vi phân
Trong nhiều tình huống, chúng ta phải lập mô hình sự phát triển của hai (hoặc nhiều) đại lượng được kết hợp với nhau, nghĩa là trạng thái của một trong số chúng ảnh hưởng đến đại lượng kia và ngược lại. Ta thấy loại tương tác này trong trường hợp riêng biệt khi mô hình hóa sự lây lan của dịch sởi. Sau đó, nó dẫn đến một hệ phương trình vi phân. Tương tự, trong trường hợp liên tục, sự tiến hóa của các quần thể tương tác sẽ dẫn đến một hệ phương trình vi phân. Trong tiểu mục này, chúng ta sẽ xem xét về mô hình hóa các hệ thống như vậy dẫn đến cả hệ thống tuyến tính và phi tuyến.
Ta xét một hệ thống gồm hai thùng có dung tích bằng nhau chứa thuốc nhuộm đã được pha loãng: nồng độ tại một thời điểm 𝑡 của thuốc nhuộm trong thùng thứ nhất là 𝑐1(𝑡) và trong thùng thứ hai là 𝑐2 (𝑡). Giả sử rằng thuốc nhuộm nguyên chất chảy vào thùng thứ nhất với tốc độ không đổi 𝑟1 và thuốc nhuộm chảy vào thùng thứ hai với tốc độ không đổi 𝑟2 (tính bằng lít trên phút). Giả sử rằng thêm hai máy bơm trao đổi hàm lượng của cả hai thùng với tốc độ không đổi: 𝑝1 từ thùng
1 sang thùng 2 và ngược lại ở 𝑝2. Hơn nữa, hỗn hợp đã pha loãng được rút ra khỏi thùng 2 với tốc độ 𝑅2. Tốc độ dòng chảy được chọn sao cho thể tích hỗn hợp trong
mỗi thùng không đổi, bằng 𝑉, đó là 𝑟1 + 𝑝2 − 𝑝1 = 𝑟2 − 𝑝2− 𝑅2 = 0. Chúng ta phải tìm ra nồng độ thuốc nhuộm trong mỗi thùng thay đổi theo thời gian.
Gọi 𝑥1(𝑡) và 𝑥2(𝑡) là thể tích thuốc nhuộm trong mỗi bể tại 𝑡 ≥ 0. Như vậy, nồng độ 𝑐1 và 𝑐2 được xác định bởi 𝑐1 = 𝑥1 / 𝑉 và 𝑐2 = 𝑥2 / 𝑉. Chúng ta sẽ xem xét điều gì xảy ra với thể tích thuốc nhuộm trong mỗi thùng trong một khoảng thời gian nhỏ từ 𝑡 đến ∆𝑡. Trong thùng thứ nhất: 𝑥1(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑥1(𝑡) = { 𝑘ℎố𝑖 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑢ố𝑐 𝑛ℎ𝑢ộ𝑚 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑐ℎấ𝑡 𝑐ℎả𝑦 𝑣à𝑜 𝑡ℎù𝑛𝑔 1 } + { 𝑡ℎể 𝑡í𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑢ố𝑐 𝑛ℎ𝑢ộ𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 ℎỗ𝑛 ℎợ𝑝 2 𝑐ℎả𝑦 𝑣à𝑜 𝑡ℎù𝑛𝑔 1 } − { 𝑡ℎể 𝑡í𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑢ố𝑐 𝑛ℎ𝑢ộ𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 ℎỗ𝑛 ℎợ𝑝 1 𝑐ℎả𝑦 𝑟𝑎 𝑘ℎỏ𝑖 𝑡ℎù𝑛𝑔 1 } = 𝑟1∆𝑡 + 𝑝2 𝑥2(𝑡) 𝑉 ∆𝑡 – 𝑝1 𝑥1(𝑡) 𝑉 ∆𝑡,
Trong thùng thứ hai, tương tự ta có được:
𝑥2(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑥2(𝑡) = { 𝑡ℎể 𝑡í𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑢ố𝑐 𝑛ℎ𝑢ộ𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 ℎỗ𝑛 ℎợ𝑝 1 𝑐ℎả𝑦 𝑣à𝑜 𝑡ℎù𝑛𝑔 2 } + { 𝑡ℎể 𝑡í𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑢ố𝑐 𝑛ℎ𝑢ộ𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 ℎỗ𝑛 ℎợ𝑝 2 𝑐ℎả𝑦 𝑣à𝑜 𝑡ℎù𝑛𝑔 2 } − { 𝑡ℎể 𝑡í𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑢ố𝑐 𝑛ℎ𝑢ộ𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 ℎỗ𝑛 ℎợ𝑝 1 𝑐ℎả𝑦 𝑡ừ 𝑡ℎù𝑛𝑔 2 𝑡ℎù𝑛𝑔 1 } = 𝑝1 𝑥1(𝑡) 𝑉 ∆𝑡 − 𝑅2 𝑥2(𝑡) 𝑉 ∆𝑡 − 𝑝2 𝑥2(𝑡) 𝑉 ∆𝑡.
Chia cả hai vế của phương trình cuối cho ∆𝑡 và chuyển qua giới hạn, ta thu được hệ phương trình vi phân tuyến tính sau đây:
𝑑𝑥1 𝑑𝑡 = 𝑟1 + 𝑝2𝑥2 𝑉 − 𝑝1𝑥1 𝑉 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 = 𝑝1𝑥1 𝑉 − (𝑅2 + 𝑝2)𝑥2 𝑉. (1.24)
Mô hình dịch bệnh liên tục - một hệ phương trình vi phân phi tuyến
Một vụ dịch sởi đã xem xét ở mục trước được mô hình hóa như một hệ phương trình vi phân phi tuyến tính. Lý do cho việc áp dụng các phương trình khác biệt là khoảng thời gian tiềm ẩn đáng kể giữa việc mắc bệnh và lây nhiễm. Nếu khoảng thời gian này rất nhỏ (lý tưởng là bằng 0) thì sẽ hợp lý hơn nếu xây dựng một mô hình bao hàm các cặp phương trình vi phân. Với mục đích xây dựng mô hình, chúng ta chia dân số thành ba nhóm: nhạy cảm (không miễn dịch với bệnh), nhiễm trùng (có khả năng lây nhiễm bệnh) và loại bỏ (những người đã mắc bệnh trước đó và có thể không bị tái nhiễm vì chúng được miễn dịch, đã được cách ly hoặc đã chết vì bệnh). Các ký hiệu 𝑆, 𝐼, 𝑅 sẽ được sử dụng để biểu thị số lượng cảm nhiễm, nhiễm trùng và loại bỏ tương ứng, trong quần thể tại thời điểm 𝑡. Chúng ta sẽ đưa ra các giả định sau về đặc điểm của bệnh:
(a) Bệnh lây truyền khi ở gần hoặc tiếp xúc giữa người bị nhiễm và người nhạy cảm.
(b) Người nhạy cảm sẽ trở thành vật truyền nhiễm ngay sau khi lây truyền. (c) Sự lây nhiễm cuối cùng bị loại bỏ.
(d) Quần thể dễ bị nhiễm bệnh không bị thay đổi do di cư, nhập cư, sinh và tử. (e) Mỗi nhiễm trùng lây nhiễm một phần không đổi 𝛽 của quần thể dễ bị nhiễm bệnh trong một đơn vị thời gian.
(f) Số lượng trẻ sơ sinh bị loại bỏ tỷ lệ thuận với số lượng trẻ sơ sinh có mặt. Như đã đề cập trước đó, giả thiết (𝑏) làm cho công thức phương trình vi phân hợp lý hơn. Các bệnh mà giả định này có thể áp dụng bao gồm bệnh bạch hầu, bệnh ban đỏ và bệnh herpes. Giả thiết (𝑒) giống với giả thiết được sử dụng trong công thức phương trình vi phân khác. Nó hợp lệ với điều kiện là số lượng nhiễm trùng nhỏ so với số lượng nhạy cảm.
Để thiết lập các phương trình vi phân, chúng ta sẽ làm theo cách tiếp cận tiêu chuẩn viết phương trình vi phân đầu tiên trong khoảng thời gian tùy ý và sau đó chuyển với độ dài của khoảng thời gian này bằng không. Do đó, theo các giả định
𝑆(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑆(𝑡) − {𝑠ố 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑑ễ 𝑏ị 𝑛ℎ𝑖ễ𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡ℎờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛 ∆𝑡 }, bằng các giả định (𝑎), (𝑏) 𝑣à (𝑐) 𝐼(𝑡 + ∆𝑡) = 𝐼(𝑡) + {𝑠ố 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑑ễ 𝑏ị 𝑛ℎ𝑖ễ𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡ℎờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛 ∆𝑡 } − {𝑠ố 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑛ℎ𝑖ễ𝑚 𝑏ị 𝑙𝑜ạ𝑖 𝑏ỏ 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡ℎờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛 ∆𝑡 }, và từ giải định (𝑎 ), (𝑐)𝑣à (𝑑) 𝑅(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑅(𝑡) + {𝑠ố 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑛ℎ𝑖ễ𝑚 𝑏ị 𝑙𝑜ạ𝑖 𝑏ỏ 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡ℎờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛 ∆𝑡 }.
Tuy nhiên, từ giả định (𝑐) 𝑣à (𝑓) :
{𝑠ố 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑑ễ 𝑏ị 𝑛ℎ𝑖ễ𝑚
𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡ℎờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛 ∆𝑡 } = 𝛽𝑆𝐼∆𝑡 {𝑠ố 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑛ℎ𝑖ễ𝑚 𝑏ị 𝑙𝑜ạ𝑖 𝑏ỏ
𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡ℎờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛 ∆𝑡 } = γI∆t.
Kết hợp tất cả các phương trình này và chia cho ∆𝑡 và chuyển qua giới hạn. Ta thu được hệ phương trình vi phân phi tuyến sau đây:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = −𝛽𝑆𝐼, 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − 𝛾𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾𝐼. (1.25)
Trong đó α, β là các hằng số tỷ lệ. Lưu ý rằng 𝑅 không xuất hiện trong hai phương trình đầu tiên để ta xét riêng biệt rồi tìm 𝑅 bằng phép lấy tích phân trực tiếp. Hai phương trình đầu tiên là một hệ mô hình hóa liên tục (1.9) với 𝐵 = 0. Lưu ý rằng một dạng đơn giản hơn của phương trình cho 𝐼 trong trường hợp rời rạc dựa trên thực tế là do thời gian khôi phục chính xác là một tuần nên số lượng mẫu bị loại bỏ mỗi tuần bằng số lượng mẫu nhiễm trong tuần trước đó để hai loại này triệt tiêu lẫn nhau trong phương trình cho 𝐼.
Mô hình động vật ăn thịt - con mồi - một hệ phương trình phi tuyến tính
Hệ phương trình vi phân phi tuyến tương tự như (1.25) xuất hiện trong nhiều ứng dụng. Một trong những mô hình nổi tiếng nhất là Lotka-Volterra, hay mô hình động vật ăn thịt - con mồi, được tạo ra để giải thích lý do tại sao trong thời kỳ đánh bắt cá giảm trong Chiến tranh thế giới thứ I, số lượng cá mập lại tăng lên đáng kể. Chúng ta sẽ mô tả nó trên ví dụ ban đầu về sự tương tác giữa cá nhỏ và cá mập.
Để mô tả mô hình, chúng ta xem xét hai quần thể: cá nhỏ và cá mập, với các yếu tố ảnh hưởng sau đây được tính đến:
(i) Các quần thể cá và cá mập có tốc độ tăng trưởng theo cấp số nhân khi được xem xét riêng lẻ. Tuy nhiên, tốc độ tăng trưởng của cá mập khi thiếu cá nhỏ là âm do thiếu thức ăn.
(ii) Cá bị cá mập săn mồi dẫn đến suy giảm số lượng cá. Giả thiết rằng mỗi con cá mập ăn một phần không đổi trong quần thể cá.
(iii) Số lượng cá mập tăng lên nếu có nhiều cá hơn. Số lượng cá mập bổ sung tỷ lệ thuận với số lượng cá hiện có.
(iv) Cá và cá mập đang bị đánh bắt một cách bừa bãi, tức là số lượng cá mập và cá mà ngư dân đánh bắt được tỷ lệ thuận với quần thể cá và cá mập hiện tại, với cùng một tỷ lệ không đổi.
Nếu chúng ta biểu thị bằng 𝑥 và 𝑦 là kích thước của quần thể cá và cá mập, thì một đối số, tương tự như đối số dẫn đến (1.25), đưa ra hệ thống sau:
𝑑𝑥
𝑑𝑡 = (𝑟 − 𝑓)𝑥 − 𝛼𝑥𝑦, 𝑑𝑦
𝑑𝑡 = −(𝑠 + 𝑓)𝑦 + 𝛽𝑥𝑦,
CHƯƠNG II
MỘT SỐ MÔ HÌNH TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN