Đang tải... (xem toàn văn)
ĐÂY LÀ TÀI LIỆU VỀ MÔN PHƯƠNG TRÌNH RẤT LÀ HAY VÀ CƠ BẢN DÀNH CHO CÁC BẠN ĐANG THEO HỌC VỀ NGÀNH MÁY TÍNH VÀ KHOA HỌC THÔNG TIN HAY LÀ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÓ. CÁC BẠN HÃY XEM VÀ THAM KHẢO NHÉ.
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 1 Chƣơng 6 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN I. Khái niệm Dạng tổng quát: , , , , = 0 Với x là biến số, = () là hàm số phải tìm, , , , () là các đạo hàm các cấp của = (). Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số thỏa mãn phương trình đó. Ví dụ : + = 0 Là phương trình vi phân cấp 2 có nghiệm là = sin() hoặc = . sin() Phương trình vi phân tuyến tính cấp n: () + 1 1 + + 1 + = () Trong đó 1 , 2 , , , () là những hàm cho trước. II. Phƣơng trình vi phân cấp 1 1. Khái niệm a. Dạng: , , = 0 (1) hoặc = , (2) Nếu từ (1) ta tìm được hàm số = (, ) với là hằng số tùy ý thì = (, ) gọi là nghiệm tổng quát của (1). Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát của (1) mà tìm được một hệ thức dạng: , , = 0 nó xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn thì hệ thức này gọi là tích phân tổng quát của (1). Nếu cho trong nghiệm tổng quát của (1) một giá trị xác định 0 thì ta được nghiệm riêng của (1), tức là = (, 0 ) là nghiệm riêng của (1). Tương tự nếu cho trong tích phân tổng quát của (1) một giá trị xác định 0 thì ta được tích phân riêng của (1), tức là , , 0 = 0 là tích phân riêng của (1). Nếu khi giải (1) có những nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát thì giọ là nghiệm kỳ dị (hay nghiệm ngoại lai) Ví dụ : Xét phương trình = 0 = Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 2 Ta thấy = 2 2 là nghiệm tổng quát của phương trình, = 2 2 là nghiệm riêng. Nếu ta biểu diễn nghiệm tổng quát dưới dạng hệ thức 2 2 = 0 thì ta được tích phân tổng quát, cho = 1 thì ta có + 2 2 = 0 là tích phân riêng. b. Bài toán Cauchy Tìm nghiệm = () của phương trình = (, ) thỏa mãn điều kiện ban đầu: 0 = 0 với 0 , 0 cho trước ( = 0 = 0 ) Định lý 1.1 Nếu hàm (, ) liên tục tại lân cận điển ( 0 , 0 ) thì bài toán Cauchy luôn có nghiệm. Hơn nữa nếu (, ) liên tục tại lân cận điển ( 0 , 0 ) thì bài toán Cauchy tồn tại duy nhất nghiệm. 2. Phƣơng trình vi phân cấp một biến số phân ly Là phương trình có thể tách rời mỗi biến một vế a. Dạng 1: = . (2.1) Phƣơng pháp giải Nếu 0 thì ta có () = Suy ra tích phân tổng quát : () = + Nếu = 0 có nghiệm = thì = là nghiệm của phương trình Ví dụ : Giải phương trình = (1 + 2 ) Giải: Chia 2 vế cho 1 + 2 ta có Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 3 1 + 2 = Suy ra tích phân tổng quát 1 + 2 = + = 2 2 + b. Dạng 2 : + = 0 (2.2) Phƣơng pháp giải Ta có tích phân tổng quát : + = Ví dụ : Giải phương trình cos . = Giải. cos = Ta có tích phân tổng quát : cos = + = 2 2 + c. Dạng 3 : 1 1 ()+ 2 2 ()= 0 (2.3) Phƣơng pháp giải Nếu 2 1 0 chia 2 vế cho 2 1 0 thì ta có : 1 2 + 2 1 () = 0 Suy ra tích phân tổng quát : Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 4 1 2 + 2 1 () = Nếu từ 1 = 0 ta có nghiệm = thì đây là nghiệm riêng của phương trình Nếu từ 2 = 0 ta có nghiệm = thì đây là nghiệm riêng của phương trình Ví dụ : Giải phương trình vi phân 1 + 2 + 1 + 2 = 0 Giái Chia 2 vế cho 1 + 2 (1 + 2 ) phương trình đã cho tương đương với : 1 + 2 + 1 + 2 = 0 Tích phân tổng quát : 1 + 2 + 1 + 2 = 1 2 1 + 2 + 1 2 1 + 2 = d. Dạng 4 : = + + (2.4) Phƣơng pháp giải Nếu = 0 hoặc = 0 ta có dạng (2.1) Nếu 0, đặt = + + ta có : = + Đây là dạng (2.1) Ví dụ : Giải phương trình = 2 + 2+ 2 1 Giải Phương trình đã cho viết lại thành = (+ ) 2 1 Đặt = + = 1 + = 1 + 2 1 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 5 = 2 Nếu 0 chia 2 vế cho 2 ta có : 2 = 1 = + = 1 Nghiệm tổng quát = 1 Nếu = 0 = , đây là nghiệm kỳ di của phương trình. 3. Phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp 1 Dạng : = , = (3.1) Phƣơng pháp giải Đặt = suy ra = nên = + , thay vao ta có: = Nếu 0, ta có : = Suy ra tích phân tổng quát : = + Nếu = 0 có nghiệm = thì = là nghiệm Nếu Nếu 0 thì phương trình trở thành = Có nghiệm = Chú ý 1: Muốn kiểm tra phương trình = , có phải đẳng cấp cấp 1 không Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 6 ta có thể kiểm tra , = , , thì cho = 1 ta có , = , = 1, = ( ) Ví dụ : Giải phương trình = + Giải Đặt = ta có = và = + = + Suy ra : = hay = Tích phân 2 vế ta có : = = + Chú ý 2: Phương trình = ( 1 + 1 + 1 2 + 2 + 2 ) Có thê đưa về dạng biến số phân ly Trường hợp 1 :Nếu 1 1 2 2 0 thì đặt = + = + Với , là nghiệm của hệ 1 + 1 + 1 = 0 2 + 2 + 2 = 0 , khi đó : = = Thay vào ta có : Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 7 = ( 1 + 1 12 + 2 ) Đây là phương trình đẳng cấp cấp 1. Trường hợp 2 :Nếu 1 1 2 2 = 0 thì 1 2 = 1 2 = ta đặt : = 2 + 2 Ta có : = 2 + 2 ( + 1 + 2 ) Đây là phương trình biến số phân ly. Ví dụ : Giải phương trình vi phân + 2 + 4 = 0 Giải Nếu + 4 0 phương trình đã cho tương đương với : = + 2 + 4 Do = 1 1 1 1 = 2 0 nên giải hệ : + 2 = 0 + 4 = 0 = 1 = 3 Đặt: = 1 = + 3 = + Đặt = ta có = và = + = 1 + 1 = 2 + 1 1 1 1 + 2 = Lấy tích phân 2 vế Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 8 1 1 + 2 = + 1 + 2 = () = ( 1 + 2 ) = 1 + 2 Thay = ta có = 2 + 2 Thay = 3 và = + 1 ta được tích phân tổng quát 3 +1 = (3) 2 + (+ 1) 2 4. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 a. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất Dạng : + = 0 (4.1) Với () là hàm cho trước. Phƣơng pháp giải Có nghiệm tổng quát là = b. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất Dạng : + = 4.2 Với p x , q(x) là các hàm cho trước. Phƣơng pháp giải Có nghiệm tổng quát là y = (+ ) Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 9 Chú ý : Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất có thể viết y = + = 1 + 2 Với 1 là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất tương ứng và 2 là nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng số đối vơi 1 . Ví dụ :Giải phương trình = 2 Giải y = 1 (+ 1 2 ) y = + = (+ 2 ) 5. Phƣơng trình Becnuly Dạng + = 5.1 Phƣơng pháp giải Nếu = 0 hoặc = 1 thì đây là phương trình tuyến tính Nếu 0 và 1 bằng cách chia cả 2 vế cho và đặt = 1 ta có : + 1 = 1 () Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Ví dụ : Giải phương trình vi phân + = 2 4 Giải Chia 2 vế cho 4 ta có 4 + 1 3 = 2 Đặt = 3 ta có = 3 4 , thay vào phương trình ta có : Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 10 3 = 3 2 Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 theo nên có nghiệm tổng quát : = 3 (3 3 2 ) = 3 3 3 1 3 = 3 3 3 6. Phƣơng trình vi phân toàn phần Dạng : , + , = 0 (6.1) Với , , (, ) là các hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền D và thỏa mãn điều kiện : (, ) = (, ) (6.2) Phƣơng pháp giải Khi đó tích phân tổng quát có dạng : , 0 + 0 , 0 = Hoặc , 0 0 + , 0 = Với ( 0 , 0 ) Ví dụ: Giải phương trình: 4 2 + + 4 2 + = 0 Giải = 4 2 + , = 4 2 + Do [...]... = 𝑦′, phương trình đã cho được đưa về dạng: 𝑧 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑧) Đây là phương trình vi phân cấp 1, giải phương trình này ta tìm được 𝑧 rồi từ đó tìm được 𝑦 Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦 ′′ = 𝑥 − 𝑦′ 𝑥 𝑧′ = 𝑥 − 𝑧 𝑥 Giải Đặt 𝑧 = 𝑦′ ta có: ⇔ 𝑧′ + 𝑧 = 𝑥 𝑥 Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 nên có nghiệm tổng quát : 𝑧 = 𝑒− 1 𝑑𝑥 𝑥 𝐶1 + 𝑒 1 𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 𝐶1 + 3 𝑥 17 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân. .. Giải phương trình: 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 0 Giải Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng nên có phương trình đặc trưng: 𝑘 2 − 3𝑘 + 2 = 0 ⇒ 𝑘=1 𝑘=2 Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 2𝑥 Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0 Giải Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng nên có phương trình. .. 𝐶1 − 𝑥 3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 a Định nghĩa Dạng : 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 (5) Trong đó 𝑎0 (𝑥), 𝑎1 (𝑥), 𝑓(𝑥)là các hàm liên tục Nếu 𝑓(𝑥) ≡ 0 thì phương trình 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0 (6) Là phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất, ngược lại gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất Nếu 𝑎0 (𝑥), 𝑎1 (𝑥) là các hằng số thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính... 2 − 2𝑘 + 1 = 0 ⇒ 𝑘 = 1 Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 Ví dụ: Giải phương trình: 24 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0 Giải Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng nên có phương trình đặc trưng: 𝑘 2 + 2𝑘 + 5 = 0 ⇒ 𝑘 = −1 − 2𝑖 𝑘 = −1 + 2𝑖 Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng... tìm một nghiệm riêng của phương trình (3.1) đã cho Bƣớc 3: nghiệm tổng quát của phương trình đã cho bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình (3.2) với nghiệm riêng của nó 23 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Giải phƣơng trình tuyến tính thuần nhất (3.2) Xét phƣơng trình đặc trƣng: 𝑘 2 + 𝑎1 𝑘 + 𝑎0 = 0 (3.3) Nếu phƣơng trình có: Hai nghiệm phân biệt 𝑘1 ≠ 𝑘2 thì nghiệm... giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦) = = 8𝑥𝑦 + 1, 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2009 ∀(𝑥, 𝑦) Nên đây là phương trình vi phân toàn phần, chọn 𝑥0 = 𝑦0 = 0 ta có tích phân tổng quát 𝑦 𝑥 (4𝑥𝑦 2 + 𝑦) 𝑑𝑥 + 0 4 02 𝑦 + 0 𝑑𝑦 = 𝐶 0 2𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥𝑦 = 𝐶 Chú ý : Nếu điều kiện (6.2) không thỏa mãn thì 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 không phải là vi phân toàn phần Khi đó ta có thể tìm được hàm (𝑥, 𝑦) sao cho phương trình. .. ′′ = 0 Thay vào phương trình ta có: 0 − 2𝑏 + 𝑎 + 𝑏𝑥 = 1 + 𝑥 Đồng nhất hệ số ta có: 𝑎=3 𝑏=1 Suy ra nghiệm riêng của phương trình đã cho là: 𝑦 =3+ 𝑥 Bước 3: Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất đã cho là: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 + 3 + 𝑥 Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 2𝑥 + 3 + 5 Giải Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình trình thuần nhất Xét phương trình đặc trưng:... 𝑡 Đây là phương trình vi phân cấp 1, giải đươc ra 𝑡 rồi từ đó tìm được 𝑦 Ví dụ : Giải phương trình : 𝑦𝑦 ′′ − 𝑦′2 = 0 Giải Đặt 𝑦 ′ = 𝑡 suy ra𝑦 ′′ = 𝑡 ′ 𝑡, thay vào ta có: 𝑦𝑡′𝑡 − 𝑡 2 = 0 ⇔ 𝑦𝑡 ′ 𝑡 = 𝑡 2 Nếu 𝑡 = 0 ⇒ 𝑦 = 𝐶1 Nếu 𝑡 ≠ 0 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑡 𝑦 Lấy tích phân 2 vế ta có: 18 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 𝑑𝑡 = 𝑡 2009 𝑑𝑦 𝑦 𝑡 = 𝐶1 𝑦 Ta có 𝑦 ′ = 𝐶1 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶1 𝑑𝑥 𝑦 Lấy tích phân ta có:... quát của phương trình trình thuần nhất Xét phương trình đặc trưng: 25 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 𝑘 2 − 2𝑘 + 1 = 0 Có nghiệm kép 𝑘 = 1 nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất đã cho Do 𝑓 𝑥 = 𝑒 0𝑥 (1 + 𝑥) nên 𝛼 = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng... + 𝑓′ 𝑡 = 𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Suy ra: 𝑔 𝑡 − 𝑡 𝜕𝑥 + 𝑥𝑔′ 𝑡 = −𝑓 ′ (𝑡) 𝜕𝑡 13 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1theo hàm 𝑥, giải phương trình trên ta có 𝑥 = 𝜑(𝑡, 𝐶) Suy ra nghiệm tổng quát tìm được dưới dạng tham số: 𝑥 = 𝜑(𝑡, 𝐶) 𝑦 = 𝜑(𝑡, 𝐶)𝑔 𝑡 + 𝑓(𝑡) Ví dụ: Giải phương trình 𝑦 = 𝑥𝑦′2 + 𝑦′2 Giải Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑦 = 𝑥𝑡 2 + 𝑡 2 , lấy đạo hàm 2 vế ta . của = (). Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số thỏa mãn phương trình đó. Ví dụ : + = 0 Là phương trình vi phân cấp 2 có nghiệm là. thay vào phương trình ta có : Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 10 3 = 3 2 Đây là phương trình vi phân tuyến