Xét hàm số f(x) = tanx - x, vi x ẻ ữ ứ 2÷ 11 Ta có: f '(x) = - = tan x ³ , " x Ỵ cos x é pư ê0; ÷ ÷ ÷, dấu "=" xảy x = 0, suy ê ë 2ø é pư 0; ÷ hàm số f(x) đồng biến nửa khoảng ê ÷ ê ÷ ø ë Từ x > Þ f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - hay tanx > x, vi " x ẻ ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ ỗ ố 2ữ ứ * Cỏc em hay mắc sai lầm vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến Ví dụ 2: Chứng minh với " x Ỵ ¡ , x > - x.e x >- e Một số học sinh trình bày sau: Xét hàm số f(x) = x, g(x) = e x hàm đồng biến ¡ Suy hàm số h(x) = x.ex tích hai hàm đồng biến nên đồng biến ¡ Suy ra, từ x > - Þ f(x) > f(-1) hay x.e x >- e Phân tích: Lời giải sai lầm chỗ: tích hai hàm đồng biến hàm đồng biến hai hàm dương (!) Lời giải đúng: Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1) ³ , " x ³ - , dấu "=" xảy x= -1 Suy ra, hàm số đồng biến nửa khoảng [- 1; +¥ ) Từ x > - Þ f(x) > f(-1) hay x.e x >- e Sai sót giải tốn liên quan tới đạo hàm * Sai lầm vận dụng công thức tính đạo hàm Ví dụ 1: Tính đạo hàm hàm số y = (2x+1)x Học sinh trình bày sau: Ta có y' = x(2x +1) x- (2x +1) ' = 2x.(2x +1) x- Phân tích: a a- Lời giải vận dụng công thức ( u ) ' = a.u u ' Vận dụng sai, cơng thức áp dụng cho số mũ a số Lời giải đúng: 12 Điều kiện: x >- , x ¹ (khi y > 0) Từ = Þ y Þ (ln y) ' = ( x.ln(2x +1)) ' Þ ln y = x.ln(2x +1) (2x+1)x y' 2x = ln(2x +1) + y 2x +1 é 2x ù ú Þ y ' = (2x +1) x êln(2x +1) + ê 2x +1 ú ë û * Sai lầm tính đạo hàm hàm số điểm a a- Các em hay mắc phải sai lầm dạng áp dụng công thức ( u ) ' = a.u u ' , a Ỵ ¡ , qn a khơng ngun cơng thức u nhận giá trị dương Ví dụ 2: Cho hàm số y = x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = - Một số học sinh trình bày sau: Với x = - ta có y = (- 1) = 2 - Ta có y = x suy y ' = x y '(-1) = 2 2 -1 2ù = = (- 1) = (- 1) = é ( 1) ú ë û 3 3ê 3 3 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (x +1) +1 hay y = x + Phân tích: Sai sót em không ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương Vì vậy, viết (- 1)- không (!) Lời giải đúng: Với x = - ta có y = (- 1) =1 2x 2 Ta có y3 = x2 Þ (y3)'= (x2)' Þ 3.y2 y ' = 2x Þ y ' = 3y = Þ y '(-1) = x Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =- 2 (x +1) +1 hay y =- x + 3 Sai sót giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số 13 * Các em thường mắc sai lầm không nắm vững định nghĩa giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số miền D Ví dụ cos x + : Tìm giá trị nhỏ hàm số y = f(x) = ổ 1 ữ + 2ỗ cosx + ữ ỗ ữ- ỗ ố cos x cosx ø Một số học sinh trình bày sau: Đặt t = cosx + 1 Þ cos x + = t2 - cosx cos x Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - = (t+1)2 - ³ - 4, " t Ỵ ¡ Vậy f (x) =- , t = - Phân tích: Sai lầm chuyển tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ hàm g(t), " t Ỵ ¡ Có thể thấy t = - khơng tồn giá trị x để cosx + = - cosx f(x) ≥ m , ∀x ∈ D f(x) ⇔  Nhớ rằng, số m= D ∃x0 ∈ D : f(x0 ) = m Lời giải đúng: Đặt t = cosx + Þ t = cosx + , với x Ỵ D = ¡ cosx ïì p ïü \ í + kp , k ẻ Âý ùợù ùùỵ 1 = cosx + ³ Dấu "=" xảy cosx = cosx cosx Khi đó: cos x + = t - 2.     Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - cos x Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t ³ ): t - ¥ g '(t) -2 - - -1 +¥ + + +¥ +¥ G(t) -3 g(t) = −3 f(x) = Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: m= t ≥2 D Đạt t = - Û cosx + =- Û cosx =- x =p+ k2p , k ẻ Â cosx 14 Sai sót viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ : Cho hàm số y = f(x) = - x + 3x2, có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;4) Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = - 3x2 + 6x.Ta có điểm A(-1;4) Ỵ đồ thị (C) suy phương trình tiếp tuyến là: y = f '(-1).(x+1)+4 Û y =- 9(x +1) + Û y =- 9x - Phân tích: Phương trình tiếp tuyến y =- 9x - tiếp tuyến A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên kẻ từ A Nhưng có tiếp tuyến đồ thị (C) qua A mà -5 không nhận A làm tiếp điểm Lời giải đúng: Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(-1;4) có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm: ìï - x + 3x = k(x +1) + ïí (I).Hệ (I) Û ïï k =3x + 6x î ìï x - 3x - = éx = 2, k = ïí Û ê ê ïï k =- 3x + 6x ëx =- 1, k =- ỵ Từ ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = 4, y =- 9x - Bài tập tương tự Bài 1: Xét tính đơn điệu hàm số sau: a y = 2x +1 x- b y = x + x +1 x +1 c y = cosx - sinx Bài 2: Xác định m để hàm số sau khơng có cực trị: x + 2mx - y= x- m Bài 3: Tìm cực trị hàm số sau: a y = (7 - x) x + b y = cosx - sinx c y = sin2x Bài 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị x = 1: 15 ỉ 2ư y = x - mx +ỗ m- ữ ữ ỗ ữx + ỗ ố 3ø Bài 5: Xác định a để hàm số sau đồng biến ¡ : y= (a - 1)x + ax +( 3a - 2) x Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a y = x + 3x - 72x + 90 đoạn [- 5;5] é 3p ù ú ë ú û 0; b y = 2sinx + sin2x đoạn ê ê c y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + Bài 7: Cho hàm số y = (x + 1)2 (2 - x) , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(2;0) Bài 8: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 , "x Ỵ ¡ a e + cos x ³ + x x ( ) x - x b e - e ³ 2ln x + 1+ x , " x ³ x ù c 8sin +sin 2x > 2x, " x Ỵ é ë0; pû Bài 9: Cho hàm số y = x - (m - 1)x +( m - 3) x + (m tham số) Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - 3x + ba điểm phân biệt Bài 10: Với giá trị tham số m phương trình: x - x = m( x - 1) có nghiệm thực phân biệt ? Bài 11: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau 1) y = 2x + x −1 , 2) y = , 3x − x +1 3) y = 3x + x3 4) y = x3 − 3x + 5) y = ( x − 4)2 6) y = − x + x − Kết luận: với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = 16 Bài12 a) Cho hàm số y = x3 −3mx2+3(m2−1)x−(m2−1) Tìm m để hàm số đạt cực đại x=1 b) : Tìm m để hàm số y = x −3mx2+3(m2−1)x+m đạt cực tiểu x=2 II Kết sáng kiến kinh nghiệm Đối với học sinh Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy lớp12C8, chưa ứng dụng lớp 12C9 để làm đối chứng kết thu hoạch kiểm tra khả giải tập học sinh lớp sau: Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 C9 (Sĩ số 42) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Số lượng 10 23 Tỷ lệ 23,8 % 21,4 % 54,8 % Lớp 12 C8 (Sĩ số 35) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Số lượng 02 28 Tỷ lệ 5,7 % 14,3 % 80 % Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, toán liên quan; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh ( yếu học sinh khá) đem lại hiệu rõ rệt, học sinh hứng thú với nội dung học Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ I Kết luận 17 Thông qua sai sót cách hiểu sai định nghĩa, khái niệm, định lý học sinh, giáo viên phát ra, tìm nguyên nhân, kịp thời uốn nắn sửa chữa sai sót giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn, hiểu chất toán học tri thức học, đồng thời giúp học sinh tránh sai sót tương tự; bồi dưỡng thêm mặt tư Thông qua đề tài này, cung cấp cho thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức định đạo hàm ứng dụng đạo hàm, với kiến thức liên quan, học sinh có nhìn sâu sắc sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải tốn cho riêng ; người học quay trở lại để kiểm chứng lý thuyết trang bị để làm tốn Từ thấy lơgic tốn học nói chung chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy đạo hàm công cụ hữu hiệu để giải nhiều toán, nữa, tốn giải cơng cụ đạo hàm lời giải tỏ ngắn gọn hơn, đễ hiểu Sách giáo khoa giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng chí mang tính hàn lâm; nội dung học sinh tiếp cận thêm có hội học sâu Ở cấp độ trường trung học phổ thông, đề tài áp dụng để cải thiện phần chất lượng môn, chia sẻ đồng nghiệp, củng cố phương pháp giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Giúp học sinh hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lý kiến thức liên quan học, giúp học sinh tránh khỏi lúng túng trước toán đặt không mắc phải sai lầm thường gặp Trong khuôn khổ viết này, tham vọng phân tích hết sai lầm học sinh không tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng khoa học cấp trường , Hội đồng khoa học Sở Giáo dục Đào tạo quý thầy cô III Kiến nghị Đạo hàm hàm số có nhiều ứng dụng, mà ứng dụng khảo sát, vẽ đồ thị hàm số giải tốn liên quan Ngồi ra, đạo 18 hàm cịn công cụ sắc bén để giải nhiều dạng tốn khác giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức Tơi hi vọng đề tài đóng góp phần vào việc giải dạng toán nêu Mong thầy cô phát thêm sai sót học sinh q trình giải tốn, để uốn nắn kịp thời, tạo cho học sinh hội sửa sai thêm u thich mơn tốn Trên vài kinh nghiệm nhỏ phương pháp giảng dạy “khảo sát hàm số toán liên quan ứng dụng đạo hàm” Rất mong đựoc q thầy bạn đồng nghiệp có nhiều ý kiến đóng góp, trao đổi để đề tài hoàn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày 27 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép người khác Lê Thị Lam Tài liệu tham khảo: SGK Tốn Giải tích 12 – CB NXB Giáo dục 2007 SGV Toán 12 – CB NXB Giáo dục 2007 19 SBT Tốn Giải tích 12 – CB NXB Giáo dục 2007 Chuẩn kiến thức kỹ mơn Tốn NXB Giáo dục năm 2010 Hướng dẫn ôn tập thi TN THPT mơn Tốn năm học 2011-2012 NXB Giáo dục năm 2012 Tham khảo tài liệu đồng nghiệp: Bài báo internet, Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Tạp trí Giáp dục thời đại, SK18KN đồng nghiệp ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG ĐÁNH GIÁ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SKKN NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH XẾP LOẠI 20 Họ tên tác giả: Lê Thị Lam Chức vụ đơn vị cơng tác: giáo viên trường THPT Thiệu hóa Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá Kết xếp xếp loại loại Phân loại phương pháp giải Sở GD ĐT toán quan hệ song song C Năm xếp loại 2014 21 ... )=0, y′′( x0 )