Ý nghĩa chính xác của một phương trình vi phân là gì? Khái niệm quen thuộc hơn về phương trình đại số, chẳng hạn như phương trình bậc hai 𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0, nói lên điều gì đó về một số 𝑥. Đôi khi nó được gọi là mệnh đề mở vì số 𝑥
không được xác định và giá trị đúng của mệnh đề phụ thuộc vào 𝑥. Việc giải phương trình sau đó tương đương với việc tìm các giá trị của 𝑥 để mệnh đề mở biến thành mệnh đề đúng.
Các phương trình đại số phát sinh trong quá trình mô hình hóa trong đó đại lượng chưa biết là một số (hoặc tập hợp các số) và tất cả các đại lượng có liên quan khác là không đổi. Như chúng ta đã quan sát trong chương đầu tiên, nếu dữ liệu xuất hiện trong bài toán là thay đổi và chúng ta mô tả một hiện tượng đang thay đổi, thì ẩn số sẽ là một hàm (hoặc một chuỗi). Nếu các thay đổi xảy ra trong một khoảng thời gian rất ngắn, thì việc lập mô hình thường sẽ phải cân bằng các gia số nhỏ của hàm này và dữ liệu của bài toán và thường dẫn đến một phương trình liên quan đến các đạo hàm của hàm chưa biết. Phương trình như vậy được gọi là phương trình vi phân.
Phương trình vi phân được chia thành nhiều lớp. Hai lớp chính là phương trình vi phân thường (ODE) và phương trình vi phân với đạo hàm riêng. Như tên gọi gợi ý, phương trình vi phân thường là các phương trình trong đó hàm chưa biết là một hàm của một biến và các đạo hàm liên quan đến phương trình là các đạo hàm thông thường của hàm này. Một phương trình vi phân với đạo hàm riêng bao gồm các hàm của một số biến và do đó thể hiện quan hệ giữa các đạo hàm riêng của hàm chưa biết.
Trong chương trình này, chúng tôi sẽ chỉ quan tâm đến phương trình vi phân thường và hệ thống của phương trình vi phân thường. Nói một cách hình tượng, dạng chung của phương trình vi phân thường là:
𝐹(𝑦(𝑛), 𝑦(𝑛−1), . . . 𝑦′ , 𝑦, 𝑡) = 0, (2.1) trong đó 𝐹 là một hàm cho trước gồm 𝑛 + 2 biến. Ví dụ, phương trình tăng theo cấp số nhân có thể được viết dưới dạng 𝐹(𝑦′, 𝑦, 𝑡) = 𝑦′ − 𝑟𝑦 để hàm 𝐹 là một hàm của hai biến (không đổi đối với 𝑡) và tác động thành 𝑟. Hệ phương trình vi phân cũng có thể được viết dưới dạng (2.1.1) nếu chúng ta chấp nhận rằng cả 𝐹 và
𝑦 (và tất cả các đạo hàm của 𝑦) đều có thể là vectơ. Ví dụ, trong trường hợp lây lan dịch bệnh (1.25), chúng ta có một hệ phương trình vi phân thông thường có thể được viết là:
𝐹(𝑦, 𝑡) = 0,
với vectơ ba chiều 𝒚 = (𝑆, 𝐼, 𝑅) và vectơ 𝑭 = (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) với 𝐹1 (𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝑡) = −𝛽𝑆𝐼, 𝐹2 (𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝑡 ) = 𝛽𝑆𝐼 − 𝛾𝐼 và 𝐹3 (𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝑡) = 𝛾𝐼.
Ý nghĩa của việc giải một phương trình vi phân là gì? Đối với các phương trình đại số, giống như phương trình đã thảo luận ở đầu, chúng ta có thể áp dụng các kỹ thuật đã học ở trường trung học để tìm biểu thức của phương trình ∆ = (−4)2− 4 · 1 · (−5) = 36 sao cho 𝑥1,2 = 0,5 (4 ± 6) = 5, −1. Bây giờ, đây có phải là giải pháp cho phương trình của chúng ta không? Làm thế nào chúng ta có thể kiểm tra? Câu trả lời được đưa ra ở trên - giải pháp là một số (hoặc một tập hợp các số) biến phương trình thành một phát biểu đúng. Trong trường hợp của chúng ta, 5 2− 20 − 5 = 0 và(−1)2 − 4 (−1) − 5 = 0, do đó cả hai số đều là nghiệm của phương trình.
Để giải một bài toán ta phải tìm một đại lượng thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán này.
Điều đơn giản này rất thường bị lãng quên vì học sinh có xu hướng áp dụng một cách máy móc các bước mà họ đã học được dưới tên gọi "phương pháp giải phương trình cấp hai" hoặc "phương pháp của phép lấy tích phân" và tìm kiếm câu trả lời hoặc lời giải cho mô hình đang xét mặc dù tính đúng của lời giải trong hầu hết các trường hợp có thể được kiểm tra trực tiếp.
Nguyên tắc tương tự cũng áp dụng cho phương trình vi phân. Nghĩa là, để giải phương trình vi phân thường (2.1) có nghĩa là tìm một hàm phân biệt liên tục 𝑛 − 𝑙ầ𝑛 liên tục hàm vi phân y (t) sao cho với 𝑡 bất kỳ (từ một khoảng nào đó):
𝐹(𝑦(𝑛)(𝑡), 𝑦(𝑛−1)(𝑡), . . . 𝑦′(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑡) ≡ 0
Có rất nhiều phương pháp để giải một phương trình vi phân. Một trong số đó chỉ có thể đưa ra các nghiệm và chỉ kiểm tra xem những nghiệm này có thực sự làm cho phương trình trở thành đồng nhất thức hay không, từ đó cho chúng ta thu được lời giải chính xác hay không.
Ví dụ 2.1. Chúng ta hãy xem xét hàm nào trong số các hàm này 𝑦1(𝑡) = 30𝑒2𝑡, 𝑦2(𝑡) = 30𝑒3𝑡và 𝑦3 (𝑡) = 40𝑒2𝑡 là nghiệm của phương trình 𝑦 ′ = 2𝑦. Trong trường hợp đầu tiên, VT = 60𝑒2𝑡 và VP = 2 · 30𝑒2𝑡 để VT = VP và chúng ta có một nghiệm. Trong trường hợp thứ hai ta thu được VT = 90𝑒3𝑡 ≠ 2 · 30𝑒3𝑡 = VP nên 𝑦2 không phải là nghiệm. Theo cách tương tự, chúng ta thấy rằng 𝑦3 thỏa mãn phương trình.
Chắc chắn, việc có thể kiểm tra xem một hàm đã cho có phải là một nghiệm hay không, không giống như việc thực sự tìm ra nghiệm. Vì vậy, ví dụ này nêu lên ba câu hỏi sau đây:
1. Chúng ta có thể chắc chắn rằng một phương trình đã cho có nghiệm không? 2. Nếu chúng ta biết rằng có một nghiệm, thì có những hệ thống phương pháp nào để tìm ra nó không?
3. Sau khi tìm ra một nghiệm, chúng ta có thể chắc chắn rằng không có các nghiệm khác?
Câu hỏi 1 thường được gọi là vấn đề tồn tại cho phương trình vi phân, và câu hỏi 3 là vấn đề duy nhất. Trừ khi chúng ta giải quyết những tình huống rất đơn giản, những tình huống này nên được giải quyết trước khi cố gắng tìm ra lời giải. Rốt cuộc, việc cố gắng giải phương trình có ích lợi gì nếu chúng ta không biết liệu nghiệm có tồn tại hay không, và liệu nghiệm chúng ta tìm thấy có phải là nghiệm chúng ta đang thực sự tìm kiếm hay không, nghĩa là, lời giải của bài toán trong cuộc sống thực của mô hình đó là phương trình vi phân.
Chúng ta hãy thảo luận ngắn gọn Câu hỏi 1 trước. Nói một cách đại khái, chúng ta có thể gặp những tình huống sau:
1. Không tồn tại hàm nào thỏa mãn phương trình.
2. Phương trình có một nghiệm nhưng không ai biết nó trông như thế nào. 3. Phương trình có thể được giải ở dạng đóng, hoặc ở dạng hàm cơ bản, hoặc ở dạng cầu phương.
Trường hợp 1 không phổ biến lắm trong toán học và nó sẽ không bao giờ xảy ra trong mô hình toán học. Trên thực tế, nếu một phương trình đã cho phản ánh chính xác một hiện tượng trong đời sống thực, thì việc hiện tượng này tồn tại sẽ đảm bảo rằng lời giải của phương trình này cũng tồn tại. Ví dụ, nếu chúng ta có một phương trình mô tả một dòng nước, thì thực tế là các dòng nước sẽ đủ để khẳng định rằng phương trình đó phải có nghiệm.
Tuy nhiên, nói chung, các mô hình là sự phản ánh không hoàn hảo của cuộc sống thực và do đó có thể xảy ra trong quá trình mô hình hóa, chúng ta đã bỏ lỡ một thực tế quan trọng, do đó, hiển thị đây là phương trình cuối cùng không thể giải được. Vậy nên, việc kiểm tra xem một phương trình đã cho có thể giải được hay không đóng vai trò là bước đầu tiên quan trọng trong việc xác nhận mô hình. Thật không may, những vấn đề này thường rất khó và đòi hỏi toán học khá cao cấp nằm ngoài phạm vi của chương trình này. Mặt khác, tất cả các phương trình chúng ta sẽ xử lý đều là phương trình cổ điển và các vấn đề cơ bản về sự tồn tại và tính duy nhất của chúng đã được giải quyết một cách tích cực vào đầu thế kỷ 20.
Trường hợp 2 như chúng ta đã nói ở trên, có những định lý nâng cao cho phép xác định sự tồn tại của nghiệm mà không thực sự hiển thị chúng. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên: sau tất cả, chúng ta biết rằng tích phân Riemann của bất kỳ hàm liên tục nào tồn tại mặc dù trong nhiều trường hợp, chúng ta không thể đánh giá nó một cách rõ ràng.
Ngay cả khi chúng ta không biết một công thức cho nghiệm, tình hình không phải là vô vọng. Biết rằng nghiệm tồn tại, chúng tôi có một loạt các phương pháp số gần đúng theo ý của chúng ta. Sử dụng chúng, chúng tôi thường có thể tìm các giá trị số của lời giải với độ chính xác tùy ý. Ngoài ra, rất thường xuyên chúng ta
có thể tìm thấy các tính năng quan trọng của nghiệm mà không biết nó. Các tính năng này bao gồm ví dụ thời gian dài của nghiệm, tức là liệu nó có thiết lập ở một giá trị cân bằng nào đó hoặc đúng hơn là dao động, liệu nó có đơn điệu hay không, v.v. Những câu hỏi này sẽ được nghiên cứu trong phần cuối của khóa học của chúng ta.
Bây giờ đến với Trường hợp 3 và giải thích ý nghĩa của các thuật ngữ được sử dụng trong các tiểu mục, chúng ta lưu ý rằng rõ ràng một tình huống lý tưởng là nếu chúng ta có thể tìm ra lời giải dưới dạng tổ hợp đại số của các hàm cơ bản
𝑦(𝑡) = 𝑠ự 𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 𝑐ủ𝑎 𝑐á𝑐 ℎà𝑚 𝑐ơ 𝑏ả𝑛 𝑛ℎư: 𝑠𝑖𝑛 𝑡, 𝑐𝑜𝑠 𝑡, 𝑙𝑛 𝑡, 𝑐ấ𝑝 𝑠ố 𝑛ℎâ𝑛, đ𝑎 𝑡ℎứ𝑐 . . .
Thật không may, điều này là rất hiếm đối với phương trình vi phân. Ngay cả những trường hợp đơn giản nhất của phương trình vi phân chỉ liên quan đến các hàm cơ bản cũng có thể không có nghiệm như vậy.
Ví dụ 2.2. Xét phương trình:
𝑦′ = 𝑒−𝑡2.
Lấy tích phân cả hai vế của phương trình đã cho ta thu được:
𝑦(𝑡) = ∫ 𝑒−𝑡2𝑑𝑡
nhưng, mặt khác, người ta biết rằng tích phân này không thể được biểu thị như một tổ hợp của các hàm cơ bản.
Điều này đưa chúng ta đến định nghĩa của phép cầu phương. Chúng ta nói rằng một phương trình có thể giải được bằng phép cầu phương nếu một lời giải của phương trình này có thể được viết dưới dạng tích phân của các hàm cơ bản (như trên). Vì chúng ta biết rằng mọi hàm liên tục đều có một đạo hàm (mặc dù thường thì chúng ta không thể tìm ra một đạo hàm này một cách rõ ràng), nên việc tìm nghiệm rõ ràng cho phương trình cũng tốt hơn.
Giải quyết xong Câu hỏi 1 và 2 ở trên, nghĩa là, với sự tồn tại của nghiệm và khả năng giải của phương trình vi phân, chúng ta sẽ chuyển sang vấn đề về tính duy nhất. Chúng ta đã quan sát thấy trong Ví dụ 2.1 rằng phương trình vi phân tự
nó xác định một họ nghiệm chứ không phải một hàm duy nhất. Trong trường hợp cụ thể này, lớp này phụ thuộc vào một tham số tùy ý. Một ví dụ đơn giản khác về phương trình vi phân cấp hai 𝑦′′ = 𝑡, nghiệm của nó có thể nhận được bằng tích phân trực tiếp là 𝑦 = 1
6𝑡3+ 𝐶1𝑡 + 𝐶2 , cho thấy rằng trong phương trình cấp hai, chúng ta mong đợi loại nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số tùy ý. Khi đó có thể mong đợi rằng lớp nghiệm của một phương trình bậc 𝑛 sẽ chứa 𝑛 tham số tùy ý. Một lớp đầy đủ như vậy được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân. Bằng cách áp đặt số lượng điều kiện phụ thích hợp, chúng ta có thể chỉ định các hằng số thu được do đó một nghiệm đặc biệt - lý tưởng nhất là một thành viên của lớp.
Một điều kiện phụ có thể có tất cả các dạng, như "tại 𝑡 = 15, 𝑦 phải có giá trị là 0,4" hoặc "miền dưới đường cong giữa 𝑡 = 0 𝑣à 𝑡 = 24 phải là 100". Tuy nhiên, rất thường xuyên, nó xác định giá trị ban đầu của 𝑦 (0) của nghiệm và các đạo hàm 𝑦 𝑘(0) cho 𝑘 = 1 , . . . , 𝑛 − 1. Trong trường hợp này các điều kiện phụ được gọi là điều kiện ban đầu.
Sau những bước sơ bộ này, chúng t sẽ thu hẹp sự xem xét của mình vào một nhóm vấn đề cụ thể đối với phương trình vi phân thường.