Skkn một số kỹ năng tính các loại góc trong bài toán hình học không gian lớp 11 thpt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KỸ NĂNG TÍNH CÁC LOẠI GĨC TRONG BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11- THPT Người thực hiện: Phạm Cơng Dũng Chức vụ: Phó Hiệu trưởng SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2022 skkn MỤC LỤC Mục lục 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Bài tốn Góc hai đường thẳng Bài tốn Góc đường thẳng mặt phẳng Bài tốn Góc hai mặt phẳng 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT cấp cao xếp loại từ C trở lên Trang 2 2 2 4 11 19 20 20 20 21 21 skkn 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình giáo dục mơn tốn đóng vai trị quan trọng, góp phần khơng nhỏ giáo dục phát triển trí tuệ học sinh, giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, lơgíc, trực quan, thấy ứng dụng toán học sống.Toán học có nhiều phân mơn, lĩnh vực khác nhau, lĩnh vực có vai trị tầm quan trọng riêng, có đặc trưng riêng biệt Cũng vấn đề khác tốn học hình học, mà mơn hình học khơng gian có vai trò quan trọng việc phát huy tư sáng tạo lơgíc học sinh Người thầy phải cung cấp cho học sinh kiến thức phổ thơng mà cịn phải trang bị cho em kỹ cần thiết Để làm tốt điều người thầy phải tự học tập nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ sư phạm, đúc kết kinh nghiệm giảng dạy, từ góp phần truyền đạt kiến thức cho học sinh cách hiệu nhất, để tiết học niềm đam mê khám phá tri thức học sinh Trong trình giảng dạy hình học lớp 11, ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi học sinh giỏi, tác giả thấy học sinh gặp khó khăn giải tốn hình học khơng gian tốn tính loại góc khơng gian Đây phần tập xuất tương đối nhiều đề thi Phần trình bày sách giáo khoa đơn giản, mặt khác tài liệu tham khảo liên quan, hạn chế chưa đầy đủ Để giúp học sinh lớp 11 giải tốt tốn tính góc khơng gian, tạo niềm hứng thú cho em, nâng cao hiệu dạy Tác giả với mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số kỹ tính loại góc tốn hình học khơng gian lớp 11 - THPT” 1.2 Mục đích nghiên cứu : Mục đích nghiên cứu đề tài để nâng cao chất lượng giảng dạy học sinh lớp 11 học hình học khơng gian, em học sinh lớp 12 tham khảo q trình ơn tập tốt nghiệp THPT, thi học sinh giỏi cấp tỉnh Góp phần làm cho em thấy hay, đẹp mơn tốn, tạo động lực giúp em học tốt 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số kỹ tính loại góc tốn hình học khơng gian lớp 11 chương trình mơn tốn bậc THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Phương pháp điều tra tham dò khả làm tập học sinh - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin - Thống kê, tổng hợp, phân tích dạng toán Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Để thực đề tài tác giả dựa sở lý thuyết sau : 2.1.1 Góc hai đường thẳng khơng gian Định nghĩa: Góc hai đường thẳng khơng gian góc hai đường thẳng qua điểm song song với Kí hiệu Vậy skkn a b a' b' O Nhận xét 1.1 + Góc hai đường thẳng khơng phụ thuộc vào vị trí điểm + Gọi góc hai đường thẳng , hai véctơ phương 2.1.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa Cho đường thẳng mặt phẳng Trường hợp đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta nói góc đường thẳng mặt phẳng Trường hợp đường thẳng không vng góc với mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu gọi góc đường thẳng mặt phẳng Kí hiệu , 2.1.3 Góc hai mặt phẳng a Định nghĩa Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng b Các xác định góc hai mặt phẳng cắt skkn Dùng cho hai mặt phẳng cắt nhau: “Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với giao tuyến điểm” Bước Tìm giao tuyến d (P) (Q) Bước Chọn điểm O d, từ đó: Trong (P) dựng trong(Q) dựng Khi c Diện tích hình chiếu đa giác Cho đa giác H nằm mặt phẳng có điện tích H’ hình chiếu vng góc H mặt phẳng có diện tích Gọi góc 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Hậu Lộc đóng địa bàn xã vùng đồi phía tây bắc huyện Hậu Lộc có điều kinh tế khó khăn trình độ dân trí cịn thấp, chất lượng đầu vào thấp huyện Thực trạng giảng dạy mơn tốn trường, đặc biệt dạy học phần hình học khơng gian lớp 11 đa số học sinh “ sợ ” học hình khơng gian Qua chấm thi kiểm tra cuối kỳ, khảo sát…., phần đơng học sinh bỏ trống làm tốn hình học khơng, điển tốn tính loại góc hình học không gian lớp 11 Nguyên nhân, lượng kiến thức trình bày sách giáo khoa cịn ít, em học sinh chưa có kỹ để xác định tính loại góc Những địi hỏi tư kỹ em khơng xử lý Do cần tìm biện pháp để giúp đỡ em học sinh thoát khỏi nỗi sợ hải hình học khơng gian, làm trịn trách nhiệm người thầy Giúp em tự tin giải toán, làm cho em đam mê học tập đạt hiệu cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong trình giảng dạy học sinh lớp 11, ơn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi học sinh giỏi chuyên đề hình học khơng gian lớp 11 tác giả tổng hợp trang bị cho học sinh kỹ tính loại góc tốn hình học khơng gian lớp 11 – THPT Đề tài tập trung hình thành kỹ tính loại góc phạm vi kiến thức lớp 11 BÀI TỐN GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1.1 Kỹ sử dụng định nghĩa góc hai đường thẳng Ví dụ 1.1.1 Cho hình chóp có tất cạnh Gọi trung điểm Tính số đo góc hai đường thẳng skkn S I A B D C J ( tam giác Lời giải Ta có tam giác ).Vậy góc hai đường thẳng Nhận xét Nhờ chuyển góc hai đường thẳng qua điểm song song với hai đường thẳng cho mà ta xác định nhanh gó hai đường Ví dụ 1.1.2 Cho hình lập phương Tính góc hai đường thẳng [1] A B C D A' B' D' C' Lời giải Giả sử hình lập phương Do nên Ta có: có cạnh  Tam giác nên Vậy góc hai đường thẳng Nhận xét Ví dụ sử dụng nhận xét 1.1 cho lời giải nhanh chóng mà khơng cần thiết lập hai đường thẳng qua điểm song song với hai đường thẳng cho 1.2 Kỹ sử dụng góc hai vectơ phương Ví dụ 1.2.1 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , vng góc với mặt phẳng , Gọi trọng tâm tam giác , điểm trung điểm đoạn thẳng Tính cosin góc hai đường thẳng skkn S M D G A I B Lời giải Gọi Do C trung điểm trung điểm Do Nên ta có nên Ta có trọng tâm tam giác nên Vậy Nhận xét Sử dụng kỹ tính góc hai vectơ phương mà ta giải tốn cách nhanh chóng, cho lời giải đẹp Nếu làm theo định nghĩa gặp khó khăn dựng đường thẳng song song, tính độ dài đoạn thẳng đó, lời giải dài, chí khơng giải Ví dụ 1.2.2 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Gọi trung điểm cạnh trung điểm Tính cosin góc tạo hai đường thẳng A B C D [1] skkn S G B C D Cách Lời giải Gọi I F A điểm đối xứng qua nên Ta có hình bình hành Mặt khác: Mà ; Ta có Do Vậy Chọn đáp án D Cách skkn Lời giải Gọi trung điểm Ta có Xét Chọn đáp án D Nhận xét Thơng qua ví dụ 1.2.2 giáo viên trang bị cho học sinh hai kỹ tìm góc hai đường thẳng, phân tích ưu nhược điểm kỹ Góp phần phát triển tư hình học, tạo hứng thú học BÀI TỐN GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 2.1 Sử dụng định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 2.1.1 Cho hình chóp có đáy tam giác vng , ; vng góc với mặt phẳng đáy Góc đường thẳng mặt phẳng đáy A B C D [2] S A C B Lời giải Vì nên hình chiếu Vậy góc đường thẳng mặt phẳng Trong tam giác Trong tam giác vng vng lên mặt phẳng góc ta có : ta có: Chọn đáp án D Nhận xét Chỉ cần tìm hình chiếu lên mặt phẳng đáy mà ta xác định nhanh góc mặt phẳng đáy skkn 2.2 Chuyển tính góc đường thẳng song song mặt phẳng song song với Ví dụ 2.2.1 Cho hình chóp có đáy hình vng tâm cạnh , vng góc với mặt phẳng đáy Gọi trung điểm cạnh Tính góc đường thẳng mặt phẳng S M D A N O B Lời giải Ta có Suy C trung điểm nên Tương tự Vậy góc đường thẳng Ta có nên góc Ta có Trong tam giác vuông , mà mặt phẳng hình vng nên góc Do ta có : Vậy góc đường thẳng mặt phẳng Nhận xét Do mặt phẳng song song nên chuyển tính góc mặt phẳng trở nên dễ dàng Ví dụ 2.2.2 Cho hình chóp có đáy hình thang vng có độ dài cạnh Tam giác vuông có hình chiếu xuống thỏa mãn Gọi trung điểm A 57 57 B 19 19 Khi C 57 19 D 57 19 [1] skkn Lời giải Gọi trung điểm hình bình hành nên , Gọi trung điểm Ta có nên Suy Do Khi Ta có Vậy Chọn đáp án D Nhận xét Việc tính góc tính góc với khó khăn nhứng song song với nên chuyển đổi tính góc với tính góc giữa với trở nên dễ dàng, gọn nhẹ 2.3 Sử dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Xuất phát từ Bổ đề Gọi góc đường thẳng mặt phẳng với Ta tính nhanh góc Ví dụ 2.3.1 Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật, Mặt bên tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Cosin góc đường thẳng mặt phẳng A B C D [3] S D A K H B Lời giải Gọi trung điểm C 10 skkn Do mặt bên tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy nên Gọi Do với , hình chiếu lên Ta có Tam giác , mà vng Vậy Chọn đáp án C Nhận xét Ví dụ 2.3.1 đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thanh Hoá năm học 2021-2022, mức độ vận dụng Việc xác định hình chiếu lên mặt phẳng khó khăn, chí xác định hình chiếu thì gặp khó khăn tính tốn độ dài đoạn hình chiếu Tuy nhiên sử dụng kỹ chuyển tính khoảng cách tốn giải cách nhanh chóng, cho lời giải đẹp 2.4 Chuyển tính góc phụ Xuất phát từ Bổ đề Gọi góc đường thẳng mặt phẳng , đường thẳng qua (với vng góc với Ví dụ 2.4.1 Cho hình chóp có đáy hình vng, tam giác cân Gọi hình chiếu Tính góc tạo A B C D [1] S K H A D C B Lời giải Ta có Do Suy Mà nên Vậy Chọn đáp án A 11 skkn Nhận xét Nhờ phát góc phụ mà ta giải nhanh toán So với cách dùng định nghĩa khó khăn việc tìm hình chiếu điểm tính độ dài đoạn thẳng hình chiếu, dẫn đến tốn khơng giải BÀI TỐN GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 3.1 Sử dụng định nghĩa góc hai mặt phẳng Ví dụ 3.1.1 Cho hình chóp có đáy hình thang vng , , , Tính tang góc hai mặt phẳng A Lời giải Ta có Trong mặt phẳng Trong mp B C D [1] , dựng (1) , dựng (2) Mặt khác (3) Từ (1), (2), (3) suy góc Ta có vng Suy , Trong tam giác có nên Vậy Chọn đáp án B 3.2 Xác định góc hai mặt phẳng cắt Ví dụ 3.2.1 Cho hình chóp có cạnh đáy Gọi góc mặt phẳng mặt phẳng cạnh bên 12 skkn A B C D [1] S H A D I B O Lời giải Gọi Gọi trung điểm C Ta có , kẻ ( Ta có: Suy ra: Lại có: Xét Từ đó: Ta có: Xét ) vng vng Vậy , ta có: , ta có: Chọn đáp án B Nhận xét Học sinh dễ dàng thực tính góc hai mặt phẳng cắt theo quy trình 3.3 Sử dụng diện tích hình chiếu đa giác Ví dụ 3.3.1 Cho hình chóp có đáy hình thang vng Biết Hình chiếu lên mặt phẳng trung điểm Gọi góc mặt phẳng mặt phẳng , A B C D [1] 13 skkn Lời giải Gọi góc mặt phẳng Ta có Tính mặt phẳng , góc hình chiếu ).Vậy ( trung điểm Chọn đáp án D Nhận xét Khai thác định lý cơng thức diện tích hình chiếu sách giáo khoa, áp dụng vào tính góc, ta giải tốn tính góc cách nhanh gọn, cho lời giải đẹp 3.4 Chuyển mặt phẳng song song Ví dụ 3.4.1 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Gọi trung điểm cạnh Tính tang góc tạo hai mặt phẳng A B C D [1] S M N H K D I A O C B Lời giải Gọi Ta có tâm hình vng , trung điểm 14 skkn Suy hình bình hành Ta có Dễ thấy Kẻ Kẻ Từ , , suy Do Ta có Trong tam giác Trong tam giác ta có: vng Suy có , Vậy tang góc mặt phẳng Chọn đáp án D Nhận xét Nhờ kỹ phát nên để tính góc mặt phẳng chuyển tính góc mặt phẳng mặt phẳng dễ dàng việc xác định hai đường thẳng vng góc với giao tuyến 3.5 Mở rộng mặt phẳng Ví dụ 3.5.1 Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy có Gọi trung điểm , tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng A B C D [1] 15 skkn Lời giải Gọi , suy Ta có Suy đường thẳng qua song song với Trong mặt phẳng , gọi trung điểm Ta có có Trong , vẽ Ta có Gọi , ta có Ta có Ta có , dễ thấy Sử dụng hệ thức Hê-rơng ta có Vậy Chọn đáp án D Nhận xét Đây tốn khó, việc xác định mặt phẳng vng góc với giao tuyến khó khăn, cịn xác định tính dài, nhiên dùng kỹ mở rộng mặt phẳng , kết hợp cơng thúc diện tích hình chiếu cho lời giải đẹp 3.6 Thông qua khoảng cách Bổ đề Chọn điểm cho dễ dàng xác định hình chiếu Dựng 16 skkn Ví dụ 3.6.1 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh vng góc với mặt phẳng đáy Gọi trung điểm cạnh , điểm cạnh cho , cosin góc hai mặt phẳng bằng: A B C D [1] S E A D Lời giải Trong , ta có: M G B F C gọi Ta có: trọng tâm tam giác trung điểm ; , với Gọi Chọn đáp án D Nhận xét Nhờ sử dụng Bổ đề chuyển tính góc thơng qua khoảng cách mà ta xác định tính nhanh góc hai mặt phẳng, so với cách làm thông thường khác khó khăn Ví dụ 3.6.2 Cho lăng trụ có đáy hình chữ nhật , cạnh bên vng góc với mặt đáy Tính tang góc tạo hai mặt phẳng Cách S H E D A K B C Lời giải Gọi hình chiếu lên mặt phẳng Kẻ Gọi góc hai mặt phẳng Gọi hình chiếu lên 17 skkn Ta có , Ta có Trong tam giác Vậy Cách S K H D A B C Lời giải Gọi hình chiếu lên Ta có Tương tự gọi hình chiếu lên Gọi góc hai mặt phẳng Ta có , Ta có Trong tam giác Vậy ta có: Cách 18 skkn S M K C D H A B Lời giải Gọi hình chiếu lên Ta có Tương tự gọi hình chiếu lên Gọi hình chiếu lên Ta có nên gọi góc hai mặt phẳng Vậy Cách S I H D A B C Lời giải Gọi hình chiếu hình chữ nhật lên mặt phẳng tứ giác Gọi góc hai mặt phẳng Ta có tam giác hình chiếu tam giác Ta có lên mặt phẳng Vậy Nhận xét Qua ví dụ tác giả trang bị cho học sinh bốn cách làm, từ để em so sánh, lựa chọn đường ngắn nhất, hay để giải tốn hình học khơng gian, tạo niềm đam mê, hứng thú học 19 skkn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường a) Đối với hoạt động giảng dạy thân đồng nghiệp Đề tài thân áp dụng thành cơng lớp 11B1, đồng nghiệp đánh giá có ứng dụng thực tiễn cao công tác giảng dạy hình học lớp 11 ơn thi tốt nghiệp THPT bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn bậc THPT Vận dụng đề tài vào giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng dạy, tăng cường tính hứng thú cho người học Đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học, hội nhập quốc tế Đề tài giáo viên tổ toán- tin, giáo viên ôn đội tuyển học sinh giỏi ôn thi THPT quốc gia, phần vận dụng tính loại góc áp dụng giảng dạy lớp phụ trách đem lại kết tương đối khách quan Qua phong trào đúc rút kinh nghiệp giúp thân đồng nghiệp trao dồi kiến thức kỹ năng, học tập kinh nghiệm lẫn để tiến Từ ngày nâng cao chất lượng giáo dục giảng dạy nhà trường, góp phần nhỏ tạo nên chất lượng giáo dục toàn ngành b) Đối với học sinh : Đề tài có tính hiệu thực tiễn cao công tác dạy học học sinh lớp 11, tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh lớp 12 học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia ôn thi học sinh giỏi Trang bị cho em kỹ để tính loại góc khơng gian phương pháp tổng hợp Các em khơng cịn sợ tốn tính loại góc, hình thành cho em niềm đam mê học tập, chủ động tiếp thu Kết kiểm tra 45 phút lớp 11B1 năm học 2021-2022, với 20 câu trắc nghiệm với hai lần kiểm tra với mức độ đề tương đương + Chưa áp dụng đề tài Số học sinh tham gia Loại giỏi Loại Loại trung bình Loại yếu 42 0% 33.3 % 45.3% 21.4 % + Áp dụng đề tài Số học sinh tham gia Loại giỏi Loại Loại trung bình Loại yếu 42 21.4 % 54.8 % 23.8% 0% Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận : Đề tài xây dựng kỹ để tính loại góc tốn hình học lớp 11 thơng qua ví dụ phong phú đa dạng Đề tài áp dụng rộng rãi cho học sinh lớp 11, học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia, ơn thi học sinh giỏi Đề tài nghiên cứu bổ sung tiếp để trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị : i) Đối với Sở giáo dục : Kính mong Sở giáo dục đào tạo tiếp tục đạo công tác nghiên cứu khoa học, triển khai sáng kiến có chất lượng tồn tỉnh đến trường THPT để học hỏi rút kinh nghiệm trình giảng dạy ii) Đối với nhà trường : Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chun mơn để trao đổi chun mơn.Đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu xót để hoàn thiện 20 skkn tác giả mong bổ sung góp ý chân thành đồng nghiệp./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2022 ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Tác giả Phạm Công Dũng TÀI LIỆU THAM KHẢO : [1] : Đề thi thử tốt nghiệp THPT [2] : Đề thi thi tốt nghiệp THPT thức Giáo dục Đào tạo [3] : Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thanh Hóa năm 2020-2021 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Công Dũng Chức vụ đơn vị cơng tác: Phó Hiệu trưởng - Trường THPT Hậu Lộc TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh Kết Năm học giá xếp loại đánh giá đánh giá 21 skkn xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, xếp loại Tỉnh ) C) Lượng giác hóa số tốn phương trình, bất đẳng thức tích phân Một số phương pháp điển hình tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp- Hình học 12 Nâng cao hiệu giải hệ phương trình đại số thông qua số kỹ Nâng cao hiệu giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – Hình học 11 nâng cao thông qua số kỹ Hướng dẫn học sinh yếu giải số toán trắc nghiệm khách quan giải tích lớp 12 - THPT Một số kỹ tìm cơng thức tổng quát dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp 11 - THPT Ứng dụng đồng phẳng ba vectơ giải số tốn hình học không gian bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 11- THPT Cấp Sở C 2006-2007 Cấp Sở C 2008-2009 Cấp Sở C 2011-2012 Cấp Sở B 2013-2014 Cấp Sở C 2016-2017 Cấp Sở C 2018-2019 Cấp sở C 2019-2020 22 skkn ... dạy học sinh lớp 11, ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi học sinh giỏi chun đề hình học khơng gian lớp 11 tác giả tổng hợp trang bị cho học sinh kỹ tính loại góc tốn hình học khơng gian lớp 11 – THPT. .. dạy học phần hình học không gian lớp 11 đa số học sinh “ sợ ” học hình khơng gian Qua chấm thi kiểm tra cuối kỳ, khảo sát…., phần đông học sinh bỏ trống làm tốn hình học khơng, điển tốn tính loại. .. 11 giải tốt tốn tính góc khơng gian, tạo niềm hứng thú cho em, nâng cao hiệu dạy Tác giả với mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số kỹ tính loại góc tốn hình học khơng gian lớp 11 - THPT? ?? 1.2 Mục đích