Microsoft word SKKN 2022

PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nói chung tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối toán hấp dẫn khó chương trình Tốn THPT Đã có nhiều tài liệu trình bày kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến, lượng giác, … nhiều phương pháp khác đạo hàm, bất đẳng thức, lượng giác …(Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh giỏi, Phan Huy Khải) Tuy nhiên, việc tìm giá trị lớn nhỏ hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối cịn hạn chế Trong q trình giảng dạy, thơng qua việc tham khảo nhiều tài liệu riêng lẻ, thấy nội dung hay thích hợp với việc thi Tốn với hình thức thi trắc nghiệm nên tơi chọn đề tài: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối để làm chuyên đề chuyên môn trăng năm học 1.2 Điểm đề tài - Xây dựng quy trình tính nhanh tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng vấn đề tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Như nói trên, kì thi gần gũi kì thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia thường có câu hỏi việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Học sinh thường gặp nhiều khó khăn nhiều thời gian cho toán 2.1 Nội dung giải pháp Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu Định nghĩa: Cho hàm f xác định D  , D   + Số M gọi giá trị lớn hàm số f D f  x   M , x  D tồn x0  D cho f  x0   M Kí hiệu: max f  x   M hay max f  M xD D + Số m gọi giá trị nhỏ hàm số f D f  x   M , x  D tồn x0  D cho f  x0   m Kí hiệu: f  x   m hay max f  m xD D Một số định lí Định lí Cho f  x  xác định D   A, B  D A  B Giả sử f ;min f ; max f ;max f tồn Khi ta có, max f  max f ;min f  f A B A B Chứng minh: + Giả sử, max f  x   f  x0  , với x0  A A A B A B Do x0  A  B  x0  B  f  x0   max f  x  B + Chứng minh tương tự cho f  f A B Định lí Cho f , g hai hàm số xác định D f  x   g  x  , x  D Giả sử max f ;max g tồn Khi ta có, max f  max g D D D D Chứng minh Giả sử max g  x   g  x0  , với x0  D D Do f  x   g  x  , x  D  f  x0   g  x0  Lại có, f  x0   max f  x  Suy ra, max f  max g D D D Định lí Cho f hàm số xác định D  D1  D2 Giả sử, max f ,min f , (với Di Di i  1,2) tồn Khi ta có:   f  min f ;min f  max f  max max f ;max f , D D1 D (1) D2 D1 (2) D2 Chứng minh Ta chứng minh (1), ((2) chứng minh tương tự) Vì D1 , D2  D  nên theo  định max f  max f  max max f ;max f  max f Di D D1 D2 D Giả sử, max f  f  x0  , x0  D D Do D  D1  D2 nên x0  D1 x0  D2 Không tính tổng qt, ta giả sử x0  D1 lí 2, ta có (3) Theo định nghĩa, ta phải có  f  x0   max f  max f  f  x0   max max f ;max f D1 D D1 D2  (4) Từ (3) (4), suy điều phải chứng minh Định lí Cho hàm số f xác định D Giả sử f , max f tồn D D Khi ta có: max f    f  ;min f   max  f  D D D D Chứng minh + Giả sử, max f  f  x0  , x0  D D Suy f  x   f  x0  , x  D   f  x    f  x0  , x  D  ra,  f    f  x0    max f Hay max f    f  D D D D + Phần lại chứng minh tương tự Định lí Cho có hàm số f1 , f , , f n xác định D Đặt f  f1  f   f n Giả sử f ,min fi , max f , max fi , i  1, n tồn Khi D D D D đó, ta có: n max f   max f i D i 1 D Dấu xảy x0  D cho max f i  f i  x0  , i  1, n D n f   f i D i 1 D Dấu xảy x0  D cho fi  f i  x0  , i  1, n D Chứng minh Lấy tùy ý x  D Khi ta có, fi  x   max fi , i  1, n D n n i 1 i 1 Từ suy ra, f   f i   max fi , x  D D n Do điều với x tùy ý thuộc D nên suy max f   max f i D i 1 D (5) n Bây ta xét điều kiện để dấu xảy ra, tức max f   max fi D Giả sử, tồn n x0  D i 1 D max fi  f  x0  , u  1, n cho D Khi đó, n  max fi   fi  x0   f  x0  i 1 D i 1 Mặt khác, x0  D nên f  x0   max f (6) D n Từ (5) (6), suy max f  x    max fi Hơn nữa, max f  f  x0  D D i 1 D + Trường hợp lại chứng minh tương tự Định lí Cho có hàm số f1 , f , , f n xác định D fi  x   0, x  D Đặt f  f1 f f n Giả sử f ,min fi , max f , max fi , i  1, n tồn Khi đó, D D D D ta có:     max f  max f1 max f max f n D D D D Dấu xảy x0  D cho max f i  f i  x0  , i  1, n D      f  f1 f f n D D D D Dấu xảy x0  D cho fi  f i  x0  , i  1, n D Chứng minh Chứng minh tương tự định lí Định lí Cho f , g hai hàm số xác định D Đặt h  f  g Giả sử f ; g ;min h;max f ;max g ;max h tồn Khi ta có: D D D D D D max h  max f  g D (7) D D Dấu xảy tồn x0  D cho max f  f  x0  D g  g  x0  D h  f  max g D D D Dấu xảy tồn x0  D cho f  f  x0  D max g  g  x0  D Chứng minh Ta có, h  x   f  x   g  x   f  x     g  x   Theo định lí 5, ta có: max h  x   max f  x   max   g  x   D D (8) D Theo định lí 2, ta có: max   g  x         g  x     g  x  D D (9) D Từ (8) (9), suy max h  x   max f  x   g  x  Vậy (7) D D D Vẫn theo tính chất dấu (8) xảy tồn x0  D cho max f  x   f  x0  ;max   g  x     g  x0  D D Nhưng max   g  x     g  x0    g  x    g  x0   g  x   g  x0  D D D Định lí Cho f , g hai hàm số xác định dương D Đặt h  f ; g ;min h;max f ;max g ;max h tồn Khi ta có: D D D D D D max h  D max f D g D f Giả sử g Dấu xảy tồn x0  D cho max f  f  x0  D g  g  x0  D h  D f D max g D Dấu xảy tồn x0  D cho f  f  x0  D max g  g  x0  D Chứng minh tương tự định lí Định lí Giả sử hàm f xác định liên tục D Khi đó, đặt 0 M  max f  x  , m  f  x  f  x    D D D   M ; m  nÕu Mn  nÕu Mn  Chứng minh f  x   0, x  D với c   m; M  tồn Trước hết, ta có x  D : f  x   c (10) Nếu Mm  0, m   M nên tồn x0  D cho f  x0   Kết hợp với (10), suy f  x   D Nếu M m  Khơng tính tổng quát, giả sử M  m  f  x   m  0, x  D f  x0   m nên f  x   m, x  D nên f  x   f  x   m  M ; m   M ; m  D D Trường hợp m  M  , chứng minh tương tự Định lí 10 Cho f hàm số xác định D tồn max f  x  ,min f  x  Khi D D ta có:   max f  x   max max f  x  ; f  x  D D D (11) Chứng minh Áp dụng định  lí 4, (11) tương  đương với max f  x   max max f  x  ; max   f  x   D D D Lấy x0 tùy ý thuộc D, xảy hai khả sau: f  x0   Khi đó,   f  x0   f  x0   max f  x   max f  x   max max f  x  ; max   f  x   D D D D f  x0   Khi đó,   f  x0    f  x0   max   f  x    max   f  x    max max f  x  ; max   f  x   D D  D D  Do x0 tùy ý thuộc D nên suy ra, max f  x   max max f  x  ; max   f  x   (12) D  Bây giờ, không giảm  tính D D tổng quát, giả sử max max f  x  ; max   f  x    max f  x   f  c  , c  D (Trường hợp lại D D D chứng minh tương tự)  Khi đó, max f  x   f  c   max max f  x  ; max   f  x   D D D   (13) Từ (12) (13), suy max f  x   max max f  x  ; max   f  x   D Định lí 11 Cho hàm D D f  x số xác định  D Đặt D1   x  D : f  x   0; D2   x  D : f  x   0 Giả sử f  x  max f  x   D1  D2 tồn Khi ta có: f  x   min f  x  ; max f  x  D D1 D2 Chứng minh Từ giả thiết, ta suy f  x   f  x  D1 D1 (14) max f  x   f  x  , x  D2 (15) D2 Giả sử, max f  x   f  x0  , x0  D2 nên ta có f  x0   max f  x  (16) Từ (15) (16) suy ra, f  x   max f  x  (17) D2 D2 D2 Áp dụng  tính D2 chất 4,   (14), (17)  suy ra: f  x   min f  x  ;min f  x   min f  x  ; max f  x   D D1 D2 D1 D2 Định lí 12 Cho hàm số f  x  xác định D Giả sử f  x  : m;max f  x  : M ; D D Khi  M m  M m M m  M m nÕu p.q   max f  x   ;min f  x    ; D D 0 nÕu p.q   Chứng minh   Theo định lí 10, ta có max f  x   max max f  x  ; f  x  D D D (18) + Nếu M  m  max f  x   max M , m  M  D + Nếu M ,m  M mM m M m  M m  2 M  m   M   m max f  x   max  M ,  m   m D Mặt khác, M  m  M  m M  m  M  m   m 2 + Nếu M   m  max f  x   max M , m  M D M m0 Mặt khác, M m  M m M mM m   M 2 + Nếu M  0, m  M   m max f  x   max M , m  m D Mặt khác, M  m  M  m M  m  M  m   m 2 Vậy, trường hợp, ta có: max f  x   D M m  M m  M m  M m  Chứng minh tương tự cho kết f  x    D 0  nÕu p.q  ; nÕu p.q  Ví dụ Ví dụ Tìm giá trị lớn hàm số y  x3  3x  x   0;4 A B 25 C 18 D 32 Lời giải Xét hàm số f  x   x  x  x  đoạn  0;4 Ta có, f '  x   x  x   f '  x    x  1  0;4 , x   0;4 Lại có f    2; f  3  25, f    18 nên max f  x   2, f  x   25 0;4 Theo định lí 12, suy max f  x   0;4   25     25  0;4  25  f  3 Ví dụ 2: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị nhỏ hàm số y  x  x  m  1;2 Tổng tất phần tử S A 2 B C 14 D Lời giải Xét hàm f  x   x4  x2  m số f '  x   x  x  f '  x    x  0, x  1, x  Ta có f  1  m  1; f    m; f 1  m  1; f    m  nên f  x  :  m  1;max f  x  :  m  8;  1;2 + Nếu  1;2  m  1 m  8   1  m  x  x  m  (không thỏa  1;2 mãn) Nếu m  1 m8  m  1   m  8   m  1   m  8 2m   max y    1;2 2 + Ta phải có: 2m     2m   13  m  10, m  3 (thỏa mãn) Vậy, S  3;10 nên tổng phần tử S Chọn B Ví dụ 3: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn x  mx  2m hàm số y   1;1 Tổng tất phần tử x2 S A  Lời giải B C D 1 Xét hàm f ' x   x2  x  x  1 số x  mx  2m f  x  x2  f '  x    x  0, x    1;2 f  1  m  ; f     m; f 1  m  1; max f  x  : m; Ta có nên f  x  :  m  1;  1;2  1;2 Suy ra, max y   m  1   m    m  1   m   1;1 Ta phải có:  2m   2m     2m     m  2, m  3 (thỏa mãn) Vậy, S  3;2 nên tổng phần tử S 1 Ví dụ 4: Cho hàm số f  x   ax  bx  c có đồ thị hình y vẽ Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số g  x   f  x   m đoạn  1;5 10 Tính tổng phần tử tập S A 12 B 12 C D O x -1 -2 Lời giải Ta thấy, đồ thị hàm số f  x  qua điểm  1;2  , 1; 2  có đỉnh 1; 2   a  b  c   nên ta có a  b  c  2  a  1, b  1, c  1 nên f  x   x  x   b  1  2a Trên đoạn  1;5 , hàm số f  x  có cực trị x  Lại có f  1  2, f 1  2, f    14 nên max f  x   14, f  x   2  1;5 Xét hàm số max g  x   h x  f  x  m h  x   m  2, max h  x   m  14  1;5  1;5 m  14  m   m  14   m    1;5  1;5 nên  m   Theo đề bài, ta phải có max g  x   10  m    10  m  4, m  8  1;5 Vậy S  4; 8 nên tổng phần tử S 12 Ví dụ Cho hàm số y  x3  x  x  m Có số nguyên m để y nhỏ 1;3 3? A 21 B 22 C D 20 Lời giải Xét hàm f  x   x3  x  x  m số f '  x   3x  x   f '  x    x  1, x    1;3 Ta có f 1  m  1; f  3  m  15 nên f  x   m  1;max f  x   m  15; 1;3 1;3 + Nếu  m  1 m  15    15  m  y  (thỏa mãn) 1;3 Vậy, trường hợp S  17 Nếu m  15  m  1   m  15   m  1   m  15  y   m 7 8 1;3 + Ta phải có: m     m   11  18  m  m 1 Kết hợp với điều kiện m  15 m  ta m 16; 17;2;3 Tức S  Vậy, có 21 số nguyên m thỏa mãn Ví dụ Cho hàm số f  x   x  x3  x  m Tìm m để giá trị lớn hàm số f  x  đoạn 0;3 đạt giá trị nhỏ Lời giải Xét hàm f  x   x4  x3  x2  m có x   f ' x     x    x  Lại có, f '  x   x  12 x  x, x   g    m; g 1  m  1; g    m; g  3  m  g  x   m max f  x   0;3 0;3 nên max g  x   m  9; 0;3 m9m  m9m 2m   9   , m  2 Dấu xảy m   Vậy, giá trị lớn hàm số f  x  đoạn 0;3 nhỏ m Ví dụ Cho hàm số y  f  x   x  x  m Gọi S tập hợp giá trị tham số m để y  max y  Tính số phần tử S 0;2 A  0;2 B C Lời giải Ta có, f '  x   x   f '  x    x  0, x  D f    m; f 1  m  2; f    m  nên y  m  2;max y  m  0;2 Ta có, max y  m   m   m    m  2 0;2 0;2  m  + Nếu 2  m  y  nên ta phải có m     m  4 (không 0;2 thỏa mãn) + Nếu m  2 m2 y  m  0;2 nên ta phải có m   m    m  3 (Thỏa mãn) Vậy, S  Ví dụ (Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y  f  x   x  x  m Gọi S tập hợp giá trị nguyên m thuộc đoạn  2020;2020 cho max y  3min y 0;2 0;2 Tổng phần tử S A 63 B 51 C 195 D 23 Lời giải Ta có, f '  x   x  x  f '  x    x  0, x  1  0; 2 , x  f    m; f 1  m  1; f    m  nên max f  x   m  8;min f  x   m   0;2 0;2 Ta có, max y   0;2 2m   + Nếu 8  m  y  nên khơng thể có max y  3min y 0;2 0;2 + Nếu m  8 m  y  0;2 2m   0;2 max y  3min y Để 0;2 0;2 2m   2m     2m   18  2 11  m    2m   18    2m   18  m   25  Kết hợp với điều kiện m  8 m  ta phải có m  12,5 m  5,5 Theo đề m  , m   2020;2020 nên m 2020; 2019; 2018; ; 13;6;7; ;2020  S Vậy S      10  11  12    12   63 Chọn A Ví dụ (Lương Gia Huy) Biết hàm số f  x   ax  bx  c có ba điểm chung với trục  hoành  f 1  1, f ' 1  Gọi S  m   * f  x   m  12, x   0;2 Số phần tử tập S A 10 B 11 C 12 D Lời giải Đồ thị hàm số f  x  có điểm chung với trục hoành nên đồ thị tiếp xúc với trục hoành gốc tọa độ nên f     c  Lại f ' 1  nên 4a  2b  f 1  1  a  b  1 (2) Từ (1) (2), suy a  1, b  2 Vậy f  x   x  x (1) Theo đề, ta phải f  x   m  12, x   0;2  max g  x   12 có 0;2 với g  x   f  x   m  x  1 g ' x   x3  x  g '  x     x  g    m; g 1  m  1; g    m  Ta thấy, max g  x    m  8   m  1   m  8   m  1 0;2  nên 2m   Suy ra, ta có: 2m    24  15  2m   15  4  m  11 Vậy, S  1;2;, ,11 nên S  11 Ví dụ 10 Cho hàm số y  x  x   m  1 x  27 Gọi S tập tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số đoạn  3; 1 có giá trị nhỏ Khi đó, tích phần tử S B 4 A C D 8 Lời giải Xét hàm số f  x   x3  x2   m2  1 x  27 có f ' x  3x2  2x  m2 1  0,x  3; 1 Lại có f  3   3m , f  1  26  m Ta thấy, 26  m    3m2   20  2m2   26  m   3m2 nên max f  x   26  m , f  x    3m  3;1  3;1 Suy ra, max f  x    3;1  3m2  26  m2   3m2  26  m2   m2  m2  10  g  m + Nếu  m2   2  m  2 g  m    m  26  18, m   2 2;2   + Nếu  m2   m  2 2, m  2 g  m   3m   18, m  ; 2    2; )      Vậy, max f  x   18  m  2 2, m  2 Hay S  2 2;2 nên tích  3;1 tất phần tử S 8 Bài tập tự luyện Bài tập Cho hàm số y  x  x  m Có giá trị tham số m để y  2020?  4;2 A B C D Bài tập Gọi S tập hợp giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số x  mx  3m y đoạn  2;2 Tính tổng phần tử S x3 A B 5 C D 4 Bài tập Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ Gọi S tổng giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số y   1;3 nhỏ f  x   m đoạn 2020 Giá trị S A 2019 B 2018 C 1 D Bài tập Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số   y  4cos x  2sin x  m  đoạn  0;  nhỏ 4?  2 A 12 B 14 C 13 D 15 Bài tập Cho hàm số f  x   x  2mx  Có giá trị nguyên m để giá trị lớn f  x  đoạn 1;2 không lớn 3? A B C D Bài tập Tính tổng tất giá trị nguyên lớn tham số m cho giá trị hàm số y  x   m  1 x  m  2; m  1 nhỏ 2020 A 2043210 B 2034201 C 3421020 D 3412020 Bài tập Cho hàm số y  sin x  cos x  m Có giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số bé 2? A B C D Bài tập Cho hàm số f  x   x  3x  m Tìm tất giá trị m thỏa mãn 3max f  x   f  x   17 1;3 1;3 A m 9; 5;29 5  B m  9; 5;   3  C m 9; 5 D m  9; 5;5 Bài tập Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau x f'   3 4  1  0   f 3 4      Có giá trị tham số m để max f x3  x  f  m    1;1 A B C   D 11 PHẦN KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng đề tài Thông qua đề tài này, thấy rằng, với số tốn nhìn ta thấy việc giải tốn theo cách thơng thường đơi gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, linh hoạt, sáng tạo hiểu chất vấn đề giải cách nhanh chóng kết bất ngờ Với đề tài này, thân vận dụng q trình dạy học sinh ơn thi THPT Quốc gia năm học 2020 – 2021, 2021 – 2022 nhận thấy rằng, đa số học sinh hào hứng tiếp nhận phương pháp thực tốt tập có dạng liên quan Vì vậy, tơi cho rằng, với đề tài này, đồng nghiệp vận dụng trình giảng dạy học sinh học tập chương trình Giải tích lớp 12, đặc biệt chuyên đề tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cách có hiệu 3.2 Kiến nghị, đề xuất Trong trình thực hiện, chắn không tránh khỏi sơ suất Rất mong quí đồng nghiệp học sinh góp ý đề tài thực tài liệu tham khảo có giá trị cho giáo viên học sinh giải toán  ... đề tài này, thân vận dụng q trình dạy học sinh ơn thi THPT Quốc gia năm học 2020 – 2021, 2021 – 2022 nhận thấy rằng, đa số học sinh hào hứng tiếp nhận phương pháp thực tốt tập có dạng liên quan