(SKKN 2022) rèn luyện kỹ năng phương trình hàm và bình phương để giải nhanh một số dạng tích phân khó giúp học sinh lớp 12 đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT và thi học sinh giỏi

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tích phân phần kiến thức quan trọng chương trình mơn Tốn lớp 12 Để làm tốt tốn phần thực khơng dễ Trong kì thi tốt nghiệp THPT hình thức thi trắc nghiệm trải qua năm năm nên dạng tích phân phong phú nhiều dạng khó, hàm ẩn lại khó Trong dạng tích phân hàm ẩn ta thường gặp số dạng: Hàm hợp, bình phương tổng, hiệu Để giải dạng toán ta sử dụng định nghĩa kết hợp với phương trình hàm, đưa bình phương tổng, hiệu phương pháp hiệu Do thi hình thức trắc nghiệm, đặc biệt năm học 2021-2022 kì thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa tổ chức thi trắc nghiêm nên vấn đề khó khăn cho học sinh Vì ngồi việc giải tốt tốn cịn địi hỏi học sinh phải phản ứng nhanh, tính tốn xác để đưa kết kịp với thời gian quy định Do với chất dạng tốn khó, địi hỏi lập luận, suy luận cao, tư lôgic cộng với việc tính tốn nhanh thách thức học sinh lớp 12 Từ lý với kinh nghiệm giảng dạy định chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ phương trình hàm bình phương để giải nhanh số dạng tích phân khó giúp học sinh lớp 12 đạt kết cao kỳ thi tốt nghiệp THPT thi học sinh giỏi’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2021 – 2022 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài là: + Rèn luyện kỹ toán học, đặc biệt hình thành cách tính nhanh, xác dạng tốn ngun hàm tích phân khó chương trình Giải tích 12 +Từ phát triển cho học sinh lực sau: - Năng lực tư duy, lực tính tốn, lực tự học giải vấn đề - Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio) - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài số cách tính nhanh tích phân – Chương III – Giải tích 12 để rèn luyện kỹ phát triển lực Toán học học sinh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vô quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm lời giải lớp toán Trong dạy học giáo viên người có vai trị thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong “Nguyên hàm tích phân” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa hai phương pháp tính nguyên hàm tích phân đổi biến số phần Đây hai phương pháp nhất, giải nhiều tập nguyên hàm tích phân Tuy nhiên số dạng tập tích phân khó, đặc biệt tích phân hàm ẩn hai phương pháp khơng thể giải giải vơ phức tạp Vì vậy, tơi nhận thấy cần bổ sung thêm phương trình hàm bình phương tổng, hiệu giúp học sinh dễ dàng giải dạng toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Triệu Sơn vùng bán sơn địa, có nhiều xã miền núi đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, nhiều học sinh dân tộc thiểu số, điều kiện kinh tế khó khăn, điểm đầu vào thấp mơn Tốn Trong q trình dạy học nhận thấy để làm tốt, nhanh phần tích phân học sinh cần phải nắm vững kiến thức, phải có khả phán đốn, phân tích tốt dạng tốn, đồng thời cần có kỹ trình bày chặt chẽ tư logic cao Nhưng thực tế điều lại điểm yếu khơng học sinh, kể học sinh giỏi, dẫn đến tâm lý e ngại dạng tốn khó này, cách làm dài, cần lập luận nhiều em không hứng thú 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hướng dẫn học sinh ôn tập số kiến thức cần thiết để áp dụng vào giải dạng tốn tích phân +) Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp, hàm số hợp +) Tính chất nguyên hàm tích phân f ( x) f ( x) ≥ ∀ x ∈ [ a; b] [ a; b] +) Với hàm số liên tục ta có nên b ∫f ( x) dx ≥ a b ∫ [ f ( x) − g ( x ) ] a , dấu “=” xảy =0 f ( x) = ⇔ f ( x) = g ( x) +) 2.3.2 Một số dạng thường gặp tích phân theo định nghĩa kết hợp với kỹ thuật phương trình hàm [ a; b ] y = f ( x) liên tục thỏa mãn: Cho hàm số mf ( x) + nf (cx+d) = g ( x) ∀x ∈ ¡ , m ≠ n g ( x) hàm số cụ thể Tính b giá trị tích phân I = ∫ f ( x )dx Cho hàm số a y = f ( x) liên tục   mf ( x ) + nf  ÷ = g ( x), m ≠ n  cx + d  [ a; b] Tính tích phân thỏa mãn: b f ( x) I = ∫ α dx , α ∈ Z x a Phương pháp giải cx + d cx + d x - Thay - Tìm mối liên hệ giá trị, lập hệ phương trình bậc hai ẩn mf ( x ) + nf (cx + d ) = g ( x) ⇒ f ( x)  mf ( cx + d ) + nf ( x ) = g ( cx + d )  b I = ∫ f ( x)dx a Nhận xét: Khi tính tích phân , ta thường dùng đổi biến số để đưa f ( x) dx việc làm tương đối dài phức tạp, ta sử dụng f ( x) phương trình hàm để tìm 2.3.3 Hướng dẫn rèn luyện số dạng tích phân theo định nghĩa kết hợp với kỹ thuật phương trình hàm thường gặp giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn giảm bớt tối đa thời gian f ( x) [ 0;1] Bài Cho hàm số liên tục thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = − x2 A π 20 B π 16 I = ∫ f ( x ) dx Tính tích phân π C D π Phân tích - Thay x 1− x f ( x) - Tìm hàm số cách lập hệ bậc hai ẩn Hướng dẫn f ( − x ) + f ( x ) = 2x − x2 1− x x Từ giả thiết, thay ta Do ta có hệ 2 f ( x ) + f ( − x ) = − x 4 f ( x ) + f ( − x ) = − x   ⇔  2 f ( − x ) + f ( x ) = x − x 9 f ( x ) + f ( − x ) = x − x ⇒ f ( x) = x − x2 − − x2 Vậy ) ( π I = ∫ x − x − − x dx = 50 20 Bài Cho hàm số y = f ( x) liên tục f ( x ) + f ( − x ) = cos x A I = −2 B Đáp án A  π π  − ;  I= ∫π f ( x ) dx − Tính tích phân I= thỏa mãn π 2 C I= D I = Phân tích x −x - Thay f ( x) - Tìm hàm số cách lập hệ bậc hai ẩn Hướng dẫn x −x Từ giả thiết, thay ta Do ta có hệ 2 f ( x ) + f ( − x ) = cos x 4 f ( x ) + f ( − x ) = 2cos x ⇔ ⇒ f ( x ) = cos x  2 f ( − x ) + f ( x ) = cos x  f ( x ) + f ( − x ) = cos x I= π ∫π − Khi f ( x ) dx = Bài Cho hàm số y = f ( x) π ∫π cos xdx = sin x − A π 10 liên tục B = [ −2;2] Đáp án B thỏa mãn 2 f ( x) + f ( −x) = + x2 I =− π π − I= Tính tích phân π I =− 20 ∫ f ( x ) dx −2 I= C π 20 I= D π 10 Phân tích x −x - Thay f ( x) - Tìm hàm số cách lập hệ bậc hai ẩn Hướng dẫn f ( −x) + f ( x) = + x2 x −x Từ giả thiết, thay ta Do ta có hệ   2 f ( x ) + f ( − x ) = + x 4 f ( x ) + f ( − x ) = + x ⇔ ⇒ f ( x) =  + x ( ) 2 f ( − x ) + f ( x ) = 9 f ( x ) + f ( − x ) = 2   4+ x 4+ x  I= ∫ −2 1 π f ( x ) dx = ∫ d x = −2 + x 20 Khi Đáp án C Ý nghĩa: Sử dụng tích phân theo định nghĩa kết hợp với kỹ thuật phương trình hàm làm đơn giản kiến thức giúp học sinh dễ hiểu bài, dễ ghi nhớ kể học sinh trung bình 2.3.4 Hướng dẫn học sinh so sánh cách giải khác để thấy rõ tính ưu việt phương pháp sử dụng tích phân theo định nghĩa kết hợp với kỹ thuật phương trình hàm so với cách giải thông thường Phương pháp thực hiện: +) Cho hai học sinh làm hai cách: Hai học sinh có lực tương đương +) Gọi học sinh khác nhận xét để thấy rõ tính hiệu thời gian cách giải ngắn gọn, đơn giản Từ em tin tưởng tâm lựa chọn cách giải nêu đề tài 1  1 ;2 f x + f ( )  ÷ = 3x   f ( x)  x Bài Cho hàm số liên tục thỏa mãn f ( x) I =∫ dx x A Tính tích phân I= 2 B I= C I= D I= Cách sáng kiến: x 1 f  ÷+ f ( x ) = x x x Từ giả thiết, thay ta Do ta có hệ   1 1  f ( x ) + f  x ÷ = 3x  f ( x ) + f  x ÷ = 3x       ⇔ ⇒ f ( x ) = − x  x  f   + f ( x) = 4 f ( x ) + f   =  ÷  ÷   x   x x x I =∫ 2 f ( x)    2 dx = ∫  − 1÷dx =  − − x ÷ = x   x 2 1 x Khi Đáp án B Cách giải khác 1 1 f ( x ) + f  ÷ = 3x ⇒ f ( x ) = 3x − f  ÷  x  x Từ  1 1 f  ÷÷ 2 2 f  ÷ f ( x) x x   ÷dx = 3∫ dx − ∫ I =∫ dx = ∫  − dx x x x ÷ 1 1 ÷ 2 2   Khi 1 f  ÷ x  J =∫ dx 1 x t= dt = − dx = − t dx ⇒ dx = − dt x x t Xét Đặt , suy Đổi cận:  x = →t =2   x = → t =  2 2 f ( t) f ( x)  1 J = ∫ tf ( t )  − ÷dt = ∫ dt = ∫ dx = I t t x   1 2 Khi 2 2 I = 3∫ dx − I ⇒ I = ∫ dx = 1 Vậy Bài Cho hàm số y = f ( x) f ( x) + f (2 − x) = 2( x − 1)e x Đáp án B liên tục − x +1 ¡ + 4, ∀x ∈ ¡ thỏa mãn: Tính giá trị tích phân I = ∫ f ( x )dx I=e+2 I = 2e + I =2 I=8 A B C D Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2019 Cách sáng kiến: f ( x ) + f(2 − x ) = 2(x − 1)e x −2 x +1 + 4, ∀x ∈ ¡ (1) Do x Thay 2− x (1) vào ta có: f (2 − x) + f ( x ) = −2(x − 1)e x (1) Từ − x +1 + 4, ∀x ∈ ¡ (2) (2) ta có hệ phương trình: 3 f ( x ) + f(2 − x) = 2(x − 1)e x −2 x +1 + 4, ∀x ∈ ¡  x − x +1 + 4, ∀x ∈ ¡  f ( x) + f (2 − x) = −2(x − 1)e 9 f ( x) + 3f(2 − x) = 6(x − 1)e x −2 x +1 + 12 ⇔ x − x +1 + ⇒ f ( x ) = (x − 1)e x −2 x +1 +  f ( x) + f (2 − x) = −2(x − 1)e 2 0 ( ⇒ ∫ f ( x)dx = ∫ (x − 1)e x − x+1 ) + dx = Đáp án C Cách giải khác f ( x) + f(2 − x) = 2(x − 1)e x − x +1 + 4, ∀x ∈ ¡ Từ 2 0 ⇒ 3∫ f ( x)dx + ∫ f (2 − x)dx = ∫ (2 x − 2)e Đặt dx + ∫ dx (1) x − x +1 0 t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt Đổi cận: Khi Đặt x = → t =  x = → t = ∫ 0 2 0 f (2 − x)d( x) = − ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx (2) u = x − x + ⇒ du = (2 x − 2)dx ⇒ ∫ (2 x − 2)e dx = ∫ eu du = (3) ⇒ ∫ f ( x )dx = 4∫ dx 0 Thay (2) (3) vào (1) Bài Cho hàm số 2 f ( x) x − x +1 liên tục 2   ;1 ⇒ I = ∫ f ( x)dx = Đáp án C thỏa mãn   2  f ( x ) + f  ÷ = 3x, ∀x ∈  ;1  5x  5  A ln + 5 35 B ln − 35 I = ∫ ln 3x f ' ( x ) dx Khi C 15 − ln − 35 bằng: − ln + 5 35 D Cách sáng kiến: Từ giả thiết, thay x 5x ta   f  ÷+ f ( x ) = 5x  5x   2 f   2 f     f x + 10 f ( )  ÷= x    5x  ⇔   25 f ( x ) + 10 f   =  ÷+ f ( x ) =  ÷  5x  5x   5x  x ( x ) + f   ÷ = 3x x   Do ta có hệ 2 −2 ⇒ f ( x) = − x ⇒ f (3 x) = − x ⇒ f '(3 x) = − 7x 21x 63 x 3 15 15 I = ∫ ln x f ' ( x ) dx = ∫ ln x.( − Vậy Cách giải khác 2 − ) dx = ln − 63 x 35 Đáp án B   2  f ( x ) + f  ÷ = x, ∀x ∈  ;1  5x  5  Ta có (1)   f ÷ f ( x) 5x 2  ⇔2 +   = 3, ∀x ∈  ;1 x x 5    f ÷ f ( x) 5x   ⇔ 2∫ dx + 5∫ dx = ∫ 3dx = (2) x x 2 1 5   f ÷ 5x I1 = 5∫   dx x Xét Đổi cận: u= đặt 2 du ⇒ du = − dx ⇒ − = dx 5x 5x u2  x = ⇒ u =1  1 5 f ( u) f ( u) f ( x)  ⇒ I = − du = du = ∫1 u ∫2 u ∫2 x dx x = ⇒ u =  5 1 f ( x) f ( x) f ( x) 9 2∫ dx + 5∫ dx = ⇔ ∫ dx = x x x 35 2 Từ (2) suy ra, 5 I = ∫ ln x f ' ( x ) dx Tính Đặt 15 t = 3x ⇒ dt = 3dx ⇒ dt = dx Đổi cận: 2   x = 15 ⇒ t =  x = ⇒ t =   u = ln t du = dt ⇒ t  dv = f '(t ) v = f (t )  1 ⇒ I = ∫ ln t f ' ( t ) dt 32 Đặt: 1 f (t ) 2 I = (ln t f (t )) − ∫ dt = − ln f ( ) − 32 t 5 35 5 Từ   2  f ( x ) + f  ÷ = 3x, ∀x ∈  ;1  5x  5  x = 1; x = Cho vào (1) ta có hệ phương trình sau:  2 f + f ( )  f (1) =  ÷=   5  ⇔ 2    2 f  f  ÷= + f = ( )      ÷  I =− 13 ln − = ln − 5 35 35 Suy ra, Đáp án B *Học sinh nhận xét: Cách giải nhanh, cịn cách giải khó nhiều, địi hỏi phải biết đổi biến số phù hợp, tính tốn dài qua nhiều bước * Giáo viên nhận xét chung nêu ý nghĩa phương pháp đề tài: Đây tốn khó nhiều học sinh, giải phương pháp khác học sinh gặp phải khó khăn phải biết đặt ẩn phụ, đổi cận để đưa tích phân qen thuộc Nhìn vào hai cách giải rõ ràng cách giải khác dài dẫn đến nhiều thời gian để giải xong tốn Cịn cách dùng định nghĩa kết hợp với kỹ thật phương trình hàm nhanh mang lại hiệu cao 10 Qua ví dụ cho ta thấy tác dụng tích cực phương pháp kỹ thật phương trình hàm giải tốn tích phân Trong buổi sinh hoạt chun mơn tổ chuyên môn, đưa tập để đồng nghiệp thử giải so sách cách giải; kết tốn áp dụng phương pháp cho kết nhanh nhiều so với cách giải khác 2.3.5 Trên sở dạng toán xây dựng tích phân Xây dựng tích phân cho dạng đơn giản Để giảm bớt g ( x) đáp án không đẹp ta cần tính tốn trước gắn biến, chẳng hạn x chứa bậc hai ta chọn cận để số phương thay cx + d Ví dụ 1: Xét hàm số f ( x) liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = 3x + A 36 B Ví dụ 2: Xét hàm số f ( x) A A C  3 1;  18 D thỏa mãn: ∫ f ( x ) dx − x2 f ( x) liên tục đoạn 1 f ( x ) + f  ÷ = x +  x Tích phân 625 625 6125 ln − ln − ln 20 20 20 243 B C D Ví dụ 3: Xét hàm số Tích phân liên tục đoạn f ( x) − f ( 1− x) = 6125 ln 20 243 36 ∫ f ( x ) dx B −1 [ 1;2] ∫ Tích phân thỏa mãn f ( x) dx x3 C 10 − D 10 11 2.3.6 Hướng dẫn rèn luyện kỹ thuật đưa bình phương giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn giảm bớt tối đa thời gian Phương pháp - Biến đổi thêm, bớt đưa bình phương tổng, hiệu bình phương b ∫ [ f ( x) − g ( x) ] - Ta đưa dạng =0 a với hàm cụ thể “=” xảy f ( x ) = g ( x ) Dạng 1: Có sẵn bình phương Bài Cho hàm số f ( x) g ( x) liên tục  π 0;  , thỏa mãn π  π  −π  f x − 2 f x sin x − d x = ( ) ( )  ÷ ∫0     A I= I = B π C π I = ∫ f ( x ) dx Tính tích phân I= I = D π Phân tích - Biến đổi thêm, bớt đưa bình phương tổng, hiệu bình phương b ∫ [ f ( x) − g ( x ) ] f ( x) - Tìm hàm số cách đưa dạng =0 a Hướng dẫn π ∫ 2sin Ta có π −π   x − ÷dx = − 4  Do giả thiết tương đương với π  π π   2 f x − 2 f x sin x − + 2sin x − ( ) ( )  ÷  ÷ dx = ∫0  4     π 2  π  π    π ⇔ ∫  f ( x ) − sin  x − ÷ dx = ⇔ f ( x ) − sin  x − ÷ = 0, ∀x ∈ 0;   4    2 0 π π π π   ⇒ f ( x ) = sin  x − ÷⇒ I = ∫ f ( x ) dx = ∫ sin  x − ÷dx = 4 4   0 Đáp án A 12 [ 0;1] f ( x) Bài Cho hàm số liên tục thỏa mãn: 1  2 2 I = ∫ f ( x ) dx ∫0  f ( x ) + 2ln e  dx = 2∫0  f ( x ) ln ( x + 1)  dx Tích phân e e I = ln I = ln I = ln I = ln e e A B C D Phân tích - Biến đổi thêm, bớt đưa bình phương tổng, hiệu bình phương f ( x) - Tìm hàm số - Phát nhanh bình phương tổng, hiệu Hướng dẫn Bằng phương pháp tích phân phần ta tính 1 2 2 ∫0 ln ( x + 1) dx = 2ln e = ∫0 2ln e dx Do giả thiết tương đương với ∫  f ( x ) − ln ( + x )  dx = ⇔ f ( x ) ≡ ln ( + x ) , ∀x ∈ [ 0;1] ∫ Suy f ( x ) dx = ∫ ln ( + x ) dx = ln e Đáp án B f ( x) f '( x ) [ 0;1] , f ( x ) Bài Cho hàm số có đạo liên tục nhận giá f ( 0) = [ 0;1] trị dương thỏa mãn 1  f ' ( x )  f ( x )  + 1 dx = f ' ( x ) f ( x ) dx   ∫0  ∫0  I= A 15 I= B 15 C Tính 17 I= I = ∫  f ( x )  dx I= D 19 Phân tích - Biến đổi thêm, bớt đưa bình phương tổng, hiệu bình phương f ( x) - Tìm hàm số 13 Hướng dẫn ∫  f '( x ) f ( x ) − 1 dx = 0 Giả thiết tương đương với f ' ( x ) f ( x ) = 1, ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ f ' ( x ) f ( x ) = ⇒ ∫ f ' ( x ) f ( x ) dx = ∫ dx ⇒ f ( x) ⇒ = x+C ⇒C = 3 f ( 0) = Vậy 19 f ( x ) = 3x + ⇒ I = ∫  f ( x )  dx = Đáp án D y = f ( x) [ 0;1] , Bài Cho hàm số có đạo hàm dương, liên tục đoạn thỏa mãn f ( 1) − f ( ) = 1 ∫ f '( x )  f ( x ) + 1 dx = 2∫ f ' ( x ) f ( x ) dx Giá trị tích ∫  f ( x )  dx phân A B 33 − 27 18 C 33 18 D 33 + 54 18 Phân tích - Biến đổi thêm, bớt đưa bình phương tổng, hiệu bình phương f ( x) - Tìm hàm số Hướng dẫn 1 ∫ f ' ( x )  f ( x ) + 1 dx = 2∫ Nhóm đẳng thức ta có ⇔ ∫  f ' ( x ) f 0 f ' ( x ) f ( x ) dx ( x ) + f ' ( x )  dx − 2∫ f ' ( x ) f ( x ) dx = 0 ⇔ ∫  f ' ( x ) f ( x ) − 1 dx + ∫ [ f '( x ) − 1]dx =   0 14 ∫ [ f '( x) − 1]dx = f (1) − f (0) − = Ta có f ' ( x ) f ( x ) = 1, ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ f ' ( x ) f ( x ) = ⇒ ∫ f ' ( x ) f ( x ) dx = ∫ dx ⇒ f ( x) ⇒ = x + C ⇒ f ( x ) = 3x + 3C ⇒ f (1) = + 3C , f (0) = 3C f (1) − f (0) = (C > 0) ⇒ C = Kết hợp với ∫  f ( x )  dx = 33 − 27 54 33 18 Vậy Đáp án C Dạng 2: Biến đổi đưa bình phương f ( x) [ 3;6] Bài 1: Cho hàm số có đạọ hàm liên tục thỏa mãn ∫f A ( x )dx = 63, ∫ xf ( x ) = 63 27 B ∫ f ( x)dx Tính 27 g ( x) Phân tích: Vấn đề đặt ta tìm hàm số b ∫ [ f ( x) − g ( x ) ] a C 25 D 25 cho 6 3 = ⇔ ∫ f ( x) dx − ∫ f ( x) g ( x) dx + ∫ g ( x) dx = ⇒ g ( x) = x 6 3 ∫ f ( x)dx = ∫ xdx = 27 Vậy f ( x) [ 3;4] Bài 2: Cho hàm số có đạọ hàm liên tục thỏa mãn 4 7029 2343 2 f ( x ) dx = , x f ( x ) dx = ∫3 ∫3 f ( x)dx ∫3 Tính 35 36 37 B C A D 38 15 Giải tương tự cách ta tính g ( x) = x Phân tích: 4 ⇒ ∫ g ( x)dx = ∫ x dx = 3 781 Tuy nhiên cộng vào không 4 7029 2343 781 3124 2 f ( x ) dx − x f ( x ) dx + x dx = − + = ≠ ∫3 ∫3 ∫3 5 5 a cần phải tìm g ( x) = ax T 4 ∫  f ( x) − ax )  dx = ∫ f = 4 ( x )dx − ∫ 2ax f ( x )dx + ∫ a x 4dx 3 7029 2343 781 − 2a + a2 = 5 4 ∫ f ( x)dx = ∫ 3x dx = 37 ⇔ a − 6a + = ⇔ a = ⇒ f ( x) = x 2 f ( x) Vậy 3 [ 0;1] Bài 3: Cho hàm số có đạọ hàm liên tục thỏa mãn 1 ∫0 [ f '( x)] dx = , ∫0 f ( x)dx = , f (1) = ∫0 f ( x)dx Tính 7 B C A ∫ [ f '( x)] Phân tích: Trong đề có D ∫ f '( x) g ( x)dx dx khơng có ta ∫ f '( x) g ( x)dx phải làm xuất cách sử dụng tích phân phần u = f ( x) du = f '( x )dx ⇒  dv = dx v = x Đặt 16 1 1 ⇒ ∫ f ( x) dx = xf ( x) − ∫ xf '( x)dx = ⇒ ∫ xf '( x) = 3 0 a=2 Đến ta tìm 1 0 ⇒ ∫ [ f '( x) ] dx − ∫ xf '( x)dx + ∫ x dx = ⇒ f '( x) = x ⇒ f ( x) = x + c ∫ f (1) = ⇒ c = Vậy 1 f ( x)dx = ∫ x dx = Do f ( x) Bài 4: Cho hàm số f ( x ) dx = ∫0 A có đạọ hàm liên tục ∫ πx 3π f '( x )cos dx = π Phân tích: Trong đề có C ∫ [ f ( x )] Biết ∫ f ( x)dx − π thỏa mãn f (1) = Tính B [ 0;1] π D - π ∫ f ( x) g ( x)dx dx ta ∫ f ( x) g ( x)dx phải làm xuất cách sử dụng tích phân phần πx π πx   u = cos du = − sin ⇒ 2  dv = f '( x )dx v = f ( x ) Đặt πx πx π πx π πx 3π ⇒ ∫ f '( x )cos dx = cos f ( x) + ∫ f ( x )sin dx = ∫ f ( x)sin dx = 2 20 20 0 1 ⇒ ∫ f ( x)sin πx dx = 2 Xét tích phân 17 πx πx  2 2πx ∫0  f ( x) − a sin  dx = ⇔ ∫0 f ( x)dx − ∫0 2af ( x)sin dx + ∫0 a sin = ⇔ 1 πx − 2a + a = ⇔ a = ⇒ f ( x) = 3sin 2 2 ∫ Vậy 1 f ( x)dx = 3∫ sin πx 6 π  dx = −  oos − cos0 ÷ = π  π Ý nghĩa: - Sử dụng phương pháp bình phương giúp học sinh linh hoạt việc biến đổi, giải toán nhanh gọn Mặc dù tốn khó tạo hứng thú cho học sinh - Sử dụng phương pháp bình phương cần phải biến đổi khéo léo kiện yêu cầu toán 2.3.7 Dựa cách giải xây dựng tích phân Để học sinh hiểu sâu thêm hứng thú, say mê với giải tốn ngun hàm tích phân, đồng thời phát huy khả sáng tạo em định hướng giúp học sinh dựa sở dạng nguyên hàm, tích phân thường gặp xây dựng nguyên hàm tích phân cách thay hàm, cận cụ thể Khi tạo tích phân cần tránh đáp án xấu, ta phải có tính tốn trước b ∫ [ f ( x ) − g ( x )] a =0 g ( x) Từ Ta gán cho hàm số cụ thể , sau ta tạo hệ thống tích phân f ( x) [ 1;2] Ví dụ 1: Cho hàm số có đạọ hàm liên tục thỏa mãn: 2 508 254 ∫1 f ( x)dx = , ∫1 x f ( x)dx = ∫1 f ( x)dx Tính 15 15 63 I= I= I= I= 2 A B C D 127 x dx = ∫ g ( x) = 2x Bằng cách gắn tính trước ) ( 18 f ( x) Ví dụ 2: Cho hàm số π liên tục  π 0;  ,  π  π+  ∫  f ( x ) − f ( x ) cos  x − ÷  dx = − I= A 1+ I= B 1− thỏa mãn: π I = ∫ f ( x ) dx Tính tích phân I= C I= D π (Để có  π  π+  f x − f x cos x − d x = − ( ) ( )  ÷ ∫0     π ∫ cos ta tính trước π π+   x − ÷dx = 3  ) Có ta không nên để học sinh phát bình phương mà cần qua số thao tác sử dụng tích phân phần đưa bình phương f ( x) [ 0;1] Ví dụ 1: Cho hàm số có đạọ hàm liên tục thỏa mãn: 1 1 ∫0 [ f '( x)] dx = 9, ∫0 x f ( x)dx = − , f (1) = ∫0 f ( x)dx Tính 9 3 − − 4 2 B C D A 1 [∫ f '( x)] dx = 9, ∫ x3 f ( x)dx = − , f (1) = 0 ta tính trước tích phân (Để có 1 1 ∫0 x f ( x)dx ∫0 x dx = ∫0 x f '( x)dx = ⇒ a = phần , chọn ) 19 [ 0;1] f ( x) có đạọ hàm liên tục Ví dụ 2: Cho hàm số ∫f Biết πx f '( x)sin dx = −π 2 ∫ ( x)dx = B A ∫ [ f ( x)] − π ∫ f ( x)dx 0 π C dx = 8, ∫ f '( x)sin Tính π thỏa mãn f (1) = D − π πx dx = −π , f (1) = ta tính trước tích phân (Để có ∫ πx f '( x)sin dx πx cos dx = ∫0 2 1 ∫ f ( x)cos πx dx = 2 phần , chọn ⇒a=4 ) Trong số tiết luyện tập yêu cầu số em học sinh giỏi tạo tập cho lớp làm, em hứng thú nhiều em sáng tạo tập, có nhiều ngun hàm tích phân hay em đưa em: Lã Thị Thu, Nguyễn Xuân Khuyến, Nguyễn Thị Lan Cách làm khiến học sinh thật trở thành trung tâm trình dạy học, em chủ động tiếp thu kiến thức tích cực việc tự học lớp nhà 2.3.8 Hệ thống tập sử dụng kĩ thuật phương trình hàm bình phương giúp học sinh rèn luyện f ( x) [ 0;1] , Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = − x2 A Bài Cho hàm số f ( x) B ∫ f ' ( x ) dx Giá trị tích phân liên tục C ¡ D thảo mãn: f ( x ) + f ( − x ) = 2018 x x + ∀ x ∈ ¡ , Tính I = ∫ f ( x ) dx 20 A 2018 11 B Bài Cho hàm số ∀x ∈ [ −1;1] f ( x) 7063 C liên tục [ −1;1] 98 D 197764 33 f ( − x ) + 2018 f ( x ) = e x ∫ f ( x ) dx Tính −1 e −1 2018e B A e2 − e e2 − 2019e C D Cụm trường chuyên Đồng sông Cửu Long lần năm 2018 Bài Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ f ( − x ) − f ( x ) = tan x π ∫ f ( x ) dx − Tính π 1− A π π −1 π 2− B C D Trích đề thi trường chuyên KHTN - Lần - Năm 2018 f ( x) [ 0;1] có đạọ hàm liên tục thỏa mãn Bài Cho hàm số ∫[ A 1+ 1 f '( x) ] dx = 7, ∫ x f ( x) dx = , f (1) = B ∫ f ( x)dx π Tính C D Trích đề tham khảo Bộ năm 2018 Bài Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn 21 1 x ∫  f ′ ( x )  dx = ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx = 0 A e −1 e2 − f ( 1) = ∫ f ( x ) dx Tính B Bài Cho hàm số f ( x) ∫ ( f ′( x) ) , C f ′( x ) có đạo hàm f ( 1) = e π2 dx = e − D liên tục đoạn π  [ 0;1] thỏa ∫ cos  x ÷ f ( x ) dx = e ∫ f ( x ) dx Tính π π π A B C Trích đề thi PTNK Cơ Sở - TPHCM 2017 - 2018 Bài Cho hàm số π  f  ÷= 4 y = f ( x) π ∫ Biết D có đạo hàm liên tục đoạn f ( x ) dx = π π ∫ , f ′ ( x ) sin 2xdx = − π  π 0;  π π I = ∫ f ( x ) dx Tính tích phân A I =1 I= I =2 B C Tổng Hợp Đề SGD Nam Định 2017 - 2018 I= D 22 Bài Cho hàm số π ∫  f ′ ( x )  f ( x) dx = có đạo hàm liên tục π π Bài 10 Cho hàm số π f ( 0) = thỏa mãn , π ∫ sin x f ( x ) dx = A  π 0;  I = ∫ f ( x ) dx π π B C D Trích đề thi Sở GD VÀ ĐT Hưng Yên năm 2018 f ( x) Tích phân có đạo hàm liên tục đoạn nhận giá trị dương đoạn [ 0;1] [ 0;1] , f ( x) f ( 0) = thỏa mãn 1  f ′ ( x )  f ( x )  + 1 dx = f ′ ( x ) f ( x ) dx   ∫0  ∫0  f ′( x ) , ∫  f ( x )  dx Tính 15 15 17 2 A B C Trích đề thi SGD - Quảng Nam - Lần - 2017 - 2018 D 19 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Thông qua việc đưa bước giải cụ thể, cách phát vấn đề toán, đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng dạng tốn tơi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh đạt độ xác cao Từ kết kiểm tra tiến rõ rệt Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh lớp 12E36 12G36 đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt nhiều Kết khảo sát thực nghiệm cụ thể sau: Kết kiểm tra lần Điểm Số HS Lớp thực SL % nghiệm 12E36 12G36 42 40 12 21,4% 30% Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL % SL % SL % 24 23 57,1% 57,5% 19,1% 12,5% 2,4% 0% 23 Kết kiểm tra lần Số HS Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 Lớp thực SL % SL % SL % SL % nghiệm 12E36 42 0 10 23,8% 21 50,0% 11 26,2% 12G36 40 0 11 27,5% 20 50,0% 22,5% Kết thu được: Qua quan sát thực tế kiểm tra dạng tốn này, tơi thấy - Học sinh định hướng, giải nhanh thục toán nguyên hàm tích phân tơi sưu tầm từ đề thi học sinh giỏi tỉnh, trường THPT nước - Học sinh rèn luyện kỹ giải tốn tích phân, kỹ tính tốn, kỹ phát hiện, biến đổi linh hoạt phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho tốn, dạng tốn - Tiết học sơi nổi, học sinh hứng thú chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh lớp thực nội dung theo yêu cầu câu hỏi có kết tốt chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy Từ kết khẳng định giải pháp mà đề tài đưa có tính khả thi cao áp dụng hiệu trình dạy học 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua thực tế giảng dạy thấy cách làm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy phần nguyên hàm tích phân thân, từ góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Từ kinh nghiệm thực tiễn thân trình dạy học, giúp đỡ đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu tài liệu có liên quan đề tài hồn thành đạt kết sau đây: + Đề tài nêu lên thực trạng việc dạy học chủ đề “Nguyên hàm tích phân” + Đề tài đưa giải pháp thiết thực việc rèn luyện kĩ tìm tích phân cho tốn khó mà địi hỏi phải giải thời gian ngắn + Đề tài nêu ví dụ minh chứng điển hình cho giải pháp + Đề tài nêu cách xây dựng tích phân + Đề tài đưa số tập áp dụng sở dạng tập quen thuộc hệ thống tập luyện tập trích từ đề thi học sinh giỏi, đề thi thử THPT Quốc Gia trường THPT, Sở giáo dục số tỉnh, 24 thành phố nước để học sinh rèn luyện kỹ giải trắc nghiệm Toán 3.2 Kiến nghị Trên số sáng kiến kinh ngiệm thực đơn vị năm học vừa qua Rất mong đề tài xem xét, mở rộng để áp dụng cho đối tượng học sinh, giúp học sinh u thích say mê học Tốn Tôi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ chuyên môn, nhà trường em học sinh giúp đỡ tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Vũ Thị Phượng 25 ... tra dạng tốn này, tơi thấy - Học sinh định hướng, giải nhanh thục toán ngun hàm tích phân tơi sưu tầm từ đề thi học sinh giỏi tỉnh, trường THPT nước - Học sinh rèn luyện kỹ giải tốn tích phân, kỹ. .. dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hướng dẫn học sinh ôn tập số kiến thức cần thi? ??t để áp dụng vào giải dạng tốn tích phân +) Bảng ngun hàm hàm số sơ cấp, hàm số hợp +) Tính chất nguyên hàm tích phân. .. nhiên số dạng tập tích phân khó, đặc biệt tích phân hàm ẩn hai phương pháp khơng thể giải giải vơ phức tạp Vì vậy, tơi nhận thấy cần bổ sung thêm phương trình hàm bình phương tổng, hiệu giúp học sinh