duong-thang-euler-va-duong-tron-euler

Microsoft Word DUONG THANG EULER VA DUONG TRON EULER Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P 5, Q 11 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 1 CÁC ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC PHẲ[.]

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 CÁC ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC PHẲNG Đường thẳng Euler Bài toán Trong tam giác trọng tâm, trực tâm tâm đường trịn ngoại tiếp nằm đường thẳng (Đường thẳng gọi đường thẳng Euler tam giác.) Hướng dẫn: Cách Cho tam giác ABC, gọi G, H, O trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi D điểm đối xứng A qua O Khi BHCD hình bình hành, suy trung điểm M BC trung điểm HD Tam giác AHD có OM đường trung bình, suy OM = ½ AH Suy GM/GA = OM/AH = ½ Suy ΔAHG ΔMOG (c.g.c) Suy H,G, O thẳng hàng GH = 2GO Nhận xét Khi nói đến đường thẳng Euler ta cần cho đường thẳng qua hai điểm @ Cách Ta dùng phép vị tự sau: Thực phép vị tự tâm G tỉ số k = -1/2 Ta có A  M , B  N , C  P, ABC  MNP (Với M, N, P trung điểm cạnh BC, AC AB) Mà H trực tâm tam giác ABC, O trực tâm tam giác MNP Nên V G , 1/  : H  O   Do GO   GH Do G nằm H, O GH = 2GO @ Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Bài tốn 1.1 Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H tâm ngoại tiếp O Gọi P điểm đối xứng H qua O Gọi G1, G2, G3 trọng tâm tam giác PBC, PAC PAB Chứng minh G1A = G2B = G3C G1A, G2B , G3C đồng quy Hướng dẫn: Chứng minh GG1 song song với AP GG1 = 1/3 AP Hơn GO = 1/3 OP Suy A, O, G1 thẳng hàng AG1= 4/3 AO Chứng minh tương tự ta có BG2, CG3 qua O BG2 = 4/3 BO , CG3 = 4/3 CO @ Bài toán 1.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (J) đường tròn bàng tiếp thuộc góc A tam giác ABC (J) tiếp xúc BC, AB, AC tai M N P Chứng minh OJ đường thẳng Euler tam giác MNP Hướng dẫn: Gọi M1, N1, P1 giao điểm JA, JB, JC với PN, PM MN Khi M1, N1, P1 trung điểm PN, PM, MN Do đường trịn Euler tam giác MNP đường tròn ngoại tiếp tam giác M1N1P1 Gọi A’, B’, C’ giao điểm JA, JB JC với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi ta có JB’.JB = JA’.JA = JC’.JC Hơn ta có JB.JN1 = JA.JM1 = JC.JP1 Do JN1/JB’ = JM1/JA’ = JP1/JC’ Suy M1N1 //A’B’, P1M1 //A’C’ N1P1//B’C’ Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Từ ta có tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác M1 N1P1, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ J thẳng hàng Suy tâm ngoại tiếp tam giác M1N1P1 thuộc JO Mặt khác J tâm ngoại tiếp tam giác MNP Vậy JO đường thẳng Euler tam giác MPN @ Bài toán 1.3 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I), với đường cao AA’, BB’ CC’ Gọi da, db, dc đường thẳng Euler tam giác AB’C’, BA’C’ CA’B’ Gọi d’a, d’b, d’c đường thẳng đối xứng với da, db, dc qua AI, BI CI Chứng minh d’a, d’b, d’c đôi song song Hướng dẫn: Gọi B1, C1 đối xứng với B’, C’ qua AI, d’a đường thẳng Euler tam giác AB1C1, mà B1C1 //BC, suy d’a song song với đường thẳng Euler tam giác ABC Chứng minh tương tự d’b, d’c song song với đường thẳng Euler tam giác ABC @ Bài toán 1.4 Cho tam giác ABC có trực tâm H Khi đường thẳng Euler tam giác HAB, HAC HBC đồng quy Hướng dẫn:Đồng quy trung điểm OH @ Đến người ta cịn tìm tính chất thú vị liên qua đến đường thẳng Euler, năm 2006 kiến trúc sư người Hy Lạp Rostas Vittasko có đưa tốn sau: Bài tốn 1.5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp có đường chéo cắt P Khi đường thẳng Euler tam giác PAB, PBC, PCD, PAD đồng quy Đường trịn Euler Bài tốn Trong tam giác điểm gồm: trung điểm cạnh, trung điểm đoạn thẳng nối từ trực tâm đến đỉnh, chân đường cao thuộc đường tròn (Người ta gọi đường tròn điểm hay đường tròn Euler) Hướng dẫn: Cách Gọi tam giác A1 A2 A3 Trung điểm cạnh M1, M2, M3; chân đường cao H1, H2, H3 trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm H với đỉnh N1, N2, N3 Ta chứng minh điểm M1, M2, M3, H1, H2, H3, N1, N2, N3 thuộc đường tròn Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Chứng minh tứ giác M1M2M3H1 nội tiếp M1M2N1M3 nội tiếp đường trịn đường kính M1N1 Cách Ta dùng phép vị tự sau: Thực phép vị tự tâm G tỉ số -1/2 A1 A2 A3  M M M   A1 A2 A3    M 1M M  (Kí hiệu (XYZ) đường trịn ngoại tiếp tam giác XYZ) Do O  F (F tâm đường tròn ngoại tiếp tam    giác M1M2M3), suy GF   GO  HF   HO Do H tâm vị tự biến (O) thành (F) Xét V H ;1/ 2 : A1  N1 , A2  N , A3  N  N1 , N , N   F  Hơn nữa, gọi H’1,H’2, H’3 giao điểm A1H, A2H, A3H với (O) thì:       HH1  HH1, HH  HH 2 , HH  HH 3 2 Do V H ,1/  : H1  H , H 2  H , H 3  H  H1 , H , H   F  Vậy ta chứng minh điểm M1, M2, M3, H1, H2, H3, N1, N2, N3 thuộc đường tròn tâm trung điểm OH @ Sau số tính chất đường trịn Euler, xem tập Bài tốn 2.1 Tâm đường trịn Euler trung điểm đọan thẳng nối trực tâm tâm ngoại tiếp Bài toán 2.2 Cho tam giác ABC trực tâm H Tia Hx cắt đường tròn Euler M đường tròn ngoại tiếp N Khi M trung điểm HN Bài tốn 2.3 Cho tam giác ABC có trực tâm H Khi đường tròn Euler tam giác ABC đường tròn Euler tam giác HAB, HAC HBC (Từ toán 2.3 suy toán 1.4) Sau định lý hay hình học tam giác Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Bài toán 2.4 (Định lý Feuerbach) Trong tam giác đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp Chứng minh định lý Feuerbach dựa cơng cụ mạnh, phép nghịch đảo, nhiên có cách làm sơ cấp Sau bổ đề dùng để chứng minh định lý Feuerbach Ta sử dụng ký hiệu toán Bài toán 2.4.1.Giả sử A1A3 > A2A3 Khi đường thẳng M1T tiếp xúc với đường trịn Euler M1 tạo với A2A3 góc α2- α3 Bài tốn 2.4.2 Gọi D1 giao điểm phân giác góc A1 với A2A3 Gọi X1P tiếp tuyến đến đường tròn nội tiếp (I), X1P’ tiếp tuyến đường trịn bàng tiếp góc A (P, P’ tiếp điểm) Khi PX1P’ song song với M1T Bài tốn 2.4.3 Gọi Q giao điểm M1P với (I), Q thuộc đường trịn Euler Bài tốn 2.4.4 Hai đường tròn Euler đường tròn nội tiếp giao Q Chứng minh chúng có chung tiếp tuyến Một số toán liên quan đến đường trịn Euler Bài tốn 2.5 (VMO 2009) Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định A, B (A khỏc B) Một điểm C di động trờn mặt phẳng cho ∠ACB = α = const (00 < α < 1800) Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, CA lần lươt D, E, F AI, BI cắt EF M, N a) Chứng minh rằng: MN cú độ dài khụng đổi b) Chứng minh rằng: (DMN) qua điểm cố định C lưu động Bài toán 2.6 Cho tam giác ABC trung tuyến AM, O tâm ngoại tiếp Khi đường thẳng qua M vng góc với AO tiếp xúc với đường tròn Euler tam giác ABC Bài toán 2.7 Chứng minh đường thẳng da, db, dc toán 1.3 đồng quy điểm thuộc đường tròn Euler Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Bài tốn 2.8 Tam giác ABC có đường cao AD, BE CF đồng quy trực tâm H DE cắt CF M, DF cắt BE N Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Chứng minh OA ⊥ MN (HẾT PHẦN 1) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Tấn (Chủ biên), Các chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS, NXB Giáo dục [2] Roger A.Jonhson, Advanced Euclidean Geometry, Dover Publication, INC NewYork [3] Po-Shen Loh, Collinearity and Concurrence, Internet resources [4] Cosmin Pohoata, Harmonic Division and its Applications, Internet resources [5] Internet, website www.mathlinks.ro , http://diendantoanhoc.net http://mathscope.org Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu