DA-CHUYEN-DE-MOT-SO-UD-CUA-TICH-VO-HUONG

Truy cập website hoc360 net để tải tài liệu đề thi miễn phí Group https //www facebook com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Đáp án chuyên đề Một số ứng dụng của tích vô hướng Hình học 10 Bài 2 96 AC BD AD[.]

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Đáp án chuyên đề: Một số ứng dụng tích vơ hướng - Hình học 10 Bài 2.96: AC BD DC AC AD AD BC BD Bài 2.97 : Đặt AB x , AD MB 3x AB AM BC AC AD DC 2AB BC BD AB CD y Khi : y , MN AN x AM 3y 2 1 3x y x 3y 3x 3y 8x y 16 16 2 2 5 3x y y , MN x 3y y Mặt khác MB 16 16 Vậy tam giác BMN vuông cân đỉnh M AM BN CE k ; AB i ; AC Bài 2.98: Đặt j MB NC EA Ta có MB.MN Ta có: AM kMB EC k AE Bài 2.99: AM AB k2 k x a · j PN AC k AE AN ·ME k AM AN ki i kj AM PN AP 18ax Bài 2.100: Đặt BA a, BC b, BK Ta có: BM a Do MN BM c , MN b AE AN AB AC c BA MB BC b 2a.b b i kj k AN AM k j ki ME đpcm AC x AB 3a a, BC b, BK c 4a x c a 2a.b kNC j Do ME 9a 2 i ; BN a c CN b a.c a 2b.c c c Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ c c2 b a b c Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí b Vì a.b a c Bài 2.101: 2AI AD AC AD nên MN BM AB AB suy 2AI BD AD Vậy AI c c 900 Suy ra: BMN BD 0; b BC AB 4AD AB 4AD AD AB AB 4AD BD Bài 2.102: Để ý HK BD có hình chiếu AC, HK AC có hình chiếu BD 2IJ AC HK 2IJ DB HK AC BD.AC AH Bài 2.103: Ta có: AM 2AM BD DB AH AD AC BD AD BD HC BH HD HD AH BH AH HD AD.BH AD.HD AH HD AD.BH AH HD AH HD BH AH HD HD.BH HD AH BH HD.AC Vậy AM vng góc với DB Bài 2.104: Gọi H giao điểm AI với B'C' Xét tích vơ hướng hai vectơ PI AA ' PI AI PH AI HI AI HI AI IA '2 Bài 2.105: Ta có BE Suy BE AF IA ' PH IA '2 BA PA ' A ' I IA ' IA '2 PA '.IA ' IB '2 HI AI AE BE AF k AC AB , AF kAC AB.AC AC AB 2 AB AB.AC Bài 2.106: Ta có aIA bIB cIC CI aCA bCB a b c 1 Mặt khác GI CI CG aCA bCB CA CB a b c a b hay GI CA CB a b c a b c Suy IG vng góc với IC IG.IC ab CB.CA (b 2a b c a 2b a c 0 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Do ab CBCA b 2a b c ab(1 a 2b a MA.MC MD.MB MA.MC MD.MB Suy MP c BC a 2MP.BC Bài 2.107 C1: nên dễ có cosC ) MA MD.MC MP.BC b MD c 2ab a b MC MB MA.MB MAMC MB.MD C2: Gọi H giao điểm MP BC Ta có MP BC MCH PMA MCH CMH MCH 90 Do 2PQ.AM HQ HQ MDA MAMC tứ giác ABCD nội tiếp Bài 2.108: Ta có PQ 90 MD.MB HP,2AM HP AB AC Mặt khác, ta có HQ, AB HP, AC Suy AM PQ PQ.AM AC HQ.AB HP AC cos HQ, AB HQ.AB Lại có APHQ hình bình hành nên HP HP HQ AQ AB AC AB PAC ~ QAB (g.g) AB HP AB HP AC AQ, HQ cos HP, AC HQ AC AP AP Mà điều hiển nhiên ta có AC Suy Vậy ta có đpcm Bài 2.109: Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp x2 x2 y2 y2 xy cos 2C ABC , ta có: xIA yIB z R2 xyIA.IB yz IB.IC xzIC IA z R2 xy cos 2C yz cos 2A zx cos 2B R2 yz cos 2A zx cos 2B x y2 z2 Nhận xét: • Khi chọn: x y z • Khi chọn: x z 1, y , ta có: cos 2C cos 2A , ta có: cos 2C cos 2B cos 2A Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ cos 2B zIC Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Bài 2.110: Gọi H trực tâm tam giác Với điểm M thuộc đường tròn (O) ta có: T MA2 MB MC (MO 6R2 OA)2 OB)2 (MO (MO OC )2 6R2 2MO(OA OB OC ) 2MO.OH 6R2 2ROH cos ( Từ suy (MO,OH )) • T nhỏ cos • T lớn cos Bài 2.111: Ta có cos BACA BC (CA MO ngược hướng với OH MO hướng OH (BA BD.CK BD.CK BA) BC BC ).(CA CB ) 4.BD.CK BC (doBA 2.BD.CK CA) 4.BD.CK Mặt khác 2.BD.CK BD CK 1 (2.AB 2.BC AC ) (2AC 2BC AB ) Mà BD CK 4 5BC ( BC AB AC ) BC Do cos 5BC Đẳng thức xảy BD CK tam giác ABC vuông cân đỉnh A Vậy cos Bài 2.112: Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có : MAGA MB.GB MC GC MAGA MB.GB MC GC T ( ) a.GA b.GB c.GC a.ma b.mb c.mc Theo BĐT Cauchy ta có 1 ama a 2b 2c a (3a )(2b 2c a ) 2 2 3a (2b 2c a2) (a b c ) 2 3 (a b c ) Do ama Đẳng thức xảy 3a 2b 2c a b2 c2 2a Chứng minh tương tự: bmb (a b c ) Đẳng thức xảy a c 2b 2 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí cmc (a 2 Vậy T a b2 c ) Đẳng thức xảy a 3 (MAGA b2 c2 MBGB b2 2c MC GC ) (a b2 c2) Vậy minT ABC M G A MB.AB MC AC Bài 2.113: Ta có T 2.cos MA AB AC Mặt khác MAGA MB.GB A 2.cos MA MC GC MB.AB AB MC AC AC A Do ta có: 2.cos A MA MB MC cos MA 2 Lấy E, F AB, AC cho AE AF Dựng hình thoi AESF ta có AS cos A Suy u 2 cos A : cos MA AB AC A MA( ) 2.MA.cos AB AC A AB Từ (1) (2) suy 2.cos MA MB MC Vậy minT AB AC chì M trùng A Bài 2.114: Ta có x GA x y z x GA2 x y z x ma2 a) Cho x a, y b) Cho x a ,y ma c) Cho x bc , y y R2 x z y y.mb2 z ca , z yOB z mc2 a 2yz yOB a 2yz AB AB 0(2) b 2zx c 2xy c 2xy bmb2 cmc2 abc bmcma cmamb mc2 c a3 ab b 2zx c 2xy b3 bc abc c3 ca a 2yz c 2xy y z suy a b2 c 9R2 a , y b , z c suy R 2r a) Cho x b) Cho x c) Cho x y d) Cho x bc , y z suy R2 ca , z a2 b2 ab suy 4S AB AC b 2zx z OC b 2zx A với u cos(MA, u) a yz c ta ambmc mc m mb2 ab ta a a b z OC AC ) AC z GC c ta ama2 b ,z mb x OA2 z GC yGB b, z Bài 2.115: x OA x yGB AB MA( AB c2 ab bc ca a Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ abc b3 c3 AC (1) AC Do AC Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí e) Cho x b c, y c a, z b suy a a b b c c a 8R R 2r Bài 2.116: Ta có c.MA ' AB.MA ' AB.MA ' AB.MO AB.OA ' Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng vế với vế ta cMA ' aMB ' bMC ' MO AB BC CA cOA ' aOB ' bOC ' Suy cMA ' aMB ' bMC ' cOA ' aOB ' bOC ' Nhận xét: Hoàn tồn tương tự ta chứng minh tốn tổng quát: Cho O điểm nằm đa giác lồi AA An ( n ) Qua O kẻ đường thẳng song song với AA ,i i i (xem Ai+1=A1) tương ứng cắt cạnh Ai 1Ai 1, n Bi Chứng minh : n AA i i MBi OBi i Bài 2.117: Gọi I điểm nằm tam giác ABC cho AIC 900 , BIA 1500 , CIB 1200 Khi ta có IA IA IB IB Vì MA 2MB 3MC Dấu có M I IC IC MA IA IA 2.MB Bài 2.118: Theo định lí nhím ta có A1A2e1 IB IB 3.MC A2A3e2 IC IC IA 2IB An A1en 3IC với ei , i vectơ đơn vị hướng đa giác tương ứng vng góc với AA i i Ai 1 1, n (xem A1 ) AA AA 2 MB1.OB1 MB1.OB1 OB1 OB1 AA A1A2 Mặt khác MB1.OB1 MO OB1 OB1 OB1 OB1 Ta có AA MB1 A1A2 MO A1A2 OB1 A1A2 MB1 A1A2 MO A1A2 OB1 Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng vế với vế ta n n AA MBi i i n MO i n AA e i i i AA OBi i i i i AA OBi i i i n AA i i Suy MBi OBi i Bài 2.119: Đa giác AA An có tâm O e1 vectơ đơn vị hướng với OAi , i e2 en với ei , i 1, 2, 1,2 1 MA1.OA1 MA1.OA1 MO OA1 OA1 MO.e1 OA1 Xây dựng bất OA1 OA1 OA1 đẳng thức tương tự cộng vế với vế ta MA1 MA2 MAn MO e1 e2 en OA1 OA2 OAn MA1 Suy MA1 MA2 MAn OA1 OA2 OAn Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Bài 2.120: Ta có SMBC MA Suy sin e1 sin e2 SMCA MB sin e3 SMAB MC =0 (Xem 1.21) (*) với e1, e2 , e3 vectơ đơn vị hướng với OA,OB,OC sin sin MAOA MO OA OA sin MO.e1 OA OA bất đẳng thức tương tự cộng vế với vế kết hợp (*) ta MA sin MB sin MC sin OA sin OB sin OC sin Nhận xét: • Cho M G, N I ta có sin OA Xây dựng Ta có MA sin GA sin BIC GB sinCIA GC sin AIB Mặt khác sin BIC B sin IA sin BIC C sin IB sinCIA A 2 cos B C , sin AIB cos 2 A B C AE BF CD Và cos IA cos IB cos IC 2 2 2 GA ma , GB mb , GC m Ta toán 3 c Cho tam giác ABC Chứng minh : A B C ma cos mb cos mc cos a b c 2 I ta • Cho M O, N Tương tự sin CIA OA cos A OB cos IC sin AIB A cos B OC cos C a b c a b c ; , kết hợp định lý sin ta có A B C cos cos sin A sin B sin C 2 H,N I kết hợp với tanA.HA Cho M cos • a, tanB.HB b , tanC.HC c tam giác ABC nhọn A B C a cos a cos a cos a b c 2 Ta tan A tan B tan C Bài 2.121: Gọi I, O là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ta có aIA bIB Suy a a b cIC b c MI c MI aMA a 2MA2 bMB cMC b 2MB c 2MC 2abMAMB 2bcMB.MC 2caMC MA a b c MI a.MA2 b.MB c.MC a) P abc dấu xảy M Ta có MI MO OI 2MOOI abc I R2 OI 2ROI cos MOI Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí b) P đạt giá trị lớn MI2 đạt lớn Hay M giao điểm tia IO với đường tròn (O) cos MOI MOI 1800 P đạt giá trị nhỏ MI2 đạt nhỏ cos MOI MOI 00 Hay M giao điểm tia OI với đường tròn (O) c) P đạt giá trị nhỏ MI đạt nhỏ hay M hình chiếu I lên d n Bài 2.122: iOAi MAi n OAi MAi , i i OAi MAi i i n n OAi MAi i OAi MO i i n 1, n OAi MO i i OAi MAi i n n OAi2 i OAi i i OAi2 (1) i i i Áp dụng BĐT Cauchy ta có : i MAi2 OAi2 i MAi OAi , i i n n n MAi2 i i n i n i MAi2 i n MAi2 i OAi MAi i i n 1, n, OAi2 i OAi MAi i i i OAi MAi (2) i i i Từ (1)(2) suy điều phải chứng minh Bài 2.123: a) Ta có MA( AB AB 2MA M AC AB ) | MA || AC AB MB MC MA( AC AB | MA ( AC AB AB AB AC ) AC MB AB AB AC ) AC MC 2.MA AC AC AB AC Suy A b) Gọi I trung điểm đường cao AH Ta có a IA b IB c IC (Theo 1.24) Kết hợp 14 ta thu bất đẳng thức a IA MA IA b IB MB IB c IC MC IC với điểm M Áp dụng định lí sin suy MA IA IA sin2 A MB IB IB sin2 B 2x , IB Giả sử tam giác ABC cân cạnh x IA Suy 2MA 10 MB MC MC IC IC sin2 C với điểm M 10x 6x Vậy I điểm cần tìm Bài 2.124: Gọi A', B', C', trung điểm BC, CA, AB O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác,vì tam giác nhọn nên O nằm tam giác ABC ta có: OA ' OB ' OC ' OA '2 OB '2 OC '2 2OB '.OC '.cos A 2OC '.OA '.cos B 2OA '.OB ' cosC Mặt khác OA ' OB.cos BOA ' OB.cos A R cos A Tương tự ta có: OB ' R cos B , OC ' R cosC Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Suy cos2 A cos2 B cos2 C cos A.cos B.cosC Dấu " = " xảy tam giác ABC Bài 2.125: a) Ta có MA2 MB MC a b2 tiếp tam giác ta 9R2 a b c 4R2 sin2 A Áp dụng định lí sin ta có 9R2 Hay sin2 A sin2B sin 2C c cho M trùng với tâm ngoại 4R2 sin2 B 4R2 sin2 C a b c câu a 3 c) Áp dụng bất đẳng thức a b c abc câu a A A A ;900 ; 900 d) Ta có A, B, C góc tam giác 900 ba góc 2 A B C cos2 cos2 tam giác theo câu a ta suy cos2 2 1 Bài 2.126: Ta có SM A ' B ' SA SB SB ' SA ' SASA ' SB.S ' B ' 2 AN AB ' AA '2 Bài 2.127: Vì AA' tiếp xúc với (O'), BB' tiếp xúc với (O) nên Mặt B ' M B ' A B ' B khác AA ' BB ' nên AN AB ' B ' M.B ' A AN B ' M AM B ' N Bài 2.128: Cho tam giác ABC không cân A; AM, AD trung tuyến, phân giác tam giác Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB, AC E, F Chứng minh BE CF BE BA BM BD BE BA BM BD HD: Ta có CF CA CM CD CF CA CM CD BA BD BM BE ; 1 BE CF Mặt khác CA CD CM CF Bài 2.129: (hình 2.25) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB N Gọi C giao điểm AB (I) Khi ta có: C b) Áp dụng bất đẳng thức a PA/ I AC AB AM AN b2 c2 PA/ O (khơng đổi A, (O) cố định) Suy AC Vì A, B cố định C thuộc AB nên từ hệ thức ta có C cố định Suy I thuộc đường trung trực BC cố định Bài 2.130: (hình 2.26) Kẻ CH OP Ta có tứ giác CEPH nội tiếp nên OPOH OEOC Vì tam giác OBC vng B BE đường cao nên OE OC OB R M A I PA/ O B AB Hình 2.25 H C A P E B Hình 2.26 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ O Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí R2 Suy OP OH R2 OP OH Vì O, P cố định nên H cố định Vậy tập hợp điểm C đường thẳng vng góc với OP H Bài 2.131: (hình 2.27)Gọi I điểm đối xứng H qua B, suy I cố định thuộc (K) Gọi M giao điểm CD AB Ta có MH MI MC MD MB MB MB BM MA.MB suy MH MI MB BH BH BH BI MB MB MB H M MA.MB MB MB BH K A MC MD BH C B I D BA Hình 2.27 MB.BA MB.BA E BA H M Vì A, B, H cố định suy M cố định đpcm A B Bài 2.132: (hình 2.28)Ta có AM AN AE Trong tam giác AEB , F N EH AB AE AH AB AH AB Δ 2 AN AH AB Suy AM Hình 2.28 Vậy AM AN hai tiếp tuyến (C) 6666 Bài 2.133: (hình 67)B trung điểm AC Ta có PA/ C2 AE AF AB AB.2.AB AD.AC Do tứ giác D B M A C DCFE nội tiếp E O Suy M tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DCFE mà M nằm F DC Từ ta tính AM AC nên MD MC AB AM MC AB Hình MC Bài 2.134: (hình 2.29) Gọi E giao điểm thứ hai PQ với đường C tròn ngoại tiếp tam giác PAB CD cắt PQ F.Ta có A F Mà P, Q cố định nên PQ không đổi OQ2 R2 QAQB QPQE Q B E QE không đổi E cố định Mặt khác PDC PBA PEA nên tứ giác DAEF nội tiếp suy PO R2 PD.PA PE PF D Mà P, E cố định nên PE khơng đổi PF khơng đổi F cố định Hình 2.29 Vậy CD ln qua điểm cố định F Bài 2.135.(hình 2.30) Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường trịn Gọi H hình chiếu M O1O2 , I trung điểm O1O2 Ta có: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ P Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí PM / O1 MO12 MO12 PM / O2 MO22 MH R12 HO12 MH HO22 R12 HO1 HO2 HO1 R22 HO22 R12 M R22 R22 O2O1.2HI R12 R22 R12 R22 O1O2 MO22 R22 HO12 IH R12 HO2 R12 R22 O1 H O2 Hình 2.30 Từ suy H cố định, suy M thuộc đường thẳng qua H vng góc với O1O2 Nhận xét: Đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) Chú ý hệ sau có nhiều ứng dụng: Cho hai đường trịn (O) (I) Từ tốn ta suy tính chất sau: a) Trục đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm b) Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng c) Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vng góc với OI trục đẳng phương hai đường trịn d) Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường trịn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường trịn e) Nếu điểm có phương tích hai đường trịn điểm thẳng hàng f) Nếu (O) (I) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/