(SKKN 2022) Góp phần phát triến tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học một số bài toán về phương trình chứa tham số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA THAM SỐ Người thực hiện:Lê Thị Tuyết Nhung Chức vụ : Tổ trưởng chun mơn SKKN thuộc mơn : Tốn THANH HÓA, NĂM 2022 Mục lục 1.Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1.Tổ chức hoạt động phát tương ứng, lợi dụng tương ứng 2.3.2 Trang bị tốt cho học sinh tri thức phương pháp hàm số, phương pháp thường dùng giải phương trình có chứa tham số 2.3.3.Cần hình thành cho học sinh số biểu tượng tương ứng thường gặp giải phương trình, bất phương trình .9 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 19 Kết luận, kiến nghị 19 3.1.Kết luận .19 3.2.Kiến nghị .19 1.Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Dạy học toán dạy hoạt động tư cho học sinh, có nhiều loại tư tư logic, tư sáng tạo, tư biện chứng, tư độc lập, tư hàm Tương quan hàm khái niệm trung tâm Toán học, khái niệm hàm khái niệm chủ đạo xuyên suốt chương trình tốn phổ thơng Thơng qua dạy học, học sinh nắm vững biết vận dụng tốt tư tưởng tương quan hàm vào giải vấn đề toán học thực tiễn Hiện nhà trường phổ thông tương quan hàm đề cập nhiều mơn đại số giải tích, nội dung quan trọng thường hay xuất đề thi tốt nghiệp THPT hay thi học sinh giỏi phương trình, đặc biệt phương trình chứa tham số Với mong muốn giúp học sinh có nhìn tổng quan phương trình chứa tham số, phương trình giải phương pháp đặt ẩn phụ, mạnh dạn lựa chọn đề tài: “ Góp phần phát triến tư hàm cho học sinh thông qua dạy học số tốn phương trình chứa tham số ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khó khăn, vướng mắc học sinh học chủ đề phương trình, đặc biệt tốn chứa tham số Phân tích, tìm tịi xây dựng phương pháp giải thơng qua ví dụ mẫu Đề xuất hệ thống tập vừa sức, hướng dẫn học sinh nghiên cứu, tìm tịi tập loại, góp phần nâng cao chất lượng dạy học học số toán phương trình có chứa tham số cho học sinh trường phổ thông 1.3 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải dạng tốn phương trình có chứa tham số đề thi thử tốt nghiệp THPT trường THPT, Sở GD&ĐT nước, phân tích tìm hiểu khó khăn học sinh thường gặp phải học chủ đề Các vấn đề tơi trình bày đề tài nhằm phát triến tư hàm cho học sinh thông qua dạy học số tốn phương trình có chứa tham số 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sáng kiến dựa phương pháp xây dựng sở lý thuyết, hệ thống lại kiến thức có liên quan, xây dựng hệ thống tập vận dụng kiến thức cũ tổ chức thực Thực tiễn dạy học việc dự giờ, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp giúp cá nhân tơi hồn thiện sở lý luận tổ chức triển khai áp dụng Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Trước hết, nói thuật ngữ tư hàm; tư hàm tất nhiên khơng phải thuật ngữ tốn học, tư khái niệm tâm lý, hàm khái niệm tốn học, hàm khơng có nghĩa hàm số mà cịn tương ứng phần tử hai tập hợp Cho đến chưa có định nghĩa thống nhất, thức tư hàm Theo Koliagin- tư hàm định nghĩa sau: Tư hàm loại hình tư đặc trưng việc nhận thức tiến trình tương ứng riêng chung đối tượng tốn học hay tính chất chúng ( kể kỹ vận dụng chúng) [1] Theo Nguyễn Bá Kim tư hàm đặc trưng hoạt động : phát hiện, thiết lập, nghiên cứu lợi dụng tương ứng [5] Như nói tư hàm hoạt động trí tuệ liên quan đến nghiên cứu quy luật vật, tượng trạng thái biến đổi sinh động không trạng thái tĩnh tại, phụ thuộc lẫn cô lập tách rời Theo cách hiểu này, tư hàm không cần thiết nhà khoa học mà cần thiết người lao động, yếu tố quan trọng văn hóa tốn học, giúp người lao động tìm quy luật tự nhiên, xã hội tư Chẳng hạn, sản phẩm tư hàm thể qua câu ca dao: “ Chuồn chuồn bay thấp mưa, bay cao nắng, bay vừa râm” thể tương ứng độ cao thời tiết Hay câu hát: “Quê hương người một, mẹ thơi” tương ứng là: người- quê hương- mẹ Trong sáng kiến kinh nghiệm tơi chủ yếu khai thác ví dụ, tập tình dạy học nhằm phát triển tư hàm cho học sinh theo tư tưởng quan điểm Nguyễn Bá Kim 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực tiễn dạy học cho thấy: số tiết lớp khơng nhiều khối lượng kiến thức cần truyền thụ cho học sinh lớn Đặc biệt tư hàm ( kiến thức hàm số) sợi xun suốt chương trình, nội dung mơn tốn bậc THPT Những tri thức hoạt động tư hàm đặc biệt tri thức phương pháp khơng quy định chương trình không dạy cách tường minh cho học sinh, dạy phần giáo viên thường không sâu, truyền đạt chưa hết đặc trưng chủ yếu tư hàm Việc học học sinh nhiều hạn chế, học sinh không thấy tầm quan trọng tư hàm đề cập chương trình tốn học phổ thông Trước thực trạng cho dạy học sinh giải tốn điều cần thiết phải cho học sinh tập luyện hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp Muốn dạy lý thuyết hay tập cần hướng dẫn học sinh để họ thấy nét đặc trưng tư hàm nói ( biến thiên phụ thuộc, liên hệ nhân quả, vận dụng vào thực tiễn) 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1.Tổ chức hoạt động phát tương ứng, lợi dụng tương ứng Ví dụ Dạy học tốn khái niệm phương tích điểm đường tròn : Cho trước đường tròn (O ;R) điểm M bất kỳ, vẽ qua M cát tuyến MAB Giáo viên nên tổ chức hoạt động dạng nêu vấn đề đề học sinh tìm tịi thơng qua hệ thống câu hỏi mở : [2] - Khi M nằm ngồi đường trịn ứng với số thực ? - Tâm O đường trịn ứng với số thực - Với số thực âm ứng với điểm M đâu ? - Các điểm có phương tích với đường tròn thuộc đường ? Như tương ứng điểm M mặt phẳng xác định uuur uuur MA.MB ( tương ứng điểm với số) Ví dụ Khi dạy giá trị lượng giác góc từ 00 đến 1800 [2] 0 Sgk nêu định nghĩa : Với góc   0 ;180  -lấy điểm M nửa đường tròn đơn vị cho AOM   , giả sử M(x ;y) sin   y;cos   x; với x  0: y x  tan  ;  cot  x y Phát tương ứng nhận mối liên hệ tương ứng ví dụ tương ứng thời gian với quãng đường thời gian ; độ dài cạnh tam giác, hình vng với chu vi diện tích chúng hay dấu hiệu tương quan hàm : quan sát chuồn chuồn bay người lao động rút kinh nghiệm lao động sản xuất : thấp –mưa ; cao-nắng ; vừa-râm Trong ví dụ hoạt động phát tương ứng tương ứng góc  với điểm M có tọa độ M(x ;y) (hay góc  ứng với giá trị lượng giác xác định ) Để hoạt động phát thiết lập tương ứng có hiệu ta nên yêu cầu học sinh cần phải nhận biết quy tắc tổng quát mối liên hệ phân tích rõ quy tắc tương ứng định nghĩa, tốn Ví dụ Khi dạy định nghĩa phép đối xứng trục, Sgk trình bày : Là phép đặt tương ứng điểm M với điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d Nếu phân tích định nghĩa ta thấy : Điểm M’ ảnh điểm M qua đường thẳng d ba diều kiện sau thỏa mãn : +MM’ vuông góc với d +MM’ cắt d I +I trung điểm MM ‘ Nếu nắm vững định nghĩa học sinh tránh sai lầm giải tập : Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d ; thực tế dạy học cho thấy số học sinh giải toán cách cho d ( M ; d )  d ( M '; d ) Ví dụ Sau học đồ thị hàm số y  x , giáo viên nên cho học sinh giải tập sau : Biện luận theo m số nghiệm phương trình x  m Rõ ràng số nghiệm phương trình số giao điểm dồ thị hàm số y  x đường thẳng y  m; từ đồ thị ta có : + Với m  0; phương trình vơ nghiệm +Với m  0; phương trình có nghiệm (kép) x  + Với m  0; phương trình có hai nghiệm x phân biệt Như tương ứng Một giá trị m  0; cho giá trị x  Một giá trị m  0; cho hai giá trị x đối Khi nắm vững tương ứng số giá trị m không âm với số nghiệm x đặt ẩn phụ x  m , học sinh giải tốt toán số nghiệm phương trình có liên quan đến giá trị tuyệt đối Ví dụ Khi học hàm số mũ, hàm số logarit cần tập luyện cho học sinh hoạt x động phát tương ứng đặt t  a  a  0 cách biện luận số giao điểm đường thẳng y  m đồ thị hàm số mũ hai trường hợp số a, từ ta thấy với giá trị m  cho tương ứng nghiệm phương trình a x  m (tương ứng 1-1) Hay số nghiệm dương phương trình y  log a x  m (với giá trị m) phương trình ln có nghiệm (tương ứng 1-1) 2.3.2 Trang bị tốt cho học sinh tri thức phương pháp hàm số, phương pháp thường dùng giải phương trình có chứa tham số Khi giải phương trình chứa tham số, thao tác thường gặp đặt ẩn phụ, học sinh cần ý thức việc tìm điều kiện ẩn phụ với miền cho ẩn ban đầu Chính người thầy cần khai thác triệt để hội để rèn luyện cho học sinh tri thức phương pháp hàm số kĩ đọc bảng biến thiên, kĩ đọc thông tin từ đồ thị, kĩ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số, nắm vững số phép biến đổi đồ thị Chẳng hạn, sau học đồ thị hàm số y  x , giáo viên nên rèn luyện cho học sinh kĩ đọc thông tin từ đồ thị, bảng biến thiên thông qua hệ thống câu hỏi : +Từ đồ thị hàm số, em tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số (hay tập giá trị hàm số) ? + Với tập giá trị thế, em cho biết với giá trị tham số m phương trình x  m -Vơ nghiệm - Có nghiệm ; có nghiệm phân biệt ? Qua học sinh thấy mối quan hệ hai tốn tìm tập giá trị hàm số tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm Các phương pháp thường dùng để tìm tập giá trị sử dụng đồ thị, bảng biến thiên, sử dụng tính đơn điệu hàm số, sử dụng bất đẳng thức Đứng trước toán, việc lựa chọn phương pháp giải quan trọng, học sinh bị áp lực mặt thời gian Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m   2022; 2022 để đồ thị hàm số y  x3  3mx  đường thẳng y  x  có điểm chung? A 2023 B 2021 C 4038 D 2022 Phân tích tìm tịi lời giải: Đứng trước toán học sinh cần thấy được: chất tốn tìm m để phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị có nghiệm Phương trình tương giao phương trình bậc ba, với phương trình bậc ba có cách giải nào? Cách 1: Nhẩm nghiệm đưa phương trình tích Cách 2: Sử dụng tính chất đồ thị hàm số bậc ba ( đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành điểm ?) Cách 3: Cô lập tham số Ở tốn việc nhẩm nghiệm khó thực hiện, cách không tối ưu nên lựa chọn cách Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm x  3mx   3x   x  x   3mx  3m  3 x  3x  (1) x (Do x =0 nghiệm phương trình) x3  3x  2 2 x3  2   x   ; f  x  2x   Xét hàm f  x   ; f  x   x  x x x x2 Bảng biến thiên Khi u cầu tốn  m  Mà m nguyên m   2022; 2022 nên có 2022 giá trị thỏa mãn Ví dụ (THPT Đào Duy Từ, Thanh hóa) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số: y = x - 3x + cắt đường thẳng y = m- điểm phân biệt A  m  B 1  m  C 1  m  D m  Phân tích tìm tịi lời giải: Một số học sinh cảm giác khó khăn gặp tốn đề xuất dấu giá trị tuyệt đối Với học sinh hơn, nắm vững kiến thức giá trị tuyệt đối hiểu đặt f(x) = x3 - 3x2 + 2 f ( x ) = x - 3x + = x - 3x + 3 Do gặp tốn khơng nên chọn phương pháp đặt ẩn phụ, mà chọn phương pháp đồ thị tối ưu Học sinh phác họa đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 Sau suy cách vẽ đồ thị f ( x ) = x - 3x + = x - 3x + 3 đồ thị hình vẽ A y x O y=f(x) -2 B ( C) cắt (d) điểm phân biệt Û - 2< m- 1< Û - 1< m< chọn B 2.3.3.Cần hình thành cho học sinh số biểu tượng tương ứng thường gặp giải phương trình, bất phương trình Khi dạy dạng tốn u cầu tìm giá trị tham số để phương trình có số nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài, người thầy ln có ý thức khắc sâu tri thức phương pháp cho học sinh, chẳng hạn : -Số giao điểm đồ thị hàm số y=f(x) đồ thị hàm số y= g(x) số nghiệm phương trình f ( x)  g ( x) ( tương ứng đơn trị -1) - Khi đặt t  k ( x) ứng với giá trị x thuộc tập xác định có giá trị t-nhưng ngược lại, với giá trị t khơng có, có một, hai, nhiều giá trị x Ví dụ đặt t  x với giá trị x, có giá trị t với giá trị t dương có hai giá trị x phân biệt, với t = ứng với giá trị x = 0, với t