(SKKN 2022) Một số kỹ năng tính các loại góc trong bài toán hình học không gian lớp 11 - THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KỸ NĂNG TÍNH CÁC LOẠI GĨC TRONG BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11- THPT Người thực hiện: Phạm Cơng Dũng Chức vụ: Phó Hiệu trưởng SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2022 MỤC LỤC Mục lục 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Bài tốn Góc hai đường thẳng Bài tốn Góc đường thẳng mặt phẳng Bài tốn Góc hai mặt phẳng 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT cấp cao xếp loại từ C trở lên Trang 2 2 2 4 11 19 20 20 20 21 21 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình giáo dục mơn tốn đóng vai trị quan trọng, góp phần khơng nhỏ giáo dục phát triển trí tuệ học sinh, giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, lơgíc, trực quan, thấy ứng dụng tốn học sống.Tốn học có nhiều phân môn, lĩnh vực khác nhau, lĩnh vực có vai trị tầm quan trọng riêng, có đặc trưng riêng biệt Cũng vấn đề khác tốn học hình học, mà mơn hình học khơng gian có vai trị quan trọng việc phát huy tư sáng tạo lơgíc học sinh Người thầy phải cung cấp cho học sinh kiến thức phổ thông mà phải trang bị cho em kỹ cần thiết Để làm tốt điều người thầy phải tự học tập nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ sư phạm, đúc kết kinh nghiệm giảng dạy, từ góp phần truyền đạt kiến thức cho học sinh cách hiệu nhất, để tiết học niềm đam mê khám phá tri thức học sinh Trong q trình giảng dạy hình học lớp 11, ơn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi học sinh giỏi, tác giả thấy học sinh gặp khó khăn giải tốn hình học khơng gian tốn tính loại góc khơng gian Đây phần tập xuất tương đối nhiều đề thi Phần trình bày sách giáo khoa đơn giản, mặt khác tài liệu tham khảo liên quan, hạn chế chưa đầy đủ Để giúp học sinh lớp 11 giải tốt tốn tính góc không gian, tạo niềm hứng thú cho em, nâng cao hiệu dạy Tác giả với mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số kỹ tính loại góc tốn hình học khơng gian lớp 11 - THPT” 1.2 Mục đích nghiên cứu : Mục đích nghiên cứu đề tài để nâng cao chất lượng giảng dạy học sinh lớp 11 học hình học khơng gian, em học sinh lớp 12 tham khảo q trình ôn tập tốt nghiệp THPT, thi học sinh giỏi cấp tỉnh Góp phần làm cho em thấy hay, đẹp mơn tốn, tạo động lực giúp em học tốt 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số kỹ tính loại góc tốn hình học khơng gian lớp 11 chương trình mơn tốn bậc THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Phương pháp điều tra tham dò khả làm tập học sinh - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin - Thống kê, tổng hợp, phân tích dạng tốn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Để thực đề tài tác giả dựa sở lý thuyết sau : 2.1.1 Góc hai đường thẳng khơng gian Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a ' b ' qua điểm song song với a b Kí hiệu (a¶, b) Vậy (a¶, b)  (a· ', b ') a b a' b' O Nhận xét 1.1 O + Góc hai đường thẳng a b không phụ thuộc r rvào vị trí điểm + Gọi  góc hai đường thẳng a b , u , v hai véctơ rr u.v phương a b cos   r r u.v 2.1.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa Cho đường thẳng d mặt phẳng ( ) Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng ( ) 900 Trường hợp đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng ( ) góc đường thẳng d hình chiếu (d ') ( ) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng ( ) Kí hiệu (d· ,( )) , (d· ,( ))  ( d· , d ') 2.1.3 Góc hai mặt phẳng a Định nghĩa Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng a      · ¶      ,     a, b b      b Các xác định góc hai mặt phẳng cắt     Dùng cho hai mặt phẳng cắt nhau: “Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với giao tuyến điểm” Bước Tìm giao tuyến d (P) (Q) Bước Chọn điểm O d, từ đó: Trong (P) dựng Ox  d , trong(Q) dựng Oy  d Khi ·  ,   ·Ox, Oy        c Diện tích hình chiếu đa giác Cho đa giác H nằm mặt phẳng ( ) có điện tích S H’ hình chiếu vng góc H mặt phẳng (  ) có S' diện tích S ' Gọi  góc ( ) (  ) cos   S 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Hậu Lộc đóng địa bàn xã vùng đồi phía tây bắc huyện Hậu Lộc có điều kinh tế khó khăn trình độ dân trí cịn thấp, chất lượng đầu vào thấp huyện Thực trạng giảng dạy mơn tốn trường, đặc biệt dạy học phần hình học khơng gian lớp 11 đa số học sinh “ sợ ” học hình khơng gian Qua chấm thi kiểm tra cuối kỳ, khảo sát…., phần đơng học sinh bỏ trống làm tốn hình học khơng, điển tốn tính loại góc hình học khơng gian lớp 11 Ngun nhân, lượng kiến thức trình bày sách giáo khoa cịn ít, em học sinh chưa có kỹ để xác định tính loại góc Những địi hỏi tư kỹ em khơng xử lý Do cần tìm biện pháp để giúp đỡ em học sinh thoát khỏi nỗi sợ hải hình học khơng gian, làm trịn trách nhiệm người thầy Giúp em tự tin giải toán, làm cho em đam mê học tập đạt hiệu cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong trình giảng dạy học sinh lớp 11, ôn thi tốt nghiệp THPT, ơn thi học sinh giỏi chun đề hình học không gian lớp 11 tác giả tổng hợp trang bị cho học sinh kỹ tính loại góc tốn hình học khơng gian lớp 11 – THPT Đề tài tập trung hình thành kỹ tính loại góc phạm vi kiến thức lớp 11 BÀI TỐN GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1.1 Kỹ sử dụng định nghĩa góc hai đường thẳng Ví dụ 1.1.1 Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm SC BC Tính số đo góc hai đường thẳng IJ CD S I A B D J C  IJ //SB · , AB)  SBA ·  ( I J· , CD )  ( SB  600 ( tam giác SAB Lời giải Ta có  CD // AB tam giác ).Vậy góc hai đường thẳng IJ CD 600 Nhận xét Nhờ chuyển góc hai đường thẳng qua điểm song song với hai đường thẳng cho mà ta xác định nhanh gó hai đường Ví dụ 1.1.2 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Tính góc hai đường thẳng AB ' A ' C ' [1] Lời giải Giả sử hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Do AC //AC  nên · ( AB ', A ' C ')  ( ·AB ', AC ) · Ta có: AB '  AC  CB '  a  Tam giác AB ' C nên CAB '  600 ·  ( ·AB ', A ' C ')  ( ·AB ', AC )  CAB '  600 Vậy góc hai đường thẳng AB ' A ' C ' 60 Nhận xét Ví dụ sử dụng nhận xét 1.1 cho lời giải nhanh chóng mà khơng cần thiết lập hai đường thẳng qua điểm song song với hai đường thẳng cho 1.2 Kỹ sử dụng góc hai vectơ phương Ví dụ 1.2.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SA  2a Gọi G trọng tâm tam giác SAB , điểm M trung điểm đoạn thẳng SD Tính cosin góc hai đường thẳng CG AM S M D G A I B C Lời giải Gọi I trung điểm AB uuuu r uuur uuu r Do M trung điểm SD nên AM  ( AD  AS ) Ta có a Do G trọng tâm tam giác SAB nên AM  SD  2 uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r CG  (CB  CA  CS )  (CB  CA  CA+ AS )  (CB  2CA+ AS ) 3 u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1  (CB  2CB +2CD  AS )  ( 3 AD  AB  AS ) 3 uuuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r 1 a2 AM CG  ( AD  AS )( 3 AD  AB  AS )  ( 2 AD  AS )  ( 2a  4a )  6 u u u r u u u r u u u r uuur 1 17 a 2 2 2 2  (  AD  AB  AS )  (9 AD  AB  AS )  (9 a  a  a )  CG 9 9 uuur uuuu r a CG AM 85 a 17   Nên ta có CG  Vậy cos(CG, AM )  CG AM 85 a 17 a Nhận xét Sử dụng kỹ tính góc hai vectơ phương mà ta giải tốn cách nhanh chóng, cho lời giải đẹp Nếu làm theo định nghĩa gặp khó khăn dựng đường thẳng song song, tính độ dài đoạn thẳng đó, lời giải dài, chí khơng giải Ví dụ 1.2.2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi F trung điểm cạnh AB G trung điểm SF Tính cosin góc tạo hai đường thẳng CG BD 82 82 41 41 A B C D [1] 82 41 41 41 Cách Lời giải Gọi I điểm đối xứng A qua B Ta có BDCI hình bình hành · , BD  cos CG · , CI nên CI P BD  cos CG     2a  Mặt khác: SC  SA2  AC     a   a a a CF  BC  BF   a      2   2 2 a 17 a SF  SA  AF   2a      2 2 2 a 5    a SC  CF SF  CG     3a Mà CI  BD  a ; IF  BI  2 Ta có SI  SA2  AI   2a    a 17     a 41    4   a   2a 2  a 17   3a     a    IF  SI SF a 65     IG      4 2 CG  CI  IG 82 · Do cos GCI   2CG.CI 82 · , BD  cos CG · , CI  82 Chọn đáp án D Vậy cos CG 82 Cách       Lời giải Gọi I trung điểm AF GI   ABCD  , GI  a Ta có GC  IC  GI  IB  BC  GI  41a ; BD  2a uuur uuur  uur uuu r uuur  uuur uuu r Xét GC.BD   GI  AB  AD  AD  AB  a 4   uuur uuur GC.BD 82 Chọn đáp án D · , BD  cos GC  GC.BD 82 Nhận xét Thông qua ví dụ 1.2.2 giáo viên trang bị cho học sinh hai kỹ tìm góc hai đường thẳng, phân tích ưu nhược điểm kỹ Góp phần phát triển tư hình học, tạo hứng thú học     BÀI TỐN GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 2.1 Sử dụng định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 2.1.1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B , AB  a, BC  3a ; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  30a Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy A 30o B 90o C 60o D 45o [2] Lời giải Vì SA  ( ABC ) nên hình chiếu SC lên mặt phẳng ( ABC ) AC · Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) góc SCA Trong tam giác ABC vng B ta có : AC  a  (3a )  a 10 ·  Trong tam giác vng SCA ta có: tan SCA SA a 30 ·    SCA  600 AC a 10 Chọn đáp án D Nhận xét Chỉ cần tìm hình chiếu SC lên mặt phẳng đáy mà ta xác định nhanh góc SC mặt phẳng đáy 2.2 Chuyển tính góc đường thẳng song song mặt phẳng song song với Ví dụ 2.2.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Gọi M , N trung điểm cạnh SD, CD Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (OMN ) S M D A N O B C Lời giải Ta có O, M trung điểm BD, SD nên OM P SD Tương tự MN P SC Suy  OMN  P  SBD  Vậy góc đường thẳng · ,(OMN ))  (SC · ,( SBC )) ( SC Ta có SA  ( ABCD )  SA  BC , mà ABCD hình vng nên BC  AB Do · BC  ( SAB) nên góc SC mặt phẳng ( SBC ) góc CSB Ta có SB  SA2  AB  2a  a  a Trong tam giác vuông SBC B ta có : SB a · · tan CSB     CSB  600 BC a Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng (OMN ) 600 Nhận xét Do mặt phẳng (OMN ) song song ( SBC ) nên chuyển tính góc SC mặt phẳng ( SBC ) trở nên dễ dàng Ví dụ 2.2.2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B có độ dài cạnh AB  BC  6, AD  12 Tam giác SAC vuông S uuur uuur có hình chiếu S xuống ABCD H thỏa mãn AC  AH Gọi M , N · ,( SAC )) trung điểm SB, CD Khi tan( MN A 57 57 B 19 19 C 57 19 D 57 19 [1] Lời giải Gọi P, Q, K trung điểm SA, AD, QD Khi MNKP · ,( SAC ))  ( PK · ,( SAC ))   hình bình hành nên P, Q, K , ( MN Gọi O, I trung điểm AC , OC · Ta có QO  ( SAC ) nên IK  ( SAC ) Suy   KPI Do AC   AH  2, HC   SH  HA.HC  SH  HA · cos SAH   2 SH  HA 57 · AC   IP  AP  AI  AP AI cos SAH  2 IK 57 Vậy tan   Chọn đáp án D  KI  QO  IP 19 2 Nhận xét Việc tính góc tính góc MN với ( SAC ) khó khăn nhứng MN song song với PK nên chuyển đổi tính góc MN với ( SAC ) tính góc giữa PK với ( SAC ) trở nên dễ dàng, gọn nhẹ 2.3 Sử dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Xuất phát từ Bổ đề Gọi ( ) góc đường thẳng d mặt phẳng ( ) d ( A,( )) sin   , với A  d , O  d  ( ) Ta tính nhanh góc OA Ta có AI  Ví dụ 2.3.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a, AD  a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Cosin góc đường thẳng SD mặt phẳng ( SBC ) 13 A B C D [3] 4 S D A K H B C Lời giải Gọi H trung điểm AB 10 Do mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy nên · ,( SBC ))  sin   d ( D,( SBC )) SH  ( ABCD ) Gọi   ( SD SD Do AD P  SBD   d ( D,( SBC ))  d ( A,( SBC ))  2d ( H ,( SBC ))  HK , với K hình chiếu H lên SB 1 a a a Ta có AH     HK  , BH  , mà 2 HK SH BH 2 Tam giác SHD vuông H  SD  SH  HD  SH  AH  AD  2a d ( D,( SBC )) 13 Chọn đáp án C   cos  SD 4 Nhận xét Ví dụ 2.3.1 đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thanh Hoá năm học 2021-2022, mức độ vận dụng Việc xác định hình chiếu SD lên mặt phẳng ( SBC ) khó khăn, chí xác định hình chiếu thì gặp khó khăn tính tốn độ dài đoạn hình chiếu Tuy nhiên sử dụng kỹ chuyển tính khoảng cách tốn giải cách nhanh chóng, cho lời giải đẹp 2.4 Chuyển tính góc phụ Xuất phát từ Bổ đề Gọi ( ) góc đường thẳng d mặt phẳng ( ) · , d ) ,  đường thẳng qua O (với O  d  ( ))   900  ( vng góc với ( ) Ví dụ 2.4.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông, tam giác SAC cân SA   ABCD  Gọi H ,K hình chiếu A SB SC Tính góc tạo BC ( AHK ) A 30 B 60 C 45 D.15 [1] Vậy sin   Lời giải Ta có BC   SAC   AH   SBC   AH  SC CD   SAD   AK   SCD   AK  SC Do SC   AHK  BC · ,  AHK   cot BC · , SC  cot SCB ·  Suy tan BC SB Mà SA  AC  BC nên SB  BC BC · · ,  AHK   30   BC Vậy tan BC ,  AHK   Chọn đáp án A BC 3         11     · · , SC phụ Nhận xét Nhờ phát góc BC ,  AHK  BC mà ta giải nhanh tốn So với cách dùng định nghĩa khó khăn việc tìm hình chiếu điểm B tính độ dài đoạn thẳng hình chiếu, dẫn đến tốn khơng giải BÀI TỐN GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 3.1 Sử dụng định nghĩa góc hai mặt phẳng Ví dụ 3.1.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B , AB  SD  3a , AD  SB  4a , AC   SBD  Tính tang góc hai mặt phẳng  SAB   ABCD  15 16 A B C D [1] 16 25 12 Lời giải Ta có AC   SBD    ABCD    SBD   ABCD    SBD   BD Trong mặt phẳng  SBD  , dựng SH  BD  SH   ABCD   SAB    ABCD   AB (1) Trong mp  ABCD  , dựng HK //AD  HK  AB (2)  AB  HK  AB   SHK   SK  AB (3) Mặt khác   AB  SH  SH   ABCD   · , SK  SKH ·  Từ (1), (2), (3) suy góc  SAB   ABCD  HK   Ta có SB  SD  AD  AB  BD  25a  SBD vuông S BD  5a SB.SD 12a  Suy SH BD  SB.SD  SH  , BD BH SB 16a 16 SB  BD.BH     BD BD 25a 25 HK BH 16 16 64    HK  4a  a Trong tam giác ABD có HK //AD nên AD BD 25 25 25 SH 15  Chọn đáp án B Vậy tan   HK 16 3.2 Xác định góc hai mặt phẳng cắt Ví dụ 3.2.1 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy cạnh bên 2 Gọi  góc mặt phẳng  SAC  mặt phẳng  SAB  cos  12 A B 21 C D [1] Lời giải Gọi O  AC  BD Ta có SO   ABCD  Gọi I trung điểm AB , kẻ OH  SI ( H  SI )  AB  OI  AB   SOI   AB  OH Suy ra: OH   SAB  Ta có:   AB  SO  BO  AC ·  BO   SAC  Từ đó:   ·OH , BO   BOH Lại có:  BO  SO  Ta có: SO  SB  OB   2 2   SO.OI 6.1  SO  OI 1 OH 21 ·   Xét BOH vng H , ta có: cos BOH  BO 7 21 Vậy cos   Chọn đáp án B Nhận xét Học sinh dễ dàng thực tính góc hai mặt phẳng cắt theo quy trình 3.3 Sử dụng diện tích hình chiếu đa giác Ví dụ 3.3.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Biết AB  BC  a, AD  2a Hình chiếu S lên mặt phẳng  ABCD  trung điểm AD SA  a Gọi  góc mặt phẳng  SCD  mặt phẳng  SAD  , Xét SOI vng O , ta có: OH  A cos   B cos   10 2  C cos   D cos   10 [1] 13 Lời giải Gọi  góc mặt phẳng  SCD  mặt phẳng  SAD  , góc  SCD   SHD   Ta có  SHD  hình chiếu  SCD  a2 a2 Tính S SHD  SH HD  S SCD  SI CD  ( I trung điểm 2 2 S 10 CD ).Vậy cos   SHD  Chọn đáp án D S SCD Nhận xét Khai thác định lý cơng thức diện tích hình chiếu sách giáo khoa, áp dụng vào tính góc, ta giải tốn tính góc cách nhanh gọn, cho lời giải đẹp 3.4 Chuyển mặt phẳng song song Ví dụ 3.4.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tang góc tạo hai mặt phẳng ( AMC ) ( SBC ) 5 A B C D [1] 5 Lời giải Gọi O tâm hình vng ABCD , N , I trung điểm SA AB  MN P AD OI P AD   Ta có   1 MN  AD OI  AD   2 14  MN P OI OI P BC  OMNI hình bình hành Ta có  Suy   MN  OI  NI P SB   OMNI  P  SBC   ·SBC  ,  AMC   · OMNI  ,  AMC     Dễ thấy  OMNI    AMC   MO Kẻ AH  NI , NI P OM  AH  OM  1 Kẻ HK / /OI ,  K  OM  Do OI  OM  HK  OM   Từ  1   suy AK  OM   OMNI    AMC   OM  · Ta có  HK   OMNI  , HK  OM    OMNI  ,  AMC     HK , AK   AKH   AK   AMC  , AK  OM 1 1 a       AH  Trong tam giác NAI ta có: AH NA2 AI a a a a a Trong tam giác AHK vuông H có AH  , HK  OI  AH · Suy tan AKH   HK 5 Vậy tang góc mặt phẳng  SBC   AMC  Chọn đáp án D Nhận xét Nhờ kỹ phát  OMNI  P  SBC  nên để tính góc mặt phẳng  SBC   AMC  chuyển tính góc mặt phẳng  OMNI  mặt phẳng  AMC  dễ dàng việc xác định hai đường thẳng vng góc với giao tuyến 3.5 Mở rộng mặt phẳng Ví dụ 3.5.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  có SA  AB  AD  Gọi M trung điểm SB , tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng  MAD   SAC  A B C D [1] 15 Lời giải Gọi  MAD    SBC    , suy M    AD   MAD   Ta có  BC   SBC    // AD // BC  AD // BC  Suy  đường thẳng qua M song song với BC Trong mặt phẳng  SBC  , gọi N trung điểm SC  MN // BC    MN Ta có  MAD    MADN  có  MADN    SAC   AN  DH  AC  DH   SAC  Trong  ABCD  , vẽ DH  AC H Ta có  DH  SA  SAHN · · Gọi    MAD  ,  SAC      ADN  ,  SAC  , ta có cos   SADN   AC  AD  CD   DH    AD.CD 3 AH   AH  AD  DH    AC 2 AC 3 3 Ta có SAHN  SACN  SSAC  SA AC  4 8 SC SC Ta có SC  SA  AC  , dễ thấy AN  DN    2 2 Sử dụng hệ thức Hê-rơng ta có SADN  p  p  a   p  b   p  c   S 3:8  Vậy cos   AHN  Chọn đáp án D SADN :4 Nhận xét Đây tốn khó, việc xác định mặt phẳng vng góc với giao tuyến khó khăn, cịn xác định tính dài, nhiên dùng kỹ mở rộng mặt phẳng  MAD    MADN  , kết hợp cơng thúc diện tích hình chiếu cho lời giải đẹp 3.6 Thông qua khoảng cách Bổ đề Chọn điểm A (  ) cho dễ dàng xác định hình chiếu H d  A,  · (  ) Dựng HK       ,      ·AKH    sin   d  A,   16 Ví dụ 3.6.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA  3a SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh CD , điểm E cạnh SA cho SE  a , cosin góc hai mặt phẳng  SAC   BME  bằng: A B 33 C D [1] Lời giải Trong  ABCD  gọi G  BM  AC G trọng tâm tam giác BCD ; BM  AD  F , ta có: MD //AB; AB  2MD  D trung điểm AF  AF  2a d  A,  BME   · Ta có:  SAC    BME   EG  sin   , với  SAC  ,  BME    d  A, EG    1 1 a    h 2 2 h AE AB AF 1 2a 22 33 k  d  A, EG     k  sin    cos   2 k AE AG 11 6 Chọn đáp án D Nhận xét Nhờ sử dụng Bổ đề chuyển tính góc thơng qua khoảng cách mà ta xác định tính nhanh góc hai mặt phẳng, so với cách làm thơng thường khác khó khăn Ví dụ 3.6.2 Cho lăng trụ S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB  a, AD  2a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy  ABCD  , Sa  2a Tính tang góc tạo hai mặt phẳng ( SCB )  SCD  Cách Gọi h  d  A,  BEF    S H E D A K B C Lời giải Gọi E hình chiếu B lên mặt phẳng ( SCD) Kẻ KE  SC , K  SC BK  SC Gọi  góc hai mặt phẳng ( SCB ) ·  SCD    BKE Gọi H hình chiếu A lên SD  AH  ( SCD) 17 5a , BE  d ( B;( SCD))  d ( A,( SCD))  AH  a a Ta có EK  BK  BE  BE  a  Vậy tan   Trong tam giác BEK : tan   EK a Cách Ta có BK  S K H D A B C Lời giải Gọi H hình chiếu A lên SB Ta có AH  SB, BC  ( SAB )  BC  AH  AH  ( SBC ) Tương tự gọi K hình chiếu A lên SD  AK  ( SCD ) Gọi  góc hai mặt phẳng ( SCB )  SCD    ( ·AH , AK ) 10 · Ta có SB  a 5, SD  2a; BD  5a,cos BSD ,  5a 5a Ta có AH  , AK  a  SH  , SK  a 5 5a · HK  SH  SK  2SH SK cos BSD ( )  (a 2)2  HK  a Trong tam giác AHK ta có: 5a ( )  ( a 2)  (a 2) 2 2 AH  AK  HK · cos HAK    AH AK 5a .a  tan   Vậy tan   Cách 5a 10 a  2a 5 1  cos   10 10 18 S M K C D H A B Lời giải Gọi H hình chiếu A lên SB Ta có AH  SB, BC  ( SAB )  BC  AH  AH  ( SBC ) Tương tự gọi K hình chiếu A lên SD  AK  ( SCD ) Gọi M hình chiếu A lên SC Ta có SC  ( AHMK ) nên gọi  góc hai mặt phẳng ( SCB )  SCD  · , MK )   ( HM 5a 5a a 5a , AK  a 2, AM   KM  , HM  3 15 tan 1  tan ·AMK  3, tan 2  tan ·AMH  tan 1  tan 2 tan   tan(1  2 )   Vậy tan    tan 1 tan 2 Cách AH  S I H D A B C Lời giải Gọi H , K hình chiếu A, D lên mặt phẳng ( SBC ) tứ giác AHID, BCIH hình chữ nhật 1 BC 1 AB a2 a2 · S '  SSCI  SC.CI sin SCI  SC.CI  BH BC  BC  2a  2 SC 2 SB 2a 5 1 S  SSCD  SD.DC  2a 2.a  a 2 2 Gọi  góc hai mặt phẳng ( SCB )  SCD  Ta có tam giác SCI hình chiếu tam giác ( SCD ) lên mặt phẳng ( SCB ) S ' a2 :a   tan   Vậy tan   Ta có cos    S 10 Nhận xét Qua ví dụ tác giả trang bị cho học sinh bốn cách làm, từ để em so sánh, lựa chọn đường ngắn nhất, hay để giải tốn hình học không gian, tạo niềm đam mê, hứng thú học 19 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường a) Đối với hoạt động giảng dạy thân đồng nghiệp Đề tài thân áp dụng thành công lớp 11B1, đồng nghiệp đánh giá có ứng dụng thực tiễn cao cơng tác giảng dạy hình học lớp 11 ôn thi tốt nghiệp THPT bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn bậc THPT Vận dụng đề tài vào giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng dạy, tăng cường tính hứng thú cho người học Đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học, hội nhập quốc tế Đề tài giáo viên tổ toán- tin, giáo viên ôn đội tuyển học sinh giỏi ôn thi THPT quốc gia, phần vận dụng tính loại góc áp dụng giảng dạy lớp phụ trách đem lại kết tương đối khách quan Qua phong trào đúc rút kinh nghiệp giúp thân đồng nghiệp trao dồi kiến thức kỹ năng, học tập kinh nghiệm lẫn để tiến Từ ngày nâng cao chất lượng giáo dục giảng dạy nhà trường, góp phần nhỏ tạo nên chất lượng giáo dục toàn ngành b) Đối với học sinh : Đề tài có tính hiệu thực tiễn cao công tác dạy học học sinh lớp 11, tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh lớp 12 học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia ôn thi học sinh giỏi Trang bị cho em kỹ để tính loại góc không gian phương pháp tổng hợp Các em khơng cịn sợ tốn tính loại góc, hình thành cho em niềm đam mê học tập, chủ động tiếp thu Kết kiểm tra 45 phút lớp 11B1 năm học 2021-2022, với 20 câu trắc nghiệm với hai lần kiểm tra với mức độ đề tương đương + Chưa áp dụng đề tài Số học sinh tham gia Loại giỏi Loại Loại trung bình Loại yếu 42 0% 33.3 % 45.3% 21.4 % + Áp dụng đề tài Số học sinh tham gia Loại giỏi Loại Loại trung bình Loại yếu 42 21.4 % 54.8 % 23.8% 0% Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận : Đề tài xây dựng kỹ để tính loại góc tốn hình học lớp 11 thơng qua ví dụ phong phú đa dạng Đề tài áp dụng rộng rãi cho học sinh lớp 11, học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia, ôn thi học sinh giỏi Đề tài nghiên cứu bổ sung tiếp để trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị : i) Đối với Sở giáo dục : Kính mong Sở giáo dục đào tạo tiếp tục đạo công tác nghiên cứu khoa học, triển khai sáng kiến có chất lượng tồn tỉnh đến trường THPT để học hỏi rút kinh nghiệm trình giảng dạy ii) Đối với nhà trường : Cần tăng cường cơng tác sinh hoạt Tổ nhóm chun môn để trao đổi chuyên môn.Đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu xót để hồn thiện 20 tác giả mong bổ sung góp ý chân thành đồng nghiệp./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2022 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả Phạm Công Dũng TÀI LIỆU THAM KHẢO : [1] : Đề thi thử tốt nghiệp THPT [2] : Đề thi thi tốt nghiệp THPT thức Giáo dục Đào tạo [3] : Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thanh Hóa năm 2020-2021 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Công Dũng Chức vụ đơn vị cơng tác: Phó Hiệu trưởng - Trường THPT Hậu Lộc TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh Kết Năm học giá xếp loại đánh giá đánh giá 21 xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, xếp loại Tỉnh ) C) Lượng giác hóa số tốn phương trình, bất đẳng thức tích phân Một số phương pháp điển hình tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp- Hình học 12 Nâng cao hiệu giải hệ phương trình đại số thơng qua số kỹ Nâng cao hiệu giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – Hình học 11 nâng cao thơng qua số kỹ Hướng dẫn học sinh yếu giải số tốn trắc nghiệm khách quan giải tích lớp 12 - THPT Một số kỹ tìm cơng thức tổng qt dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp 11 - THPT Ứng dụng đồng phẳng ba vectơ giải số tốn hình học khơng gian bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp 11- THPT Cấp Sở C 2006-2007 Cấp Sở C 2008-2009 Cấp Sở C 2011-2012 Cấp Sở B 2013-2014 Cấp Sở C 2016-2017 Cấp Sở C 2018-2019 Cấp sở C 2019-2020 22 ... dạy học sinh lớp 11, ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi học sinh giỏi chun đề hình học khơng gian lớp 11 tác giả tổng hợp trang bị cho học sinh kỹ tính loại góc tốn hình học khơng gian lớp 11 – THPT. .. học sinh lớp 11 giải tốt tốn tính góc khơng gian, tạo niềm hứng thú cho em, nâng cao hiệu dạy Tác giả với mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số kỹ tính loại góc tốn hình học khơng gian lớp 11 - THPT? ??... dạy học phần hình học không gian lớp 11 đa số học sinh “ sợ ” học hình khơng gian Qua chấm thi kiểm tra cuối kỳ, khảo sát…., phần đông học sinh bỏ trống làm tốn hình học khơng, điển tốn tính loại