(SKKN 2022) một vài kinh nghiệm sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy học nội dung cực trị hàm số bậc ba giải tích 12 cơ bản

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT VÀI KINH NGHIỆM SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC BA – GIẢI TÍCH 12 CƠ BẢN Người thực hiện: Nguyễn Thị Thiêm Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2022 Mục lục Trang I.Mở đầu: 1.1 Lí chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .2 1.4 Phương pháp nghiên cứu II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục , với thân , đồng nghiệp nhà trường .16 III Kết luận, kiến nghị .17 3.1 Kết luận 17 3.2 Kiến nghị 17 Tài liệu tham khảo 21 Các thuật ngữ viết tắt bài: SKKN – sáng kiến kinh nghiệm THPT – trung học phổ thông THPTQG – trung học phổ thông quốc gia TN THPT - tốt nghiệp trung học phổ thông HS – học sinh TB – trung bình HD – hướng dẫn CĐ – CT – cực đại – cực tiểu ĐTHS - đồ thị hàm số PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong thời đại công nghệ số 4.0 học sinh ngồi kiến thức lĩnh hội từ thầy cơ, bạn bè, qua sách tham khảo em cịn có nhiều nguồn tài liệu qua internet Yêu cầu giáo dục địi hỏi phải đởi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Vì người giáo viên phải khơng ngừng tìm tịi học hỏi đổi phương pháp giảng dạy, đổi cách thiết kế giảng cho khoa học, hợp lý để từ có dạy chất lượng, hiệu tạo hứng thú học tập cho học sinh Sơ đồ tư khơng cịn xa lạ với tất mơn tính hiệu việc hệ thống hóa kiến thức nội dung học hay chủ đề đề cao Nhìn vào sơ đồ tư khái quát tất kiến thức trọng tâm cần nắm Trong đề thi số câu hỏi liên quan đến cực trị hàm số tương đối nhiều với thời lượng tiết khóa cho lý thuyết tập vấn đề dạy học cho hiệu ,phù hợp với đối tượng học sinh vấn đề thân trăn trở Tuy nhiên qua thực tiễn dạy học mơn Tốn trường THPT Thạch Thành tơi nhận thấy có thực trạng sau: Phần lớn học sinh hay nhầm lẫn kiến thức, khả phân tích định hướng phương pháp giải cịn lúng túng, học biết làm sau lại qn ngay, đến cần tởng hợp kiến thức quên nhớ không đầy đủ , không liên kết kiến thức làm cho kết đạt kì thi chưa mong đợi mà nguyên nhân thực trạng em chưa biết cách "cơ đọng" kiến thức sau học Chính từ lí tơi chọn đề tài " Một vài kinh nghiệm sử dụng sơ đồ tư dạy học nội dung cực trị hàm số bậc ba - Giải tích 12 "để giúp học sinh hệ thống lại kiến thức phân dạng tập tốt riêng chủ mà nội dung kiến thức khác sau Trang 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giúp cho học sinh nắm kiến thức cực trị hàm số nói chung cực trị hàm bậc ba nói riêng Giúp học sinh nhận dạng dạng toán nắm cách giải 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Các toán cực trị hàm số bậc ba: +) Bài toán cực trị hàm số bậc ba không chứa tham số +) Bài tốn cực trị hàm số bậc ba có chứa tham số - Quá trình áp dụng sáng kiến đối tượng HS lớp 12 học ôn thi tốt nghiệp THPT 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy), thông qua kiểm tra nhận thức học sinh để kiểm tra tính khả thi đề tài - Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung cực trị hàm số bậc ba - Nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao; Sách giáo viên; Sách tập; Các đề thi; Internet, PHẦN II: NỘI DUNG CƠ SỞ LÝ LUẬN Đề tài nghiên cứu thực thực tế kinh nghiệm giảng dạy nội dung chủ đề cực trị hàm số mà cụ thể toán liên quan đến cực trị hàm số bậc ba Muốn làm tập trước tiên học sinh phải nắm kiến thức , nắm kiến thức có kỹ phân tích đề bài, kỹ nhận dạng tốn để từ suy luận quan hệ kiến thức cũ kiến thức mới, toán làm tốn làm, hình thành phương pháp giải toán bền vững sáng tạo Trang Tiếp đến hệ thống tập phân dạng rõ ràng từ dạng đơn giản, nội dung học để HS tiếp cận nắm bắt từ phát triển khả suy luận, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt sáng tạo vào tốn Khi hiểu HS có hứng thú tạo động học tập tốt 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Phần lớn học sinh có tư tưởng " sợ" " ngại" mơn Tốn với đối tượng HS lớp cuối mà lỗ hổng kiến thức lớn, kỹ tính tốn yếu với hình thức thi trắc nghiệm chủ đề có nhiều dạng câu hỏi , HS khơng nắm kiến thức khó xử lí Khi hỏi đơn vị kiến thức nội dung học gần phần lớn em tỏ lúng túng, phản ứng chậm vấn đề mà em vướng mắc chưa biết cách khái quát nội dung học cho ngắn gọn, xúc tích, dễ nhớ, dễ học Chính nên kết đạt qua kiểm tra; kì khảo sát cịn hạn chế 2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 2.3.1 Hệ thống lại kiến thức cần nhớ thông qua sơ đồ tư Sau chủ đề yêu cầu học sinh hệ thống lại kiến thức mà học sơ đồ tư Thời gian đầu để làm quen tơi phân theo nhóm , lớp chia thành bốn nhóm, nhóm có nhóm trưởng chịu trách nhiệm phân công nhiệm vụ cho thành viên tởng hợp để hồn thiện sản phẩm nhóm Đến tiết luyện tập nhóm trình bày sản phẩm mình, tiến hành thảo luận giáo viên người bở sung, chuẩn hóa sơ đồ tư để thống mạch kiến thức Việc hệ thống lại kiến thức sơ đồ tư giúp HS nhớ kiến thức cách logic hiệu ngồi việc tìm cách nhớ kiến thức phù hợp em cịn thể óc sáng tạo qua sơ đồ tư Điều làm cho HS hào hứng tham gia Trang Đối với nội dung Cực trị hàm số bậc ba yêu cầu HS thực việc hệ thống kiến thức qua sơ đồ sau : Sơ đồ 1: Kiến thức cực trị hàm bậc ba +) +) +) b2-3ac ≤  Hàm số khơng có cực trị Dấu b2-3ac CỰC TRỊ HÀM BẬC BA b=0  Không cực trị Chú ý a=0 Nếu a chứa tham số a≠0 b2-3ac >  Hàm số có cực trị b≠0  cực trị b2-3ac ≤  Khơng có cực trị Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị b2-3ac >  Có cực trị Trang Sơ đồ 2: Các dạng tập liên quan đến cực trị hàm bậc ba Bài tốn khơng chứa tham số Tìm số cực trị Cho Hàm số y= f(x) Bảng biến thiên Đồ thị xCĐ, xCT Tìm CT yCĐ, yCT CT CÂU HỎI Bài toán chứa tham số Tìm m để hàm số : + Khơng có cực trị + Có cực trị + Có cực trị u cầu Tìm m để hàm số có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Biện luận số cực trị hàm số Trang 2.3.2 Bài tập minh họa Lựa chọn câu hỏi từ đề thi xếp theo dạng nêu sơ đồ tư vừa để HS khắc sâu kiến thức vừa tạo động lực, hứng thú để em cố gắng giải tốt câu hỏi Vì đối tượng HS lớp nên tơi lựa chọn câu hỏi mức độ nhận biết, thông hiểu vận dụng thấp để em rèn luyện Ở loại tập tơi lấy ví dụ để phân tích cách giải chi tiết nhằm giúp HS hiểu rõ dạng tập sau loại cho số BT tương tự để em rèn luyện thêm Đồng thời có hai tập mở rộng thêm chút để HS phát triển tư Cụ thể: Loại 1: Hàm bậc ba khơng chứa tham số Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 - 3x + Tìm giá trị cực đại hàm số A yC§ = B yC§ = C yC§ = D yC§ = −1 ( Đề minh họa Bộ GD&ĐT 2017 ) [1] Hướng dẫn giải  x = −1 x = Ta có: y ' = 3x − = ⇔  Mặt khác y '' = x ⇒ y '' ( −1) < ⇒ xCĐ = −1 ⇒ yCĐ = y ( −1) = Vậy giá trị cực đại ( cực đại ) hàm số yCĐ = Chọn A Nhận xét: Đối với loại BT HS sử dụng định lí “ Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai khoảng ( x0 − h; x0 + h ) với h > Khi đó:  f ' ( x0 ) = x0 điểm cực tiểu;  f '' ( x0 ) > +) Nếu   f ' ( x0 ) = x0 điểm cực đại ” f '' x < ( )  +) Nếu  ( Giải tích 12 CB– NXB GD) [2] Hoặc sử dụng việc xét dấu đạo hàm để suy điểm cực đại hàm số , từ tìm giá trị cực đại ( cực đại) hàm số Trang Ví dụ 2: Đồ thị hàm số y = x - 3x - x +1 có hai điểm cực trị A B Điểm thuộc đường thẳng AB A P ( 1;0) B M ( 0;−1) C N ( 1;−10) D Q ( −1;10) (Đề thi THPTQG – 2017 ) [1] Hướng dẫn giải Bước 1: Viết phương trình đường thẳng AB ( HS lựa chọn cách ) Cách 1: Ta có: ur éx =1 Þ y = y ' = x - x - 9; y ' = Û ê Þ A 1;6 ; B 3; 26 Þ VTPT n = ( 8;1) ( ) ( ) êx = Þ y =- 26 ë Þ Phương trình AB :8 x + y + = Cách 2: Sử dụng công thức xác định đường thẳng qua hai điểm cực trị: y =- 2 bc b - 3ac) x + d ( 9a 9a Ta có phương trình AB : y =- 27 36 x +1Û y =- x - Û x + y + = 9 Bước 2: Thay tọa độ điểm đáp án vào phương trình đường thẳng AB Þ Chọn C Nhận xét: Với hình thức thi trắc nghiệm việc dùng cơng thức xác định đường thẳng qua hai điểm cực trị tiết kiệm thời gian khơng cần tìm cụ thể tọa độ hai điểm cực trị ĐTHS sau lập phương trình đường thẳng qua hai điểm Ví dụ 3: Trong hàm số sau , hàm số có cực đại , cực tiểu xC§ < xCT A y = − x3 + 2x2 + 3x + C y = 2x3 + 3x − B y = x3 − 2x2 − x + D y = − x3 + 3x − ( Nguồn internet ) [5] y Hướng dẫn giải Nhắc lại: xCT x xC§ Trang 10 a 0 xCT xC§ x xC§ < xCT xC§ > xCT Hướng dẫn giải Ta có : a > ⇒ Loại trừ phương án A D Hàm số có CĐ – CT ⇔ b2 − 3ac > Kiểm tra phương án B C ta thấy có phương án B thỏa mãn Chọn B Bài tập tự luyện: Câu 1: Tìm giá trị cực tiểu yCT hàm số y =- x + 3x - A yCT =- B yCT =- C yCT =- D yCT = (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) [3] Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Giá trị cực tiểu hàm số cho A B C D −4 (Đề Tham Khảo 2019– Lần 1) [1] Trang 11 Câu 3: Biết đồ thị hàm số y = x3 − 3x + có hai điểm cực trị A , B Khi phương trình đường thẳng AB A y = x − B y = −2 x + C y = − x + D y = x − ( THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- 2020) [3] Câu 4: Đồ thị hàm số y = − x3 + 3x + có hai điểm cực trị A B Tính diện tích S tam giác OAB với O gốc tọa độ A S = B S = 10 C S = D S = 10 ( Chuyên đề GT12 – Đặng Việt Đông) [4] 3 Câu 5: Cho hàm số y = x3 − x + x + Giả sử hàm số đạt cực đại điểm x = a đạt cực tiểu điểm x = b giá trị biểu thức 2a − 5b là: A C −1 B 12 D −8 ( Chuyên đề GT12 – Đặng Việt Đông) [4] Loại 2: Hàm bậc ba có chứa tham số Dạng 1: Tìm gía trị tham số để hàm số có cực trị khơng có cực trị Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − x + ( m + 3) x − khơng có cực trị A m≥ − 5 B m> − C m≥ − D m≤ − ( Nguồn internet ) [5] Hướng dẫn giải Hàm số khơng có cực trị ⇔ b − 3ac ≤ ⇔ ( −2 ) − 3.1 ( m + 3) ≤ ⇔ − 3m − ≤ ⇔ m ≥ − Chọn C Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y= x − mx + ( 2m − 1) x − có cực trị A m≠ B ∀m C m≤ D m≥ Trang 12 ( Nguồn internet ) [5] Hướng dẫn giải Hàm số có cực trị ⇔ phương trình y ' = có nghiệm phân biệt 2 ⇔ b − 3ac > ⇔ ( − m ) − ( 2m − 1) > ⇔ m − 2m + > ⇔ ( m − 1) > ⇒ m ≠ Chọn A Nhận xét: Cần nhấn mạnh cho HS nhớ hàm đa thức bậc ba mà hệ số a ≠ khơng có cực trị , có cực trị ( có CĐ – CT ) Vídụ 3: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = ( m + ) x + 3x + mx − có hai cực trị A m∈ ( −3;1) \ { −2} C m∈ ( −∞;−3) ∪ ( 1;+∞ ) B m∈ ( −3;1) D m∈ [ −3;1] ( Nguồn internet ) [5] Hướng dẫn giải a ≠  m + ≠ ⇔ ⇔ Hàm số có hai cực trị   b − 3ac > 3 − ( m + ) m > m ≠ −2 m ≠ −2 ⇔ ⇔ −3 < m < − m − 2m + > Chọn A Ví dụ 4: Hàm số y = ( m − 3) x − 2mx + có cực trị A m=  m= B   m= C m= D m≠ ( Nguồn internet ) [5] Hướng dẫn giải m − = ⇒m=3 m ≠ +) Hàm số có cực trị suy biến thành hàm bậc ⇒  +) Với m = ⇒ y ' = −12 x y ' = ⇔ x = ( thỏa mãn ) Chọn A Bài tập tự luyện: Trang 13 Câu 1: Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x3 − 3mx + 12 x + khơng có cực trị A B C D Câu 2: Số giá trị nguyên tham số m ∈ [ −10;10] để hàm số y = x + mx − ( − 2m ) x + m + có cực đại cực tiểu A 21 B 20 C 10 D Câu 3: Tìm tất giá trị m để hàm số y = x3 + 2mx + mx − có cực trị  m>  A  m <  m≥  B  m ≤ D < m < C m < ( Chuyên đề GT12 – Đặng Việt Đơng) [4] Dạng 2: Tìm giá trị tham số để hàm số đạt cực trị điểm Lưu ý: Đối với hàm đa thức bậc ba kết sau đúng:  f ' ( x0 ) =  1) Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại điểm x = x0 ⇔   f '' ( x0 ) <  f ' ( x0 ) =  2) Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu điểm x = x0 ⇔   f '' ( x0 ) > Ví dụ 1: Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − mx + ( m − ) x + đạt cực đại x = A m= −1 B m= −7 C m= D m= (Đề thi THPTQG – 2017 ) [1] Hướng dẫn giải m =  y ' ( 3) =  m − 6m + =  ⇔ ⇔ m = ⇒ m = Hàm số đạt cực đại x = ⇔   y '' ( 3) < 6 − m < m >  Chọn C Ví dụ 2: Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y= x + ( m − m + ) x + ( 3m + 1) x đạt cực tiểu x = −2 Trang 14  m= A  m=  B m=  m= −3 C m= D  m= −1  ( Nguồn internet ) [5] Hướng dẫn giải Hàm số đạt cực tiểu x = −2 m =   y ' ( −2 ) =  −m + 4m − =  m = ⇔  ⇔ ⇔ ⇒ m =  m − m > m >  y '' ( −2 ) > m <  Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số y = x − 3mx + ( m + ) x − Biết hàm số có cực trị x = Khi điểm cực trị cịn lại hàm số A B C −1 D −3 ( Nguồn internet ) [5] Hướng dẫn giải +) Ta có : y ' = x − 6mx + m + +) Hàm số đạt cực trị x = ⇒ y ' ( ) = ⇔ 33 − 11m = ⇔ m = x = x = +) Với m = ⇒ y ' = x − 18x + 12 y ' = ⇔  Chọn A Bài tập tự luyện: Câu 1: Tìm giá trị tham số m để hàm số y = x3 − mx + ( m2 − m + 1) x + đạt cực đại x = A m= −2 B m= −1 C m= D m= (THPT An Lão Hải Phòng 2020) [3] Câu 2: Cho hàm số y = x3 + ax + bx + Giá trị a + b để hàm số đạt cực trị điểm x = x = −2 A − B C 15 D − 15 ( Chuyên đề GT12 – Đặng Việt Đông) [4] Trang 15 Câu 3: Cho hàm số y = x3 − x + mx − Giá trị m để hàm số đạt cực trị điểm x = A m = −4 B m = C m = D Không tồn m ( Chuyên đề GT12 – Đặng Việt Đông) [4] Câu 4: Cho hàm số y = x3 + x + mx + Giá trị m để hàm số đạt cực trị điểm x = −1 A m = −2 B m = −1 C m = D Không tồn m ( Chuyên đề GT12 – Đặng Việt Đơng) [4] Dạng 3: Tìm giá trị tham số để hàm số đạt cực trị điểm A, B thỏa mãn điều kiện K Phương pháp giải: Xét hàm số y = ax3 + bx + cx + d Khi y ' = 3ax + 2bx + c = có hai nghiệm phân biệt ta gọi A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) tọa độ hai điểm cực trị theo định lý Viet ta có: −2b   x1 + x2 = 3a  c x x =  3a * Một số biến đổi thường gặp liên quan đến nghiệm x1 , x2 phương trình bậc hai +) x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 +) x13 + x23 = ( x + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 1 x +x +) x + x = x x 2 * Với phương thức thi trắc nghiệm tốn so sánh nghiệm x1 , x2 với số thực α ∈ ¡ ta thực sau để tiết kiệm thời gian +) x1 < α < x2 ⇔ a f ( α ) <  ∆ ' >  +) α < x1 < x2 ⇔ a f ( α ) > x + x  >α  Trang 16  ∆ ' >  +) x1 < x2 < α ⇔ a f ( α ) > x + x 