ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD VÀ PHẦN MỀM MAPLE VÀO GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO 10600743

BỘ MÔN ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Sơ lược về chương trình Đại số 10 nâng cao

Chương trình toán lớp 10 đóng vai trò quan trọng trong việc chuyển tiếp từ THCS lên THPT, cung cấp nền tảng kiến thức cơ bản về các khái niệm như hàm số, phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, thống kê và lượng giác.

Chương trình Đại số 10 nâng cao bao gồm 6 chương, mỗi chương cung cấp cho các em những nội dung cơ bản như sau :

Chương1: Mệnh đề và tập hợp

Bài viết này nhằm giới thiệu cho học sinh những kiến thức cơ bản về lô gíc và tập hợp Các khái niệm và phép toán liên quan đến mệnh đề và tập hợp không chỉ giúp diễn đạt các nội dung toán học một cách rõ ràng và chính xác, mà còn nâng cao khả năng hiểu biết về suy luận và chứng minh trong lĩnh vực toán học.

Chương2: Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai

Hàm số là khái niệm cơ bản trong toán học, và kiến thức về hàm số bậc nhất và bậc hai sẽ được mở rộng trong chương này Kỹ năng vẽ và đọc đồ thị hàm số, cùng với việc nhận biết các tính chất của nó qua đồ thị, là yêu cầu quan trọng mà chúng ta cần rèn luyện.

Chương3: Phương trình và hệ phương trình

Trong lịch sử phát triển của toán học, phương trình luôn là vấn đề trung tâm của đại số Ở lớp 10, các vấn đề liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất, bậc hai trở thành nội dung trọng tâm, được trình bày một cách chính xác và hệ thống hơn so với các lớp dưới Điều đáng chú ý là việc giải và biện luận phương trình, yêu cầu học sinh phải có kỹ năng thành thạo trong việc áp dụng các phương pháp cơ bản để giải quyết các dạng bài này.

Chương4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Bất đẳng thức và bất phương trình là những khái niệm quen thuộc với học sinh từ các lớp dưới, nhưng chương này sẽ làm rõ hơn những khái niệm đó và giới thiệu kiến thức mới về việc xét dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai Những kiến thức này có vai trò quan trọng trong việc giải quyết và biện luận các phương trình và bất phương trình Học sinh cần nắm vững kiến thức này và rèn luyện kỹ năng áp dụng để giải quyết các bài toán kinh tế trong chương trình học.

Giáo viên h ướng dẫn : ThS Ngô Th ị Bích Thủy

Sinh viên th ực hiện : Lê Th ị Ngọc Vy Trang: 4

Trong xã hội hiện đại, thống kê trở thành yếu tố thiết yếu trong mọi lĩnh vực kinh tế - xã hội Nó cho phép chúng ta phân tích dữ liệu một cách khách quan và rút ra thông tin quan trọng từ đó Để nắm vững điều này, việc trình bày số liệu thống kê, tính toán các số đặc trưng và hiểu rõ ý nghĩa của chúng là rất cần thiết Chắc chắn rằng ứng dụng của thống kê cũng hiện diện trong các hoạt động giáo dục tại trường học.

Chương 6: Góc lượng giác và công thức lượng giác

Góc và cung lượng giác khác với góc và cung hình học ở chỗ mỗi góc và cung lượng giác tương ứng với một số thực duy nhất và một điểm trên đường tròn lượng giác Trong chương này, học sinh sẽ khám phá các tỉ số lượng giác với ý nghĩa sâu sắc hơn, cần ghi nhớ nhiều công thức và rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác Những kiến thức và kỹ năng này sẽ rất hữu ích không chỉ trong đại số mà còn trong hình học lớp 10, lớp 11 và các môn học khác.

Giáo viên cần áp dụng phương pháp dạy học hiệu quả để giúp học sinh tiếp thu và hiểu biết kiến thức Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển, các phần mềm toán học như Maple, Mathcad và Sketchpad đã ra đời, hỗ trợ nhu cầu dạy và học cho giáo viên và học sinh Những phần mềm này trở thành công cụ hữu ích cho những người yêu thích toán học Hy vọng rằng với hai phần mềm dưới đây, giáo viên dạy toán sẽ có thêm nhiều bài giải sinh động, giúp học sinh yêu thích và học tốt hơn môn khoa học phổ thông này.

GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM MAPLE VÀ PHẦN MỀM MATHCAD4

Phần mềm Maple

MAPLE là phần mềm Toán học được phát triển bởi Đại Học Tổng Hợp Waterloo, Canada, ra mắt lần đầu vào năm 1985 Qua nhiều lần cải tiến và phát triển qua các phiên bản khác nhau, phần mềm này ngày càng hoàn thiện và trở nên phổ biến trong lĩnh vực toán học.

Maple là phần mềm hỗ trợ toán học chạy trên tất cả các hệ điều hành, với trình trợ giúp dễ sử dụng Từ phiên bản 7, Maple đã bổ sung nhiều công cụ trực quan và các gói lệnh tự học liên quan đến toán phổ thông và đại học Những ưu điểm này đã khiến nhiều quốc gia trên thế giới lựa chọn Maple cho việc dạy và học toán tương tác, đáp ứng nhu cầu thực tiễn và sự phát triển của giáo dục.

1.2.1.1 Các tính năng cơ bản của phần mềm Maple 14

Màn hình giao diện chính của Maple 14

Các chức năng và nâng cấp mới nhất của Maple 14

 Thực hiện các tính toán với khối lượng lớn, với thời gian nhanh và độ chính xác cao

Sử dụng các gói chuyên dụng của Maple để giải quyết các bài toán cụ thể như vẽ đồ thị với gói plots, hình học giải tích qua gói geometry, đại số tuyến tính bằng gói linalg, giải tích với gói student, phương trình vi phân thông qua gói DEtools, lý thuyết số với gói numtheory, và dữ liệu rời rạc nhờ gói DiscreteTransforms.

 Thiết kế các đối tượng 3 chiều

Minh họa hình học thuận tiện bao gồm việc vẽ đồ thị tĩnh và động của các đường và mặt được xác định bởi các hàm tùy ý trong nhiều hệ tọa độ khác nhau.

 Tính toán trên các biểu thức đại số;

 Có thể thực hiệc được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình toán đại học và sau đại học;

 Ngôn ngữ lập trình đơn giản và mạnh mẽ, có khả năng tương tác với các ngôn ngữ lập trình khác;

 Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với các lớp học tương tác trực tiếp;

Công cụ này rất hữu ích cho học sinh và sinh viên trong việc tự học toán Người dùng có thể nhập các ký hiệu toán học truyền thống một cách dễ dàng Ngoài ra, nó cho phép tạo ra các giao diện người dùng tùy chọn và hỗ trợ cả tính toán số và tính toán hình thức, đồng thời hiển thị kết quả một cách rõ ràng.

Phần mềm Mathcad

MATHCAD là một công cụ tuyệt vời cho việc tính toán Làm việc trên MathCad cũng giống như làm việc trên một tờ giấy Các công thức đều ở dạng

MathCad mang lại sự tường minh và khả năng kiểm soát dễ dàng hơn so với Excel Người dùng có thể trải nghiệm sự rõ ràng tương tự như Word, kết hợp với công cụ tính toán mạnh mẽ như Excel Đặc biệt, MathCad rất dễ học và sử dụng; chỉ với một vài hướng dẫn đơn giản, người dùng có thể nhanh chóng làm quen và sử dụng phần mềm này.

1.2.2.1 Các tính năng cơ bản của phần mềm Mathcad 14

Màn hình giao diện chính của Mathcad 14

Các chức năng và nâng cấp mới nhất của Mathcad 14:

• Thực hiện, chứng minh và chia sẻ các công thức có giá trị

• Tính toán, mẫu hóa và hiện thực hóa ý tưởng

• Chứng minh các công thức

• Kiểm tra, thẩm định và chú thích cách giải quyết vấn đề

• Tích hợp dữ liệu qua các phần mềm và hệ thống

• Dễ dàng học và sử dụng – không đòi hỏi các kĩ năng lập trình đặc biệt

• Tăng năng suất, tiết kiệm thời gian và giảm thiểu lỗi

• Nâng cao sự chính xác và giá trị của các phép tính tới hạn

• Tăng cường các phép tính tối ưu và sử dụng lại nội dung tính toán

• Chức năng toán học toàn diện

• Chức năng trợ giúp dễ sử dụng

• Tương thích các kí hiệu toán học, văn bản và đồ họa

• Giao diện trực quan sinh động

Hỗ trợ ngôn ngữ toàn cầu

MATHCAD vượt trội hơn EXCEL nhờ vào việc sử dụng ký hiệu toán học để biểu diễn các công thức và kết quả tính toán Bên cạnh đó, khả năng đồ họa của MATHCAD cũng thể hiện một cách rõ ràng và trực quan hơn.

Sinh viên thực hiện: Lê Thị Ngọc Vy Trang Việc áp dụng các phương pháp tính toán phức tạp như giải phương trình vi phân, thực hiện các phép toán ma trận, giải quyết bài toán số phức và tối ưu hóa đã trở nên rõ ràng và đa dạng hơn.

MATHCAD đang dần thay thế phương pháp viết tay và tính toán truyền thống, đồng thời cũng giảm bớt sự phụ thuộc vào WORD trong việc soạn thảo báo cáo MATHCAD kết hợp giao diện văn bản với khả năng tính toán của bảng tính EXCEL, mang đến trải nghiệm trực quan và hiệu quả cho người dùng.

CÁC ĐỐI TƯỢNG TOÁN HỌC CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO

Chương 1 ( SGK Đại số 10 nâng cao )

Nội dung chương 1 bao gồm các đối tượng cơ bản sau:

+ Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

+ Một số phương trình quy về bậc nhất và bậc hai một ẩn

+ Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

+ Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

+ Xét tính chẵn lẻ của hàm số

+ Vẽ đồ thị và khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc nhất và bậc hai.

Nội dung chương 2 bao gồm các đối tượng cơ bản sau:

+ Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

+ Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Bất phương trình bậc hai.

Gồm đối tượng + Thống kê

Gồm đối tượng + Giá trị lượng giác của góc (cung ) lượng giác

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀ PHẦN MỀM MATHCAD VÀO GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO

CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO BẰNG MAPLE

Cú pháp : solve( Phương trình hoặc bất phương trình ,ẩn số); Để lấy kết quả tường minh ta sử dụng lệnh evalf(%); hoặc allvalues(%);

Ví dụ 1: Giải phương trình : x 2 – 3x – 2 = 0

Tại giao diện chính của maple ta sẽ thao tác như sau : solve( x^2–3*x–2=0,x); và enter

Khi đó màn hình sẽ xuất hiện như sau :

Cụ thể hơn, nếu ta khai báo thêm dấu ngoặc { ẩn số } thì ta sẽ đươc kết quả như sau :

Nếu phương trình có dạng f(x) = 0 thì ta có thể chỉ cần khai báo vế trái của phương trình

Chẳng hạn với phương trình ở trên ta có thể nhập như sau: solve(x^2 - 3*x - 2,{x});

Khi cần sử dụng phương trình gốc nhiều lần, ta có thể khai báo phương trình bằng phép gán trước khi giải, giúp tiết kiệm thời gian và công sức trong quá trình tính toán.

> tên biến := biểu thức giá trị

  Đầu tiên ta đi tìm điều kiện của phương trình bằng cách đi tìm nghiệm của mẫu số

Ta thao tác như sau : solve(x-1=0 ,{x}) ; và enter solve(3*x+5=0,{x}); và enter

Màn hình sẽ xuất hiện :

Vậy điều kiện của bài này là :

1 ; 5 x x 3 Tiếp theo ta nhập lệnh giải phương trình trên : solve( (2*x-5)/x-1=(5*x-3)/3*x+5,{x}); và enter

Lưu ý: Đối với bài tập có chứa phân số, chúng ta nên đánh dấu "/" trước, sau đó mới gõ tử thức và mẫu thức để tiết kiệm thời gian.

Màn hình sẽ xuất hiện như sau :

Hai nghiệm ta nhận được thoả mãn điều kiện của phương trình

Ví dụ 3 : Giải phương trình sau :

 Tìm điều kiện của phương trình ta nhập như sau : solve(x-2 > 0,{x}); và enter

Vậy điều kiện của phương trình trên là x>2

Ta thực hiện lệnh giải phương trình trên như sau solve( (x^2-4*x-2)/sqrt(x-2)=sqrt(x-2),{x}); và enter

Giao với điều kiện x>2 ta có nghiệm của phương trình trên là x = 5

Ví dụ 4 : Giải phương trình sau :

Tìm điều kiện của phương trình trên ta thao tác như sau : solve(2*x – 3 > 0 , {x}); và enter

Màn hình sẽ xuất hiện :

Vậy điều kiện của phương trình trên là x > 3

Ta nhập lệnh giải phương trình trên : solve((2*x^2 – x – 3)/sqrt(2*x – 3 ) = sqrt(2*x – 3 ),{x}); và enter

Lưu ý : Trong trường hợp này ta phải biến đổi lần lượt như sau thì mới ra nghiệm chính xác :

+ B 1 : Chuyển về dạng f(x) = 0 và định nghĩa hàm số bằng phép gán

+ B 2 : Đơn giản biểu thức bằng lệnh simplify( hàm cần đơn giản);

+ B 4 : Dùng lệnh solve để giải ra nghiệm của phương trình

Giao với điều kiện ta kết luận phương trình trên vô nghiệm.

Từ nay, khi gặp dấu căn thức hoặc trị tuyệt đối, bạn chỉ cần nhấn vào mục Expression trên thanh công cụ bên trái, chọn ký hiệu a hoặc |a|, rồi gõ biểu thức dưới dấu căn.

Ví dụ 5: Giải phương trình sau :

4x 12x5 4x 12x  11 15 0 Với bài này nếu ta dùng công cụ maple thì ta sẽ thu được kết quả rất nhanh

Ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với ẩn phụ là t = 4 x 2  12 x  11

Ta thao tác như sau : solve(4*x^2-12*x-5sqrt(4*x^2-12*x+11) +15=0,{x}); và enter

( Hoặc chọn ký tự a như đã nói ở trên )

Ta để ý khi bài toán có nghiệm phức thì maple sẽ cho kết quả rất cụ thể

Trong chương trình lớp 10 ta không đề cập đến số phức nên ta kết luận

Ví dụ 6 : Giải phương trình sau ( Bài 65c/151 SGK Đại số 10 nâng cao ) :

Ta thao tác như sau : solve(abs(-x^2+x-1) Để tìm giá trị nhỏ nhất ta thao tác như sau : minimize((x+5)*(5-x),x=-3 5,location); và enter

Màn hình sẽ xuất hiện

Ta thấy Maple cho giá trị rất cụ thể, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 16 tại x =1 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại x = -3 và x = 5

Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau : y x 1 5 2 x

Giải hai bất phương trình dưới dấu căn để tìm tập xác định :

Vậy ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong đoạn [ 1;5/2]

Ta thao tác như sau : maximize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1 5/2); và enter

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 2

2 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng

2.1.3.1 Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai

Cú pháp: plot(ham_can_ve,x=gt_dau gt_cuoi,y=gt_dau gt_cuoi,cac_tuy_chon);

Một số tùy chọn thông dụng:

- Đặt tiêu đề cho đồ thị : title= ‘ tên đồ thị’

- Đặt màu cho đồ thị: color = ‘màu sắc’

- Đặt độ dày k cho đồ thị: thickness = k

- Đặt số điểm vẽ cho đồ thị: numpoints = k;

- Đặt kiểu đồ thị : style=point(điểm),line(đường thẳng),patch…

Để vẽ nhiều đồ thị trên cùng một mặt phẳng tọa độ, bạn có thể sử dụng cú pháp sau: plot([f(x), g(x), …, v(x)], x=gt_dau gt_cuoi, y=gt_dau gt_cuoi, các tùy chọn).

Trong đó : f(x),g(x),…,v(x) : Các hàm số cần vẽ được đặt trong dấu [ ]

- Tuỳ chọn của các hàm số( từ 2 đặc điểm trở lên ) được đặt trong dấu [ ] ,cách nhau bằng dấu “,”

Lưu ý : Màu sắc được viết bằng tiếng anh

Ví dụ 1 ( Bài 26/54 SGK Đại số 10 nâng cao)

Vẽ đồ thị của hàm số y = 3 x 1 2x2

Với dạng hàm số này ta có thể chia thành 3 khoảng để vẽ đồ thị ứng với : x>1 : y = x – 5

To create a point graph with blue dots for values of x ranging from -10 to 10, use the command: plot(3*abs(x-1)-abs(2*x-2), x=-10 10, color=blue, style=point); and then press enter.

Ví dụ 2( Bài 19/52 SGK Đại số 10 nâng cao) : Vẽ đồ thị của hai hàm số y= f1(x)=2|x| và y=f2(x)=|2x+5| trên cùng một mặt phẳng toạ độ

To distinguish between two graphs, we can set the first function f1(x) to display in blue with a point style and the second function f2(x) in red with a line style This can be achieved by executing the command: plot([2*abs(x), abs(2*x+5)], x=-10 10, color=[blue, red], style=[point, line]); and then pressing enter.

Màn hình xuất hiện như sau :

Sinh viên th ực hiện : Lê Th ị Ngọc Vy Trang: 25 Ở đây ta gán giá trị x chạy từ -10 đến 10

Ví dụ 3 ( Bài 36a/60 SGK) : Vẽ đồ thị hàm số sau :

     Đầu tiên ta định nghĩa hàm số trên bằng phép gán f:=piecewise(x-1,-x^2+3); và enter

Ta thực hiện lệnh vẽ đồ thị như sau : Ta cho x chạy từ -10 đến 10 plot(f,x=-10 10); và enter

Màn hình xuất hiện như sau

Để cải thiện tính trực quan của đồ thị, chúng ta cần giới hạn giá trị hiển thị trên trục Oy, vì giá trị hiện tại quá lớn khiến cho dáng điệu của đồ thị không rõ ràng Việc này sẽ giúp chúng ta dễ dàng quan sát và phân tích các đặc điểm của đồ thị một cách cụ thể hơn.

Để vẽ một đồ thị trực quan và rõ ràng, việc khai báo cụ thể các giá trị x và y trong câu lệnh là rất cần thiết.

2.1.3.2 Tìm giá trị m để thoả mãn điều kiện bài toán bằng phương pháp đồ thị

Ví dụ 1 : Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị x 2 - 3|x| - k + 1 = 0

+ B 1 : Ta định nghĩa phương trình bằng lệnh gán

+ B 2 : Rút k để đưa về dạng k = g(x)

Số nghiệm của phương trình tương ứng với số giao điểm giữa đường thẳng y = k và hàm số y = x² - 3|x| + 1 Để tìm hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ vẽ đồ thị của hàm số g(x) = x² - 3|x| + 1 bằng cách chọn các giá trị x và y phù hợp.

Ta có thể vẽ đường thẳng y = k bất kỳ trên cùng hệ trục toạ độ để có thể dễ hình dung Ở đây ta chọn k = 1

Để xác định giá trị đặc biệt của đồ thị không hiển thị trên trục số, chúng ta có thể sử dụng lệnh minimize và maximize, vì chương trình lớp 10 chưa học đạo hàm để tính cực trị Trong bài này, chúng ta sẽ áp dụng các lệnh này để tìm ra kết quả.

1 Dựa vào đồ thị trên ta kết luận :

Với k< : Phương trình vô nghiệm

Sinh viên th ực hiện : Lê Th ị Ngọc Vy Trang: 28 k = : Phương trình có 2 nghiệm

< k < 1 : Phương trình có 4 nghiệm k = 1 : Phương trình có 3 nghiệm k > 1 : Phương trình có 2 nghiệm

Đối với chương trình lớp 10, khi phân tích số nghiệm bằng đồ thị, chúng ta nên sử dụng các lệnh minimize và maximize trong những khoảng thích hợp dựa trên đồ thị để xác định các giá trị đặc biệt.

Biện luận phương trình sau : m = ( 1) 2

Ta thực hiện lệnh rút m về dạng m = g(x)

Ta thao tác vẽ đồ thị y = 1

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình luôn có 1 nghiệm { \ 5 } m R 2

2.1.3.3 Sử dụng phương pháp tọa độ để tìm nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình sau :

  Đầu tiên ta thực hiện lệnh rút y theo x từ phương trình (1) và (2) bằng lệnh solve như sau :

Ta sử dụng phép gán để định nghĩa hai hàm số vừa rút được :

Ta thực hiện lệnh vẽ đồ thị như sau : plot([f(x),g(x)],x=-10 10); và enter

( ta cho giá trị x chạy từ -10 đến 10 ) Màn hình sẽ xuất hiện :

> Ở đây, Maple mặc định cho màu sắc của hai đồ thị ,đồ thị đầu tiên tức f(x) sẽ có màu đỏ ( nằm ở trên ), và đồ thị g(x) màu xanh ( nằm ở dưới )

Để tìm hiểu rõ hơn về đồ thị của các hàm số, sinh viên chỉ cần nhấp chuột vào đồ thị tương ứng Ví dụ, để xem đồ thị của hàm g(x), hãy nhấp vào nó, và màn hình sẽ hiển thị thông tin chi tiết Tương tự, để biết rõ nét vẽ của hàm f(x), hãy nhấp vào đồ thị màu đỏ.

Bài viết này sử dụng phương pháp đánh giá bằng tập xác định để chứng minh nghiệm duy nhất x = y = 0 Điều này giúp học sinh có thể quan sát đồ thị của hai hàm số trên phần mềm Maple, từ đó xác định số nghiệm và định hướng cách giải, tìm kiếm cách chứng minh nghiệm duy nhất.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y =0

Gói lệnh : with(plots); a) Đồ thị hàm số có chứa tham số y = f ( x, m )

Cú pháp: animate(plot, [f(x,m),x=a b],m=m1 m2,các tuỳ chọn);

Sau khi nhấn enter,đồ thị sẽ xuất hiện, khi ta click vào đồ thị thì xuất hiện một

Sinh viên th ực hiện : Lê Th ị Ngọc Vy Trang: 31 thanh công cụ trên màn hình có hình dạng:

+Chúng ta nhấn nút play ( ) để xem sự biến đổi của đồ thị

+Muốn dừng lại ở giai đoạn nào ta chỉ cần nhấn nút stop ( )

+Để lặp lại sự chuyển động của đồ thị ta kích hoạt nút ( ) trước khi nhấn nút play

+Còn để xem sự chuyển động một lần ta nhấn nút ( ) )) trong khi kích hoạt play hoặc sau khi play

+Để xem sự chuyển động một lần lặp lại ta nhấn ( ) trong khi kích hoạt play hoặc sau khi play

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến đổi đồ thị của họ đồ thị hàm số: y = mx 2

+ Nhập vào Maple: with(plots); và enter animate(plot,[m*x^2,x=-5 4],m=-5 5); và enter

Trong câu lệnh trên ta cho m  [-5 ; 5] và đồ thị đầu tiên xuất hiện trên màn hình ứng với m = - 5

CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO BẰNG

2.2.1.1 Giải phương trình Đối với phương trình thì dấu = sẽ được thay thế bởi Crtl- (Dấu  : ấn Ctrl- 9, dấu  : ấn Ctrl- 0 )

Để giải phương trình trong Math Palette, bạn chỉ cần nhấp vào biểu tượng và chọn "solve" Nếu phương trình chỉ có một biến, bạn không cần khai báo biến Sau khi gõ biến và ấn enter, kết quả sẽ hiện ra Nếu thanh Math Palette chưa xuất hiện trên thanh công cụ, bạn có thể vào View, chọn Toolbars và sau đó chọn Math để hiển thị.

* Cách 2 : - Chọn biến( bằng cách đưa con trỏ vào vị trí của biến và click chuột hoặc sử dụng phím , để điều khiển con trỏ tới vị trí biến)

Ví dụ 1 : Giải phương trình : x 2 – 3x – 2 = 0

Tại giao diện chính của Mathcad ta thao tác như sau :

- Chọn x bằng cách đặt đường soạn thảo ngay biến x như sau :

- Vào Menu Symbolics/ Variable/ Solve Màn hình sẽ xuất hiện như sau : x 2  3 x   2 0

Hoặc ta chọn solve trong biểu tượng ta được như sau: x 2  3 x   2 = 0 solve

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt S=( 3 17 3 ; 17 )

Ví dụ 2 : Giải phương trình : 2 5 5 3

Tại giao diện chính của Mathcad ta thao tác như sau :

Ta sẽ tìm tập xác định bằng cách đi tìm nghiệm của bài toán bằng lệnh solve : x - 1 = 0 Chọn solve và enter

Sau đó ta đi tìm nghiệm của bài toán

Để thực hiện các bước, đầu tiên gõ 2*x-5 và nhấn thanh space cho đến khi dòng kẻ màu xanh kéo dài hết phần 2x-5 Sau đó, nhấn phím / và gõ mẫu thức x-1, tiếp tục nhấn thanh space cho đến khi dòng kẻ màu xanh kéo dài hết phần phân số Tiếp theo, nhấn Ctrl-= và gõ 5*x-3, nhấn thanh space cho đến khi dòng kẻ màu xanh kéo dài hết phần này, sau đó nhấn phím / và gõ mẫu thức 3*x+5.

( Từ đây trở về sau, khi gõ phân thức ta sẽ làm như trên)

Màn hình sẽ xuất hiện : x  1 0 solve  1

Sau đó chọn lệnh solve và enter

Giao với điều kiện ta kết luận nghiệm của bài toán trên là

Ta đi tìm tập xác định của phương trình trên :

Gõ \ x-2 và nhấn phím space 2 lần sau đó gõ dấu > và nhấn lệnh solve và enter Màn hình sẽ xuất hiện

Vậy tập xác định là x>2

Ta thao tác để giải phương trình trên :

Giao với điều kiện ta kết luận nghiệm của phương trình trên là x = 5

Ta đi tìm nghiệm của phương trình trên bằng các thao tác sau :

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là x > 3

Ta thao tác tìm nghiệm của phương trình trên như sau

Gõ phương trình : 2*x^2-x-3 / (\2x -3) ,chọn solve và enter

Màn hình sẽ xuất hiện:

Khi sử dụng lệnh solve trong Maple cho bài toán mà không qua biến đổi, chỉ nhận được nghiệm x = 0 Trong khi đó, Mathcad cung cấp đầy đủ hai nghiệm x = 0 và x = 3.

Giao với điều kiện ta kết luận bài toán trên vô nghiệm

Ví dụ 5 : Giải phương trình sau:

Bài toán 4x - 12x - 5 = 11 có thể được giải nhanh chóng bằng Mathcad, tương tự như trên Maple Để giải bài này, chúng ta có thể áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ, với ẩn phụ là t.

Ta thao tác như sau :

4*x^2 -12*x-5\(4*x^2 -12x+11)+15 Ctrl-= 0 , chọn lệnh solve và enter

Cũng như bên Maple , Mathcad sẽ cho kết quả rất cụ thể

Trong chương trình lớp 10 ta không đề cập đến số phức nên ta kết luận :

Ví dụ 6 : Giải phương trình sau ( Bài 65c/151 SGK Đại số 10 nâng cao ) :

Để nhập biểu thức vào giữa dấu giá trị tuyệt đối, bạn giữ phím Shift và phím \, sau đó gõ biểu thức cần thiết Ngoài ra, bạn cũng có thể sử dụng ký hiệu có sẵn trong bảng Calculator, mà bạn có thể mở bằng cách nhấp chuột trên thanh công cụ.

|-x^2+x-1| Ctrl-9 2*x+5 ,chọn solve và enter

Vậy tập nghiệm của phương trình là S=[-1;4]

Khi nhập phương trình x^4 - x + 1 = 0 vào giao diện của Mathcad và chọn giải, kết quả không hiển thị mà phương trình được in đỏ Khi di chuột vào, Mathcad thông báo "infinitely many solutions, cannot create multiset", nghĩa là có vô số giải pháp.

Ta hãy đi tìm nghiệm gần đúng cho phương trình trên

* Để tìm nghiệm gần đúng cho phương trình 1 ẩn số ta dùng hàm root :

Trước hết ta cho giá trị ước đoán bằng phép gán x:= 1

Hàm root đòi hỏi 1 giá trị để từ đó nó bắt đầu tìm kiếm nghiệm , biến của phương trình đối thứ hai của hàm root

- Đối với phương trình có nhiều nghiệm, tùy theo giá trị ước đoán mà Mathcad hội tụ nghiệm

2.2.1.2 Giải bất phương trình

Ví dụ 7 : Giải bất phương trình sau ( bài tập 25c/121 SGK Đại số 10 nâng cao):

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là :

Ví dụ 8: Giải bất phương trình sau ( Bài 60b/146 SGK Đại số 10 nâng cao):

Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là

(Để tìm nghiệm của phương trình trên ta có thể chia tử và mẫu cho x , lúc đó ta được : 2 13 6

  , giải phương trình để tìm t và suy ra nghiệm x )

Ta thao tác với Mathcad như sau :

2*x/2*x^2-5*x+3 + 13*x/2*x^2+x+3 Ctrl-= 6 ,chọn solve và enter

Khi kết quả có nghiệm phức thì Mathcad thông báo rất cụ thể

Ta kết luận nghiệm của phương trình ( trong chương trình lớp 10 ta không quan tâm đến nghiệm phức ) :

*Lưu ý : Để có kết quả tường minh hơn ta chỉ cần gõ dấu bằng "=" ngay sau kết quả là được :

Ví dụ 10 : Tìm nghiệm của phương trình sau : x 3  1 2 2 3 x1

2.2.1.3 Giải hệ phương trình

Bao gồm các đối tượng trong chương 1 và chương 2 như sau :

+Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

+ Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn a) Tìm nghiệm chính xác bằng hàm Find:

Cho 1 hệ phương trình n ẩn với k phương trình :

Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình sau ( Bài tập 60/102 SGK )

Ta thực hiện tìm nghiệm như sau :

Ta kết luận hệ phương trình trên có 4 nghiệm

Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình sau :

Khi sử dụng Mathcad 14, không thể tìm ra nghiệm cho điều kiện x ≠ y Ngược lại, với Mathcad 7, kết quả được trả về nhanh chóng và rõ ràng.

Ta thực hiện như sau :

Ta để ý nếu đặt x = t thì y = 5

2 t Vây hệ phương trình trên có vô số nghiệm với điều kiên : x  y

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

Ta tìm nghiệm trên Mathcad như sau :

Nếu ta muốn kết quả hiển thị rõ ràng , tường minh hơn thì ta chỉ cần gõ dấu bằng ngay sau kết quả :

Sinh viên th ực hiện : Lê Th ị Ngọc Vy Trang: 49 b) Tìm nghiệm gần đúng bằng cách dùng giá trị đầu và hàm Find:

Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình

Với bài này, ta thao tác trên Mathcad 14 như sau :

Khi đó, chữ Find(x,y) được bôi đỏ, khi click chuột vào chữ Find thì Mathcad thông báo " No solution was found"

Khi đó ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng bằng cách dùng giá trị đầu như sau: + Đầu tiên ta gán giá trị đầu cho x và y

+ Sau đó gõ Given và gõ 2 phương trình trong hệ

+ Ta click vào kí hiệu ma trận trong bảng ta sẽ được bảng

Sinh viên th ực hiện : Lê Th ị Ngọc Vy Trang: 50 Ở ô rows ta đánh số 2, colums ta đánh số 1 và enter ( vì ta cần tìm 2 nghiệm x, y)

+ Gõ x, và y vào ma trận đó và gán nó bằng hàm Find (x,y) như sau :

+ Tiếp tục tìm giá rị x, y bằng cách tạo ma trận như trên và nhấn dấu "="

Tóm lại, bài giải hoàn chỉnh là như sau :

*Lưu ý : Để giải bài toán này ta phải chia làm 4 trường hợp,nhưng với Mathcad

Phần mềm Mathcad 7 cho phép người dùng nhận kết quả nhanh chóng mà không cần gán giá trị đầu Khi sử dụng hàm Find, Mathcad 7 sẽ ngay lập tức cung cấp giá trị cho các biến x và y.

Vậy ta kết luận nghiệm của phương trình trên là :

When using the Find function in Mathcad and receiving the message "No answer found: Can't find a solution to this system ", you can utilize the Minerr function to obtain an approximate solution for the system.

Ví dụ 5 : Tìm nghiệm của phương trình sau :

Nếu ta sử dụng hàm Find thì Mathcad sẽ thông báo như sau :

Khi đó ta thao tác tìm nghiệm gần đúng như sau :

Để tìm nghiệm chính xác trong hàm Find, bạn cần kết thúc bằng phím Ctrl-., trong khi để tìm nghiệm gần đúng, chỉ cần gõ dấu "=".

2.2.2.1 Xét tính chẵn lẻ của hàm số

B 1 : Tìm tập xác định của hàm số f(x) cho bằng biểu thức :

Tập xác định D của hàm số cho bằng biểu thức thường là tập nghiệm của bất phương trình hoặc hệ bất phương trình nào đó

+ Nếu f(– x ) = f(x)   x D thì f(x) là hàm số chẵn + Nếu f(– x ) = – f(x)   x D thì f(x) là hàm số chẵn

Xét tính chẵn lẻ của hàm số(bài 5a /45 SGK) : f(x) = x 4 – 3x 2 + 1

Ta thao tác như sau : f(x):x^4-3*x^2+1 Nhấp chuột ra ngoài và gõ f(-x) Ctrl - và enter

Màn hình sẽ xuất hiện như sau : x  1 y  1 z  1

Ta nhận thấy f( - x )=f(x) Vậy hàm số trên là hàm số chẵn

Ví dụ 2 : Xét tính chẵn lẻ của hàm số ( bài 5d/45 SGK Đại số 10 nâng cao) g(x):= 2

Ta thực hiện lệnh tìm tập xác định như sau : x^2-4>0 chọn solve và enter

Xét tính chẵn lẻ ta thao tác như sau : g(x):=(x*Ctrl- \x)/( \x^2-4) Nhấp chuột ra ngoài và gõ g(-x) Ctrl- và enter Màn hình xuất hiện như sau :

Từ kết quả trên ta thấy g(- x) = - g(x) Vậy hàm số trên là hàm số lẻ

2.2.2.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Để tìm giá trị lớn nhất ta sử dụng hàm : maximize(f , var )

Maximize(f,var)= a f(a) Để tìm giá trị nhỏ nhất ta sử dụng hàm : minimize(f, var ) minimize(f,var)= b f(b)=

Trong đó : + f là hàm số đã cho

+ Var là biến số x 2 4 0 solve 2 x x 2 g x( ) x x x 2 4

Nhưng để thực hiện được chức năng của 2 lệnh này ta phải dẫn xuất bằng một giá trị nào đó tức ta gán giá trị biến = c

+ Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất trên khoảng ( hoặc đoạn )

Khoảng (hoặc đoạn) xác định của biến

+ B 3 : Gán giá trị biến = c và tìm GTLN và GTNN như sau:

Biến : c minimize(f,var)= a f(a) maximize(f,var)= b f(b) Ví dụ 1: ( Bài 12/110 SGK Đại số 10 nâng cao): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : f(x)= (x+3)(5 – x) với   3 x 5

Ta thực hiện như sau (với giá trị đầu gán bằng 0 ) :

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại hai điểm x = -3 và x = 5 Khi gán x = 2, gần giá trị 5 hơn, ta có f(x) = (3 + x) * 5 * (-x).

Trong trường hợp hàm số đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất tại nhiều giá trị khác nhau, kết quả sẽ phụ thuộc vào giá trị đầu vào mà chúng ta gán cho hàm số đó.

2.2.2.3 Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và hàm số bâc hai

1/ Đồ thị dạng X-Y plot a Tạo đồ thị X-Y Plot

- Sử dụng phép gán để định nghĩa hàm số f(x) cần vẽ đồ thị

- Vào Menu Insert/ Graph/ X-y plot hoặc ấn @ ( shift + 2) để tạo miền đồ thị

- Điền vào các chỗ trống có nháy màu đen

+ Trên trục hoành điền x, giá trị đầu và cuối của x (mặc định là -10 10) + Trên trục tung điền f(x), giá trị đầu và cuối cần hiện trên đồ thị của f(x)

- Ấn enter hoặc nhấp chuột ngoài miền đồ thị

Ví dụ 1 : ( Bài 42/63 SGK) Vẽ đồ thị hàm số bậc hai sau :

+ Nhấn Shift + ' ( thao tác này để đánh văn bản ), ta gõ Cho :

Click chuột ra ngoài ta gõ a:1 , click ra ngoài gõ tiếp b:-2 , click ra ngoài gõ c:-1

+ Click chuột xuống hàng ra gõ f(x): a*x^2+b*x+c

+ Nhấp chuột xuống hàng, ta nhấn Shift+' gõ tiếp " Ve do thi ham so y = f(x) voi

" Sau đó nhấp chuột ra ngoài gõ f(x) Ctrl +> enter ta được :

+ Định nghĩa biến độc lập cho hàm x:= -10 10

Vào Menu Insert/ Graph/ X-y plot hoặc ấn @ ( shift + 2)

Ve do thi ham so y = f(x) voi : f x ( )  x 2  2 x   1

Ta được đồ thị như sau :

- Sau khi đã có đồ thị, ta có thể điều chỉnh lại các số trên đồ thị cho dễ nhìn bằng cách :

+ Nhấp đôi vào đồ thị để chọn

+ Vào Menu Format/ Graph/ X-Y plot Khi đó sẽ xuất hiện hộp hội thoại

Trong hộp Axis Style, chọn tùy chọn Crossed để hiển thị hệ trục tọa độ vuông góc như thông thường Nếu chọn non, đồ thị sẽ không có hệ trục tọa độ, và lựa chọn Boxed sẽ tạo ra một hộp bao quanh đồ thị.

+ Nếu chọn Equal scales thì đơn vị 2 trục tọa độ sẽ bằng nhau

- Nếu chọn Grid line thì được lưới tọa độ

Khi chọn tính năng Auto Grid, số đoạn chia trên trục sẽ tự động được thiết lập là 2 Nếu không chọn tùy chọn này, bạn có thể điều chỉnh số đoạn chia bằng cách thay đổi giá trị tại mục Number of Grids bên dưới Chẳng hạn, nếu bạn thay đổi giá trị từ 2 thành 5, điều này có nghĩa là trong khoảng từ -10 đến 10 sẽ có 5 đoạn chia.

- Nhấp Apply - Ok Nếu ta sửa thành như thế này :

Thì ta sẽ được đồ thị như sau :

- Để đồ thị được đẹp mắt, ta nên sửa giá trị trên trục tung như sau :

Click đôi chuột vào đồ thị

Cuối cùng ta được đồ thị hoàn chỉnh như sau :

Ve do thi ham so y = f(x) voi : f x ( )  x 2  2 x   1 x   10  10

1/Nếu đồ thị bị gãy khúc không mịn ( như ở ví dụ trên) ta sẽ thay bước nhảy của x nhỏ hơn

Chẳng hạn x:= -10,-9.99 10 Đối với ví dụ trên ta được đồ thị sau :

2/ Nếu ta thay đổi giá trị gán cho a, b ,c thì ta sẽ được 1 đồ thị hàm số bậc 2 khác tương ứng với các giá trị a, b,c

Để vẽ đồ thị của hàm số bậc hai dạng x² - 4x + 1, bạn có thể thay đổi các hệ số a, b, c bằng cách nhấp chuột và chỉnh sửa chúng Ví dụ, nếu bạn thay đổi hệ số a thành -1, bạn sẽ nhận được một đồ thị mới Tương tự, khi điều chỉnh các hệ số b và c, bạn có thể thu được nhiều đồ thị khác nhau trong khoảng x từ -10 đến 10.

Ví dụ 2 ( bài 26/54 SGK) : Vẽ đồ thị của hàm số y = 3 x 1 2x2

- Định nghĩa hàm : f(x):= 3*(Shift+\)x-1 - (Shift+\)2*x+2 Định nghĩa biến độc lập cho hàm x:= -10 10 - Ấn @ ( Shift+2)

- Gõ x ở chỗ nháy đen trên trục hoành, gõ f(x) ở chỗ nháy đen trên trục tung

- Ấn enter, ta được đồ thị hàm trên

Màn hình sẽ xuất hiện như sau : f x ( )  a x   b x   c

Ve do thi ham so y = f(x) voi : x 109.999910 f x ( )  1  4 x   x 2

Tiêu đề	Ứng Dụng Phần Mềm Mathcad Và Phần Mềm Maple Vào Giải Toán Đại Số 10 Nâng Cao
Tác giả	Lê Thị Ngọc Vy
Người hướng dẫn	ThS. Ngô Thị Bích Thủy
Trường học	Đại học Đà Nẵng
Chuyên ngành	Sư phạm Toán
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2011
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	81
Dung lượng	4,4 MB