Các quy tắc Feynman
Mô hình chuẩn là lý thuyết mô tả các tương tác cơ bản của vũ trụ, bao gồm tương tác điện từ, tương tác mạnh và tương tác yếu Để áp dụng Mô hình chuẩn, cần hiểu rõ bản chất của các hiện tượng tán xạ và phân rã Việc sử dụng hệ thống quy tắc Feynman là cần thiết để phát triển các biểu diễn toán học như biên độ Feynman (M), từ đó tính toán các đại lượng vật lý quan sát được, chẳng hạn như tiết diện tán xạ (σ) và bề rộng phân rã (Γ).
Hiện tượng mà chúng tôi khảo sát là sự phân rã của boson Z cho ra quark bottom và phản quark bottom có thể được viết như sau
Quá trình phân rã của cây trong mô hình GSW được xác định bởi tương tác điện yếu, nhưng khi xem xét các bổ đính bậc cao QCD, gluon - hạt truyền tương tác mạnh giữa các quark - sẽ xuất hiện, tương tự như photon trong tương tác điện từ Để phát triển bộ quy tắc Feynman cho quá trình phân rã này, cần dựa vào Lagrangian của hạt tự do và Lagrangian tương tác Các biểu diễn của boson Z cùng với hai quark và phản-quark tương tự như photon và các lepton, mặc dù tương tác điện yếu và tương tác mạnh có sự khác biệt.
Chương 1 nghiên cứu bề rộng phân rã ở mức độ cây 2 với sự tương tác điện từ trong mô hình QED Để thực hiện điều này, việc xác định đỉnh tương tác của hai loại tương tác là cần thiết Đầu tiên, chúng ta cần xác định đỉnh tương tác của tương tác điện yếu, dựa trên thành phần tương tác gauge-fermion trong Lagrangian gauge-fermion, có dạng như đã nêu trong tài liệu [1].
L F G =J em à A à +J N C à Z à +J CC à W à + +J CC à † W à − , (1.2) trong đú, chỳng tụi quan tõm đến thành phần dũng trung hũa yếu J N C à của quark tương tác với boson Z có dạng [1]
Biểu thức X f = l,q ψ¯ f (v f γ à − a f γ à γ 5 ) cho thấy thành phần đỉnh tương tác giữa boson Z và fermion, được biểu diễn bằng công thức i g 2 / (2cosθ W) (v f γ à − a f γ à γ 5 ) Trong đó, g 2 là hằng số kết cặp chuẩn cho thành phần phi-Abelian SU(2) và g 1 cho thành phần Abelian U(1) Góc hỗn hợp θ W được xác định bởi công thức cosθ W = √(g 2 / (g 1 2 + g 2 2)) = m / m W.
Z; v f , a f là các hằng số kết cặp dòng trung hòa xác định bởi v f =I 3 f −2Q f sin 2 θ W , a f =I 3 f ,
(1.5) với Q f , I 3 f lần lượt là điện tích và isospin của quark bottom.
Từ Lagrangian QCD, ta có thể rút ra thành phần đỉnh tương tác mạnh với dạng ig S T a γ à, trong đó gS là hằng số kết cặp mạnh và Ta là các phần tử sinh của nhóm SU(3) Kết quả là chúng ta thu được các quy tắc Feynman cần thiết, như thể hiện trong hình 1.1 Trong giản đồ đỉnh quark-gluon, các chỉ số màu k, l = 1,3, trong khi u σ (p 1 ), v δ (p 2 ), ε λ à (k) lần lượt đại diện cho spinor của quark bottom, phản quark bottom và vector phân cực của boson Z, với σ, δ có helicity 1,2 và λ có ba giá trị helicity 1,2,3; à là chỉ số Lorentz.
CHƯƠNG 1 BỀ RỘNG PHÂN RÃ Ở MỨC ĐỘ CÂY 3
Hình 1.1: Các quy tắc Feynman
Tính bề rộng phân rã mức độ cây
Giản đồ phân rã của boson Z cho thấy sự tạo thành quark và phản-quark, được minh họa trong hình 1.2 Dựa trên các quy tắc Feynman, chúng tôi đã thực hiện việc viết biên độ Feynman cho quá trình này.
CHƯƠNG 1 BỀ RỘNG PHÂN RÃ Ở MỨC ĐỘ CÂY 4
Hình 1.2: Giản đồ Z →b¯b ở mức cây
Boson Z không mang tích màu, do đó để bảo toàn tích màu, cần thêm thành phần δij trong biên độ Feynman Điều này đảm bảo rằng tổng sắc tích của các hạt ở trạng thái cuối là bằng 0.
Trong thực nghiệm, trạng thái phân cực đầu của boson Z không được xác định, trong khi trạng thái phân cực của các hạt ở trạng thái cuối cũng không thể quan sát Do đó, cần thực hiện phép lấy trung bình các trạng thái phân cực đầu và tổng hợp các trạng thái phân cực cuối, dẫn đến tổng spin sẽ có dạng nhất định.
Thay dạng tường minh của biên độ Feynman vào tổng phân cực trên, ta được
CHƯƠNG 1 BỀ RỘNG PHÂN RÃ Ở MỨC ĐỘ CÂY 5 Áp dụng các công thức tổng phân cực, tổng spinor như sau [1]
(1.12) Áp dụng các công thức tính Trace cho ma trận γ trong (A.1) vào tổng spin, chúng tôi thu được
Để đơn giản hóa, ta chọn hệ quy chiếu với boson Z đứng yên, tức là xung lượng ba chiều của hệ bằng 0 (k = p1 + p2 = 0) Trong trường hợp này, xung lượng k của boson Z được biểu diễn là k = (mZ, 0), trong khi xung lượng của quark bottom và phản quark bottom được ghi nhận là p1 = (E, p) và p2 = (E, -p), với E = √(m²b + p²) Từ đó, ta có thể rút ra các hệ thức liên quan.
Bên cạnh đó, định luật bảo toàn năng lượng còn dẫn ra một kết quả sau
E Z =E b +E¯ b ⇔m Z = 2E (1.15) Thay các công thức trên vào biểu thức (1.13), tổng spin trở thành
CHƯƠNG 1 BỀ RỘNG PHÂN RÃ Ở MỨC ĐỘ CÂY 6 Công thức tính bề rộng phân rã cho giản đồ cây có dạng như sau [1] dΓ 0 dΩ = 1
Thay vào biểu thức trên các công thức gồm công thức (1.5) với I 3 b = − 1 2 , Q b =− 1 3 , công thức cosθ W = m m W
(1.18) Dựa theo số liệu thực nghiệm lấy từ PDG [2], các giá trị khối lượng và hằng số được lấy vớim W = 80.385 GeV, m Z = 91.1876 GeV,m b = 4.18GeV, hằng số Fermi
G F = 1.16638ã10 −5 GeV −2 Giỏ trị cụ thể của bề rộng phõn ró ở mức độ cõy sau khi được thay các số liệu vào Γ full 0 = 0.368593 GeV (1.19)
Vì nhận thấy rằng khối lượng của quark bottom khá nhỏ so với khối lượng của boson
Z Do đó, chúng tôi thực hiện xấp xỉ khối lượng m b = 0 Khi đó Γ approx 0 = G F m 3 Z √
Chúng tôi sẽ tạm thời chưa so sánh kết quả tính lý thuyết với số liệu thực nghiệm Sau khi làm rõ kết quả tính bề rộng phân rã của giản đồ bậc cao, chúng tôi sẽ tiến hành đối chiếu Hai chương tiếp theo sẽ tập trung vào việc tìm kiếm kết quả bề rộng phân rã của Z → b¯b trong bổ đính bậc cao QCD.
Bề rộng phân rã cho trường hợp gluon ảo
Công thức rút gọn LSZ
Để xác định bề rộng phân rã, trước tiên cần xác định phần tử ma trận-S Đối với các bổ đính bậc cao, việc tìm kiếm phần tử ma trận-S phải được thực hiện thông qua công thức rút gọn LSZ đã được định nghĩa.
Biên độ Feynman chặt cụt (MAmp) được xác định từ các giản đồ không chứa bổ đính hàm sóng cho đường ngoài, như thể hiện trong hình 2.1 Ngược lại, hình 2.2 minh họa các giản đồ liên kết (connected diagrams) mà không thể được coi là giản đồ chặt cụt.
CHƯƠNG 2 BỀ RỘNG PHÂN RÃ CHO TRƯỜNG HỢP GLUON ẢO 8
Hình 2.2: Giản đồ connected trong đóM 1 là bổ đính tương tác mạnh,M 2 là bổ đính tương tác yếu
Hình 2.3: Giản đồ 1-vòng 2 đỉnh chặt cụt Do đó, khi tính biên độ chặt cụt, ví dụ như hình 2.1 ta thu được
Các số hạng Z˜Z,Z˜b,Z˜¯ b là các hằng số chuẩn hóa LSZ, có thể được viết triển khai như sau
, (2.3) đồng thời do hàm truyền của quark bottom và quark anti-bottom giống nhau, nên
Z˜b = ˜Z¯ b Định nghĩa của số hạng Z˜f như sau [3]
, (2.4) với g s 2 Σ(/p)chính là thành phần năng lượng riêng quark như trong hình 2.3được biểu diễn trong D-chiều(D= 4−2)dưới dạng g S 2 Σ(/p) = 4
CHƯƠNG 2 BỀ RỘNG PHÂN RÃ CHO TRƯỜNG HỢP GLUON ẢO 9 trong đó P8 a=1(T a ) 2 = 4
Trong nghiên cứu về gluon, khối lượng của gluon được xác định là m_g = 0, dẫn đến việc biểu thức (2.5) khi D=4 xuất hiện phân kỳ UV Để giải quyết vấn đề này, chúng ta áp dụng gần đúng m_b = 0 và phương pháp tham số hóa Feynman.
[b+ (a−b)z] 2 , (2.6) đồng thời tiến hành đổi biến t = q−pz, và đặt s = p 2 z(z −1), biểu thức (2.5) trở thành g S 2 Σ(/p) = 4
Vì có dạng tương tự như các tích phân thường gặp, áp dụng các công thức lấy tích phân trong (A.3)và thay D= 4−2, ta thu được g S 2 Σ(/p) = 4
/p (2.8) Một cách tổng quát g s 2 Σ(/p) có thể được viết như sau g S 2 Σ(/p) =/pg S 2 Σ V (p 2 ) +m b g S 2 Σ S (p 2 )
Kết hợp (2.4), (2.8)và (2.9), chúng tôi nhận thấy rằng số hạng Z˜f có thể được viết lại như sau
CHƯƠNG 2 BỀ RỘNG PHÂN RÃ CHO TRƯỜNG HỢP GLUON ẢO 10
Xét thành phần thứ ba bên vế phải trong công thức (2.10) có thể được tính ra kết quả tường minh dưới dạng lim p 2 →0
=0, (2.12) trong đó 0 →0 + và 0thì giống như trong công thức(A.4) Để tính ra được kết quả củaB0, C0 vớir 2 6= 0cũng không khó khăn, chỉ cần vận dụng tham số hóa Feynman và hàm Beta (A.5) là có thể làm được Tuy nhiên, có một trường hợp đặc biệt là trường hợp của B0(r 2 ,0,0) với r 2 = 0, khi đó kết quả của B 0 sẽ là [6]
Chúng tôi chú trọng đến các hệ số tích phân bậc thấp và các tích phân vô hướng cơ sở vì chúng cần thiết khi viết biên độ Feynman cho giản đồ một vòng 3 đỉnh Đầu tiên, chúng tôi sẽ viết lại g s 2 Σ V (p 2 ) từ công thức (2.5) theo cách sau: g S 2 Σ(/p) = g 2 S Σ V (p 2 )/p.
=4 3 i 2 ˜g S 2 π 2 (2π) 4 (2−D)[B 0 (p 2 ,0,0) +B 1 (p 2 ,0,0)]/p, (2.24) kết hợp với công thức (2.22), ta thu được g s 2 Σ V (p 2 ) = 4
Biên độ Feynman của giản đồ một vòng 3 đỉnh có thể được xác định dựa trên các quy tắc Feynman Hình 2.4 minh họa cách thức tính toán này, và kết quả cuối cùng sẽ được trình bày dưới dạng (2.25).
M 3 = ig 2 2cosθ W u¯ σ (p 1 )g S 2 Λ à (p 1 , p 2 )v δ (p 2 )ε à (k, λ)δ ij , (2.26) trong đó g S 2 Λ à (p1, p2) = −4
(2.27) Đỏnh giỏ sơ lược về thành phần g s 2 Λ à (p1, p2), ta cú thể nhận thấy rằng nú cú chứa hai loại phân kì là phân kì UV và phân kì IR Đặt r 1 =p 1 , r 2 =−p 2 , / k 1 =q+/p
CHƯƠNG 2 BỀ RỘNG PHÂN RÃ CHO TRƯỜNG HỢP GLUON ẢO 13
Hình 2.4: Giản đồ một vòng 3 đỉnh
Từ công thức (2.27), xét biểu thức sau đồng thời áp dụng (A.2)
Sử dụng công thức phản giao hoán của ma trận γ, ta thu được
/k 2 γ à k/ 1 = 2k à 2 /k 1 −2γ à k 1 k 2 + (2k 1 à −k/ 1 γ à )/k 2 , (2.30) kết hợp với phương trình Dirac ¯ u σ (p 1 )/k 1 = ¯u σ (p 1 )(/q+m b ) = ¯u σ (p 1 )/q, k/ 2 v δ (p 2 ) = (/q+m b )v δ (p 2 ) = /qv δ (p 2 ),
Từ đây ta có ¯ u σ (p 1 )Xv δ (p 2 ) =−2¯u σ (p 1 )(2k 2 à /q+ 2k 1 à /q−2γ à k 1 k 2 −/qγ à /q)(v f −a f γ 5 )v δ (p 2 )
CHƯƠNG 2 BỀ RỘNG PHÂN RÃ CHO TRƯỜNG HỢP GLUON ẢO 14 Xét biểu thức sau ¯ u σ (p 1 )g 2 S Λ à (p 1 , p 2 )v δ (p 2 )
Từ đây kết hợp với các công thức từ (2.16) đến (2.21), ta có thể thay q à /q =γ ν q à q ν →γ ν (g àν C 00 +
(2.36) tiếp tục thay vào biểu thức trên phương trình Dirac như sau ¯ u σ (p 1 )/r 1 = ¯u σ (p 1 )m b = 0, /r 2 v δ (p 2 ) =m b v δ (p 2 ) = 0,
(2.37) kết quả nhận được là ¯ u σ (p 1 )g S 2 Λ à (p 1 , p 2 )v δ (p 2 )
CHƯƠNG 2 BỀ RỘNG PHÂN RÃ CHO TRƯỜNG HỢP GLUON ẢO 15 Đặt
V3 =−2[2C00−2r1r2(C1+C2+C0)−B0(k 2 ,0,0)]+(4−D)[2C00−B0(k 2 ,0,0)] (2.39) Vậy biên độ Feynman giản đồ một vòng 3-đỉnh trở thành
Tổng kết về các hệ số tích phân, chúng ta nhận thấy rằng các hệ số phân kỳ UV bao gồm: B 0 (k 2 ,0,0), B 0 (0,0,0) và C 00 Trong khi đó, các hệ số phân kỳ IR sẽ là
C 1, C 2 chỉ chứa thành phần IR vì thành phần UV đã bị triệt tiêu trong B 0 (0,0,0) khi so với B 0 (k 2,0,0) Do đó, C có mối quan hệ tỉ lệ nghịch với q, dẫn đến việc chỉ có phân phối IR Hơn nữa, các biến độ Feynman đã được xác định, và bước tiếp theo là xác định phần tử ma trận-S và tính toán bề rộng phân rã.
Bề rộng phân rã ứng với gluon ảo
Với dạng của các biên độ Feynman đã xác định, phần tử ma trận-S được viết theo công thức rút gọn LSZ (2.13) như sau
M 0 , (2.41) với số hạng Z˜ b được viết theo công thức (2.10) như sau
CHƯƠNG 2 BỀ RỘNG PHÂN RÃ CHO TRƯỜNG HỢP GLUON ẢO 16 Trước hết, ta cần phải kiểm tra thành phần UV trong S f i
Thành phần phân kì UV đã không còn trong biểu thức phần tử ma trận-S, điều này chứng tỏ rằng các tính toán bằng phương pháp Passarino Veltman vẫn chính xác cho đến hiện tại.
Bước tiếp theo, ta xác định tổng phân cực ứng với trường hợp gluon ảo như sau
Cây X tree (2.44) đại diện cho tổng phân cực của giản đồ cây trong chương 1 Do làm việc trong không gian D-chiều, nên X tree với điều kiện m b = 0 cần được diễn đạt lại trong không gian D-chiều.
(v f 2 +a 2 f )(1−)m 2 Z (2.45) Bản thân biểu thức V3 có thể được viết theo các tích phân cơ sở dưới dạng
V 3 = 4[B 0 (0,0,0)−B 0 (k 2 ,0,0)] +B 0 (k 2 ,0,0) + 4r 1 r 2 C 0 −2, (2.46) đồng thời tính toán cụ thể thành phần ∆U V −∆IR+ 2Re(V3) trong Xv Biểu thức
CHƯƠNG 2 BỀ RỘNG PHÂN RÃ CHO TRƯỜNG HỢP GLUON ẢO 17 tổng phân cực X v trở thành
Sau khi đã xác định được biểu thức tổng phân cực, công thức tính bề rộng phân rã cho quá trình Z(k)→b(p 1 ) + ¯b(p 2 ) trong D-chiều dạng tổng quát như sau [3] dΓ V = 1
2p 0 2 (2π) D−1 X v (2π) D δ D (k−p 1 −p 2 ), (2.48) nhưng để đơn giản cho tính toán thì có thể dùng một cách viết khác như [7] Γ V = 1 2mZ
Z 1 0 dyy − (1−y) − (2.49) Với cách viết đó thì Γ V có thể được tính toán chi tiết với kết quả là Γ V = k 2
Bằng cách sử dụng phương pháp rút gọn Passarino Veltman, chúng tôi đã đạt được kết quả cụ thể cho bề rộng phân rã của các quá trình có gluon ảo Tuy nhiên, do biểu thức vẫn chứa thành phần phân kỳ IR, điều này cho thấy còn nhiều giản đồ chưa được xem xét Vì vậy, trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày các bước tính toán bề rộng phân rã cho những giản đồ còn thiếu này.
Bề rộng phân rã trong trường hợp gluon thực
Bề rộng phận rã ứng với gluon thực
Khác với giản đồ gluon ảo, các giản đồ liên quan đến quá trình phân rã có gluon thực không chứa các tích phân Feynman một vòng, nhưng bề rộng phân rã vẫn tỉ lệ với α S do có sự tham gia của gluon Cách tính bề rộng phân rã cho gluon thực tương tự như phương pháp ở giản đồ cây, tuy nhiên độ phức tạp cao hơn nhiều Do các giản đồ này chứa phân kỳ IR, việc tính toán phải thực hiện trong không gian D-chiều Quá trình phân rã của boson Z với gluon thực có thể được biểu diễn một cách chính xác.
Dựa vào quy tắc Feynman, ta có thể viết biên độ Feynman cho hai giản đồ như hình 3.1, hình 3.2như sau
CHƯƠNG 3 BỀ RỘNG PHÂN RÃ TRONG TRƯỜNG HỢP GLUON THỰC 19
Hình 3.1: Giản đồ gluon thực 1
Hình 3.2: Giản đồ gluon thực 2
Chương 3 đề cập đến bề rộng phân rã trong trường hợp gluon thực, trong đó k = p1 + p2 + p3, với κα (p3, ζ) là vector phân cực của boson gluon Các chỉ số α và ζ lần lượt đại diện cho chỉ số Lorentz và helicity của gluon, trong đó ζ có hai giá trị là 1 và 2 Ngoài ra, liên hợp Hermit của hai biên độ Feynman được thể hiện qua mối quan hệ (Ta† = Ta).
Để tính toán tổng spin, ta cần lấy trung bình của các trạng thái phân cực đầu và tổng hợp tất cả các trạng thái phân cực cuối, tương tự như trong giản đồ cây.
=A 1 +A 2 +A 3 +A † 3 (3.6) Đầu tiên xem xét A 1 , khai triển ra dạng của M r1
[κ α (p 3 , ζ)κ ∗ β (p 3 , ζ)], (3.7) áp dụng công thức (1.11) kết hợp với công thức sau [8]
CHƯƠNG 3 BỀ RỘNG PHÂN RÃ TRONG TRƯỜNG HỢP GLUON THỰC 21 Áp dụng xấp xỉ khối lượng quark bottom mb = 0 và định thức rút gọn ma trận γ (A.2), ta thu được
Tiếp tục sử dụng cỏc cụng thức lấy Trace (A.1) của ma trận γ à để giản lược, cuối cùng kết quả nhận được của A 1 là
(3.11) Tương tự như vậy, kết quả của A 2 và A 3 lần lượt là
Vì khối lượng quark bottom gần bằng 0, ta có m²b = 0 Để đơn giản hóa, chúng ta chọn hệ quy chiếu trong đó boson Z đứng yên, tức là tổng xung lượng ba chiều của hệ bằng 0 Khi đó, xung lượng k của boson Z được biểu diễn dưới dạng k = (mZ, 0), trong khi xung lượng của quark bottom, phản quark bottom và gluon lần lượt là p1 = (E1, p1), p2 = (E2, p2) và p3 = (E3, p3).
CHƯƠNG 3 BỀ RỘNG PHÂN RÃ TRONG TRƯỜNG HỢP GLUON THỰC 22 với E 1 =p p 2 1 =|p 1 |, E 2 =|p 2 |, E 3 =|p 3 | Từ đó dẫn tới các hệ thức sau
Các thành phần A 1 , A 2 , A 3 trở thành
Công thức tính bề rộng phân rã cho quá trìnhZ →b¯bgtrong D-chiều(D= 4−2) dạng tổng quát như sau [3] dΓ R = 1
2m Z d D−1 p 1 2p 0 1 (2π) D−1 d D−1 p 2 2p 0 2 (2π) D−1 d D−1 p 3 2p 0 3 (2π) D−1 X r (2π) D δ D (k−p 1 −p 2 −p 3 ) (3.19) Ngoài ra, còn có một cách viết khác giúp cho việc tính toán được đơn giản hơn [9] dΓ R = 1
(8π) 2 2(4π) 3 (k 2 ) 1−2 (1−cos 2 β) − (x 1 ) −2 (x 2 ) −2 X r dx 1 dx 2 , (3.20) trong đó cận lấy tích phân của x 1 từ 0 → 1, của x 2 là từ 1−x 1 → 1, còn các biến x 1 , x 2 được định nghĩa như sau cosβ = x 2 3 −x 2 1 −x 2 2
Trong chương 3, chúng ta sẽ khám phá bề rộng phân rã trong trường hợp gluon thực Bằng cách áp dụng sự biến đổi cho các biểu thức tích của xung lượng trong công thức (3.15), chúng ta có thể thu được những kết quả quan trọng.
Bằng cách phân phối số hạng k 2 thích hợp, các biểu thứcA 1 , A 2 , A 3 có thể được viết lại theo biếnx 1 , x 2 như sau
Biểu thức tổng spin của các giản đồ ứng với gluon thực X r trở thành
−2[x 2 1 +x 2 2 +x3−1 + (1−x1)(1−x2)] + 2 x 2 3 } (3.26) Tiến hành xem xét biểu thức cosβ =(2−x 1 −x 2 ) 2 −x 2 1 −x 2 2
CHƯƠNG 3 BỀ RỘNG PHÂN RÃ TRONG TRƯỜNG HỢP GLUON THỰC 24
Bây giờ chúng tôi đã có thể đi tính bề rộng phân rã cho qua trình phân rã của boson
Z cho ra b+ ¯b+g Thay biểu thức (3.26) vào công thức (3.20) và đặt
(3.28) Lấy tích phân hai vế
Dựa theo [9], chúng tôi thực hiện đổi biến số, thay x2 = 1−x1(1−t) vào biểu thức với Jacobian J = x1, giúp tách tích phân hai lớp thành tích của hai tích phân một lớp Khi t tiến đến 0, tích phân theo hằng số (4) trong biểu thức trên cho ra số hữu hạn; nhân với 4 → 0 sẽ cho ra 0, do đó có thể bỏ qua số hạng đó Kết quả cuối cùng của bề rộng phân rã là ΓR = CR(1−).
=B 1 +B 2 +B 3 (3.30) Để có thể tính được ba số hạng B 1 , B 2 , B 3 trong công thức trên Cần phải sử dụng
CHƯƠNG 3 BỀ RỘNG PHÂN RÃ TRONG TRƯỜNG HỢP GLUON THỰC 25 công thức về hàm Beta, Gamma(A.5) Các số hạng đó có kết quả lần lượt là
3(1−3)(2−3)CR(1−) Γ(−) Γ(−3)Γ(−)Γ(1−) (3.33) Khai triển chuỗi Taylor cho biểu thức gồm các hàm Gamma sau Γ(−) Γ(−3)Γ(−)Γ(1−) = − Γ(−) Γ(−3)[Γ(−)] 2
Sau khi đã xác định các hệ số B 1 , B 2 , B 3 Kết quả cuối cùng của bề rộng phân rã Γ R =B 1 +B 2 +B 3
(3.35) Nhìn từ kết quả của bề rộng phân rã, có thể thấy rõ thành phần phân kì IR, Γ R → ∞ khi →0.
CHƯƠNG 3 BỀ RỘNG PHÂN RÃ TRONG TRƯỜNG HỢP GLUON THỰC 26
Tổng đóng góp của hai trường hợp gluon thực và ảo
Kết quả bề rộng phân rã cho cả hai trường hợp đã được tính toán chi tiết, và bước cuối cùng là cộng tổng của chúng lại Ta có công thức: Γ V + Γ R = k 2.
Thành phần phân kì hồng ngoại của tổng trên có dạng như sau
Cuối cùng thì thành phần phân kì IR duy nhất còn lại cũng đã biến mất Vậy bề rộng phân rã tổng cộng trở thành Γ V + Γ R = k 2
CHƯƠNG 3 BỀ RỘNG PHÂN RÃ TRONG TRƯỜNG HỢP GLUON THỰC 27
Thay các biểu thức sau
, (3.39) vào biểu thức tính ΓQCD Γ approx QCD =Γ V + Γ R
, (3.40) dựa theo số liệu thực nghiệm từ PDG [2] như đã viết ở mục (1.2) và hằng số tương tác mạnh α S (m Z ) = 0.1185 [2], ta thu được Γ approx QCD = 0.385748 GeV (3.41)
Kết quả thực nghiệm lấy từ PDG [2] như sau Γ exp = 0.3773±0.0016 GeV (3.42)
Tuy không tính bổ đính QCD cho trường hợp m b 6= 0, nhưng về mặt vật lý chúng tôi có thể đoán được kết quả có dạng Γ full QCD = Γ full 0
Bỏ qua số hạng cuối cùng trong ngoặc vuông, ta có Γ full QCD = 0.382496GeV (3.44)
CHƯƠNG 3 BỀ RỘNG PHÂN RÃ TRONG TRƯỜNG HỢP GLUON THỰC 28
Theo công thức (3.40), phần bổ đính bậc cao QCD tỉ lệ với α S π ∼ 0.0377
