Nội dung chính của bài viết Khoảng cách giữa tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn Apollonius trình bày một số lời giải hình học đơn giản. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
KHOẢNG CÁCH GIỮA TÂM ĐƯỜNG TRÒN EULER VÀ TÂM ĐƯỜNG TRỊN APOLLONIUS Trịnh Xn Minh – Macau TĨM TẮT Như tiêu đề nêu, phần giới thiệu với bạn đọc hệ thức liên hệ tâm hai đường trịn tiếp xúc ngồi với ba đường trịn bàng tiếp tam giác Cách chứng minh tác giả lâu (2009) tương đối cồng kềnh nên hy vọng sau viết có lời giải hình học đơn giản dành cho Để cho ngắn gọn đỡ phức tạp, điều biết xin không chứng minh đây, thay vào người viết thích nguồn để bạn đọc tiện tham khảo Cho 4ABC ký hiệu tương ứng sau: S diện tích 4ABC p nửa chu vi 4ABC R bán kính đường trịn ngoại tiếp 4ABC r bán kính đường tròn nội tiếp 4ABC M ˛M ; ˇM ; M/ ! ! ˛M MA C ˇM MB C ! MMC D 0E Trước tiên nhắc lại số định lý hệ thức sau: Định lý Euler Trong tam giác, chân ba đường cao, ba trung điểm ba cạnh, ba trung điểm ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm, tất chín điểm nằm đường tròn gọi đường tròn điểm hay đường tròn Euler Hình Đường trịn Euler 75 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Đường trịn Euler có bán kính ˛X5 D a cos.B C /: R hệ thống tâm Kimberling, tâm X5 với Định lý Feuerbach Trong tam giác, đường tròn Euler tiếp xúc đồng thời với đường tròn nội tiếp ba đường trịn bàng tiếp Hình Định lý Feuerbach Định lý công bố năm 1822 nhà hình học người Đức, Karl Wihelm Feuerbach (1800-1834) Đường tròn Apollonius Đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn bàng tiếp tam giác gọi đường trịn Apollonius tam giác 76 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Hình Đường trịn Apollonius p2 C r Đường trịn Apollonius có bán kính có tâm Kimberling X970 với ˛.X970 / D 4r 2 R.p r /a cos A a S: Một số hệ thức abc D pr D p a/ra 4:1/ S D 4R 4:2/ a2 C b C c D 2p 2r 8Rr 2S 4:3/ a cos A C b cos B C c cos C D R p r 4Rr a C b2 C c2 D 4:4/ cos2 A C cos2 B C cos2 C D 4R2 2R2 a2 C b C c / D p r 4Rr 4:5/ ab cos C C bc cos A C ca cos B D S 4:6/ a cos B cos C C b cos C cos A C c cos A cos B D R ˇM c/2 C M b/2 C 2bcˇM M cos A 4:7/ MA D ˛M C ˇM C M /2 4:8/ ˛M C ˇM C M /MS D ˛M AS C ˇM BS C M CS ˛M ˇM c C ˇM M a2 C M ˛M b ˛ M C ˇM C M Đường tròn Euler đường tròn Apollonius gây ý đặc biệt với thân tơi tính chất tiếp xúc chúng với ba đường tròn bàng tiếp tam giác Cũng mà tơi nghĩ đến tồn hệ thức đẹp liên hệ chúng, Định lý Gọi E; RE / E ; RE /  đường à tròn Euler đường trịn Apollonius r 4ABC Khi EE 02 D RE C RE /2 RE Chứng minh Ta có ˛E D R p r a cos A a2 S ÁpX dụng 4.2 4.3 X X ˛E D R p r a cos A S a2 cycli c DR p cycli c D 8RrS r 1/ 2S R S 2p cycli c 2r 8Rr 77 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Áp dụng hệ thức 4.7 với M Á E ˛E D a cos.B C / thu 4AE D R2 C 2bc cos A Kết có cách gián tiếp thông qua việc xét quan hệ vị trí E với điểm đặc biệt khác đường thẳng Euler (trọng tâm, trực tâm, tâm đường đường tròn ngoại tiếp ) Như vậy, 4˛E AE D R2 C 2bc cos A R p r a cos A a2 S D R3 p r 8RS a cos A C 8R2 S p r cos2 A Áp dụng 4.2, 4.3 4.4 ta có X ˛E AE D R3 p cycli c C8R S p X r2 r2 cos2 A D R p r 8RS X R2 S cycli c X 8RS R2 S a2 a cos A cycli c a cycli c 2S C 8R2 S p R  r p2 r 4Rr 2R2 à R2 S 2p 2r 8Rr D 26R2 S p r 16S 2S p r 4Rr p r C R2 D 26R2 S p r 16S 4S p r 2S p r R2 8Rr C 8R3 rS D 4S p r C 8RS 3R C 2r/ p r 16S C 8R3 rS Suy ra, X ˛E AE D S p2 r2 C 2RS 3R C 2r/ p r2 4S C 2R3 rS 2/ cycli c Lại có ˛E ˇE c D c R p r a cos A a2 S R p r b cos B b S D 4R3 S p r c cos A cos B 4R2 S p r bc cos A C ca cos B/ C 16R2 S Áp dụng 4.5 4.6 X 0 ˛E ˇE c D 4R3 S.p cycli c X r /2 X c cos A cos B 8R2 S p r 2/ cycli c ab cos C C 48R S cycli c D 4R3 S.p D S 8R2 S p r /.p r 4Rr/ C 48R2 S R r C 32R3 rS p r C 48R2 S 3/ r /2 4R2 S p Sau ta áp dụng (1), (2) (3) vào 4.8 với M Á E S Á E ta thu 8RrS EE 02 D S p r C 2RS 3R C 2r/ p r 4S C 2R3 rSC 4R2 S p r 32R3 rS p r 48R2 S 8RrS 4S C 2R3 rS C D hS p r C 2RS 3R C 2r/ p i r 2 pR p r 8Rr p r 12S 2 Suy ra, 78 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 2r/ p r 4RS R C 2r/ p r 4Sr R3 3p R 2p r EE D C C 16Rr 22 16RrS 16RrS R 2r/ p r C 4Rr.R C 2r/ p r R3 3p R 2p r C D 16Rr 4R 2 2 R Rr Rr p R 4p p 8r r2 p4 p4 p2r r3 D C C C C C  Ã4 4r 8 16 16 Ã16r 8Rr 24R 8R p2 C r p2 C r p2 C r p2 C r R2 2r C D CR R 4r 4r 8Rr #2  " à  à 2 p Cr 2r r R D RE C RE /2 D C điều phải chứng minh : 4r R RE 02 R Tài liệu tham khảo [1] http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html [2] http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_line 79 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 80 ... (1800-1834) Đường tròn Apollonius Đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn bàng tiếp tam giác gọi đường trịn Apollonius tam giác 76 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Hình Đường trịn Apollonius p2 C r Đường. .. 10/2015 Đường trịn Euler có bán kính ˛X5 D a cos.B C /: R hệ thống tâm Kimberling, tâm X5 với Định lý Feuerbach Trong tam giác, đường tròn Euler tiếp xúc đồng thời với đường trịn nội tiếp ba đường. .. thu 4AE D R2 C 2bc cos A Kết có cách gián tiếp thơng qua việc xét quan hệ vị trí E với điểm đặc biệt khác đường thẳng Euler (trọng tâm, trực tâm, tâm đường đường tròn ngoại tiếp ) Như vậy, 4˛E