(SKKN mới NHẤT) SKKN PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ TRONG KHAI THÁC và PHÁT TRIỂN bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ TRONG KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Người thực hiện: Lưu Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HÓA NĂM 2019 download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Trang Mở đầu… 1.1 Lí chọn đề tài……………………… ……………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………… ………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………….………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm …………………………… 2.1.1 Định nghĩa véctơ……… …………………………………………… 2.1.2 Các phép toán véctơ…………… ………………………………… 2.1.3 Các quy tắc véctơ………………… ………………………………… 2.1.4 Một số quan hệ hình học tính chất khác ………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm… 2.2.1 Thuận lợi……….…………………………………………………… 2.2.2 Khó khăn…………… ……………………………………………… 2.3 Giải vấn đề ……………………………………………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm………………………………… 16 Kết luận, kiến nghị……………………… 16 3.1 Kết luận……………………………………………………… 16 3.2 Kiến nghị……………….…………………………………………… 17 Tài liệu tham khảo… 18 Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá cấp Sở GD & ĐT xếp loại từ C trở lên download by : skknchat@gmail.com Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Khai thác tìm tịi phát triển tốn phương pháp cần thiết sử dụng trình giảng dạy toán giáo viên, giúp học sinh rèn luyện tư sáng tạo, tăng hứng thú, say mê học tập Các tốn hình học khơng gian thường xuyên xuất đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, thi học sinh giỏi thử thách không nhỏ cho số đông học sinh Để giải tốn ngồi phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ hóa cịn sử dụng phương pháp véctơ Nhờ phuơng pháp véctơ mà tốn hình khơng gian thơng thường có nội dung như: song song , thẳng hàng, đồng phẳng, tỉ số đoạn thẳng, điểm cố định, tốn cực trị…có thể giải cách đơn giản, dễ hiểu Sử dụng kết hợp phương pháp véctơ với khai thác phát triển tốn hình khơng gian giúp học sinh học tập chủ động, sáng tạo mà không phụ thuộc vào hình khơng gian Từ q trình nghiên cứu tốn hình khơng gian kì thi gần đúc rút từ thực tế giảng dạy thân, muốn chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm sử dụng: Phương pháp véctơ khai thác phát triển tốn hình học khơng gian lớp 11 1.2 Mục đích nghiên cứu Thực đề tài này, người viết hướng tới mục đích: - Khai thác, phát triển, tổng quát số toán liên quan đến tỉ số đoạn thẳng điểm cố định hình khơng gian phương pháp véctơ - Giúp học sinh phân dạng tập, tìm mối liên hệ tập 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đề tài tập trung nghiên cứu toán điểm cố định hình khơng gian vấn đề liên quan - Phương pháp véctơ giải tốn hình khơng gian 1.4 Phương pháp nghiên cứu Khi thực đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu tài liệu - Phương pháp nghiên cứu theo phân loại dạng tập: nghiên cứu tốn có cấu trúc tương tự Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Định nghĩa véctơ Véctơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng , rõ điểm điểm đầu, điểm điểm cuối [1] 2.1.2 Các phép toán véctơ  Phép cộng véctơ  Phép trừ véctơ download by : skknchat@gmail.com  Phép nhân véctơ với số  Tích vơ hướng hai véctơ 2.1.3 Các quy tắc véctơ  Quy tắc ba điểm:  Quy tắc hình bình hành: hình bình hành đó:  Với điểm ta có phân tích:  Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp đó: 2.1.4 Một số quan hệ hình học tính chất khác  Quan hệ thẳng hàng: ba điểm phân biệt thẳng hàng  Quan hệ đồng phẳng: ba véctơ đồng phẳng tồn cặp số cho với hai véctơ khơng phương ta có  Ba véctơ khơng đồng phẳng từ  Bốn điểm đồng phẳng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1.Thuận lợi Kiến thức véctơ trình bày kĩ lớp 10, học sinh luyện tập nhiều dạng phương pháp véctơ So với phương pháp hình khơng gian tổng hợp thường phải địi hỏi có tư cao, trí tưởng tượng hình vẽ phức tạp nhiều tốn hình khơng gian giải phương pháp véc tơ lời giải thường ngắn gọn, dễ hiểu hình vẽ khơng phức tạp 2.2.2 Khó khăn Đa số học sinh học yếu phần hình học đặc biệt phần vec tơ, e thường có tâm lý ngại học phần này, thường khó nhận dấu hiệu sử dụng phương pháp véc tơ, cách áp dụng phương pháp vào giải toán Thực tế phần véc tơ khơng gian lớp 11 có thời lượng Các toán sách giáo khoa dừng lại mức độ số lượng tập hạn chế Học sinh học phần đông mong muốn giải hiểu cách giải có sẵn, khơng đào sâu, trăn trở với toán đề khai thác, phát triển toán download by : skknchat@gmail.com 2.3 Giải vấn đề Bài tốn (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Thanh Hóa, năm học 2017-2018) Cho tứ diện qua trọng tâm có Một mặt phẳng thay đổi tứ diện, cắt cạnh điểm Chứng minh biểu thức có giá trị khơng đổi S C' G A' H A C B' S' M B Lời giải: Vì G trọng tâm tứ diện SABC nên ta có : M điểm tùy ý Áp dụng tính chất cho điểm , với ta có: Lại có Do Vì bốn điểm đồng phẳng nên phải có Nhận xét: +) Học sinh chưa tiếp cận với dạng toán khó để nhận nên sử dụng phương pháp véctơ giải toán Tuy nhiên hướng dẫn số dấu hiệu lựa chọn phương pháp véctơ hướng giải rõ +) Dấu hiệu lựa chọn phương pháp véctơ: Biểu thức tỉ số đoạn thẳng Tính chất véctơ trọng tâm tứ diện bốn điểm đồng phẳng download by : skknchat@gmail.com Các hướng phát triển toán - Thay điểm trọng tâm tứ diện điểm đặc biệt khác, chẳng hạn trọng tâm tam giác ta có: Từ tổng qt hóa Bài tốn (Bài tốn 1.1) - Mặt phẳng thay đổi chứa đường thẳng cố định (Bài toán 1.2) - Khai thác giá trị để xây dựng tốn cực trị khơng gian (Bài toán 1.3) - Phát triển toán cách thay giả thiết cho tứ diện cho hình khơng gian khác: hình chóp tứ giác, hình lăng trụ (Bài toán 1.4, Bài toán 1.5, Bài toán 1.6, Bài toán 1.7) Bài toán 1.1: Cho tứ diện Một mặt phẳng thay đổi qua điểm cố định thỏa mãn lượt điểm cắt cạnh lần Chứng minh biểu thức có giá trị khơng đổi Lời giải: Đặt , Khi Suy ra: Vì bốn điểm đồng phẳng nên phải có Vậy Nhận xét: Từ Bài tốn 1.1 giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán tương tự (tùy chọn điểm cố định) theo bước sau: Bước 1: Chọn véctơ khơng đồng phẳng tìm biểu thức véctơ xác định điểm cố định Bước 2: Dựa vào điều kiện đồng phẳng để chứng minh tính giá trị biểu thức Bài tốn 1.2 (Trích đề thi chọn HSG trường THPT Lê Lợi, năm 2018) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy tâm đáy download by : skknchat@gmail.com Mặt phẳng ( , thay đổi chứa khác cắt đoạn thẳng ) Chứng minh : , , Lời giải: S N A C O M B + Điểm cố định thuộc mặt phẳng tâm tam giác nên + Áp dụng Bài toán 1 cho hình chóp qua điểm , mặt phẳng cố định thỏa mãn cắt cạnh điểm + Khi ta có Vì bốn điểm đồng phẳng thay đổi nên : (đpcm) Chú ý: Trên mặt phẳng , đường thẳng thỏa mãn: Vì thay đổi qua thẳng hàng nên Như kết mặt phẳng mở rộng khơng gian ngược lại đặc biệt hóa tốn khơng gian download by : skknchat@gmail.com Bài tốn 1.3 Cho hình chóp tam giác Một mặt phẳng tia , , có , , thay đổi qua trọng tâm tam giác , cắt , , Giá trị nhỏ bằng? A B C D Lời giải: S C N A C O A B B Gọi trọng tâm tam giác Ta có Vì điểm , , , đồng phẳng nên Áp dụng BĐT Bunhiacôpski, ta có: download by : skknchat@gmail.com Đẳng thức xảy , , Vậy giá trị nhỏ Chọn D Nhận xét: Sử dụng kết toán tổng quát Bài toán 1.1 kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc sáng tạo số toán cực trị khác (xem phần Bài tập rèn luyện ) Có thể mở rộng tốn tổng qt cách thay hình chóp tam giác hình chóp tứ giác, hình lăng trụ Xem toán sau Bài toán 1.4 (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Thanh Hóa 2018-2019) Cho hình chóp , có đáy hình bình hành tâm Gọi mặt phẳng không qua cắt cạnh thỏa mãn thức Tính tỉ số giá trị biểu đạt giá trị nhỏ Lời giải: Đặt với , đó: Ta có: download by : skknchat@gmail.com (*) với Vì điểm đồng phẳng nên từ (*) ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có: , dấu ‘=’ Vậy Bài tốn 1.5 Cho hình chóp , có đáy Gọi trung điểm , mặt phẳng chứa khác hình bình hành tâm cắt cạnh Xác định vị trí mặt phẳng để biểu thức đạt giá trị nhỏ Lời giải: S M N P B C O A Đặt D với , đó: Ta có: download by : skknchat@gmail.com (*) Vì điểm đồng phẳng nên từ (*) ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: , dấu ‘=’ Vậy mặt phẳng chứa song song với Bài tốn 1.6 Cho hình chóp , có đáy hình thang có Gọi mặt phẳng khơng qua cắt cạnh thỏa mãn Tính tỉ số giá trị biểu thức Lời giải: đạt giá trị nhỏ S Q P M N C D A Đặt B với , đó: Ta có: download by : skknchat@gmail.com (*) Vì điểm đồng phẳng nên từ (*) ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có: , dấu ‘=’ xảy Vậy Bài toán 1.7 Cho hình hộp cạnh Gọi mặt phẳng thay đổi cắt Chứng minh Lời giải: A B D C M Q I N B Mặt phẳng P A D C cắt mặt bên theo giao tuyến tương ứng Vì hình bình hành Do ta có: nên (vì ) 10 download by : skknchat@gmail.com (vì )(đpcm) Nhận xét: Các tập cho thấy mặt phẳng thay đổi qua điểm cố định, cắt cạnh hình khơng gian ta ln tìm biểu thức xác định liên quan đến độ dài cạnh Vậy điều ngược lại có khơng? Các tốn sau rõ điều Bài toán Cho tứ diện Các điểm theo thứ tự chuyển động cạnh phẳng cho Chứng minh mặt qua điểm cố định Lời giải: S Đặt , Theo ra, ta có: +) C A I A +) C B G Giả sử điểm cố định mặt phẳng Khi điểm đồng phẳng nên ta có: B với Mặt khác điểm cố định nên tồn số không đổi cho: Từ , suy Kết hợp với , ta có: 11 download by : skknchat@gmail.com Vậy Suy trọng tâm tứ diện Chứng tỏ mặt phẳng qua điểm cố định trọng tâm tứ diện Nhận xét: Có thể phát triển tốn cách thay đổi đẳng thức giả thiết Bài toán 2.1 Cho tứ diện Các điểm theo thứ tự chuyển động tia phẳng cho Chứng minh mặt qua điểm cố định Lời giải: S C A C I A M B B Đặt , Theo ra, ta có: +) +) Giả sử điểm cố định mặt phẳng đồng phẳng nên ta có: Khi điểm với 12 download by : skknchat@gmail.com Mặt khác điểm cố định nên tồn số không đổi cho: Từ , suy Kết hợp với , ta có: Vậy (với trung điểm ) Suy trung điểm Chứng tỏ mặt phẳng ln qua điểm cố định Nhận xét: Có thể tổng quát toán cách thay biểu thức giả thiết Bài toán biểu thức tùy ý khác Hơn từ kết Bài tốn Bài tốn 2.1 dự đốn điểm cố định mặt phẳng Từ tổng qt hóa tốn giải toán tổng quát theo cách ngắn gọn Bài toán 2.2 Cho tứ diện Các điểm theo thứ tự chuyển động tia phẳng Lời giải: Lấy điểm cho Chứng minh mặt qua điểm cố định cố định thỏa mãn: 13 download by : skknchat@gmail.com Ta chứng minh mặt phẳng qua điểm Thật vậy, đặt , Ta có: , Suy Vì Nên từ suy điểm đồng phẳng Vậy mặt phẳng qua điểm cố định Dưới số toán áp dụng toán tổng quát Bài tốn 2.3 Cho hình chóp Trên cạnh điểm lấy di động cho ( số nguyên dương) Chứng minh mặt phẳng đường thẳng cố định Lời giải: Từ giả thiết ta có: ; Suy ; chứa ; Khi theo tốn tổng qt Bài tốn 2.2 ta có, mặt phẳng qua điểm cố định thỏa mãn , Vậy mặt phẳng chứa đường thẳng cố định Bài tốn 2.4.(Trích đề thi chọn HSG trường THPT Triệu Sơn 2, năm 2018) Cho hai nửa đường thẳng , chéo Hai điểm thay đổi cho (với Chứng minh đường thẳng Lời giải : hai độ dài cho trước) cắt đường thẳng cố định M x  A x' M' a A' I B b B' N y download by : skknchat@gmail.com 14 Dựng tia Trên , , lấy đặt đoạn , cho Khi ta có Khi theo Bài tốn 2.2, ta có ln qua điểm (hay đỉnh thứ tư hình bình hành cố định thỏa mãn ) Xét đường thẳng qua song song với , dễ thấy đường thẳng cố định cắt Bài tập rèn luyện Bài (Trích đề thi thử trường THPT Chun Lê Q Đơn – lần - 2019) Cho tứ diện có Một mặt phẳng thay đổi qua trọng tâm tứ diện, cắt cạnh điểm Giá trị lớn biểu thức A B C Đáp số: Chọn A Bài Cho hình chóp có đáy trung điểm cạnh Mặt phẳng qua A C B hình bình hành Gọi cắt cạnh Tính giá trị biểu thức D D Đáp số: Chọn B Bài Cho tứ diện có cạnh đơi vng góc điểm thuộc miền tam giác ABC Giá trị nhỏ biểu thức A B Đáp số: Chọn C Bài Cho hình chóp , đáy điểm di động cạnh ( khác đổi chứa song song với , cắt biểu thức C D hình bình hành tâm Gọi khác ) Mặt phẳng thay Tính giá trị 15 download by : skknchat@gmail.com A Đáp số: Chọn D Bài Cho hình chóp , B C , mặt phẳng D di động cắt cạnh cho , Chứng minh mặt phẳng qua điểm cố định Bài (Trích đề thi chọn HSG trường THPT Triệu Sơn 1, năm 2018) Cho tứ diện có ba cạnh đơi vng góc với Gọi hình chiếu vng góc lên mặt phẳng kỳ tam giác Chứng minh điểm bất Bài Cho hình hộp chữ nhật có tâm Mặt phẳng qua cắt tia tương ứng ba điểm phân biệt Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy rằng: sau luyện tập hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng phương pháp linh hoạt vào toán liên quan đến điểm cố định biểu thức tỉ số đoạn thẳng Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại gặp tốn Hầu hết em cịn biết vận dụng toán tổng quát để làm nhanh trắc nghiệm Một hiệu mà nhận thấy học sinh sau rèn luyện toán hứng thú với việc sử dụng phương pháp véctơ Biết áp dụng giải tương tự dạng toán khác Tuy nhiên với học sinh kiến thức cịn hạn chế chưa thấy điểm mạnh phương pháp véc tơ ý nghĩa việc khai thác , phát triển toán Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Trên sở tìm hiểu kĩ hai tốn liên quan đến điểm cố định hình khơng gian Đề tài đưa tốn tổng qt áp dụng cho hình chóp tam giác cách giải tốn tổng quát Từ kết tổng quát hóa đề tài phát triển tốn theo nhiều hướng khác thơng qua việc hệ thống hóa sáng tạo số tốn Nhờ học sinh hiểu chất tốn, có hứng thú với việc tìm tịi sáng tạo giải tốn Đề tài cho thấy phương pháp vectơ giải tốn hình khơng gian phương pháp mạnh, giúp giải nhanh chóng, rõ ràng, hiệu nhiều dạng tập khác kể tập mức vận dụng vận dụng cao Đề tài cịn mở rộng theo hướng tổng quát kết liên quan đến điểm cố định hình chóp tứ giác, hình lăng trụ sử dụng phương pháp vectơ để khai 16 download by : skknchat@gmail.com thác, phát triển dạng toán khác hình học khơng gian, như: tốn xác định góc, khoảng cách, tỉ lệ đoạn thẳng… Khi sâu chuỗi các tập có nhiều nét tương đồng hiểu rõ chất tốn tổng quát, sáng tạo toán cách dễ dàng Phát triển sáng tạo tốn giải tốn ln đem lại cho người dạy người học nhiều điều thú vị, tạo hứng thú niềm say mê với hoạt động dạy học nên cần trau dồi thường xuyên 3.2 Kiến nghị Sở Giáo dục đào tạo tổ chức hội thảo Sáng kiến kinh nghiệm để giáo viên có điều kiện trao đổi kinh nghiệm dạy học nói chung cách khơi dạy đam mê tìm tịi sáng tạo học tập Trên kinh nghiệm nhỏ tơi q trình dạy học phương pháp véc tơ khai thác phát triển tốn hình học khơng gian lớp 11 cho học sinh THPT chun đề dạy học Tốn, khơng tránh khỏi cịn có thiếu sót.Tơi mong nhận đánh giá góp ý Hội đồng khoa học ngành đồng nghiệp để đề tài hồn thiện có tính ứng dụng thực tiễn hiệu XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Tác giả Lưu Thị Thủy 17 download by : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nhiều tác giả, SGK Hình học 11 (Nâng cao) [2] Nhiều tác giả, SGK Hình học 11(Cơ bản) [3] Nhiều tác giả, SGK Hình học 10 (Nâng cao) [4] Nhiều tác giả, SGK hình học 10 (Cơ bản) [5] Nguyễn Anh Trường – Nguyễn Tấn Siêng , Chuyên đề giải tốn hình học khơng gian, Nhà xuất tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh [6] Đề thi thử THPT quốc gia trường THPT toàn quốc [7] Nguồn Internet 18 download by : skknchat@gmail.com DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại 19 download by : skknchat@gmail.com ... kết hợp phương pháp véctơ với khai thác phát triển tốn hình khơng gian giúp học sinh học tập chủ động, sáng tạo mà không phụ thuộc vào hình khơng gian Từ q trình nghiên cứu tốn hình khơng gian. .. dụng: Phương pháp véctơ khai thác phát triển tốn hình học khơng gian lớp 11 1.2 Mục đích nghiên cứu Thực đề tài này, người viết hướng tới mục đích: - Khai thác, phát triển, tổng quát số toán liên... nghiệm dạy học nói chung cách khơi dạy đam mê tìm tịi sáng tạo học tập Trên kinh nghiệm nhỏ tơi q trình dạy học phương pháp véc tơ khai thác phát triển tốn hình học khơng gian lớp 11 cho học sinh