Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word SKKN hoan chinh cua Khoi doc NguyÔn Huy Kh«i RÌn luyÖn t− duy häc sinh qua bµi to¸n "T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d y sè " 2 I §Æt vÊn ®Ò 1) C¬ së lý luËn §Êt n−íc ta ®ang trªn ®−êng ®æi m[.]
Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t− häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dÃy số " I- Đặt vấn đề 1) Cơ sở lý luận: Đất nớc ta đờng đổi phát triển, kinh tế tri thức đòi hỏi cần phải có ngời toàn diện, có đủ Đức - Trí - Thể - Mỹ Nhu cầu đặt cho giáo dục nớc ta nhiệm vụ mới, trớc hết cần phải đổi nội dung chơng trình sách giáo khoa cho phù hợp với thực tiễn, phải đa đợc phơng pháp dạy học thích hợp, có hiệu Phơng pháp dạy học phải làm để giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức cách chủ động tích cực đồng thời biết vận dụng kiến thức đà học vào giải toán thực tiễn cách linh hoạt, sáng tạo, phơng pháp phải lấy trò làm trung tâm, thầy ngời hớng dẫn học sinh tìm tri thức - Đó phơng pháp dạy học tích cực, thầy thiết kế, trò thi công 2) Cơ sở thực tiễn: Thực tế năm qua, nhìn chung chất lợng giáo dục nớc ta nói chung trờng THPT Đô Lơng nói riêng thấp Đại phËn häc sinh vÉn tiÕp thu c¸c kiÕn thøc mét cách thụ động vận dụng kiến thức đà học vào giải toán cách máy móc, thiếu sáng tạo Hầu hết em cha có cách học tập hiệu qủa, việc học mang tính áp đặt, bắt buộc, em cha thấy đợc nhu cầu cần phải học - Cha biết học để làm Số lại đà thấy đợc nhu cầu cần phải trang bị cho vốn tri thức để làm hành trang vào đời, nhiên em cha thực chủ động, tích cực, sáng tạo việc chiếm lĩnh tri thức Trớc thực trạng đó, nghành giáo dục nớc ta đà không ngừng sửa đổi, chỉnh lý sách giáo khoa, đổi nội dung phơng pháp dạy học cho phù hợp phù hợp, trang bị thiết bị, phơng tiện dạy học phong phú, đại Cá nhân tôi, qua bốn năm giảng dạy đà cố gắng sử dụng phơng pháp dạy học thích hợp để phần khắc phục nhợc điểm cđa häc sinh; Qua thùc tÕ cho thÊy nh÷ng kiÕn thức đa đà đợc em tiếp thu cách chủ Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dÃy số " động tích cực, hầu hết em đà biết linh hoạt sử dụng kiến thức vào giải toán 3- Thực trạng tìm số hạng tổng quát dÃy số cho công thức truy Bàihồitoán toán khó học sinh THPT nói chung học sinh khối 11 nói riêng Liên quan đến dạng toán đà có nhiều sách giáo khoa đề cập đến, nhiên có sách đề cập kỹ sở lý thuyết để dẫn đến phơng pháp giải mà đa công thức, quy trình giải cách thiếu tự nhiên Có thể phạm vi sách tác giả không tiện đề cập đến việc chứng minh công thức không phù hợp với kiến thức học sinh phổ thông Do đủ sở lý thuyết nên áp dụng kết học sinh thờng thắc mắc lại có đợc nh vậy? hay Sao lại có kết đó? ; Cũng đủ sơ lý thuyết nên em khó nhớ công thức, không tìm đợc mối liên hệ toán, không tự xây dựng đợc lớp toán dạng quy trình để giải toán đó; Điều làm ảnh hởng đến khả tìm tòi sáng tạo to¸n cđa häc sinh – mét u tè rÊt quan trọng ngời làm toán Việc nắm vững chất dÃy số kiến thức dÃy số giúp học sinh phát triển t hàm, tạo cho việc học tốt môn giải tích phổ thông (học sinh bắt đầu đợc làm quen học kú cđa líp 11 cho ®Õn hÕt bËcTHPT) Trong phạm vi đề tài tham vọng ®−a mét hƯ thèng kiÕn thøc hoµn toµn míi, kết đẹp mặt toán học; trình bày kết mà trình dạy học dÃy số đà tích luỹ, tìm tòi để đa hệ thống toán với quy trình giải toán đó, qua giúp rèn luyện, phát triển t giải toán cho học sinh II- Giải vấn ®Ị A- KiÕn thøc ¸p dơng 1- D·y sè: 1.1) Định nghĩa: Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dÃy số " Là hàm số xác định M = {1 , , 3, , m} - dÃy số hữu hạn, (hoặc xác định N* - dÃy số vô hạn) Kí hiệu: (u n ) không sợ nhầm lẫn ta kí hiƯu d·y sè u lµ u n D·y sè th−êng đợc viết dới dạng khai triển: u , u2 , , u n , u1 : gäi lµ số hạng đầu hay số hạng thứ u2 : gọi số hạng thứ hai un : gọi số hạng thứ n hay số hạng tổng quát cđa d·y sè u 1.2) C¸ch cho d·y sè: Ng−êi ta thờng cho dÃy số dới dạng sau: - Cho số hạng tổng quát u n dÃy số công thức - Cho phơng pháp truy hồi - Cho mệnh đề mô tả số hạng dÃy 2- Cấp số cộng 2.1) Định nghĩa: Là dÃy số (hữu hạn vô hạn) thoả mÃn: un+1 = un + d (n∈ Ν , n>1) d lµ số thực không đổi gọi công sai 2.2) Tính chất: - Số hạng tổng quát cấp số cộng: un+1 = un + (n-1)d - Tỉng n sè h¹ng ®Çu cđa mét cÊp sè céng: S=u1+ u2+ u3+ + un = n (2u1 + (n − 1)d ) = n (u1 + u n ) 2 3- CÊp số nhân 3.1) Định nghĩa: Là dÃy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mÃn: Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dÃy số " un+1 = un q (n∈ Ν , n>1) q lµ sè không đổi gọi công bội 3.2) Tính chất: - Số hạng tổng quát: un+1 = un qn-1 , (q 0) - Tổng n số hạng đầu cÊp sè nh©n S=u1+ u2+ u3+ + un = u1 qn −1 , (q ≠ 1) q −1 B- Néi dung Chúng ta toán đơn giản sau : u1 = Bài toán 1: Cho dÃy số (un) xác định nh sau : n N * u n +1 = u n + HÃy xác định số hạng tổng quát dÃy ? Nhận xét: Việc giải toán khó khăn Ta giải theo cách nh sau : Cách 1: Từ giả thiết ta có : u1 = = = 1+(1-1).2 u2 = = 1+2 =1+(2-1).2 u3 =5 = 1+2+2 =1+(3-1).2 (Ta dự đoán un = 1+(n-1).2 ) Ta dễ dàng chứng minh kết qủa phơng pháp quy nạp toán học Cách : Từ giả thiết ta có : un+1 – un = ∀ n∈ N* Nªn theo định nghĩa cấp số cộng (un) lập thành cấp sè céng víi u1=1, c«ng sai d=2 suy : un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2 VËy : un = 1+(n-1).2 NguyÔn Huy Kh«i - RÌn lun t− häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dÃy số " Việc định hớng để học sinh tìm cách giải không khó Tuy nhiên từ cách giải giáo viên đặt cho häc sinh mét vÊn ®Ị míi : "LiƯu cã thĨ thể đề xuất toán tổng quát với quy trình để giải toán đó" Học sinh đa toán nh sau : Bài toán 1.1: Xác định số hạng tổng quát dÃy số (un) xác định nh sau : u1 = a u n +1 = u n + b ∀n ∈ N * Đây toán tổng quát nhng ta thấy cha có đặc sắc, cách giải toán khác với việc giải toán Giáo viên đặt vấn đề: Hệ số un toán Nếu ta thay hệ số số thực k việc giải có thay đổi Từ ta có toán mới: Bài toán Cho dÃy số (un) xác định nh sau : u1 = a u n +1 = k u n + b ∀n ∈ N * , k HÃy xác định số hạng tổng quát dÃy ? (Chú ý rằng: k= toán trở thành toán 1.1 đà xét) Rõ ràng toán tổng quát hơn, cách giải toán đòi hỏi t sáng tạo học sinh Qua thực tế giảng dạy thấy : Đối với toán số học sinh giải đợc theo cách nhng em gặp khó khăn đoán tìm số hạng tổng quát un Liệu giải toán theo cách ? Từ giả thiết toán ta cã: un+1 - un = k(un – un-1) §Õn nhiều học sinh cha nhìn nhận vấn đề, giáo viên yêu cầu học sinh : "H·y lËp hiÖu un – un-1 = ? " Giáo viên biểu diễn cho học sinh thấy : un+1 - un = k(un – un-1) = k2(un-1 – un-2) = k3(un-2 un-3) = Lúc ta đà thấy rõ chất vấn đề : DÃy (un+1 - un) lập thành cấp số nhân với công bội k, từ ta có cách giải toán nh sau : Từ giả thiết to¸n ta cã: un+1 - un = k(un – un-1) Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t− häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dÃy số " Đặt = un+1 - un ∀ n∈ N* lóc ®ã : vn+1 = k.vn , ∀ n∈ N* suy d·y (vn) lËp thµnh cÊp số nhân với công bội k, v1 = (k-1)a + b Theo công thức số hạng tổng quát cấp số nhân : = v1.kn-1 Mặt khác ta cã : un = (un - un-1 ) + (un-1 – un-2) + (un-2 – un-3) + …+ (u2 – u1) + u1 vn-3 + … + v1 + u1 = vn-1 + vn-2 + = v1.kn-2 + v1.kn-3 + v1.kn-4 + … + v1 + u1 = v1 (kn-2 + kn-3 + kn-4 + … + 1) + u1 k n −1 − = v1 + u1 k −1 (do k ≠ 1) VËy ta cã: k n −1 − un = ((k-1)a + b) +a k Với kết ta đà giúp học sinh giải đợc lớp nhiều toán liên quan Nhng đến ta phát triển toán mức độ tổng quát ? toán ta thay b biểu thức chứa un-1 ? Cụ thể hơn, hệ thức truy hồi toán đợc cho bëi d¹ng : u1 = a , u = b u n +1 = pu n − qu n −1 ∀n ∈ N * , n > Thì việc tìm số hạng tổng quát dÃy số đợc giải nh nào? Ví dụ: Cho dÃy số (un) đợc xác định nh sau: u1 = , u = 6, ∀n ∈ N , n ≥ u n +1 = 6u n 2u n HÃy xác định số hạng tổng quát dÃy số (Bài sách nâng cao ĐS> 11, NXBGD năm 1993 Phan Huy Khải) Với này, Sách giáo khoa đà trình bày giải nh sau: Trớc hết ta xét phơng trình: x2-px+q = (*) Giả sử x1, x2 hai nghiệm phơng trình Theo định lý Vi-et ta cã: x1.x2 = q x1 + x2 = p ; Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t− học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dÃy số " Đặt Sn = x1n + x22 dÔ thÊy : Sn+1 = p.Sn – q.Sn-1 áp dụng cho toán với p = ; q = ta có phơng trình x2 - 6x + = Phơng trình có hai nghiƯm lµ x1 = − 11 , x2 = + 11 Chó ý r»ng: x10 + x20 = ; x11 + x21 = VËy un = Sn = ( − 11 )n + ( + 11 )n Bài toán đà đợc giải Tuy nhiên tham khảo cách giải học sinh thắc mắc: Tại lại có phơng trình (*) ?, Nếu (*) vô nghiệm sao?, toán thấy may phơng trình x2-px+q = có nghiệm nữa: = u1 = x10 + x20 Từ ta đặt câu hái: “NÕu ta thay bëi mét sè thùc bÊt kỳ toán có giải đợc không? Chẳng hạn toán tìm số hạng tổng quát dÃy Fibonaci (DÃy số Fibonaci dÃy un đợc cho bëi c«ng thøc: u1 = u = ∀n ∈ N , n ≥ ) = + u u u n n −1 n +1 Tæng quát ta đề xuất toán sau : Bài toán 3: Cho dÃy số (un) xác định nh sau: u1 = a , u = b, ∀n ∈ N , n ≥ = − u pu qu n n n +1 HÃy xác định số hạng tổng quát dÃy số đó? (Rõ ràng toán tổng quát toán toán 2) Bây ta tìm cách giải toán Giáo viên định hớng cho học sinh giải toán theo hớng giải toán 2, muốn ta cần tìm sè α vµ β cho: un+1 - α un = β (un - α un-1) Do un+1 = pun – qun-1 nªn ta cã : α + β = p (**) = α β q (ta giả thiết 0, = q = 0, toán trở thành toán đà xét) Đặt = un+1 - α un ta cã = β vn-1 dÃy số (vn) lập thành cấp số nhân với công bội v1 = u2 – α u1 = b – α a suy = β n-1v1 Ngun Huy Kh«i - RÌn luyện t học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dÃy số " Mặt khác ta cã: un = (un - α un-1 ) + α (un-1 – α un-2) + α 2(un-2 – α un-3) + …+ α n-2 (u2 – α u1) + + α n-1u1 = vn-1 + α vn-2 + α 2vn-3 + …+ α n-2v1 + α n-1u1 = β n-2v1 + α β n-3v1 + α β n-4v1 + …+ α n-2v1 + α n-1u1 = ( β n-2 + α β n-3 + α β n-4 + …+ α n-2)v1 + α n-1u1 α n-2 β = (β n −1 −1 α −1 β ) v1 + α n-1u1 = α n −1 − β n −1 v1 + α n-1u1 α −β = α n −1 − β n −1 (b − αa ) + α n-1 a α Vậy số hạng tổng quát dÃy đà cho lµ : un = α n −1 − β n −1 (b − αa ) + α n-1 a α Bài toán đà đợc giải (Với ý hệ (**) có nghiệm thực nghiệm thực Đối với học sinh THPT cha đựơc trang bị kiến thức số phức tất toán dạng đợc tác giả lựa chọn hệ số p, q thích hợp để (**) có nghiệm thực Cách giải hoàn toàn cho trờng hợp hợp hệ (**) có nghiệm phức) Trở lại với toán tìm số hạng tỉng qu¸t cđa d·y Fibonaci : Cho d·y sè (un) xác định công thức : u1 = u = ∀n ∈ N , n ≥ ) u n +1 = u n + u n Tìm số hạng tổng quát dÃy số ? Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t− học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dÃy số " Giải : áp ụng kết với a = b = ; p = ; q = -1 Ta cần tìm sè α , β tho¶ m·n : α + β = α β = −1 1− Gi¶i đợc : = ; Suy : un = (**) β= α n −1 − β n −1 (b − αa ) + α n-1 a α −β n −1 = = = 1+ 1 − 1 + − 1− 1+ − 2 1 + n −1 1 + 1 − − n n −1 1− 1 − + n −1 1 + + + − n −1 1+ 1 − n n + − − = VËy số hạng tổng quát dÃy Fibonaci : un= 1− n n + − − 10 1− n −1 n −1 Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t− häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dÃy số " ắ Một số tập vận dụng u1 = Cho dÃy số (un) xác định nh− sau : ∀n ∈ N * u n +1 = u n HÃy xác định số hạng tổng quát dÃy ? Bài 2: Cho dÃy số (un) xác định nh sau : u1 = ∀n ∈ N * u n +1 = 2u n + HÃy xác định số hạng tổng quát cđa d·y ? Bµi 1: Bµi 3: Cho d·y sè (un) xác định nh sau : u1 = , u = −2, ∀n ∈ N , n ≥ u n +1 = 5u n + 6u n HÃy xác định số hạng tổng quát d·y ? Bµi 4: Cho d·y sè u1, u2, …, un, thoả mÃn đẳng thức : un+1 = aun + b, (n ≥ 1) a) H·y biĨu diƠn sè h¹ng tổng quát un qua u1 a, b n ? b) Tính tổng n số hạng dÃy số (Trích sách Tuyển tập 200 vô địch toán) Bài 5: Cho dÃy số u1, u2, , un, thoả mÃn đẳng thức : un-2 = a1un+1 + a2un , (n 1) a , a2 hai số dơng cho trớc HÃy biểu diễn số hạng tỉng qu¸t un qua a1 , a2, u1 , u2 n ? (Trích sách Tuyển tập 200 vô địch toán) Bài 6: Cho dÃy số u1, u2, , un, đợc xác định nh sau : u1= 2, un = nun-1 + , (n ≥ 2) Chøng minh số hạng tổng quát dÃy số lµ : un = [n!e] , (n ≥ 1) (Sè e =1 + 1 1 + + + + + ) 1! 2! 3! n! (TrÝch sách Tuyển tập 200 vô địch toán) Bài 7: Cho d·y sè u1, u2, …, un, …tho¶ m·n điều kiện : u n vµ un −1 − 2u n + un +1 ≥ , víi mäi n > Chøng minh r»ng : ≤ (n + 1)(u n − un +1 ) (Trích sách Tuyển tập 200 vô địch toán) 11 Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dÃy số " V Kết Quả Với cách xây dựng phát triển toán, xây dựng quy trình giải toán cách "tự nhiên nh vậy, trình giảng dạy toán thấy em đà nắm đợc vấn đề, em đà biết vận dụng kết vào giải toán cách linh hoạt, sáng tạo Với hình thức nh đà giúp cho em yêu thích môn toán hơn, học toán đợc em chờ đón thực học cách nghiêm túc, tự giác, chất lợng học đà đợc nâng cao rõ rệt Bài tập nhà đợc em tự giác nghiên cứu trao đổi kết với nhau, em đọc nghiên cứu trao đổi thêm tập sách tham khảo VI - Kết luận Trên số kinh nghiệm tích luỹ đợc trình giảng dạy môn toán (Tôi có may mắn trình thực tập năm liên tục đợc phân công giảng dạy môn Đại số & Giải tích 11) Tôi đà có dịp trao đổi suy nghĩ với nhiều bạn bè đồng nghiệp đợc đồng tình hởng ứng, thực tế đà trực tiếp vận dụng vào giảng dạy thấy có kết rõ rệt Do mạnh dạn viết không mục đích trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với thầy giáo, cô giáo Vì thời gian nghiên cứu hạn chế, kinh nghiệm giảng dạy cha nhiều nên đề tài chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong đợc góp ý nhiệt thành quý thầy cô để sáng kiến đợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ¬n 12 ... (un - α un-1 ) + α (un-1 – α un-2) + α 2(un-2 – α un-3) + …+ α n-2 (u2 – α u1) + + α n-1u1 = vn-1 + α vn-2 + α 2vn-3 + …+ α n-2v1 + α n-1u1 = β n-2v1 + α β n-3v1 + α β n-4v1 + …+ α n-2v1 + α n-1u1... v1.kn-1 Mặt khác ta có : un = (un - un-1 ) + (un-1 – un-2) + (un-2 – un-3) + …+ (u2 – u1) + u1 vn-3 + … + v1 + u1 = vn-1 + vn-2 + = v1.kn-2 + v1.kn-3 + v1.kn-4 + … + v1 + u1 = v1 (kn-2 + kn-3 +... n-1u1 = ( β n-2 + α β n-3 + α β n-4 + …+ α n-2)v1 + α n-1u1 α n-2 β = (β n −1 −1 α −1 β ) v1 + α n-1u1 = α n −1 − β n −1 v1 + α n-1u1 α −β = α n −1 − β n −1 (b − αa ) + α n-1 a α −β