Trong nhiều ứng dụng, như radar hoặc truyền TV/radio, điều quan trọng là phải tìm ra hình dạng của bề mặt phản xạ các tia tới song song vào một điểm duy nhất, được gọi là tiêu điểm. Ngược lại, cấu tạo điểm sáng cần có bề mặt phản xạ các tia sáng đến từ nguồn điểm để tạo ra chùm tia song song. Để tìm phương trình cho một bề mặt thỏa mãn yêu cầu này, chúng ta thiết lập hệ tọa độ sao cho các tia song song với trục 𝑥 và tiêu điểm là gốc tọa độ. Bề mặt được tìm kiếm phải có trục đối xứng, nghĩa là, nó phải là một bề mặt có đường quay thu được bằng cách quay một số đường cong 𝐶 về trục 𝑥. Ta phải tìm phương trình 𝑦 = 𝑦 (𝑥) của 𝐶. Sử dụng kí hiệu của hình, ta gọi 𝑀 (𝑥, 𝑦) là một điểm tùy ý trên đường cong và kí hiệu 𝑇 là điểm tiếp tuyến của đường cong tại 𝑀 cắt trục 𝑥. Theo đó, tam giác 𝑇𝑂𝑀
là tam giác cân và:
𝑡𝑎𝑛(𝑂𝑇𝑀) = 𝑡𝑎𝑛( 𝑇𝑀𝑂) =𝑑𝑦 𝑑𝑥,
trong đó đạo hàm được đánh giá tại M. Mặt khác:
tan(𝑂𝑇𝑀) = |𝑀𝑃| |𝑇𝑃|.
Vì |𝑀𝑃| = 𝑦 và, tam giác là tam giác cân, |𝑇𝑃| = |𝑂𝑇| − |𝑂𝑃| = |𝑂𝑀| − |𝑂𝑃| = √𝑥2+ 𝑦2+ 𝑥. Do đó, phương trình vi phân của đường cong
𝐶 là
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑦
√𝑥2+ 𝑦2+ 𝑥. (1.19) Đây là một phương trình phi tuyến, được gọi là thuần nhất và là phương trình vi phân cấp một. Như chúng ta sẽ thấy ở phần sau, không khó để giải quyết được phương trình dạng này.
Đường cong theo đuổi
Đường đi của chó đuổi thỏ hay quỹ đạo của tên lửa tự dẫn khi cố gắng đánh chặn máy bay địch là gì? Để trả lời câu hỏi này, trước tiên chúng ta phải nhận ra nguyên tắc được sử dụng trong việc điều khiển cuộc rượt đuổi. Nguyên tắc này là tại bất kỳ thời điểm nào hướng chuyển động (đó là vectơ vận tốc) là hướng về đối tượng bị đuổi.
Để tránh sai sót về mặt kỹ thuật, chúng ta giả định rằng mục tiêu di chuyển với tốc độ không đổi 𝑣 dọc theo một đường thẳng để việc truy đuổi diễn ra trên một mặt phẳng. Chúng tôi giới thiệu hệ tọa độ sao cho mục tiêu di chuyển dọc theo trục 𝑦 theo chiều dương, bắt đầu từ điểm gốc tại thời điểm 𝑡 = 0 và người theo đuổi bắt đầu từ một điểm ở nửa âm của trục 𝑥. Ta cũng giả sử rằng người đuổi theo chuyển động với vận tốc 𝑢 không đổi.
Gọi 𝑀 = 𝑀 (𝑥 (𝑡), 𝑦 (𝑡)) là một điểm tại đường cong 𝐶, có phương trình
𝑦 = 𝑦 (𝑥), tương ứng với thời gian 𝑡 của lần truy đuổi. Tại thời điểm này, vị trí của mục tiêu là (0, 𝑣𝑡). Biểu thị 𝑦′ = −𝑑𝑦
𝑑𝑥, từ nguyên tắc của sự theo đuổi chúng ta có được:
𝑦′ = −𝑣𝑡 − 𝑦
𝑥 . (1.20)
Trong phương trình này, vì có quá nhiều biến, do đó ta sẽ loại bỏ t vì chúng ta đang cần tìm phương trình của quỹ đạo theo các biến x, y. Phương trình (1.20) biến đổi theo t ta thu được:
𝑡 = 𝑦 − 𝑥𝑦
′
𝑣 .
Tiếp theo, sử dụng giả định rằng 𝑣 là một hằng số,
𝑑𝑡 𝑑𝑥 = −
1 𝑣𝑥𝑦
′′.
Tiến hành nghịch đảo phương trình cuối ta được:
𝑑𝑥
𝑑𝑡 = − 𝑣
𝑥𝑦′′. ( 1.21) Mặt khác, vì chúng ta biết rằng tốc độ của một vật chuyển động theo phương trình tham số (𝑥 (𝑡), 𝑦 (𝑡)) được cho bởi:
𝑢 = √(𝑑𝑥
𝑑𝑡)2 + (𝑑𝑦
𝑑𝑡)2 = √1 + (𝑦′)2 |𝑑𝑥
𝑑𝑡| , (1.22) và sử dụng công thức cho các đường cong tham số, ta được
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 .
Với điều kiện 𝑑𝑥
𝑑𝑡 ≠ 0 và giả thiết 𝑑𝑥 / 𝑑𝑡 > 0 để chúng ta có thể khử giá trị tuyệt đối trong (1.22). Do đó, kết hợp (1.21) và (1.22) chúng ta thu được phương trình của đường cong theo đuổi là:
𝑥𝑦′′ = −𝑣
𝑢√1 + (𝑦′)2 . (1.23)
Tuy nhiên, đây là một phương trình cấp hai phi tuyến và ta có thể rút gọn thành một phương trình cấp một và do đó có thể giải được. Chúng ta sẽ giải quyết các phương trình như vậy ở phần sau.