Một số mô hình toán học trong lý thuyết phương trình vi phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN HỌC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: MỘT SỐ MƠ HÌNH TỐN HỌC TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Sinh viên thực hiện: HOÀNG KIM NHUNG Người hướng dẫn: TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng, tháng năm 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN HỌC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: MỘT SỐ MƠ HÌNH TỐN HỌC TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Sinh viên thực hiện: HỒNG KIM NHUNG Chuyên ngành: Sư phạm Toán MSSV: 3110117023 Người hướng dẫn: TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng, tháng năm 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Số liệu, kết nêu luận văn trung thực tham khảo trích dẫn rõ ràng Tác giả Hồng Kim Nhung LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hải Trung tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến bạn sinh viên lớp Sư phạm Toán 17ST - Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Tác giả Hoàng Kim Nhung MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I Ý TƯỞNG CƠ BẢN VỀ MƠ HÌNH TỐN HỌC 1.1 Giới thiệu mơ hình tốn 1.2 Các mơ hình phương trình vi phân đơn giản 1.2.1 Phương trình vi phân tốn học tài 1.2.2 Phương trình vi phân lý thuyết dân số 1.3 Các mơ hình phương trình vi phân 13 1.3.1 Lãi kép liên tục 13 1.3.2 Mơ hình dân số liên tục: Phương trình vi phân cấp 15 1.3.3 Phương trình chuyển động: Phương trình cấp hai .18 1.3.4 Các phương trình đến từ mơ hình hình học .20 1.3.5 Mơ hình hóa đại lượng tương tác - Hệ phương trình vi phân .22 CHƯƠNG II MỘT SỐ MƠ HÌNH TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 27 2.1 Một số kiến thức phương trình vi phân .27 2.2 Bài tốn Cauchy cho phương trình cấp 32 2.3 Phương trình chứa nghiệm dạng đóng 35 2.3.1 Phương trình tách 35 2.3.2 Phương trình vi phân thơng thường tuyến tính cấp 40 2.3.3 Phương trình 47 2.3.4 Phương trình đưa phương trình cấp 49 2.4 Các ứng dụng khác .53 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mơ hình tốn học phương thức sử dụng ngơn ngữ tốn để mơ tả hệ thống, tượng tự nhiên sống, đặc biệt sử dụng nhiều ngành khoa học tự nhiên chuyên ngành kỹ thuật (ví dụ: vật lý, sinh học, kỹ thuật điện tử) đồng thời khoa học xã hội (như kinh tế, xã hội học khoa học trị) Các kỹ sư, nhà khoa học sử dụng mơ hình tốn học cơng cụ nghiên cứu Các mơ hình đưa mô tả vấn đề sống mà chúng biểu thị dạng phương trình tốn học, phương trình vi phân, hệ phương trình tuyến tính phải kể đến vấn đề miêu tả phương trình vi phân hệ phương trình vi phân Có thể kể đến ví dụ quan tâm phát triển dân số Người ta cần biết dân số phát triển nhân tố ảnh hưởng đến phát triển Cách tiếp cận rõ ràng để mô tả tăng trưởng viết phương trình vi phân phù hợp: 𝑦 ′ = 𝑘𝑦(𝑡 ) (1 − 𝑦 (𝑡 ) ), 𝑀 xem mơ hình tăng trưởng dân số điều kiện thường với y(t) hàm tăng trưởng dân số, k tỉ lệ tăng trưởng dân số Nhờ mơ hình này, nhà khoa học khẳng định tới thời gian đủ lớn dân số giới đạt M Từ có biện pháp can thiệp an ninh, quân sự, kinh tế, sở hạ tầng sách dân số phù hợp Không vấn đề dân số, mơ hình tốn học xây dựng phương trình vi phân cịn ứng dụng rộng rãi kinh tế toán lãi kép liên tục hay vật lý phương trình chuyển động, vấn đề xử lý chất thải nhiều vấn đề cần thiết khác xã hội Với lí với gợi ý TS Lê Hải Trung, định lựa chọn đề tài: “Một số mơ hình tốn học lý thuyết phương trình Vi Phân” cho luận văn 2 Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu mơ hình tốn lý thuyết phương trình vi phân Để đạt mục tiêu đề tài nghiên cứu nội dung sau: • Các mơ hình phương trình vi phân • Kiến thức sở ứng dụng phương trình vi phân • Phương trình hệ phương trình • Các ứng dụng Nội dung đề tài chia làm chương: • Chương 1: Ý tưởng mơ hình tốn học • Chương 2: Một số mơ hình lý thuyết phương trình vi phân Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Các mơ hình tốn học lý thuyết phương trình vi phân 3.2 Phạm vi nghiên cứu Các mơ hình tốn học lý thuyết phương trình vi phân thường ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu sưu tầm được, sách có liên quan đến đề tài luận văn.Trong luận văn có sử dụng kiến thức liên quan đến lĩnh vực: Giải tích hàm biến thực, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình vi phân thường Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết ứng dụng Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán đối tượng quan tâm Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương 1, trình bày ý tưởng mơ hình tốn học Bao gồm mục: Mục 1.1, giới thiệu mơ hình tốn; Mục 1.2, mơ hình phương tình vi phân đơn giản; Mục 1.3, mơ hình phương trình vi phân Chương 2, trình bày số mơ hình lý thuyết phương trình vi phân Bao gồm mục: Mục 2.1, số kiến thức phương trình vi phân; Mục 2.2, tốn Cauchy cho phương trình cấp một; Mục 2.3, phương trình chứa nghiệm dạng đóng; Mục 2.4, ứng dụng khác Ngồi ra, luận văn cịn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, Phần kết luận kiến nghị, Tài liệu tham khảo CHƯƠNG I Ý TƯỞNG CƠ BẢN VỀ MƠ HÌNH TỐN HỌC 1.1 Giới thiệu mơ hình tốn Các kỹ sư, nhà khoa học tự nhiên ngày nhiều nhà nghiên cứu thực hành làm việc lĩnh vực khoa học kinh tế xã hội, sử dụng mơ hình tốn học hệ thống mà họ nghiên cứu Các mơ hình cung cấp mơ tả đơn giản vấn đề sống thực để chúng diễn đạt dạng đẳng thức tốn học, hy vọng giải theo cách hay cách khác Mơ hình tốn học chủ đề khó dạy nói ứng dụng tốn học Sự khó khăn khơng có quy tắc thiết lập, hiểu cách 'đúng' để lập mơ hình cách làm quen với số ví dụ Điều này, với kỹ thuật để giải phương trình kết quả, nội dung khóa học Bất chấp khó khăn này, nhà tốn học ứng dụng có quy trình cần áp dụng xây dựng mơ hình Trước hết, phải có tượng đáng quan tâm mà người ta muốn mô tả quan trọng giải thích đưa dự đốn Quan sát tượng cho phép đưa giả thuyết đại lượng liên quan đến vấn đề mối quan hệ chúng để người ta đưa chế giả thuyết giải thích tượng Mục đích mơ hình xây dựng mơ tả chế dạng định lượng, nghĩa là, phương trình tốn học phân tích phương trình kết Sau đó, điều quan trọng phải diễn giải giải pháp thơng tin khác trích xuất từ phương trình phát biểu vấn đề ban đầu để chúng kiểm tra dựa quan sát Một cách lý tưởng, mô hình dẫn đến dự đốn, xác minh cho thấy tính xác thực mơ hình Điều quan trọng nhận mơ hình hóa thường thủ tục lặp lặp lại khó đạt cân tính đơn giản ý nghĩa mơ hình: thường mơ hình hóa q phức tạp để tự phân tích, thường đơn giản hóa q mức để khơng có đủ thống kết thực nghiệm thực tế kết dự đoán từ mơ hình Trong hai trường hợp này, phải quay lại bước việc lập mơ hình cố gắng khắc phục Bước việc tạo mơ hình bước sáng tạo bước khó khăn nhất, thường địi hỏi nỗ lực phối hợp chuyên gia nhiều lĩnh vực đa dạng Do đó, chúng tơi mơ tả chi tiết số mơ hình, nguyên tắc đầu tiên, trọng tâm khóa học giai đoạn sau q trình mơ hình hóa, là: giới thiệu ký hiệu toán học viết giả định dạng phương trình, phân tích / giải phương trình diễn giải giải pháp chúng ngơn ngữ tốn ban đầu phản ánh xem liệu câu trả lời có hợp lý hay không Trong hầu hết trường hợp thảo luận đây, mơ hình đại diện q trình, nghĩa là, mơ tả thay đổi trạng thái số hệ thống theo thời gian Có hai cách mơ tả xảy với hệ thống: rời rạc liên tục Các mơ hình rời rạc tương ứng với tình mà quan sát hệ thống khoảng thời gian hữu hạn đặn, chẳng hạn giây năm liên hệ trạng thái quan sát hệ thống với trạng thái phiên trước Một hệ thống mơ hình hóa thơng qua phương trình vi phân Trong trường hợp liên tục, chúng tơi coi thời gian chuỗi liên tục, cho phép quan sát hệ thống lúc Trong trường hợp này, mơ hình thể mối quan hệ tốc độ thay đổi đại lượng khác trạng thái thời điểm khác nhau, tốc độ thay đổi đưa đạo hàm, mơ hình biểu diễn phương trình vi phân Trong hai phần chương này, chúng tơi trình bày số mơ hình rời rạc liên tục đơn giản Các mơ hình trình bày minh họa cho thảo luận Nghiên cứu họ thảo luận mơ hình tiên tiến hơn, xuất sau khóa học 1.2 Các mơ hình phương trình vi phân đơn giản 1.2.1 Phương trình vi phân tốn học tài Xét mơ hình lãi kép sau: Lãi kép liên quan đến khoản cho vay tiền gửi thực thời gian dài Tiền lãi cộng vào số tiền ban đầu theo khoảng thời gian đặn, gọi khoảng thời gian chuyển đổi số tiền mới, thay số tiền ban 56 Để xác định 𝐶1 , lưu ý hệ tọa độ thiết lập cho 𝑦 = mặt biển nên lấy điều kiện ban đầu 𝑦 (0) = Do có phương trình: = 𝑦 (0) = 𝑚𝑔 − 𝐵 𝑚 + 𝐶1 , 𝑐 𝑐 nên 𝑦 (𝑡 ) = 𝑚𝑔 − 𝐵 𝑚 𝑡𝑐 𝑚(𝑚𝑔 − 𝐵) ( 𝑡 + 𝑒 −𝑚 ) − 𝑐 𝑐 𝑐2 (2.42) Phương trình (2.41) biểu thị vận tốc thùng hàm thời gian 𝑡 Để xác định vận tốc va chạm, phải tính vận tốc thời điểm 𝑡 mà thùng chạm đáy đại dương, nghĩa phải giải cho 𝑡 phương trình (2.42) với 𝑦 (𝑡) = 100𝑚 Nghiệm rõ ràng phương trình khơng thể, thử số phương pháp khác Lần thử đầu tiên, nhận thấy từ (2.41) 𝑉 (𝑡) hàm tăng dần thời gian có xu hướng đạt đến giới hạn hữu hạn 𝑡 → ∞ Giới hạn gọi vận tốc cuối cho 𝑉𝑇 = 𝑚𝑔 − 𝐵 𝑐 (2.43) Do đó, thời điểm 𝑡, vận tốc nhỏ 𝑉𝑇 𝑉𝑇 < 12𝑚 / 𝑠, chắn vận tốc thùng chạm đáy biển nhỏ 12 𝑚 / 𝑠 khơng bị nứt có va chạm Thay liệu vào phương trình (2.43) nhận được: 𝑉𝑇 = (293 − 212.4)9.81 ≈ 221 𝑚/𝑠, 1.18 rõ ràng lớn Tuy nhiên, số gần đưa thô - vận tốc mà thùng cuối đạt giảm xuống vơ thời hạn Vì rõ ràng khơng phải trường hợp, phải tìm cách biểu thị vận tốc dạng hàm vị trí 𝑦 Vận tốc này, ký hiệu 𝑣 (𝑦), khác với 𝑉 (𝑡) chúng có liên quan với thơng qua phương trình: 𝑉 (𝑡) = 𝑣(𝑦(𝑡)) 57 Theo quy tắc lấy vi phân, ta có: 𝑑𝑉 𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑣 = = 𝑉 = 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑦 Thay điều thành (2.40), nhận 𝑚𝑣 𝑑𝑣 = (𝑚𝑔 − 𝐵 − 𝑐𝑣) 𝑑𝑦 (2.44) Chúng ta phải bổ sung cho phương trình với điều kiện ban đầu thích hợp Ví dụ như: 𝑣 (0) = 𝑣 (𝑦 (0)) = 𝑉 (0) = Đây phương trình tách mà giải cách rõ ràng Đầu tiên, lưu ý 𝑣 < 𝑉𝑇 = (𝑚𝑔 − 𝐵) / 𝑐 nên 𝑚𝑔 − 𝐵 − 𝑐𝑣 > Do đó, chia hai vế (2.44) cho 𝑚𝑔 − 𝐵 − 𝑐𝑣 lấy tích phân, ta được: 𝑣 𝑦 𝑟𝑑𝑟 𝑦 ∫ ∫ 𝑑𝑠 = = 𝑚𝑔 − 𝐵 − 𝑐𝑟 𝑚 𝑚 0 Hình 2.1 Độ sâu hàm vận tốc thùng 58 Để tìm tích phân vế trái, lưu ý bậc tử số bậc mẫu số, ta biểu diễn: 𝑟 −𝑐𝑟 −𝑚𝑔 + 𝐵 + 𝑚𝑔 − 𝐵𝑐𝑟 = − = − 𝑚𝑔 − 𝐵 − 𝑐𝑟 𝑐 𝑚𝑔 − 𝐵 − 𝑐𝑟 𝑐 𝑚𝑔 − 𝐵 − 𝑐𝑟 −𝑚𝑔 + 𝐵 = − ( + 1) 𝑐 𝑚𝑔 − 𝐵 − 𝑐𝑟 Như vậy: 𝑣 𝑣 𝑣 𝑟𝑑𝑟 𝑚𝑔 − 𝐵 𝑑𝑟 ∫ ∫ = ∫ 𝑑𝑟 𝑚𝑔 − 𝐵 − 𝑐𝑟 𝑐 𝑐 𝑚𝑔 − 𝐵 − 𝑐𝑟 0 𝑣 𝑚𝑔 − 𝐵 𝑚𝑔 − 𝐵 − 𝑐𝑣 = − − ln , 𝑐 𝑐2 𝑚𝑔 − 𝐵 có nghiệm: 𝑦 𝑣 𝑚𝑔 − 𝐵 𝑚𝑔 − 𝐵 − 𝑐𝑣 = − − ln 𝑚 𝑐 𝑐2 𝑚𝑔 − 𝐵 (2.45) Có vẻ tình vơ vọng có 𝑦 = 𝑦 (𝑣) khơng thể tìm thấy 𝑣 (𝑦) cách rõ ràng Tuy nhiên, có mối quan hệ trực tiếp đại lượng liên quan, không thông qua tham số trung gian 𝑡 không liên quan đến vấn đề, trước Do đó, dễ dàng vẽ đồ thị 𝑦 hàm 𝑣 ước lượng 𝑣 (100) từ đồ thị hình 2.5 Ta trả lời câu hỏi liệu vận tốc 𝑦 = 100𝑚 có lớn vận tốc tối đa 𝑣 = 12𝑚 / 𝑠 hay không Để làm điều này, lưu ý từ (2.44) thực tế 𝑣 < 𝑉𝑇 , suy 𝑣 hàm tăng 𝑦 Chúng ta tìm 𝑦 tương ứng với 𝑣 = 12𝑚 / 𝑠 Sử dụng liệu số, thu được: 𝑦(12) = 239 (− (239 − 212.4)9.81 (239 − 212.4)9.81 − 1.18 · 12 12 − 𝑙𝑛 ) (1.18)2 (239 − 212.4)9.81 1.18 ≈ 68.4𝑚, 59 nghĩa là, thùng đạt vận tốc 12𝑚 / 𝑠 độ sâu 68,4𝑚 Vì 𝑣 hàm tăng cách chặt chẽ y, nên vận tốc 100𝑚 cao nhiều thùng bị nứt va chạm Trong Chương 1, thu phương trình (1.19) cho bề mặt phản xạ: 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 𝑦 √𝑥 + 𝑦2 + 𝑥 (2.46) Bây giải phương trình Chúng tơi quan sát thấy phía bên phải viết 𝑦 𝑥 √ + (𝑦 ) + 𝑥 𝑦 với 𝑥 > Điều gợi ý cho ta đặt 𝑧 = Từ 𝑦 ′ = 𝑧 ′ 𝑥 + 𝑧, và: 𝑥 𝑧 ′ 𝑥 √1 + 𝑧 + 𝑧 ′ 𝑥 + 𝑧 √1 + 𝑧 + 𝑧 = 𝑧 Tiến hành rút gọn phương trình cuối ta được: 1 𝑧 𝑧 √1 + 𝑧 𝑧′ ( + ) = − 𝑥 Lấy tích phân hai vế phương trình, ta được: ln|𝑧| + ∫ 𝑑𝑧 𝑧 √1 + 𝑧2 = − ln|𝑥| + 𝐶 ′ (2.47) Để tích phân số hạng thứ hai, sử dụng phép đổi biến 𝑧 = sin 𝜉, 𝑑𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 𝜉𝑑𝜉 𝑣à √1 + 𝑧 = √ + 𝑠𝑖𝑛2 𝜉 = √𝑐𝑜𝑠 𝜉 = 𝑐𝑜𝑠 𝜉 Với 𝑐𝑜𝑠 𝜉 luôn dương Do có được: ∫ 𝑑𝑧 𝑧 √1 + 𝑧 = = ∫ 𝑑𝜉 𝑑𝜉 = 𝑠𝑖𝑛 𝜉 𝑠𝑖𝑛 𝜉 𝑐𝑜𝑠 𝜉 2 𝑑𝜉 𝑑𝑢 ∫ = ∫ , 𝑡𝑎𝑛 𝜉 𝑐𝑜𝑠 𝜉 𝑢 2 60 trong tích phân cuối cùng, sử dụng phép đổi biến 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝜉 / để 𝑑𝑢 = 𝑑𝜉 / 𝑐𝑜𝑠 𝜉 Tiếp tục, ta có được: ∫ 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 |𝑢| = 𝑙𝑛 |𝑡𝑎𝑛 𝜉/2| + 𝐶 𝑢 Mặt khác: 𝜉 𝜉 𝜉 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝜉 = 2 𝑡𝑎𝑛 = 𝜉 𝜉 cos 𝑐𝑜𝑠 2 Nên: 𝜉 𝜉 𝜉 𝜉 𝜉 𝜉 1 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 = (𝑒 + 𝑒 −2 ) (𝑒 + 𝑒 −2 ) = (𝑒 𝜉 + 𝑒 −𝜉 ) = 𝑠𝑖𝑛 𝜉, 2 4 𝜉 𝜉 𝜉 1 − 𝑐𝑜𝑠 = (𝑒 + 𝑒 ) = (𝑒 𝜉 + 𝑒 −𝜉 + 2) = (cos ξ + 1), 4 2 Quay trở lại (2.4), ta có được: 𝑡𝑎𝑛 𝜉 𝑧 = + √𝑧 + ∫ 𝑑𝑧 𝑧 √1 + 𝑧2 = ln|𝑧| − 𝑙𝑛(1 + √𝑧 + 1) + 𝐶 ′ Trở lại (2.47) ta thu được: ln 𝑧2 𝑥 = − ln , 𝐶 + √𝑧 + số số 𝐶 > Do đó: 𝑧2 + √𝑧 + = 𝐶 , 𝑥 quay trở lại hàm chưa biết ban đầu 𝑧 = 𝑦 / 𝑥, 61 𝑦2 𝑥 + √𝑦 + 𝑥 = 𝐶, sau số phép bién đổi đại số ta có được: 𝑦 − 2𝐶𝑥 = 𝐶 (2.48) Đây phương trình parabol có đỉnh 𝑥 = −𝐶 / có tiêu điểm gốc tọa độ Các đường cong mơ tả hình 2.2 Hình 2.2 Các hình dạng khác đường cong parabol tương ứng với giá trị khác số C Theo giả thiết 𝑥 > ℎ, nhiên cách thay trực tiếp, kiểm tra (2.48) nghiệm xác định −𝐶 / ≤ 𝑥 ≤ Trên thực tế, 𝑦 = ± √2𝐶𝑥 + 𝐶 cho nên: 𝑉𝑇 = 𝑑𝑦 𝐶 = ± , 𝑑𝑥 √2𝐶𝑥 + 𝐶 62 𝑉𝑃 = 𝑦 ± √2𝐶𝑥 + 𝐶 ±√2𝐶𝑥 + 𝐶 = = 𝑦2 + 𝑥2 + 𝑥 √𝑥 + 2𝐶𝑥 + 𝐶 + 𝑥 √(𝑥 + 𝐶 )2 + 𝑥 = ± 𝐶 √2𝐶𝑥 + 𝐶 , thực tế ta chọn 𝑥 ≥ −𝐶 / để 𝑥 + 𝐶 > Do 𝑉𝑇 = 𝑉𝑃 với 𝑥 ≥ −𝐶 / (2.48) cho ta nghiệm phương trình ban đầu Phương trình theo đuổi Trong phần này, ta cung cấp lời giải cho phương trình theo đuổi: 𝑥𝑦 ′′ = − 𝑣 √1 + (𝑦 ′ )2 𝑢 (2.49) Đầu tiên, nhận thấy phương trình cấp hai, nhiên, không chứa hàm chưa biết mà chứa đạo hàm cấp cao Do đó, theo cách tiếp cận Tiểu mục 2.3.4, ta đưa vào ẩn số 𝑧 = 𝑦 ′ (2.49) trở thành phương trình cấp một: 𝑥𝑧 ′ = −𝑘 √1 + 𝑧 , ký hiệu 𝑘 = 𝑣 / 𝑢 Đây phương trình tách với vế phải khơng bị triệt tiêu, khơng có nghiệm khơng đổi Tách biến lấy tích phân, thu được: ∫ 𝑑𝑧 = −𝑘 𝑙𝑛(−𝐶 ′ 𝑥), + 𝑧 số số 𝐶 ′ > 0, chúng tơi sử dụng thực tế mơ hình 𝑥 < Lấy tích phân hai vế cho ta: ln (𝑧 + √1 + 𝑧 ) = ln 𝐶 ( − 𝑥)−𝑘 , với 𝐶 = (𝐶 ′ )−𝑘 , vậy: 𝑧 + √1 + 𝑧 = 𝐶 ( − 𝑥)−𝑘 , 63 từ đó, sau số phép biến đổi đại số ta được: 𝑍= 1 (𝐶 ( − 𝑥)−𝑘 − ( − 𝑥)𝑘 ) 𝐶 (2.50) Quay trở lại hàm chưa biết ban đầu 𝑦, 𝑦 ′ = 𝑧, tích phân phương trình trên, ta được: 𝑦 (𝑥 ) = 1 1𝐶 ( − 𝑥)𝑘+1 − ( − 𝑥)−𝑘+1 + 𝐶1 (1 − 𝑘 ) 𝐶 (𝑘 + 1) Ta xác định số 𝐶1 𝐶2 thông qua điều kiện ban đầu Chúng giả định việc theo đuổi vị trí (𝑥0 , 0), 𝑥0 < thời điểm ban đầu mục tiêu điểm gốc (0, 0) Ta thu điều kiện ban đầu dạng sau: 𝑦(𝑥0 ) = 0, 𝑦 ′ (𝑥0 ) = Vì 𝑦 ′ = 𝑧, thay 𝑧 = 𝑣à 𝑥 = 𝑥0 vào (2.50), ta thu được: = 𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑧(𝑥0 ) = 𝐶 (−𝑥0 )−𝑘 − (−𝑥0 )𝑘 , 𝐶 với 𝐶 = (−𝑥0 )𝑘 , nên 𝑦 (𝑥 ) = − 𝑥0 𝑥 𝑘+1 𝑥 −𝑘+1 ( ( ) − ( ) ) + 𝐶1 𝑘 + 𝑥0 − 𝑘 𝑥0 64 Hình 2.3 Đường cong theo đuổi cho giá trị khác k 𝑘 = 0,5 (𝑛é𝑡 𝑙𝑖ề𝑛), 𝑘 = 0,9 (𝑛é𝑡 đứ𝑡), 𝑘 = 0,99 (𝑛é𝑡 đứ𝑡) Để xác định 𝐶1 , thay 𝑥 = 𝑥0 𝑣à 𝑦 (𝑥0 ) = nhận được: = − 𝑥0 1 ( + ) + 𝐶1 , 𝑘 + 𝑘 − 𝐶1 = 𝑘𝑥0 k2 − Cuối cùng: 𝑦 (𝑥 ) = − 𝑥0 𝑥 𝑘+1 𝑥 −𝑘+1 𝑘𝑥0 ( ( ) − ( ) ) + 𝑘 + 𝑥0 − 𝑘 𝑥0 k − Công thức sử dụng để thu hai thông tin quan trọng: thời gian điểm giao Sự giao xảy 𝑥 = Như vậy: 𝑦0 = 𝑘𝑥0 𝑣𝑢𝑥0 = − v − u2 k2 65 Vì 𝑥0 < điểm giao phải nằm nửa trục tọa độ trên, ta thấy để xảy giao nhau, tốc độ mục tiêu 𝑣 phải nhỏ tốc độ người đuổi theo 𝑢 Điều tất nhiên rõ ràng từ mơ hình, người theo đuổi di chuyển dọc theo đường cong có khoảng cách dài để bao quát Khoảng thời gian truy đuổi tính tốn cách ghi mục tiêu di chuyển với tốc độ không đổi 𝑣 dọc theo trục 𝑦 từ điểm gốc đến điểm giao (0, 𝑦 (0)) cho: 𝑇 = 𝑦 (0) 𝑢𝑥0 = 𝑣 v − u2 Vận tốc (vũ trụ) Phương trình chuyển động vật có khối lượng 𝑚 chiếu lên từ bề mặt hành tinh suy phần cuối Tiểu mục 1.3.3 Bài toán Cauchy liên quan phát biểu sau: 𝑑2 𝑦 𝑚𝑔𝑅2 𝑑𝑦 𝑚 = − − 𝑐 (𝑦 ) ( ) (𝑦 + 𝑅 )2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑦 ′ (0) = 𝑣0 , 𝑦(0) = 𝑅, Trong điều kiện ban đầu cho biết tên lửa bắn từ bề mặt với vận tốc ban đầu 𝑣0 cho phép hệ số cản khơng khí thay đổi theo độ cao Thay giải tồn vấn đề Cauchy, giải câu hỏi tồn vận tốc thoát, tức liệu có tồn vận tốc ban đầu cho phép vật thể thoát khỏi trường hấp dẫn hành tinh hay khơng Phương trình có dạng (2.32), tức khơng chứa biến độc lập cách rõ ràng Để đơn giản hóa tính tốn, trước hết phải thay đổi hàm chưa biết theo 𝑧 = 𝑦 + 𝑅 (sao cho 𝑧 khoảng cách từ tâm hành tinh) giới thiệu 𝐹 (𝑧) = 𝑧 ′ cho 𝑧 ′′ = 𝐹𝑍 𝐹, xem ( 2.33) Khi phương trình chuyển động có dạng 𝐹𝑍 𝐹 + 𝐶 (𝑧)𝐹 𝑔𝑅2 = − , 𝑧 (2.51) 66 𝐶 (𝑧) = 𝑐 (𝑧 − 𝑅) / 𝑚 Cần lưu ý rằng: 𝐹𝑍 𝐹 = 1𝑑 𝐹 𝑑𝑧 ký hiệu 𝐹 = 𝐺, rút gọn (2.51) thành phương trình vi phân tuyến tính 2𝑔𝑅2 𝐺𝑧 + 2𝐶 (𝑧)𝐺 = − 𝑧 (2.52) Chúng ta xem xét ba trường hợp cho 𝐶 Trường hợp 𝐶 (𝑧) ≡ (mặt trăng khơng khí) Trong trường hợp (2.52) trở thành: 2𝑔𝑅2 𝐺𝑧 = − , 𝑧 lấy tích phân từ 𝑅 đế𝑛 𝑧 1 𝐺 (𝑧) − 𝐺 (𝑅) = 2𝑔𝑅2 ( − ) 𝑧 𝑅 Quay lại với biến cũ, với 𝑣 vận tốc tên lửa khoảng cách 𝑧 từ tâm mặt trăng, viết: 1 𝑣 (𝑧) − 𝑣 (𝑅 ) = 2𝑔𝑅2 ( − ) 𝑧 𝑅 Tên lửa khỏi mặt trăng tốc độ dương thời điểm - dừng lại 𝑧 hữu hạn nào, lực hút trọng lực đưa trở lại mặt trăng Vì 𝑣 (𝑧) giảm, giá trị nhỏ giới hạn vơ cùng, đó, qua với 𝑧 → ∞, phải có: 𝑣 (𝑅 ) ≥ 2𝑔𝑅 vận tốc thoát 𝑣 (𝑅) = √2𝑔𝑅 67 Trường hợp Lực cản khơng khí khơng đổi Nếu quay trở lại Trái đất, không hợp lý cho khơng có lực cản khơng khí trình chuyển động Chúng ta điều tra trường hợp đơn giản với 𝑐 = ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố Sau chúng tơi có 2𝑔𝑅2 𝐺𝑧 + 2𝐶𝐺 = − , 𝑧 (2.53) 𝐶 = 𝑐 / 𝑚 Hệ số tích phân 𝑒 2𝑐𝑧 để thu được: 𝑑 𝑒 2𝐶𝑧 (𝑒 2𝑐𝑧 𝐺 (𝑧)) = −2𝑔𝑅2 , 𝑑𝑧 𝑧 lấy tích phân, 𝑧 𝑒 2𝑐𝑧 𝑣 (𝑧) − 𝑒 2𝐶𝑅 𝑣0 = −2𝑔𝑅2 ∫ 𝑒 2𝐶𝑠 𝑠 −2 𝑑𝑠, 𝑅 𝑧 𝑣 (𝑧) = −𝑒 2𝐶𝑧 (𝑒 2𝐶𝑅 𝑣0 − 2𝑔𝑅2 ∫ 𝑒 2𝐶𝑠 𝑠 −2 𝑑𝑠), (2.54) 𝑅 Xem xét tích phân: 𝑧 𝐼 (𝑧) = ∫ 𝑒 2𝐶𝑠 𝑠 −2 𝑑𝑠 𝑅 Khi lim 𝑒 2𝐶𝑠 𝑠 −2 = ∞, có: s→∞ 𝑧 lim ∫ 𝑒 2𝐶𝑠 𝑠 −2 = ∞ s→∞ 𝑅 𝑅 Khi ∫𝑅 𝑒 2𝐶𝑠 𝑠 −2 𝑑𝑠 = 𝑒 2𝐶𝑅 𝑣 (𝑅) không phụ thuộc vào 𝑧, từ định lý Darboux, thấy rằng, giá trị 𝑣0 bao nhiêu, số 𝑧0 ∈ [𝑅, ∞) vế phải (2.54) trở thành 𝑣 (𝑧0 ) = Do đó, khơng có vận tốc ban đầu v0 mà tên lửa thoát khỏi hành tinh 68 Trường hợp Lực cản khơng khí thay đổi Bằng cách chuyển từ hồn tồn khơng có lực cản khơng khí (𝑐 = 0) sang lực cản khơng khí khơng đổi, chắn vượt q khơng khí trở nên lỗng theo chiều cao lực cản giảm Chúng ta xem xét trường hợp với 𝐶 (𝑧) = 𝑘 / 𝑧 𝑘 số tỷ lệ Sau đó, có được: 2𝑘 2𝑔𝑅2 𝐺𝑧 + 𝐺 = − 𝑧 𝑧 (2.55) Hệ số tích phân 𝑧 2𝑘 để thu được: 𝑑 (𝑧 2𝑘 𝐺 (𝑧)) = − 2𝑔𝑅2 𝑧 2𝑘− , 𝑑𝑧 lấy tích phân: 𝑧 𝑧 2𝑘 𝑣 (𝑧) − 𝑅2𝑘 𝑣0 = −2𝑔𝑅2 ∫ 𝑠 2𝑘−2 𝑅 Sử dụng lập luận tương tự, thấy vận tốc thoát tồn khi: 𝑧 lim ∫ 𝑠 2𝑘−2 𝑑𝑠 < +∞ 𝑧→∞ 𝑅 từ tính chất tích phân suy phải có 2𝑘 – < −1 hoặc: 𝑘 < Tất nhiên, từ vật lý 𝑘 ≥ Do đó, vận tốc thoát cho bởi: 𝑣0 = √ 2𝑔𝑅 − 2𝑘 69 KẾT LUẬN Từ nhận thức thân sở thực tiễn chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài, thấy đạt số kết cụ thể sau: Trình bày cách tỉ mỉ tương đối đầy đủ kiến thức sở phương trình vi phân, tốn cauchy cho phương trình cấp một, phương trình chứa nghiệm dạng đóng Sử dụng tính chất phương trình vi phân để xây dựng số mơ hình thực tế Mơ hình lãi kép liên tục; Mơ hình dân số liên tục; Mơ hình hình học; Trong q trình thực luận văn, tác giả cố gắng Tuy nhiên khơng tránh khỏi số thiếu sót cách hành văn, việc hoàn thành luận văn Tác giả mong q thầy đóng góp để luận văn hoàn thiện 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hồng Hữu Đường (1975), Lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [2] Nguyễn Thế Hoàn – Trần Văn Nhung (2005), Bài tập phương trình vi phân, Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội [4] Lê Hải Trung (2019), Giáo trình phương trình vi phân – sai phân, Trường Đại học sư phạm Đà Nẵng, Nhà xuất Thông tin Truyền thông Tiếng Anh [5] J.Banasiak (2013), Difference And Differential Equations In Mathematical Modelling ... hình phương tình vi phân đơn giản; Mục 1.3, mơ hình phương trình vi phân Chương 2, trình bày số mơ hình lý thuyết phương trình vi phân Bao gồm mục: Mục 2.1, số kiến thức phương trình vi phân; ... 1.3.4 Các phương trình đến từ mơ hình hình học .20 1.3.5 Mơ hình hóa đại lượng tương tác - Hệ phương trình vi phân .22 CHƯƠNG II MỘT SỐ MƠ HÌNH TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ... MƠ HÌNH TỐN HỌC 1.1 Giới thiệu mơ hình tốn 1.2 Các mơ hình phương trình vi phân đơn giản 1.2.1 Phương trình vi phân tốn học tài 1.2.2 Phương trình vi phân lý thuyết dân số